Exerciții rezolvate — Perpendicularitate în spațiu. Proiecții și teorema celor trei perpendiculare (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Perpendicularitate în spațiu. Proiecții și teorema celor trei perpendiculare", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Punctul $M$ nu se află în planul $\alpha$, iar $O$ este proiecția lui $M$ pe $\alpha$ (deci $MO\perp \alpha$). Care afirmație este corectă?

   • a) $MO$ este cea mai lungă dintre toate segmentele $MX$, cu $X\in \alpha$
   • b) $MO$ este cea mai scurtă dintre toate segmentele $MX$, cu $X\in \alpha$, deci $MO$ este distanța de la $M$ la $\alpha$
   • c) Distanța de la $M$ la $\alpha$ poate fi mai mare decât distanța de la $M$ la orice dreaptă din $\alpha$
   • d) Punctul $O$ poate fi ales oricare punct din planul $\alpha$, rezultatul fiind același
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $MO$ este cea mai scurtă dintre toate segmentele $MX$, cu $X\in \alpha$, deci $MO$ este distanța de la $M$ la $\alpha$

   Pentru orice alt punct $X\in \alpha$, triunghiul $MOX$ este dreptunghic în $O$, deci $MX$ este ipotenuză, iar $MO$ catetă: $MO\le MX$, cu egalitate doar când $X=O$. Distanța la plan este mereu mai mică sau egală decât distanța la orice dreaptă din plan, iar $O$ (proiecția) este unic.

   Lecția: Distanțe în spațiu. Înălțimi în corpuri →

2. Pentru a demonstra, cu ajutorul criteriului de perpendicularitate, că o dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $\alpha$, ai nevoie de două drepte din $\alpha$ pe care $d$ să fie perpendiculară, iar aceste două drepte trebuie să fie:

   • a) paralele
   • b) concurente
   • c) confundate
   • d) oarecare, fără nicio condiție
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) concurente

   Criteriul cere ca cele două drepte din plan să fie concurente (să aibă un punct comun). Dacă ar fi paralele, ele ar indica aceeași direcție, iar $d$ ar fi perpendiculară pe o singură direcție, nu pe tot planul.

   Lecția: Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan →

3. Planul $\gamma$ conține dreapta $m$, iar $m\perp \delta$. Ce relație există între planele $\gamma$ și $\delta$?

   • a) $\gamma \parallel \delta$
   • b) $\gamma \perp \delta$
   • c) $\gamma$ și $\delta$ sunt secante oblice
   • d) Nu se poate preciza fără alte date
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\gamma \perp \delta$

   Planul $\gamma$ conține dreapta $m$, care este perpendiculară pe planul $\delta$. Prin criteriul de perpendicularitate a două plane, rezultă direct $\gamma \perp \delta$.

   Lecția: Plane perpendiculare →

4. Segmentul $[MN]$ este paralel cu planul $\alpha$ și are lungimea $MN=18$ cm. Cât măsoară proiecția $[M^{\prime }{N}^{\prime }]$ pe planul $\alpha$?

   • a) $0$ cm
   • b) $9$ cm
   • c) $18$ cm
   • d) nu se poate determina
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $18$ cm

   Când segmentul este paralel cu planul, capetele lui sunt la aceeași distanță de plan, deci $MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }$ este un dreptunghi, iar laturile opuse sunt egale: $M^{\prime }{N}^{\prime }=MN=18$ cm.

   Lecția: Proiecții pe un plan. Lungimea proiecției unui segment →

5. Fie $AO\perp \alpha$, cu $d\subset \alpha$ și $B\in d$ astfel încât $OB\perp d$. Ce poți afirma despre segmentul $AB$?

   • a) $AB\perp d$, conform teoremei celor trei perpendiculare
   • b) $AB\parallel d$
   • c) $AB\perp \alpha$
   • d) Nu putem afirma nimic fără date suplimentare
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $AB\perp d$, conform teoremei celor trei perpendiculare

   Aceasta este chiar concluzia T3P: din $AO\perp \alpha$ și $OB\perp d$ (cu $d\subset \alpha$) rezultă $AB\perp d$, deoarece $d$ ajunge perpendiculară pe două drepte concurente ($AO$ și $OB$) din planul $(AOB)$.

   Lecția: Teorema celor trei perpendiculare →

6. Într-un diedru de muchie $d$, alegem un punct $O$ pe muchie și ducem câte o semidreaptă în fiecare față. Ce condiție trebuie să respecte cele două semidrepte, ca unghiul format să fie chiar unghiul plan al diedrului?

   • a) Să fie paralele cu muchia $d$
   • b) Să fie perpendiculare pe muchia $d$, ambele pornind din același punct $O$
   • c) Să aibă lungimi egale
   • d) Să formeze un unghi de $45^{\circ }$ cu muchia
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Să fie perpendiculare pe muchia $d$, ambele pornind din același punct $O$

   Unghiul plan al diedrului se obține strict din același punct $O$ al muchiei, cu câte o semidreaptă perpendiculară pe muchie în fiecare față. Fără perpendicularitate pe muchie, unghiul obținut nu măsoară diedrul.

   Lecția: Unghiul diedru. Unghiul a două plane →

7. Un punct $A$ se află la distanța $AO=5\sqrt{3}$ cm de un plan $\alpha$ ($O$ = proiecția lui $A$ pe plan). O dreaptă din $A$ atinge planul în $B$, iar proiecția $BO=5$ cm. Cât măsoară unghiul dintre dreapta $AB$ și planul $\alpha$?

   • a) $30°$
   • b) $45°$
   • c) $60°$
   • d) $90°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $60°$

   Triunghiul $ABO$ este dreptunghic în $O$. $\mathrm{tg}\phi =\frac{AO}{BO}=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$, deci $\phi =60°$.

   Lecția: Unghiul dintre o dreaptă și un plan →

8. Fie $VA\perp \alpha$ ($A\in \alpha$, $V\notin \alpha$) și, în planul $\alpha$, $AP\perp d$, unde $d$ este o dreaptă din $\alpha$, iar $P\in d$. Conform teoremei celor trei perpendiculare, ce se poate spune despre oblica $VP$?

   • a) $VP\perp d$
   • b) $VP\parallel d$
   • c) $VP\perp \alpha$
   • d) $VP=AP$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $VP\perp d$

   Teorema celor trei perpendiculare: dacă $VA$ este perpendiculară pe plan, iar $AP$ este perpendiculara din proiecția $A$ pe dreapta $d$ din plan, atunci oblica $VP$ este și ea perpendiculară pe $d$: $VP\perp d$. Varianta (b) e falsă (dacă $VP$ ar fi paralelă cu $d$, nu ar mai fi perpendiculară pe ea), (c) e falsă pentru că perpendiculara pe plan este $VA$, nu $VP$ (o dreaptă are o singură perpendiculară pe plan dintr-un punct), iar (d) e falsă deoarece în triunghiul dreptunghic $VAP$ ipotenuza $VP$ este strict mai mare decât cateta $AP$: $VP=\sqrt{V{A}^2+A{P}^2}$.

   Lecția: Distanțe în spațiu. Înălțimi în corpuri →

9. În cubul $MNPQ{M}^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, muchia $M{M}^{\prime }$ este perpendiculară pe $MN$ și pe $MQ$, iar $MN\cap MQ=\{M\}$, cu $MN,MQ\subset (MNPQ)$. Ce putem afirma despre $M{M}^{\prime }$?

   • a) $M{M}^{\prime }\perp (MNPQ)$
   • b) $M{M}^{\prime }$ este doar oblică față de planul $(MNPQ)$
   • c) $M{M}^{\prime }\parallel (MNPQ)$
   • d) Nu putem afirma nimic fără alte drepte
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $M{M}^{\prime }\perp (MNPQ)$

   Sunt îndeplinite ambele condiții ale criteriului: $M{M}^{\prime }\perp MN$, $M{M}^{\prime }\perp MQ$, iar $MN$ și $MQ$ sunt concurente în $M$ și conținute în plan. Deci $M{M}^{\prime }\perp (MNPQ)$.

   Lecția: Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan →

10. Într-un paralelipiped dreptunghic $MNPQ{M}^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, câte dintre celelalte cinci fețe sunt perpendiculare pe fața $(MNPQ)$?

    • a) $2$
    • b) $3$
    • c) $4$
    • d) $5$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $4$

    Fața de sus $(M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime })$ este paralelă cu $(MNPQ)$. Celelalte $4$ fețe laterale conțin fiecare o muchie laterală (verticală), perpendiculară pe bază, deci prin criteriu fiecare este perpendiculară pe $(MNPQ)$.

    Lecția: Plane perpendiculare →

11. Segmentul $[PQ]$ este perpendicular pe planul $\beta$ și are lungimea $PQ=20$ cm. Cât măsoară proiecția $[P^{\prime }{Q}^{\prime }]$ pe planul $\beta$?

    • a) $0$ cm
    • b) $10$ cm
    • c) $20$ cm
    • d) $40$ cm
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $0$ cm

    Când segmentul este perpendicular pe plan, ambele capete se proiectează în același punct (piciorul perpendicularei), deci proiecția este un singur punct: $P^{\prime }{Q}^{\prime }=0$ cm.

    Lecția: Proiecții pe un plan. Lungimea proiecției unui segment →

12. Fie piramida $VABC$ cu $VA\perp (ABC)$. În planul bazei se duce $AN\perp BC$, cu $N\in BC$. Ce relație rezultă, prin teorema celor trei perpendiculare?

    • a) $VN\perp BC$
    • b) $VN\parallel BC$
    • c) $AN\parallel BC$
    • d) $VA\parallel BC$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $VN\perp BC$

    $A$ este proiecția lui $V$ pe planul bazei (căci $VA\perp (ABC)$). Din $VA\perp (ABC)$ și $AN\perp BC$ (cu $BC\subset (ABC)$), prin T3P rezultă $VN\perp BC$, deci $VN$ este distanța de la $V$ la dreapta $BC$. Celelalte variante sunt false: $AN\perp BC$ (dat), deci $AN$ nu poate fi paralelă cu $BC$; $VA\perp (ABC)$ implică deja $VA\perp BC$, deci $VA$ nu poate fi paralelă cu $BC$; iar $VN$ este chiar perpendiculară pe $BC$, nu paralelă.

    Lecția: Teorema celor trei perpendiculare →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.