Exerciții rezolvate — Divizibilitatea numerelor naturale (clasa a V-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Divizibilitatea numerelor naturale", clasa a V-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care dintre numerele următoare este divizibil cu $2$?

   • a) $4623$
   • b) $7358$
   • c) $9111$
   • d) $2005$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $7358$

   Un număr este divizibil cu $2$ dacă ultima cifră este pară ($0,2,4,6,8$). $7358$ se termină în $8$, cifră pară → divizibil cu $2$. Celelalte se termină în $3$, $1$ și $5$, toate impare.

   Lecția: Criteriile de divizibilitate cu 2, cu 5 și cu 10, 100, 1000 →

2. Care dintre următoarele numere se divide cu $3$?

   • a) $812$
   • b) $927$
   • c) $1.045$
   • d) $638$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $927$

   Calculăm suma cifrelor fiecărui număr: $812\to 8+1+2=11$ (nu se divide cu $3$); $927\to 9+2+7=18$, iar $18:3=6$, deci $927$ se divide cu $3$; $1.045\to 1+0+4+5=10$ (nu); $638\to 6+3+8=17$ (nu). Răspunsul corect este b.

   Lecția: Criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9 →

3. Care dintre numerele următoare este divizibil cu $4$?

   • a) $3418$
   • b) $6852$
   • c) $9127$
   • d) $5170$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $6852$

   Privim ultimele două cifre ale fiecărui număr: $18$, $52$, $27$, $70$. Verificăm împărțirea la $4$: $18:4$ rest $2$; $52:4=13$ rest $0$ ✓; $27:4$ rest $3$; $70:4$ rest $2$. Doar $52$ este divizibil cu $4$, deci $6852$ este divizibil cu $4$.

   Lecția: Criteriile de divizibilitate cu 4 și cu 25 (extindere) →

4. Care dintre următoarele afirmații despre numerele $45$ și $9$ este adevărată?

   • a) $45$ este divizor al lui $9$
   • b) $9$ este divizor al lui $45$
   • c) $45$ nu este divizibil cu $9$
   • d) $9$ este multiplu al lui $45$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $9$ este divizor al lui $45$

   Facem împărțirea: $45:9=5$, rest $0$. Restul fiind $0$, avem $45⋮9$, adică $9$ este divizor al lui $45$ (și, echivalent, $45$ este multiplu al lui $9$, nu invers).

   Lecția: Divizor și multiplu al unui număr natural. Relația de divizibilitate →

5. Care este mulțimea tuturor divizorilor numărului 33?

   • a) $D_{33}=\{1,3,11,33\}$
   • b) $D_{33}=\{1,3,9,33\}$
   • c) $D_{33}=\{1,11,33\}$
   • d) $D_{33}=\{1,3,11,22,33\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $D_{33}=\{1,3,11,33\}$

   Folosim trucul perechilor: $1\cdot 33=33$, $3\cdot 11=33$. Verificăm 2, 4–10: niciunul nu divide exact pe 33. Perechile se opresc la 3 și 11 (nu mai există alt divizor între ele). Așadar $D_{33}=\{1,3,11,33\}$ — varianta a.

   Lecția: Divizori comuni. Cel mai mare divizor comun (cmmdc) prin enumerare →

6. Care este $\text{cmmmc}(9,15)$?

   • a) 45
   • b) 135
   • c) 9
   • d) 15
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) 45

   Multiplii lui 9: $9,18,27,36,45,\dots$ Multiplii lui 15: $15,30,45,\dots$ Primul multiplu comun nenul este 45. Verificare: $45:9=5$ și $45:15=3$, ambele fără rest. Deci $\text{cmmmc}(9,15)=45$.

   Lecția: Multipli comuni. Cel mai mic multiplu comun (cmmmc) prin enumerare →

7. Care dintre următoarele numere este număr prim?

   • a) $57$
   • b) $63$
   • c) $41$
   • d) $65$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $41$

   Verificăm fiecare număr: $57=3\times 19$ (compus), $63=9\times 7$ (compus), $65=5\times 13$ (compus). Pentru $41$: nu se împarte la $2$ (este impar), nici la $3$ ($4+1=5$, nu se împarte la $3$), nici la $5$ (nu se termină în $0$ sau $5$); cum $7\times 7=49>41$, ne putem opri. Singurii divizori ai lui $41$ sunt $1$ și $41$, deci este prim.

   Lecția: Numere prime și numere compuse →

8. Un grădinar are 45 de trandafiri și 27 de lalele. Vrea să facă buchete identice, fiecare cu același număr de trandafiri și același număr de lalele, fără flori rămase, în număr maxim de buchete. Ce metodă folosești și care este numărul maxim de buchete?

   • a) cmmmc; 135 buchete
   • b) cmmdc; 9 buchete
   • c) cmmdc; 15 buchete
   • d) cmmmc; 9 buchete
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) cmmdc; 9 buchete

   Grupăm cantități existente în părți egale cât mai mari, fără rest → cmmdc. Enumerăm divizorii: ai lui 45 sunt $1,3,5,9,15,45$, iar ai lui 27 sunt $1,3,9,27$. Divizorii comuni sunt $1,3,9$, iar cel mai mare este $9$. Deci sunt 9 buchete, fiecare cu $45:9=5$ trandafiri și $27:9=3$ lalele.

   Lecția: Probleme de divizibilitate din viața cotidiană →

9. Care dintre numerele următoare este divizibil cu $5$, dar nu este divizibil cu $2$?

   • a) $3450$
   • b) $8235$
   • c) $6120$
   • d) $9998$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $8235$

   $8235$ se termină în $5$ → divizibil cu $5$; cum $5$ este impară, nu este divizibil cu $2$. $3450$ și $6120$ se termină în $0$ (divizibile și cu $2$, și cu $5$), iar $9998$ se termină în $8$ (divizibil cu $2$, nu cu $5$).

   Lecția: Criteriile de divizibilitate cu 2, cu 5 și cu 10, 100, 1000 →

10. Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată, conform criteriilor de divizibilitate cu $3$ și cu $9$?

    • a) Dacă un număr se divide cu $3$, atunci se divide neapărat și cu $9$.
    • b) Dacă un număr se divide cu $9$, atunci se divide neapărat și cu $3$.
    • c) Divizibilitatea cu $3$ și cu $9$ se stabilește privind doar ultima cifră a numărului.
    • d) Suma cifrelor unui număr nu are nicio legătură cu divizibilitatea sa cu $9$.
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Dacă un număr se divide cu $9$, atunci se divide neapărat și cu $3$.

    Deoarece $9=3\cdot 3$, orice grupă de $9$ conține exact trei grupe de $3$, așa că un număr divizibil cu $9$ este întotdeauna divizibil și cu $3$ — afirmația b este adevărată. Reciproca (afirmația a) este falsă: de exemplu $51$ se divide cu $3$ ($5+1=6$), dar nu cu $9$. Afirmația c este falsă, fiindcă la $3$ și $9$ contează suma cifrelor, nu ultima cifră. Afirmația d este falsă, criteriul cu $9$ se bazează exact pe suma cifrelor.

    Lecția: Criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9 →

11. Care dintre numerele următoare este divizibil cu $25$?

    • a) $2840$
    • b) $6175$
    • c) $4415$
    • d) $3960$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $6175$

    Un număr este divizibil cu $25$ dacă ultimele lui două cifre formează $00$, $25$, $50$ sau $75$. Ultimele două cifre sunt: $40$, $75$, $15$, $60$. Singura valoare din listă este $75$, deci $6175$ este divizibil cu $25$ (verificare: $6175:25=247$).

    Lecția: Criteriile de divizibilitate cu 4 și cu 25 (extindere) →

12. Fie egalitatea $56=7\cdot 8$. Care dintre afirmațiile de mai jos este FALSĂ?

    • a) $56$ este multiplu al lui $7$
    • b) $56$ este multiplu al lui $8$
    • c) $7$ este divizor al lui $56$
    • d) $56$ este divizor al lui $8$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $56$ este divizor al lui $8$

    Din $56=7\cdot 8$ rezultă că $56$ este multiplul (numărul mare), iar $7$ și $8$ sunt divizorii lui (numerele mici). Afirmația falsă este (d): de fapt $8$ este divizor al lui $56$, nu invers — $56$ nu poate fi divizor al unui număr mai mic decât el.

    Lecția: Divizor și multiplu al unui număr natural. Relația de divizibilitate →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.