Punctele sunt $$A(1;-1)$$, $$B(3;2)$$ și $$C(5;5)$$. Ce arată verificarea ecuației $$3x-2y=5$$?

Toate trei aparțin dreptei și sunt coliniare.

Numai A și B aparțin dreptei.

Niciun punct nu aparține dreptei.

Pentru $$A(-4;6)$$, $$B(2;3)$$ și $$C(8;0)$$, verificarea arată aceeași dreaptă. Ce poți spune despre C față de segmentul AB?

C este coliniar cu A și B, dar este în afara segmentului AB.

C aparține sigur segmentului AB.

C este mijlocul segmentului AB.

C nu poate fi coliniar cu A și B.

Grupul $$A(-2;1)$$, $$B(1;1)$$, $$C(4;1)$$ este aliniat, la fel ca grupul $$B(1;1)$$, $$D(1;-3)$$, $$E(1;6)$$. Sunt toate cele cinci poziții pe o singură dreaptă?

Nu: cele două grupuri sunt pe drepte diferite.

Da, deoarece B aparține ambelor grupuri.

Da, deoarece fiecare grup are trei poziții.

Da, deoarece toate coordonatele sunt întregi.

Cum aflu parametrul pentru puncte coliniare?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Apartenență și limitele concluziei

Scrii ecuația dreptei prin cele două puncte fixe și ceri ca al treilea să o verifice. Pentru $A (1, 2)$ , $B (4, 11)$ și $C (t, - 4)$ : panta este $\frac{9}{3} = 3$ , deci dreapta este $y = 3 x - 1$ . Condiția $- 4 = 3 t - 1$ dă $t = - 1$ , adică $C (- 1, - 4)$ . Verificare: $3 \cdot (- 1) - 1 = - 4$ . La final controlezi că $C$ nu coincide cu $A$ sau cu $B$ , altfel cele trei puncte nu ar fi distincte.

Pentru alinierea unor puncte, alegem două poziții distincte și stabilim dreapta lor. Fiecare poziție rămasă trebuie să satisfacă ecuația acesteia. Dacă un singur punct nu trece verificarea, întregul grup nu poate fi declarat coliniar.

O verticală se controlează prin abscisa constantă, iar o orizontală prin ordonata constantă. Comparația pantelor se folosește doar dacă numitorii sunt nenuli. Egalitatea produselor diferențelor oferă un control fără împărțiri, dar nu înlocuiește condițiile suplimentare din întrebare.

Apartenența la dreaptă nu impune așezarea între două capete. După verificarea alinierii, o cerință despre segment necesită compararea coordonatei care variază cu valorile capetelor. Distincția pozițiilor se controlează separat, mai ales când o coordonată depinde de un parametru.

Două grupuri aliniate care au o singură poziție comună pot urma direcții diferite. În schimb, o deplasare comună a întregii configurații păstrează diferențele de coordonate și alinierea. Pentru date considerate exacte, o abatere nenulă nu se ignoră fiindcă desenul arată aproape drept. O discuție despre măsurători aproximative cere precizie sau toleranțe anunțate, fără să inventăm un prag convenabil după calcul.

De reținut

dreapta prin două puncte fixe, apoi al treilea punct verifică ecuația
test fără împărțiri: $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$
coliniar nu înseamnă între capete

Greșeala tipică

Se declară punctele coliniare pentru că desenul pare drept; pentru date exacte, o singură diferență nenulă în verificare respinge coliniaritatea.

Exerciții din această mini-lecție

Punctele sunt $A (1; - 1)$ , $B (3; 2)$ și $C (5; 5)$ . Ce arată verificarea ecuației $3 x - 2 y = 5$ ?
- a) Numai A aparține dreptei.
- b) Numai A și B aparțin dreptei.
- c) Toate trei aparțin dreptei și sunt coliniare.
- d) Niciun punct nu aparține dreptei.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Toate trei aparțin dreptei și sunt coliniare.

Înlocuirile dau $3 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1) = 5$ , $3 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 5$ și $3 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 5$ . Ecuația este aceeași pentru toate.
Pentru $A (- 4; 6)$ , $B (2; 3)$ și $C (8; 0)$ , verificarea arată aceeași dreaptă. Ce poți spune despre C față de segmentul AB?
- a) C aparține sigur segmentului AB.
- b) C este coliniar cu A și B, dar este în afara segmentului AB.
- c) C este mijlocul segmentului AB.
- d) C nu poate fi coliniar cu A și B.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) C este coliniar cu A și B, dar este în afara segmentului AB.

Dreapta este $y = - x /2 + 4$ . Abscisa lui C depășește ambele abscise ale capetelor, deci poziția este pe prelungire.
Grupul $A (- 2; 1)$ , $B (1; 1)$ , $C (4; 1)$ este aliniat, la fel ca grupul $B (1; 1)$ , $D (1; - 3)$ , $E (1; 6)$ . Sunt toate cele cinci poziții pe o singură dreaptă?
- a) Da, deoarece B aparține ambelor grupuri.
- b) Da, deoarece fiecare grup are trei poziții.
- c) Da, deoarece toate coordonatele sunt întregi.
- d) Nu: cele două grupuri sunt pe drepte diferite.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Nu: cele două grupuri sunt pe drepte diferite.

Primul grup este pe $y = 1$ , iar al doilea pe $x = 1$ . Cele două drepte au un punct comun, fără să coincidă.

Întrebări conexe

Cum verific coliniaritatea a trei puncte fără împărțiri?

Compari produsele încrucișate ale diferențelor: $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A})$ și $(x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ . Pentru $A (0, 1)$ , $B (2, 5)$ , $C (5, 11)$ obții $2 \cdot 10 = 20$ și $5 \cdot 4 = 20$ , deci punctele sunt coliniare. Metoda funcționează și pentru drepte verticale.

Ce arată coliniaritatea unor puncte obținute din măsurători?

Arată că datele sunt compatibile cu o lege liniară. Punctele $(1, 4)$ , $(2, 7)$ , $(3, 10)$ stau pe dreapta $y = 3 x + 1$ , deci mărimea crește cu $3$ la fiecare unitate. Legea rămâne o ipoteză în afara intervalului măsurat.

Cum verific dacă punctul coliniar se află între celelalte două?

După ce ai arătat coliniaritatea, compari coordonata care variază. Pentru $A (- 1, 1)$ , $B (5, 4)$ și $C (3, 3)$ , punctul $C$ verifică dreapta $A B$ , iar abscisa lui, $3$ , este între $- 1$ și $5$ . Deci $C$ aparține segmentului $[A B]$ .

Ce valori ale parametrului se exclud la coliniaritate?

Cele pentru care punctul variabil coincide cu unul dintre punctele fixe. Dacă $C (t, t + 1)$ trebuie să fie coliniar cu $A (0, 1)$ și $B (2, 3)$ , orice $t$ convine, fiindcă $C$ se află pe $y = x + 1$ . Dar pentru $t = 0$ sau $t = 2$ punctele nu mai sunt distincte.

Cum verific dacă trei localități de pe hartă sunt în linie dreaptă?

Folosești coordonatele lor, de exemplu $(0, 0)$ , $(12, 5)$ și $(36, 15)$ , în kilometri. Produsele încrucișate sunt $12 \cdot 15 = 180$ și $36 \cdot 5 = 180$ , egale, deci localitățile sunt coliniare. A treia este de trei ori mai departe decât a doua pe aceeași direcție.

Oamenii mai întreabă și: parametrul pentru trei puncte coliniare · coordonata necunoscută pentru aliniere · pentru ce t sunt punctele coliniare · trei puncte coliniare cu parametru