Exerciții rezolvate — Patrulaterul convex. Paralelogramul (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Patrulaterul convex. Paralelogramul", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care este raportul în care centrul de greutate $G$ împarte o mediană, măsurat dinspre vârf spre mijlocul laturii opuse?

   • a) $1:1$ (la mijloc)
   • b) $2:1$
   • c) $3:1$
   • d) $1:2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $2:1$

   $G$ nu este la mijlocul medianei. Bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre latură, deci raportul este $2:1$, adică $AG=2\cdot GM$.

   Lecția: Centrul de greutate al triunghiului. Concurența medianelor →

2. Un patrulater convex are o pereche de laturi opuse egale, iar cealaltă pereche de laturi opuse paralelă. Este patrulaterul neapărat paralelogram?

   • a) Da, conform Criteriului 5
   • b) Da, conform Criteriului 2
   • c) Nu, poate fi un trapez isoscel
   • d) Nu, un astfel de patrulater nu poate exista
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Nu, poate fi un trapez isoscel

   Criteriul 5 cere ca paralelismul și congruența să cadă pe aceeași pereche de laturi opuse. Când egalitatea și paralelismul sunt pe perechi diferite, figura poate fi un trapez isoscel (laturile neparalele egale, bazele paralele), care nu este paralelogram.

   Lecția: Condiții ca un patrulater să fie paralelogram →

3. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[AC]$. Dacă $BC=20$ cm, cât măsoară linia mijlocie $MN$?

   • a) $5$ cm
   • b) $10$ cm
   • c) $20$ cm
   • d) $40$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $10$ cm

   Linia mijlocie este jumătate din a treia latură: $MN=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10$ cm.

   Lecția: Linia mijlocie în triunghi →

4. În paralelogramul $ABCD$ se știe că $\hat{A}=68^{\circ }$. Cât măsoară $\hat{C}$?

   • a) $68^{\circ }$
   • b) $112^{\circ }$
   • c) $180^{\circ }$
   • d) $34^{\circ }$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $68^{\circ }$

   $\hat{A}$ și $\hat{C}$ sunt unghiuri opuse într-un paralelogram, iar unghiurile opuse sunt congruente. Deci $\hat{C}=\hat{A}=68^{\circ }$.

   Lecția: Paralelogramul: definiție și proprietăți (laturi și unghiuri) →

5. În paralelogramul $MNPQ$, diagonalele $MP$ și $NQ$ se taie în $O$. Se dau $MP=22$ cm și $NQ=16$ cm. Cât este $MO$?

   • a) $11$ cm
   • b) $8$ cm
   • c) $22$ cm
   • d) $16$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $11$ cm

   $O$ înjumătățește fiecare diagonală, deci $MO=\frac{MP}{2}=\frac{22}{2}=11$ cm.

   Lecția: Paralelogramul: proprietatea diagonalelor →

6. Într-un patrulater convex $ABCD$, $\hat{A}=85°$, $\hat{B}=95°$ și $\hat{C}=100°$. Cât este $\hat{D}$?

   • a) $70°$
   • b) $80°$
   • c) $90°$
   • d) $100°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $80°$

   Suma unghiurilor patrulaterului este $360°$. Adunăm unghiurile cunoscute: $85°+95°+100°=280°$. Deci $\hat{D}=360°-280°=80°$.

   Lecția: Patrulaterul convex. Suma măsurilor unghiurilor (360°) →

7. Într-un patrulater $MNPQ$ se știe că $[MN]\parallel [QP]$ și $MN=QP$ (adică o pereche de laturi opuse este simultan paralelă și congruentă). Ce poți afirma despre $MNPQ$?

   • a) $MNPQ$ este paralelogram, conform condiției cu laturi opuse paralele și congruente.
   • b) $MNPQ$ este paralelogram doar dacă și cealaltă pereche de laturi este paralelă.
   • c) Nu putem afirma nimic, mai trebuie verificate și unghiurile.
   • d) $MNPQ$ este paralelogram doar dacă diagonalele sunt egale.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $MNPQ$ este paralelogram, conform condiției cu laturi opuse paralele și congruente.

   Este exact condiția 3 de recunoaștere a paralelogramului: dacă o pereche de laturi opuse este în același timp paralelă și congruentă, patrulaterul este paralelogram — nu mai e nevoie de nicio altă verificare.

   Lecția: Probleme de sinteză: paralelogramul și aplicații în triunghi →

8. Într-un triunghi, medianele $[AM]$, $[BN]$ și $[CP]$ se intersectează în punctul $G$. Cum se numește $G$ și ce proprietate are?

   • a) Centrul de greutate; este mijlocul fiecărei mediane
   • b) Centrul de greutate; împarte fiecare mediană în raport $2:1$ de la vârf
   • c) Ortocentrul; se află pe fiecare înălțime a triunghiului
   • d) Centrul cercului circumscris; este egal depărtat de vârfuri
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Centrul de greutate; împarte fiecare mediană în raport $2:1$ de la vârf

   Punctul de intersecție al medianelor se numește centru de greutate ($G$) și împarte fiecare mediană astfel încât bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre latură, adică raportul $2:1$.

   Lecția: Centrul de greutate al triunghiului. Concurența medianelor →

9. În patrulaterul convex $ABCD$ avem $\hat{A}=72°$, $\hat{C}=72°$ și $\hat{B}=108°$. Cât măsoară $\hat{D}$ și este $ABCD$ paralelogram?

   • a) $\hat{D}=108°$, da, este paralelogram (Criteriul 3)
   • b) $\hat{D}=72°$, nu este paralelogram
   • c) $\hat{D}=88°$, da, este paralelogram
   • d) $\hat{D}=108°$, nu este paralelogram
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\hat{D}=108°$, da, este paralelogram (Criteriul 3)

   Suma unghiurilor este $360°$, deci $\hat{D}=360°-72°-108°-72°=108°$. Atunci $\hat{A}=\hat{C}=72°$ și $\hat{B}=\hat{D}=108°$: ambele perechi de unghiuri opuse sunt congruente, deci, conform Criteriului 3, $ABCD$ este paralelogram.

   Lecția: Condiții ca un patrulater să fie paralelogram →

10. Care afirmație este corectă despre linia mijlocie a unui triunghi?

    • a) Este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea
    • b) Este perpendiculară pe a treia latură
    • c) Este egală cu dublul celei de-a treia laturi
    • d) Un triunghi are o singură linie mijlocie
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea

    Teorema liniei mijlocii: $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$. Un triunghi are trei linii mijlocii, nu doar una, iar linia mijlocie nu e perpendiculară, ci paralelă cu a treia latură.

    Lecția: Linia mijlocie în triunghi →

11. În paralelogramul $MNPQ$, $\hat{M}=105^{\circ }$. Cât măsoară unghiul alăturat $\hat{N}$?

    • a) $105^{\circ }$
    • b) $75^{\circ }$
    • c) $180^{\circ }$
    • d) $55^{\circ }$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $75^{\circ }$

    $\hat{M}$ și $\hat{N}$ sunt unghiuri alăturate (vecine), iar acestea sunt suplementare într-un paralelogram. Deci $\hat{N}=180^{\circ }-105^{\circ }=75^{\circ }$.

    Lecția: Paralelogramul: definiție și proprietăți (laturi și unghiuri) →

12. Care dintre următoarele afirmații despre diagonalele unui paralelogram este ADEVĂRATĂ?

    • a) Diagonalele sunt întotdeauna egale între ele
    • b) Diagonalele se înjumătățesc reciproc în punctul lor de intersecție
    • c) Diagonalele sunt întotdeauna perpendiculare
    • d) Diagonalele nu se intersectează în interiorul figurii
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Diagonalele se înjumătățesc reciproc în punctul lor de intersecție

    Proprietatea de bază a paralelogramului spune că punctul de intersecție al diagonalelor este mijlocul fiecăreia dintre ele; diagonalele nu sunt neapărat egale (asta se întâmplă doar la dreptunghi și pătrat).

    Lecția: Paralelogramul: proprietatea diagonalelor →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.