Ce relații metrice trebuie știute pe de rost?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sinteză: trigonometrie și relații metrice

Teorema cosinusului și teorema sinusurilor, cele patru formule ale ariei, cele două raze scrise prin arie, relația lui Stewart cu mediana care iese din ea, plus teoremele despre coliniaritate și concurență. Alegerea instrumentului se face după date: cu două laturi și unghiul dintre ele sau cu trei laturi folosești cosinusul, altfel sinusurile.

Capitolul are două coloane care se întâlnesc la final. Aparatul de calcul: formulele de adunare $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ și $cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$ — atenție la semnul încrucișat de la cosinus —, unghiul dublu ( $sin 2 a = 2 sin a cos a$ ), unghiul pe jumătate și transformările sumă $\leftrightarrow$ produs. Funcțiile inverse trăiesc pe intervale restrânse: $arcsin$ în $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , $arccos$ în $[0, π]$ , $arctg$ în $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , deci $arcsin (sin t) = t$ numai dacă $t$ se află în codomeniu. Ecuațiile trigonometrice au trei tipare: elementare, reductibile la gradul al doilea (cu condiția $∣ t ∣ \leq 1$ ) și $a sin x + b cos x = c$ , rezolvabilă prin unghi auxiliar, cu condiția de existență $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$ .

Aplicațiile în triunghi: teorema sinusurilor $\frac{a}{sin A} = 2 R$ și teorema cosinusului $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ; alegerea se face după date — LUL și LLL cer teorema cosinusului, ULU și LLU pe cea a sinusurilor. Aria are patru formule ( $\frac{a h _{a}}{2}$ , $\frac{1}{2} ab sin C$ , Heron, $\frac{ab c}{4 R} = p r$ ), din ultimele citindu-se direct razele: $R = \frac{ab c}{4 S}$ și $r = \frac{S}{p}$ . Pentru ceviene: relația lui Stewart, din care iese mediana $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ , apoi Menelaus (coliniaritate) și Ceva (concurență) — același produs de rapoarte egal cu $1$ , deosebite prin paritatea numărului de puncte din afara laturilor.

De reținut

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ și $\frac{a}{sin A} = 2 R$
$S = \frac{1}{2} ab sin C$ , Heron, $\frac{ab c}{4 R}$ , $p r$
$R = \frac{ab c}{4 S}$ și $r = \frac{S}{p}$
produs de rapoarte egal cu unu: coliniaritate sau concurență, după paritate

Greșeala tipică

Teorema sinusurilor este pornită fără o pereche completă latură-unghi opus și calculul se blochează; verifică întâi ce date ai și abia apoi alege teorema.

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că $sin a = \frac{5}{13}$ , cu $a$ în cadranul II. Cât este $sin 2 a$ ?
- a) $\frac{120}{169}$
- b) $\frac{119}{169}$
- c) $- \frac{120}{169}$
- d) $- \frac{60}{169}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{120}{169}$

Din formula fundamentală, $cos^{2} a = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , iar în cadranul II cosinusul este negativ: $cos a = - \frac{12}{13}$ . Atunci $sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot (- \frac{12}{13}) = - \frac{120}{169}$ . Varianta a) sare discuția semnului, b) este $cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a$ (răspunsul la altă întrebare), iar d) a uitat factorul $2$ . Control: $(\frac{120}{169})^{2} + (\frac{119}{169})^{2} = 1$ ✓.
Cât este $arccos (cos \frac{7 π}{4})$ ?
- a) $\frac{7 π}{4}$
- b) $\frac{π}{4}$
- c) $- \frac{π}{4}$
- d) $\frac{3 π}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{π}{4}$

Simplificarea $arccos (cos t) = t$ este valabilă numai dacă $t \in [0, π]$ , codomeniul funcției arccosinus. Aici se calculează pas cu pas: $cos \frac{7 π}{4} = \frac{2}{2}$ , deci $arccos \frac{2}{2} = \frac{π}{4}$ . Variantele a) și c) nu aparțin intervalului $[0, π]$ — deși $- \frac{π}{4}$ are într-adevăr același cosinus, arccosinusul nu ia niciodată valori negative —, iar $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}$ , altă valoare.
Care dintre următoarele ecuații nu are nicio soluție reală?
- a) $sin x + cos x = 1$
- b) $3 sin x + 4 cos x = 5$
- c) $2 sin x - cos x = 2$
- d) $3 sin x + 4 cos x = 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3 sin x + 4 cos x = 6$

O ecuație de forma $a sin x + b cos x = c$ are soluții dacă și numai dacă $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$ : după împărțirea prin $a^{2} + b^{2}$ , membrul stâng devine sinusul unui unghi, deci membrul drept trebuie să fie în $[- 1, 1]$ . La d): $9 + 16 = 25 < 36$ — imposibil, pentru că $3 sin x + 4 cos x$ nu depășește niciodată $5$ . La a) avem $2 \geq 1$ , iar $x = \frac{π}{2}$ verifică; la b) avem egalitate ( $25 = 25$ ), deci ecuația are soluție (unică pe o perioadă); la c) $5 \geq 4$ , iar $x = \frac{π}{2}$ verifică.

Întrebări conexe

Ce teoreme din triunghi se combină cel mai des?

Teorema cosinusului cu formula ariei prin sinus, fiindcă amândouă pornesc de la două laturi și unghiul dintre ele. Urmează perechea dintre teorema sinusurilor și formula razei cercului circumscris. La ceviene, teorema bisectoarei se folosește împreună cu relația lui Stewart.

Cum aleg între relații metrice și trigonometrie?

Dacă triunghiul are un unghi drept, rapoartele din gimnaziu și teorema lui Pitagora ajung. Dacă nu are, treci la teoremele cosinusului și sinusurilor. Când în enunț apar rapoarte pe laturi, semnalul este spre teoremele despre ceviene.

Ce formule de arie folosesc la o problemă cu triunghi?

Alegi după date: latură cu înălțime, două laturi cu unghiul dintre ele, trei laturi prin formula lui Heron, sau razele, prin semiperimetru și prin produsul laturilor. De multe ori se folosesc două formule deodată, ca să scoți o mărime necunoscută.

Cum abordez o problemă de geometrie cu date amestecate?

Faci desenul, notezi pe el tot ce se dă și marchezi ce se cere. Apoi te uiți ce fel de date ai, ca să alegi teorema, și scrii relațiile una câte una. Verifici la final cu inegalitatea triunghiului și cu ordinea dintre laturi și unghiuri.

Ce capcane apar la exercițiile cu funcții trigonometrice inverse?

Simplificarea grăbită, când se scrie că arcsinusul unui sinus dă chiar argumentul, deși asta se întâmplă doar pe intervalul principal. A doua capcană este aplicarea imparității la arccosinus și la arccotangentă, unde regula este alta.

Oamenii mai întreabă și: relații metrice în triunghi de reținut · recapitulare mate-info la trigonometrie și geometrie · formule pentru triunghi la mate-info · teoremele din triunghi care se cer