Exerciții rezolvate — Congruența triunghiurilor (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Congruența triunghiurilor", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. În triunghiurile $MNP$ și $QRS$ avem $[MN]\equiv [QR]$, $\angle M\equiv \angle Q$ și $[MP]\equiv [QS]$, iar unghiul $\angle M$ este cuprins între laturile $[MN]$ și $[MP]$. Ce criteriu de congruență se aplică?

   • a) $LUL$
   • b) $ULU$
   • c) $LLL$
   • d) Nu se poate aplica niciun criteriu
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $LUL$

   Avem 2 laturi ($[MN]$ și $[MP]$) și unghiul $\angle M$ cuprins între ele. Tiparul este L-U-L, deci se aplică criteriul LUL.

   Lecția: Aplicații ale criteriilor de congruență →

2. Triunghiurile dreptunghice $ABC$ ($\hat{A}=90°$) și $DEF$ ($\hat{D}=90°$) au catetele $AB=DE=7\text{ cm}$ și $AC=DF=9\text{ cm}$. Ce criteriu garantează congruența celor două triunghiuri?

   • a) IC (ipotenuză-catetă)
   • b) CC (catetă-catetă)
   • c) CU (catetă-unghi ascuțit)
   • d) IU (ipotenuză-unghi ascuțit)
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) CC (catetă-catetă)

   $AB$, $AC$ sunt catetele lui $△ABC$, iar $DE$, $DF$ sunt catetele lui $△DEF$. Ambele perechi de catete sunt egale, deci se aplică cazul CC. Între cele două catete se află chiar unghiul drept, deci tiparul este de fapt LUL.

   Lecția: Criteriile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice →

3. În triunghiurile $MNP$ și $XYZ$ se știe: $MN\equiv XY$, $NP\equiv YZ$, $PM\equiv ZX$. Ce criteriu de congruență se aplică?

   • a) Criteriul LUL
   • b) Criteriul ULU
   • c) Criteriul LLL
   • d) Nu se poate aplica niciun criteriu
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Criteriul LLL

   Avem exact trei perechi de laturi respectiv egale ($MN\equiv XY$, $NP\equiv YZ$, $PM\equiv ZX$) și niciun unghi menționat. Aceasta este exact configurația criteriului LLL (latură-latură-latură), deci $△MNP\equiv △XYZ$.

   Lecția: Criteriul de congruență LLL (latură-latură-latură) →

4. În triunghiurile $DEF$ și $GHI$ se dau $DE\equiv GH$, $EF\equiv HI$ și $\hat{D}\equiv \hat{G}$. Se poate aplica direct criteriul LUL pentru a demonstra $△DEF\equiv △GHI$?

   • a) Da, deoarece $\hat{D}$ este unghiul cuprins între $DE$ și $EF$
   • b) Da, deoarece toate cele trei laturi sunt implicit congruente
   • c) Nu, deoarece unghiul $\hat{D}$ nu este cuprins între laturile date $DE$ și $EF$
   • d) Nu, deoarece lipsește a treia pereche de laturi congruente
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Nu, deoarece unghiul $\hat{D}$ nu este cuprins între laturile date $DE$ și $EF$

   Laturile date congruente sunt $DE$ și $EF$, care se întâlnesc în vârful $E$. Deci unghiul cuprins între ele ar fi $\hat{E}$, nu $\hat{D}$. Unghiul dat congruent, $\hat{D}$, este la un alt vârf, deci nu este cuprins între laturile date — nu avem un caz LUL valid din aceste informații.

   Lecția: Criteriul de congruență LUL (latură-unghi-latură) →

5. În $△RST$, care este latura cuprinsă între $\angle S$ și $\angle T$?

   • a) $[RS]$
   • b) $[ST]$
   • c) $[RT]$
   • d) Niciuna dintre laturi
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $[ST]$

   Latura cuprinsă între două unghiuri are la capete chiar vârfurile acelor unghiuri. Latura $[ST]$ are capătul $S$ (vârful $\angle S$) și capătul $T$ (vârful $\angle T$), deci este cea cuprinsă între $\angle S$ și $\angle T$.

   Lecția: Criteriul de congruență ULU (unghi-latură-unghi) →

6. Fie $O$ mijlocul comun al segmentelor $EF$ și $GH$, cu $E$, $O$, $F$ coliniare și $G$, $O$, $H$ coliniare. Ce criteriu de congruență se aplică triunghiurilor $△EOG$ și $△FOH$ pentru a demonstra că $EG=FH$?

   • a) LLL (latura-latura-latura)
   • b) LUL (latura-unghi-latura)
   • c) ULU (unghi-latura-unghi)
   • d) Niciunul, datele nu sunt suficiente
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) LUL (latura-unghi-latura)

   Avem $OE=OF$ și $OG=OH$ (pentru că $O$ este mijlocul ambelor segmente), iar $\widehat{EOG}\equiv \widehat{FOH}$ ca unghiuri opuse la vârf — „cadoul gratuit” al figurii. Unghiul este cuprins între cele două perechi de laturi egale, deci se aplică LUL: $△EOG\equiv △FOH$, de unde $EG=FH$ ca elemente corespondente.

   Lecția: Metoda triunghiurilor congruente →

7. Se dă $△XYZ\equiv △DEF$, cu corespondența $X\leftrightarrow D$, $Y\leftrightarrow E$, $Z\leftrightarrow F$. Ce unghi corespunde unghiului $\hat{Y}$?

   • a) $\hat{D}$
   • b) $\hat{E}$
   • c) $\hat{F}$
   • d) Niciunul dintre acestea
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\hat{E}$

   Corespondența vârfurilor este $X\leftrightarrow D$, $Y\leftrightarrow E$, $Z\leftrightarrow F$. Unghiul stă în vârful său, deci $\hat{Y}$ corespunde lui $\hat{E}$, adică $\hat{Y}\equiv \hat{E}$. Răspuns corect: b.

   Lecția: Triunghiuri congruente. Elemente corespondente →

8. Într-o problemă avem $[XY]\equiv [UV]$, $[YZ]\equiv [VW]$ și $\angle X\equiv \angle U$, dar unghiul $\angle X$ nu este cuprins între laturile $[XY]$ și $[YZ]$ (este lângă $[XY]$, în afara lor). Ce putem spune despre triunghiuri?

   • a) Sunt congruente prin criteriul $LUL$
   • b) Avem combinația $LLU$, care nu garantează congruența
   • c) Sunt congruente prin criteriul $ULU$
   • d) Sunt congruente automat, indiferent de poziția unghiului
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Avem combinația $LLU$, care nu garantează congruența

   Deși avem 2 laturi și 1 unghi, unghiul nu este între laturi, deci structura este LLU. Această combinație nu este criteriu de congruență — pot exista triunghiuri diferite cu aceleași date LLU.

   Lecția: Aplicații ale criteriilor de congruență →

9. Triunghiurile dreptunghice $MNP$ ($\hat{N}=90°$) și $QRS$ ($\hat{R}=90°$) au ipotenuzele $MP=QS=13\text{ cm}$ și catetele $NP=RS=5\text{ cm}$. Ce criteriu se aplică?

   • a) CC (catetă-catetă)
   • b) IC (ipotenuză-catetă)
   • c) CU (catetă-unghi ascuțit)
   • d) IU (ipotenuză-unghi ascuțit)
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) IC (ipotenuză-catetă)

   Unghiul drept fiind în $N$, respectiv $R$, ipotenuzele sunt $MP$ și $QS$, iar catetele opuse unghiurilor ascuțite din figură includ $NP$ și $RS$. Avem o pereche de ipotenuze egale și o pereche de catete egale ⇒ cazul IC, singurul criteriu de acest tip valabil doar la triunghiuri dreptunghice.

   Lecția: Criteriile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice →

10. Care dintre următoarele seturi de trei lungimi nu poate forma un triunghi (deci nu are sens să aplicăm criteriul LLL pentru el)?

    • a) $4$ cm, $5$ cm, $6$ cm
    • b) $3$ cm, $3$ cm, $3$ cm
    • c) $2$ cm, $3$ cm, $7$ cm
    • d) $7$ cm, $8$ cm, $9$ cm
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $2$ cm, $3$ cm, $7$ cm

    Verificăm inegalitatea triunghiului pentru latura cea mai mare: la varianta (c), $7>2+3=5$, deci inegalitatea nu este respectată și niciun triunghi nu se poate forma cu aceste lungimi. La celelalte variante, latura cea mai mare este mereu mai mică decât suma celorlalte două, deci triunghiul există și abia atunci criteriul LLL îl fixează în mod unic.

    Lecția: Criteriul de congruență LLL (latură-latură-latură) →

11. Segmentele $PQ$ și $RS$ se intersectează în punctul $T$, care este mijlocul comun al ambelor segmente. Ce afirmație justifică faptul că $\widehat{PTR}\equiv \widehat{QTS}$, pereche necesară pentru a aplica LUL în $△PTR$ și $△QTS$?

    • a) Sunt unghiuri opuse la vârf
    • b) Sunt unghiuri alterne interne
    • c) Sunt unghiuri suplementare
    • d) Sunt unghiuri corespondente
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Sunt unghiuri opuse la vârf

    Unghiurile $\widehat{PTR}$ și $\widehat{QTS}$ sunt formate de aceleași două drepte care se intersectează în $T$, fiind situate de o parte și de alta a punctului de intersecție — deci sunt unghiuri opuse la vârf, care sunt întotdeauna congruente. Împreună cu $PT\equiv QT$ și $RT\equiv ST$ (T fiind mijlocul comun), obținem exact tripletul latură-unghi-latură necesar pentru LUL.

    Lecția: Criteriul de congruență LUL (latură-unghi-latură) →

12. În $△GHI$ și $△JKL$ se cunosc $\angle G\equiv \angle J$, $\angle H\equiv \angle K$ și $[GI]\equiv [JL]$. Se poate aplica direct criteriul ULU cu aceste date?

    • a) Da, direct, pentru că avem două unghiuri și o latură oarecare
    • b) Nu direct, deoarece $[GI]$ nu e cuprinsă între $\angle G$ și $\angle H$; dar, calculând al treilea unghi ($\angle I\equiv \angle L$), configurația devine ULU pentru perechea $\{\angle G,\angle I\}$
    • c) Nu, și aceste date nu pot conduce niciodată la congruență
    • d) Da, dar criteriul folosit este de fapt LUL
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Nu direct, deoarece $[GI]$ nu e cuprinsă între $\angle G$ și $\angle H$; dar, calculând al treilea unghi ($\angle I\equiv \angle L$), configurația devine ULU pentru perechea $\{\angle G,\angle I\}$

    Latura $[GI]$ este cuprinsă între $\angle G$ și $\angle I$, nu între $\angle G$ și $\angle H$, deci ULU nu se aplică direct cu perechea dată. Totuși, din $\angle G\equiv \angle J$ și $\angle H\equiv \angle K$ rezultă $\angle I\equiv \angle L$ (suma unghiurilor $=180°$); acum $[GI]$ este exact între $\angle G$ și $\angle I$, iar $[JL]$ între $\angle J$ și $\angle L$, deci configurația devine ULU, iar $△GHI\equiv △JKL$.

    Lecția: Criteriul de congruență ULU (unghi-latură-unghi) →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.