Exerciții rezolvate — Fracții algebrice (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Fracții algebrice", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Calculează, pentru $x\ne 3$: $\frac{6x+1}{x-3}-\frac{2x-4}{x-3}$.

   • a) $\frac{4x+5}{x-3}$
   • b) $\frac{4x-3}{x-3}$
   • c) $\frac{8x-3}{x-3}$
   • d) $\frac{4x+5}{x+3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{4x+5}{x-3}$

   Numitorii sunt egali. Punem al doilea numărător în paranteză: $(6x+1)-(2x-4)=6x+1-2x+4=4x+5$. Minusul schimbă semnul lui $-4$ în $+4$, deci rezultatul este $\frac{4x+5}{x-3}$.

   Lecția: Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice →

2. Amplifică fracția $\frac{4}{x}$ cu factorul $x$. Ce rezultat obții?

   • a) $\frac{4x}{x^2}$
   • b) $\frac{4+x}{2x}$
   • c) $\frac{4}{x^2}$
   • d) $\frac{x}{4x}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{4x}{x^2}$

   Amplificarea înseamnă înmulțire, nu adunare: înmulțim și numărătorul, și numitorul cu $x$: $\frac{4\cdot x}{x\cdot x}=\frac{4x}{x^2}$.

   Lecția: Amplificarea fracțiilor algebrice →

3. Care este valoarea interzisă a fracției $\frac{x+3}{x-7}$?

   • a) $x=3$
   • b) $x=-3$
   • c) $x=7$
   • d) $x=-7$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $x=7$

   Punem numitorul egal cu zero: $x-7=0\Rightarrow x=7$. Numărătorul $x+3$ nu contează pentru condiția de existență.

   Lecția: Fracții algebrice. Noțiune și condiții de existență (domeniul de definiție) →

4. Calculează $\frac{3x}{4}\cdot \frac{8}{9x^2}$, cu $x\ne 0$.

   • a) $\frac{2}{3x}$
   • b) $\frac{2x}{3}$
   • c) $\frac{6}{9x^2}$
   • d) $\frac{3}{2x}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{2}{3x}$

   Simplificăm încrucișat: $3$ cu $9$ dau $1$ și $3$; $8$ cu $4$ dau $2$ și $1$; $x$ (numărător) cu $x^2$ (numitor) dau $1$ și $x$. Rezultă $\frac{1\cdot 2}{3\cdot x}=\frac{2}{3x}$.

   Lecția: Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice →

5. Efectuează, respectând ordinea operațiilor: $E=\frac{4}{x}-\frac{8}{x^2}:\frac{2}{x}$, pentru $x\ne 0$.

   • a) $E=0$
   • b) $E=\frac{8}{x}$
   • c) $E=\frac{4}{x}$
   • d) expresia nu are sens pentru niciun $x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $E=0$

   Întâi împărțirea: $\frac{8}{x^2}:\frac{2}{x}=\frac{8}{x^2}\cdot \frac{x}{2}=\frac{4}{x}$. Apoi scăderea: $E=\frac{4}{x}-\frac{4}{x}=0$.

   Lecția: Ordinea operațiilor cu fracții algebrice. Aducerea la forme mai simple →

6. Calculează ${\left(\frac{4x}{3y}\right)}^2$, pentru $y\ne 0$.

   • a) $\frac{16x^2}{9y^2}$
   • b) $\frac{8x^2}{6y^2}$
   • c) $\frac{16x}{9y}$
   • d) $\frac{4x^2}{3y^2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{16x^2}{9y^2}$

   Se ridică la pătrat atât numărătorul, cât și numitorul, coeficient inclus: $(4x{)}^2=16x^2$ și $(3y{)}^2=9y^2$, deci rezultatul este $\frac{16x^2}{9y^2}$.

   Lecția: Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice →

7. Simplifică fracția $\frac{8x^3}{12x}$ (pentru $x\ne 0$). Care este forma ireductibilă?

   • a) $\frac{2x^2}{3}$
   • b) $\frac{8x^2}{12}$
   • c) $\frac{2x}{3}$
   • d) $\frac{4x^2}{3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{2x^2}{3}$

   Factorul comun este $4x$: $\frac{8x^3}{12x}=\frac{4x\cdot 2x^2}{4x\cdot 3}=\frac{2x^2}{3}$. Coeficienții se simplifică între ei ($8:4=2$, $12:4=3$), iar la puteri scazi exponenții lui $x$ ($x^3$ sus, $x^1$ jos, rămâne $x^2$ sus).

   Lecția: Simplificarea fracțiilor algebrice →

8. Adună, pentru $x\ne 0$: $\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}$.

   • a) $\frac{2x+5}{x^2}$
   • b) $\frac{7}{x^3}$
   • c) $\frac{2x+5}{x}$
   • d) $\frac{7}{x^2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{2x+5}{x^2}$

   Numitorii sunt $x$ și $x^2$, deci cel mai simplu numitor comun este $x^2$. Amplificăm prima fracție cu $x$: $\frac{2x}{x^2}+\frac{5}{x^2}=\frac{2x+5}{x^2}$. Numărătorii nu se adună separat de numitori (varianta b este greșeala tipică).

   Lecția: Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice →

9. Vrei să aduci fracția $\frac{6}{x-2}$ la numitorul $x^2-4$. Care este factorul de amplificare potrivit?

   • a) $x-2$
   • b) $x+2$
   • c) $x^2$
   • d) $4$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $x+2$

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Numitorul actual este $x-2$, deci ca să ajungem la $(x-2)(x+2)$ trebuie să înmulțim cu $x+2$.

   Lecția: Amplificarea fracțiilor algebrice →

10. Care este domeniul de definiție al fracției $\frac{4}{(x+2)(x-5)}$?

    • a) $D=\mathbb{R}\setminus \{2,5\}$
    • b) $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,5\}$
    • c) $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,-5\}$
    • d) $D=\mathbb{R}\setminus \{2,-5\}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,5\}$

    Un produs e zero când cel puțin un factor e zero: $x+2=0\Rightarrow x=-2$ sau $x-5=0\Rightarrow x=5$. Deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,5\}$.

    Lecția: Fracții algebrice. Noțiune și condiții de existență (domeniul de definiție) →

11. La împărțirea $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}$, ce condiție de existență apare în plus față de înmulțire?

    • a) $A\ne 0$
    • b) $C\ne 0$
    • c) $D\ne 0$
    • d) Nu apare nicio condiție nouă
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $C\ne 0$

    Împărțirea transformă $\frac{C}{D}$ în inversa ei $\frac{D}{C}$, deci $C$ (numărătorul inițial al fracției-împărțitor) ajunge la numitor și trebuie să fie nenul. Condițiile $B\ne 0$ și $D\ne 0$ existau deja și la înmulțire.

    Lecția: Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice →

12. Care este ordinea corectă de efectuare a operațiilor într-o expresie cu fracții algebrice?

    • a) adunările/scăderile, apoi înmulțirile/împărțirile
    • b) parantezele, puterile, înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile
    • c) strict de la stânga la dreapta, indiferent de operație
    • d) întâi simplificările, indiferent de restul expresiei
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) parantezele, puterile, înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile

    Regula este aceeași ca la numere: paranteze → puteri (și radicali) → înmulțiri/împărțiri (stânga-dreapta) → adunări/scăderi (stânga-dreapta).

    Lecția: Ordinea operațiilor cu fracții algebrice. Aducerea la forme mai simple →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.