Dintr-un grup de $$12$$ elevi se aleg $$3$$ pentru a forma o echipă la un concurs, fără roluri diferite între ei. Ce metodă de numărare se folosește și de ce?

combinări, pentru că schimbarea ordinii celor $$3$$ elevi aleși nu modifică echipa

aranjamente, pentru că ordinea alegerii contează

permutări, pentru că se folosesc toți cei $$12$$ elevi

regula produsului, pentru că elevii se pot repeta

Un cercetător măsoară timpul de reacție al $$30$$ de elevi, aleși dintr-un liceu cu $$600$$ de elevi, pentru a estima variabilitatea la nivelul întregului liceu. Ce formulă a abaterii standard trebuie să folosească pentru cele $$30$$ de valori culese?

$$s=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$$, pentru că cei $$30$$ de elevi sunt un eșantion dintr-o populație mai mare

$$\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n}}$$, pentru că cei $$30$$ de elevi formează o populație

$$s$$ și $$\sigma$$ dau întotdeauna același rezultat, deci oricare formulă e corectă

$$\sigma$$, pentru că orice set de date se tratează implicit ca populație

Un triunghi are laturile $$5$$, $$6$$ și $$7$$. Ce natură are acest triunghi?

nu există un asemenea triunghi

Acasă · Exerciții rezolvate · clasa a X-a · Exerciții rezolvate — Recapitulare și sinteză (clasa a X-a)

Exerciții rezolvate — Recapitulare și sinteză (clasa a X-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Recapitulare și sinteză", clasa a X-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

Rezolvați în $R$ ecuația $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ .
- a) $x \in {1, 3}$
- b) $x \in {0, 1}$
- c) $x \in {- 1, 1}$
- d) $x \in {0, 3}$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $x \in {0, 1}$

Notăm $t = 3^{x}$ , cu $t > 0$ . Ecuația devine $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , cu soluțiile $t = 1$ și $t = 3$ , ambele strict pozitive. Revenim: $3^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ și $3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1$ . Varianta a) confundă valorile lui $t$ cu cele ale lui $x$ , uitând să revină la exponent.
Lecția: Recapitulare mate-info: puteri, exponențiale, logaritmi și numere complexe →
Determinați restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 2 X^{2} + X + 4$ la $X + 1$ .
- a) $4$
- b) $0$
- c) $2$
- d) $6$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $0$

Prin teorema restului, restul la $X - (- 1)$ este $f (- 1) = (- 1)^{3} - 2 (- 1)^{2} + (- 1) + 4 = - 1 - 2 - 1 + 4 = 0$ . Restul fiind $0$ , prin teorema lui Bézout rezultă că $X + 1$ divide polinomul $f$ . Varianta a) este $f (0)$ , calculată greșit în locul lui $f (- 1)$ .
Lecția: Recapitulare mate-info: polinoame și ecuații algebrice →
Dintr-un grup de $12$ elevi se aleg $3$ pentru a forma o echipă la un concurs, fără roluri diferite între ei. Ce metodă de numărare se folosește și de ce?
- a) aranjamente, pentru că ordinea alegerii contează
- b) permutări, pentru că se folosesc toți cei $12$ elevi
- c) combinări, pentru că schimbarea ordinii celor $3$ elevi aleși nu modifică echipa
- d) regula produsului, pentru că elevii se pot repeta
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) combinări, pentru că schimbarea ordinii celor $3$ elevi aleși nu modifică echipa

Testul schimbului decide: dacă schimbi între ei doi dintre cei trei elevi aleși, echipa rămâne aceeași — deci ordinea nu contează și se folosesc combinări. Varianta a) s-ar aplica dacă locurile ar fi diferite (de exemplu un podium), varianta b) dacă s-ar ordona toți cei $12$ elevi, iar varianta d) dacă elementele s-ar putea repeta, ceea ce nu e cazul la alegerea unor persoane distincte.
Lecția: Recapitulare: metode de numărare și probabilități →
Un cercetător măsoară timpul de reacție al $30$ de elevi, aleși dintr-un liceu cu $600$ de elevi, pentru a estima variabilitatea la nivelul întregului liceu. Ce formulă a abaterii standard trebuie să folosească pentru cele $30$ de valori culese?
- a) $σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ , pentru că cei $30$ de elevi formează o populație
- b) $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ , pentru că cei $30$ de elevi sunt un eșantion dintr-o populație mai mare
- c) $s$ și $σ$ dau întotdeauna același rezultat, deci oricare formulă e corectă
- d) $σ$ , pentru că orice set de date se tratează implicit ca populație
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ , pentru că cei $30$ de elevi sunt un eșantion dintr-o populație mai mare

Cei $30$ de elevi sunt o submulțime extrasă dintr-o populație mai mare (liceul cu $600$ de elevi), deci setul de date este un eșantion, iar formula potrivită este $s$ , cu împărțire la $n - 1$ . Formula $σ$ (variantele a și d) se folosește doar când setul de date este toată populația studiată. Pe aceleași date, $s$ este întotdeauna mai mare decât $σ$ , deci nu coincid (varianta c e greșită).
Lecția: Recapitulare: statistică matematică și sondaje →
În triunghiul $A B C$ se cunosc $A B = 6$ , $A C = 9$ și $m (∠ A) = 6 0^{\circ}$ . Calculați lungimea laturii $B C$ .
- a) $310$
- b) $37$
- c) $117$
- d) $9$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $37$

Suntem în cazul LUL, cu unghiul dat între laturile date, deci pornim direct cu teorema cosinusului: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 81 + 36 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 117 - 54 = 63$ , deci $B C = 63 = 37$ . Varianta a) apare dacă uiți factorul $2$ din formulă; varianta c) apare dacă uiți complet termenul $- 2 b c cos A$ , adunând doar pătratele laturilor.
Lecția: Recapitulare: aplicații ale trigonometriei în geometrie →
Într-un triunghi, o latură are lungimea $10$ , iar unghiul opus ei are măsura $3 0^{\circ}$ . Calculați raza cercului circumscris triunghiului.
- a) $5$
- b) $20$
- c) $10$
- d) $103$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) $10$

Din teorema sinusurilor, $R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10$ . Varianta b) este raportul $\frac{a}{sin A} = 2 R = 20$ , confundat cu raza (uitarea împărțirii la $2$ ), iar varianta a) apare dintr-un calcul greșit al lui $sin 3 0^{\circ}$ .
Lecția: Sinteză finală clasa a X-a: probleme de tip Bacalaureat →
Polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 20$ are coeficienți reali și rădăcina $2 + 4 i$ . Care este a treia rădăcină a lui $f$ ?
- a) $20$
- b) $- 1$
- c) $4$
- d) $1$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) $1$

Coeficienții fiind reali, și $2 - 4 i$ este rădăcină. Produsul perechii conjugate este $(2 + 4 i) (2 - 4 i) = 4 + 16 = 20$ . Din Viète, produsul tuturor celor trei rădăcini este $- \frac{- 20}{1} = 20$ (varianta a este chiar acest produs total, nu rădăcina cerută), deci a treia rădăcină este $\frac{20}{20} = 1$ .
Lecția: Sinteză finală mate-info: probleme de tip Bacalaureat M1 →
Rezolvați în $R$ ecuația $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ .
- a) $x = - 2$
- b) $x = 8$
- c) $x = 2$
- d) $x = 4$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) $x = 4$

Condiții de existență: $x > 0$ și $x - 2 > 0$ , deci $x > 2$ . Restrângem: $lo g_{2} [x (x - 2)] = 3$ , adică $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ , cu soluțiile $x = 4$ și $x = - 2$ . Valoarea $x = - 2$ (varianta a) nu respectă $x > 2$ și se respinge motivat. Rămâne $x = 4$ . Verificare: $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 2 = 2 + 1 = 3$ ✓.
Lecția: Recapitulare mate-info: puteri, exponențiale, logaritmi și numere complexe →
Fie $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ rădăcinile ecuației $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ . Calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ .
- a) $36$
- b) $22$
- c) $25$
- d) $14$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: d) $14$

Din Viète: $S_{1} = 6$ , $S_{2} = 11$ . Atunci $\sum x_{i}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 36 - 22 = 14$ . Control: rădăcinile sunt $1, 2, 3$ , iar $1 + 4 + 9 = 14$ ✓. Varianta a) este $S_{1}^{2}$ neconvertit, iar varianta b) este $2 S_{2}$ .
Lecția: Recapitulare mate-info: polinoame și ecuații algebrice →
Un grup de $9$ elevi trebuie să aleagă o comisie de $3$ elevi, fără roluri distincte. Câte comisii diferite se pot forma?
- a) $504$
- b) $84$
- c) $729$
- d) $6$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: b) $84$

Ordinea nu contează, deci numărăm cu combinări: $C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84$ . Varianta a) este $A_{9}^{3} = 504$ (numărare cu ordine, greșită aici), varianta c) este $9^{3}$ (ca și cum elevii s-ar repeta), iar varianta d) este $P_{3} = 3! = 6$ , numărul de ordonări posibile ale unei comisii deja alese.
Lecția: Recapitulare: metode de numărare și probabilități →
Determinați mediana setului de date $2, 5, 7, 9, 12, 15, 18, 20, 24$ .
- a) $9$
- b) $15$
- c) $12$
- d) $10, 5$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) $12$

Datele sunt deja ordonate crescător, iar $n = 9$ este impar, deci mediana este valoarea de pe poziția $\frac{9 + 1}{2} = 5$ , adică $Q_{2} = 12$ . Varianta a) ia greșit a patra valoare, varianta b) ia a șasea, iar varianta d) calculează o medie a două valori, ca și cum $n$ ar fi par.
Lecția: Recapitulare: statistică matematică și sondaje →
Un triunghi are laturile $5$ , $6$ și $7$ . Ce natură are acest triunghi?
- a) dreptunghic
- b) obtuzunghic
- c) ascuțitunghic
- d) nu există un asemenea triunghi
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: c) ascuțitunghic

Inegalitatea triunghiului se verifică ( $5 + 6 = 11 > 7$ ), deci varianta d) e greșită. Cea mai lungă latură este $7$ ; comparăm $7^{2} = 49$ cu $5^{2} + 6^{2} = 61$ . Cum $49 < 61$ , triunghiul este **ascuțitunghic**. Dacă ar fi ieșit $49 = 61$ ar fi fost dreptunghic (varianta a), iar dacă $49 > 61$ , obtuzunghic (varianta b).
Lecția: Recapitulare: aplicații ale trigonometriei în geometrie →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.

Exerciții rezolvate — Recapitulare și sinteză (clasa a X-a)

Continuă cu