Cum se simplifică o fracție algebrică?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Simplificarea fracțiilor algebrice

Descompui numărătorul și numitorul în produse, apoi tai factorii comuni nenuli. Se taie doar factori, adică bucăți legate prin înmulțire, niciodată termeni dintr-o sumă. De exemplu $\frac{3 x - 12}{x ^{2} - 16} = \frac{3 ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{3}{x + 4}$ . Numitorul de la început impune condițiile, deci rămân $x \neq = 4$ și $x \neq = - 4$ , chiar dacă factorul $x - 4$ a dispărut prin simplificare.

O fracție algebrică se simplifică exact ca $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ : împarți numărătorul și numitorul la același factor nenul. Regula-cheie: simplifici doar factori, niciodată termeni — adică bucăți care se înmulțesc, nu care se adună. De aceea, primul pas e mereu să descompui numărătorul și numitorul în produse, folosind factor comun, grupare sau formulele $(a \pm b)^{2}$ și $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Exemplu: $\frac{2 x + 6}{x ^{2} + 3 x} = \frac{2 ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{2}{x}$ , pentru $x \neq = 0$ și $x \neq = - 3$ .

Observă că păstrezi ambele condiții de existență, citite de pe fracția inițială, chiar dacă unul dintre factori dispare prin simplificare. O fracție e ireductibilă când numărătorul și numitorul nu mai au niciun factor comun.

De reținut

se taie factori, nu termeni dintr-o sumă
$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$ , pentru $B \neq = 0$ și $C \neq = 0$
condițiile de existență vin de la numitorul de la început

Greșeala tipică

Din $\frac{x ^{2} + 9}{x ^{2}}$ se taie $x^{2}$ și rămâne $9$ , deși sus stă o sumă, nu un produs. Tăierea e permisă abia după ce ambele etaje au fost scrise ca înmulțiri.

Exerciții din această mini-lecție

Simplifică fracția $\frac{8 x ^{3}}{12 x}$ (pentru $x \neq = 0$ ). Care este forma ireductibilă?
- a) $\frac{2 x ^{2}}{3}$
- b) $\frac{8 x ^{2}}{12}$
- c) $\frac{2 x}{3}$
- d) $\frac{4 x ^{2}}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2 x ^{2}}{3}$

Factorul comun este $4 x$ : $\frac{8 x ^{3}}{12 x} = \frac{4 x \cdot 2 x ^{2}}{4 x \cdot 3} = \frac{2 x ^{2}}{3}$ . Coeficienții se simplifică între ei ( $8 : 4 = 2$ , $12 : 4 = 3$ ), iar la puteri scazi exponenții lui $x$ ( $x^{3}$ sus, $x^{1}$ jos, rămâne $x^{2}$ sus).
Simplifică fracția $\frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x}$ la forma ireductibilă.
- a) $\frac{x + 4}{x}$
- b) $\frac{x - 4}{x}$
- c) $x - 4$
- d) $\frac{x - 4}{x + 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{x - 4}{x}$

Numărătorul este diferență de pătrate: $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ . Numitorul are factor comun: $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ . Simplifici factorul comun $(x + 4)$ : $\frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x ( x + 4 )} = \frac{x - 4}{x}$ , pentru $x \neq = 0$ și $x \neq = - 4$ .
Simplifică fracția $\frac{15 x ^{4}}{20 x ^{2}}$ (pentru $x \neq = 0$ ). Care este forma ireductibilă?
- a) $\frac{3 x ^{2}}{4}$
- b) $\frac{3 x}{4}$
- c) $\frac{15 x ^{2}}{20}$
- d) $\frac{4 x ^{2}}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3 x ^{2}}{4}$

Factorul comun este $5 x^{2}$ : $\frac{15 x ^{4}}{20 x ^{2}} = \frac{5 x ^{2} \cdot 3 x ^{2}}{5 x ^{2} \cdot 4} = \frac{3 x ^{2}}{4}$ . Coeficienții se simplifică între ei ( $15 : 5 = 3$ , $20 : 5 = 4$ ), iar la puteri scazi exponenții lui $x$ ( $x^{4}$ sus, $x^{2}$ jos, rămâne $x^{2}$ sus).

Întrebări conexe

Ce valoare are o fracție algebrică dacă numărătorul se anulează?

Fracția este egală cu zero, cu condiția ca numitorul să rămână nenul în acel punct. Pentru $\frac{x - 3}{x + 5}$ , valoarea $x = 3$ anulează numărătorul, iar numitorul devine $8$ , deci fracția face $0$ . Dacă și numitorul s-ar anula, expresia nu ar avea sens acolo.

Cum simplific o fracție cu puteri ale aceleiași litere?

Scazi exponenții: la $\frac{x ^{7}}{x ^{3}}$ rămâne $x^{4}$ sus, pentru $x \neq = 0$ . Coeficienții se simplifică separat, prin împărțire la cel mai mare divizor comun. Astfel $\frac{18 x ^{7}}{12 x ^{3}}$ devine $\frac{3 x ^{4}}{2}$ , fiindcă $18$ și $12$ se împart amândoi la $6$ .

De ce unele fracții algebrice nu se pot simplifica deloc?

Pentru că numărătorul și numitorul nu au niciun factor comun. La $\frac{x ^{2} + 1}{x + 1}$ , suma de sus nu se descompune peste numerele reale, deci nu apare nimic de tăiat. O astfel de fracție se numește ireductibilă și se lasă exact așa.

Cum simplific o fracție în care apare o paranteză la pătrat?

Scrii puterea ca produs de paranteze egale și tai una singură. La $\frac{( x + 2 ) ^{2}}{( x + 2 ) ( x - 1 )}$ desfaci sus în $(x + 2) (x + 2)$ și rămâne $\frac{x + 2}{x - 1}$ , pentru $x \neq = - 2$ și $x \neq = 1$ . Nu se taie exponentul întreg dintr-o dată.

Cum descompun numărătorul ca să pot simplifica?

Cauți întâi un factor comun, apoi încerci formulele de calcul prescurtat: diferența de pătrate sau pătratul unui binom. Din $x^{2} - 9$ iese $(x - 3) (x + 3)$ , iar de acolo simplificarea se vede singură. Fără descompunere nu ai ce tăia.

Cum arăt că două fracții algebrice reprezintă aceeași expresie?

Le aduci pe amândouă la forma ireductibilă și compari rezultatele; dacă ies identice, iar condițiile de existență coincid, expresiile sunt egale. O verificare rapidă este să înlocuiești un număr permis în ambele: valori diferite arată sigur că nu sunt egale.

Oamenii mai întreabă și: cum simplific fracții cu litere · simplificare fracții algebrice · forma ireductibilă a unei fracții algebrice · cum aduc o fracție algebrică la forma cea mai simplă