Acasă · Lecții · clasa a X-a · Recapitulare: statistică matematică și sondaje

Recapitulare: statistică matematică și sondaje

Un titlu de știre spune: „Salariul mediu a crescut cu $8%$ ". Un altul, în aceeași zi: „Jumătate dintre angajați câștigă sub media pe economie". Amândouă pot fi adevărate în același timp, iar capitolul pe care îl închei acum îți dă exact instrumentele cu care să înțelegi de ce. Statistica nu este o colecție de formule de calculat medii; este o disciplină a citirii corecte — a datelor, a graficelor și, mai ales, a concluziilor pe care alții le trag din ele.

Recapitularea de față adună drumul complet al unui set de date: de la populația și caracteristica studiată, prin tabelul de frecvențe și reprezentările grafice, până la mărimile care rezumă setul și la regulile după care un sondaj poate spune ceva despre o țară întreagă. Nu apare nimic nou: fiecare secțiune trimite la lecția de proveniență. Ce câștigi este ordinea — pașii unei analize statistice, așezați unul după altul.

Ce vei învăța

Vei ști să parcurgi drumul complet al unui set de date: populație, caracteristică, tabel de frecvențe, grafic, mărimi caracteristice, interpretare.
Vei ști să construiești și să verifici un tabel de frecvențe — absolute, relative, procentuale și cumulate.
Vei ști să alegi reprezentarea grafică potrivită: bare, diagramă circulară, histogramă, poligonul frecvențelor sau boxplot.
Vei ști să calculezi media, mediana, modul, cuartilele, amplitudinea și să spui care dintre ele descrie mai bine setul.
Vei ști să calculezi abaterea standard și să deosebești formula pentru populație de cea pentru eșantion.
Vei ști să compari două seturi de date în patru pași și să discuți corect rezultatul unui sondaj.

Hai să descoperim împreună

1. Harta capitolului: drumul unui set de date

Etapa	Ce conține	Lecțiile de bază
Cine și ce	populație, eșantion, caracteristică, modalități	Populație, eșantion, caracteristică
Organizarea	frecvențe absolute, relative, procente, cumulate	Tabele de frecvențe absolute, Frecvențe relative și procente, Frecvențe cumulate
Reprezentarea	bare, cerc, histogramă, poligon	Diagrame cu bare, Diagrame circulare, Gruparea pe clase și histograma, Poligonul frecvențelor
Centrul	media, mediana, modul	Media aritmetică și ponderată, Mediana, Modul
Împrăștierea	cuartile, amplitudine, boxplot, abatere standard	Cuartile și amplitudine, Diagrama boxplot, Abaterea standard
Concluzia	compararea seturilor, sondaje, eșantionare	Compararea a două seturi de date, Etapele unui sondaj, Eșantionare aleatoare și stratificată

Ideea care ține totul laolaltă: orice analiză statistică răspunde la două întrebări — unde stau datele și cât de împrăștiate sunt. Prima primește ca răspuns media, mediana sau modul; a doua, amplitudinea, abaterea intercuartilică sau abaterea standard. Un set de date descris doar prin medie nu este descris.

✏️Ilustrație: o bandă orizontală cu șase căsuțe legate prin săgeți — „populație și caracteristică", „tabel de frecvențe", „reprezentare grafică", „centru", „împrăștiere", „interpretare" — sugerând drumul complet al unei analize statistice

2. Cine și ce se studiază

Populația statistică este mulțimea tuturor elementelor studiate, iar un element al ei se numește unitate statistică. Populația se definește prin loc, timp și criteriu — altfel nu este definită. Eșantionul este o submulțime a populației, efectiv studiată, iar raportul $\frac{n}{N}$ dintre volumul eșantionului și cel al populației se numește fracție de sondaj.

Caracteristica este proprietatea urmărită la fiecare unitate, iar valorile ei se numesc modalități. Clasificarea, care decide ce calcule au voie să fie făcute:

Tipul caracteristicii	Exemple	Se poate calcula media?
calitativă	culoarea preferată, județul, răspunsul „da/nu"	nu — doar modul
cantitativă discretă	numărul de frați, nota, numărul de goluri	da
cantitativă continuă	înălțimea, timpul, temperatura	da, de obicei după grupare pe clase

Atenție la capcană: cifrele folosite ca etichete rămân caracteristici calitative. Media numerelor de pe tricouri nu înseamnă nimic.

3. Tabelul de frecvențe și verificările lui

Mărimea	Formula	Verificarea obligatorie
frecvență absolută $n_{i}$	numărul de unități cu valoarea $v_{i}$	$\sum n_{i} = n$
frecvență relativă $f_{i}$	$f_{i} = \frac{n _{i}}{n}$	$\sum f_{i} = 1$
procent $p_{i}$	$p_{i} = f_{i} \cdot 100%$	$\sum p_{i} = 100%$
frecvență cumulată crescător $N_{i}$	$N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$	ultima este $n$
frecvență cumulată descrescător	se adună de jos în sus	prima este $n$

Frecvența cumulată crescător $N_{i}$ răspunde la întrebarea „câte date au valoarea cel mult $v_{i}$ "; cea descrescătoare, la „câte au cel puțin $v_{i}$ ". Capcana cea mai frecventă: „strict sub $v_{i}$ " înseamnă $N_{i - 1}$ , nu $N_{i}$ .

Datele continue se grupează pe clase, scrise semideschis, $[a, b)$ , ca fiecare valoare să intre în exact o clasă. Lățimea $h = b - a$ se ia aceeași pentru toate clasele, centrul clasei este $c = \frac{a + b}{2}$ , iar numărul de clase se alege între $5$ și $10$ . Pe date grupate, media se calculează cu centrele claselor și este o aproximare.

4. Reprezentări grafice: care, când și de ce

Reprezentarea	Se folosește pentru	De reținut
diagramă cu bare	categorii sau valori discrete puține	bare separate, axa valorilor pornește de la $0$
diagramă circulară	compoziția unui întreg	$α_{i} = f_{i} \cdot 36 0^{\circ}$ ; fiecare procent valorează $3, 6^{\circ}$
histogramă	date grupate pe clase	dreptunghiuri lipite, pe o axă numerică
poligonul frecvențelor	forma distribuției, comparații	unește punctele $(c_{i}; n_{i})$ , cu centrele claselor
poligonul frecvențelor cumulate	„câte date sunt sub o valoare"	mereu crescător, se termină la $n$
boxplot	împrăștierea, comparații rapide	cutia de la $Q_{1}$ la $Q_{3}$ , mustăți până la minim și maxim

Verificarea obligatorie a oricărei diagrame circulare: $\sum α_{i} = 36 0^{\circ}$ — este aceeași verificare ca $\sum f_{i} = 1$ , scrisă în alt limbaj.

Diferența care se cere cel mai des: bare pentru categorii, histogramă pentru intervale. La bare există spații între dreptunghiuri; la histogramă, dreptunghiurile sunt lipite, pentru că intervalele sunt vecine pe axă.

5. Mărimile care rezumă un set

Centrul.

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}, \overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{\sum p _{i} x _{i}}{\sum p _{i}} (media ponderat \overset{a}{˘}) .$

Mediana $Q_{2}$ se calculează numai după ordonarea crescătoare: dacă $n$ e impar, $Q_{2} = x_{\frac{n + 1}{2}}$ ; dacă $n$ e par, $Q_{2} = \frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}$ .
Modul $M o$ este valoarea cu frecvența cea mai mare; un set poate fi unimodal, bimodal sau fără mod. Este singurul indicator care funcționează și pentru date calitative.

Media este sensibilă la valori extreme, mediana nu. Când cele două diferă mult, setul are valori extreme, iar descrierea corectă se face pe mediană. Reține și proprietatea de control: suma abaterilor față de medie este întotdeauna zero, $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ .

Împrăștierea. Cuartilele se calculează după algoritmul următor, care se respectă literă cu literă:

ordonezi datele crescător;
calculezi $Q_{2}$ , mediana;
dacă $n$ este impar, valoarea mediană NU intră în niciuna dintre jumătăți; dacă $n$ este par, jumătățile sunt primele $\frac{n}{2}$ și ultimele $\frac{n}{2}$ valori;
$Q_{1}$ = mediana jumătății inferioare, $Q_{3}$ = mediana jumătății superioare.

Apoi amplitudinea $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ și abaterea intercuartilică $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ .

Exemplu cu $n$ impar: $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ . Avem $Q_{2} = 8$ ; jumătatea de jos este $3, 5, 7$ , deci $Q_{1} = 5$ ; jumătatea de sus este $9, 12, 15$ , deci $Q_{3} = 12$ . Atunci $A = 12$ și $IQR = 7$ .

Exemplu cu $n$ par: $2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16$ . Avem $Q_{2} = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5$ ; jos $2, 4, 5, 7$ dă $Q_{1} = 4, 5$ ; sus $8, 11, 13, 16$ dă $Q_{3} = 12$ . Atunci $A = 14$ și $IQR = 7, 5$ .

Cele cinci numere caracteristice sunt $x_{m i n}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ , $x_{m a x}$ , în această ordine crescătoare; ele taie setul în patru sferturi cu același număr de valori și sunt exact ce se desenează într-un boxplot.

6. Abaterea standard: două formule, două simboluri

$σ = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n} (POPULA Ț IE), s = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1} (E Ș ANTION) .$

Cele două simboluri nu se amestecă niciodată: $σ$ se folosește când setul este toată populația studiată, iar $s$ atunci când setul este un eșantion extras dintr-o populație mai mare. Pe aceleași date, $s > σ$ , pentru că numitorul e mai mic. Dacă enunțul nu precizează altfel, se lucrează cu $σ$ , iar textul spune explicit că datele sunt considerate întreaga populație.

De ce se ridică la pătrat? Pentru că suma abaterilor simple este întotdeauna zero: pătratele elimină compensarea dintre abaterile pozitive și cele negative. Proprietățile utile: $σ \geq 0$ , se exprimă în unitatea datelor, iar $σ = 0$ exact când toate valorile sunt egale. Translația nu schimbă abaterea standard (dacă toate datele cresc cu aceeași constantă, împrăștierea rămâne aceeași), iar înmulțirea tuturor datelor cu $k > 0$ înmulțește abaterea standard cu $k$ .

7. Comparare, sondaje, extrapolare

Compararea a două seturi se face în patru pași, niciodată pe un singur indicator: centru (medie și mediană), împrăștiere (amplitudine, $IQR$ , $σ$ ), formă (simetrie, valori extreme), context. Seturile de volume diferite se compară prin frecvențe relative, medii și abateri — niciodată prin numere brute.

Un $σ$ mai mic înseamnă grup mai omogen, deci rezultate mai previzibile; nu înseamnă automat „mai bun" — asta o decide contextul.

Sondajul întreabă un eșantion și extinde concluzia la populație, cu o marjă de incertitudine; recensământul întreabă toată populația. Cele șapte etape ale unui sondaj sunt: obiectiv, populație-țintă, eșantion, chestionar, culegerea datelor, prelucrare, interpretare cu limitări.

Un eșantion este reprezentativ dacă reproduce structura populației, iar reprezentativitatea se obține prin metodă, nu prin mărime. În sondajul aleator simplu, fiecare individ are aceeași șansă de a fi ales. În sondajul stratificat, populația se împarte în straturi omogene și din fiecare se extrage o cotă proporțională:

$n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n, cu verificarea \sum n_{i} = n .$

Doar eroarea de eșantionare scade mărind eșantionul. Autoselecția (răspund doar cei care vor), non-răspunsul și cadrul incomplet sunt erori sistematice, pe care volumul nu le repară niciodată.

Extrapolarea se face înmulțind frecvența relativă cu volumul populației, iar concluzia se comunică obligatoriu cu „estimăm", cu mărimea eșantionului și cu limitările.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul complet de frecvențe

Notele obținute de cei $20$ de elevi ai unei clase la un test sunt: $7, 6, 8, 7, 5, 9, 7, 8, 6, 10, 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 6, 8, 7$ . Alcătuiți tabelul de frecvențe absolute, relative, procentuale și cumulate și calculați unghiurile unei diagrame circulare.

Rezolvare. Numărăm cu răboj, dintr-o singură trecere, valorile de la $5$ la $10$ .

$v_{i}$	$n_{i}$	$f_{i}$	$p_{i}$	$N_{i}$ (cumulat)	$α_{i}$
$5$	$2$	$0, 10$	$10%$	$2$	$3 6^{\circ}$
$6$	$4$	$0, 20$	$20%$	$6$	$7 2^{\circ}$
$7$	$6$	$0, 30$	$30%$	$12$	$10 8^{\circ}$
$8$	$5$	$0, 25$	$25%$	$17$	$9 0^{\circ}$
$9$	$2$	$0, 10$	$10%$	$19$	$3 6^{\circ}$
$10$	$1$	$0, 05$	$5%$	$20$	$1 8^{\circ}$

Verificările, toate trei: $\sum n_{i} = 2 + 4 + 6 + 5 + 2 + 1 = 20 = n$ ✓; $\sum p_{i} = 10 + 20 + 30 + 25 + 10 + 5 = 100%$ ✓; $\sum α_{i} = 36 + 72 + 108 + 90 + 36 + 18 = 36 0^{\circ}$ ✓.

Citirea coloanei cumulate: $12$ elevi au luat cel mult $7$ , deci $20 - 12 = 8$ elevi au luat cel puțin $8$ . Atenție: elevii cu notă strict sub $7$ sunt $N_{i - 1} = 6$ , nu $12$ .

Exemplul 2 — Media, mediana, modul din tabel

Pentru datele din exemplul 1, calculați media, mediana și modul.

Rezolvare. Media se calculează din tabel, cu frecvențele drept ponderi:

$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} v _{i}}{n} = \frac{2 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 6 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + 2 \cdot 9 + 1 \cdot 10}{20} = \frac{10 + 24 + 42 + 40 + 18 + 10}{20} = \frac{144}{20} = 7, 2.$

Mediana: $n = 20$ este par, deci $Q_{2} = \frac{x _{10} + x _{11}}{2}$ . Din coloana cumulată, valorile de pe pozițiile $7$ – $12$ sunt toate $7$ , deci $x_{10} = x_{11} = 7$ și $Q_{2} = 7$ .

Modul: frecvența cea mai mare este $6$ , la valoarea $7$ , deci $M o = 7$ .

Cele trei mărimi sunt apropiate ( $7, 2$ , $7$ , $7$ ), semn că distribuția este aproape simetrică și că media descrie bine clasa. Nu confunda $\sum n_{i} = 20$ , care numără elevii, cu $\sum n_{i} v_{i} = 144$ , care adună notele.

Exemplul 3 — Cele cinci numere caracteristice

Timpii, în minute, în care nouă elevi ajung de acasă la școală sunt: $20, 15, 12, 25, 18, 15, 30, 21, 14$ . Determinați cele cinci numere caracteristice, amplitudinea și abaterea intercuartilică.

Rezolvare. Ordonăm crescător: $12, 14, 15, 15, 18, 20, 21, 25, 30$ .

Cum $n = 9$ este impar, mediana este valoarea de pe poziția a cincea: $Q_{2} = 18$ .

Aplicăm regula: valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți. Jumătatea de jos este $12, 14, 15, 15$ , cu mediana $Q_{1} = \frac{14 + 15}{2} = 14, 5$ . Jumătatea de sus este $20, 21, 25, 30$ , cu mediana $Q_{3} = \frac{21 + 25}{2} = 23$ .

Cele cinci numere: $12; 14, 5; 18; 23; 30$ . Amplitudinea este $A = 30 - 12 = 18$ minute, iar $IQR = 23 - 14, 5 = 8, 5$ minute.

Interpretare: jumătatea din mijloc a elevilor face între $14, 5$ și $23$ de minute. Mustața dreaptă a boxplot-ului ( $23 \to 30$ ) este mai lungă decât cea stângă ( $12 \to 14, 5$ ), deci distribuția este asimetrică spre dreapta — și, într-adevăr, media este $\overset{x}{ˉ} = \frac{170}{9} \approx 18, 9 > Q_{2}$ .

✏️Ilustrație: un boxplot orizontal desenat pe o axă gradată din 5 în 5 minute, cu mustața stângă de la 12 la 14,5, cutia de la 14,5 la 23, linia medianei la 18 și mustața dreaptă de la 23 la 30

Exemplul 4 — Abaterea standard: populație și eșantion

Se consideră datele $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ . a) Calculați abaterea standard, considerând datele drept întreaga populație. b) Calculați abaterea standard dacă aceleași date reprezintă un eșantion.

Rezolvare. Media: $\overset{x}{ˉ} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .

Abaterile și pătratele lor:

$x_{i}$	$2$	$4$	$4$	$4$	$5$	$5$	$7$	$9$
$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$- 3$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$0$	$0$	$2$	$4$
$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$9$	$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$4$	$16$

Control: suma abaterilor este $- 3 - 1 - 1 - 1 + 0 + 0 + 2 + 4 = 0$ ✓, așa cum trebuie întotdeauna. Suma pătratelor este $9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$ .

a) Pentru populație împărțim la $n = 8$ :

$σ = \frac{32}{8} = 4 = 2.$

b) Pentru eșantion împărțim la $n - 1 = 7$ :

$s = \frac{32}{7} \approx 4, 571 \approx 2, 14.$

Într-adevăr $s > σ$ , cum trebuie. Interpretarea lui $σ = 2$ : valorile stau, în medie, la aproximativ $2$ unități distanță de media $5$ .

Exemplul 5 — Compararea a două seturi

Două grupe de câte $10$ elevi au dat același test. Grupa I: $6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9$ . Grupa II: $5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11, 11$ . Comparați cele două grupe.

Rezolvare. Pasul 1 — centrul. Ambele sume dau $80$ , deci $\overset{x}{ˉ}_{I} = \overset{x}{ˉ}_{II} = 8$ . Mediana este, în ambele cazuri, $\frac{8 + 8}{2} = 8$ . Din punctul de vedere al centrului, grupele sunt identice.

Pasul 2 — împrăștierea. Cuartilele, la $n = 10$ par, se iau pe primele, respectiv ultimele cinci valori. La grupa I: jumătatea de jos $6, 7, 7, 8, 8$ dă $Q_{1} = 7$ , iar jumătatea de sus $8, 9, 9, 9, 9$ dă $Q_{3} = 9$ . La grupa II: jumătatea de jos $5, 5, 7, 7, 8$ dă $Q_{1} = 7$ , iar jumătatea de sus $8, 9, 9, 11, 11$ dă $Q_{3} = 9$ . Prin urmare $IQR = 2$ în ambele cazuri, iar cutiile boxplot-urilor sunt identice.

Diferența apare la capete și în abaterea standard. Amplitudinea: $9 - 6 = 3$ la grupa I, față de $11 - 5 = 6$ la grupa II. Sumele pătratelor abaterilor sunt $10$ , respectiv $40$ , deci

$σ_{I} = \frac{10}{10} = 1, σ_{II} = \frac{40}{10} = 2.$

Pasul 3 — forma. Ambele distribuții sunt aproximativ simetrice în jurul valorii $8$ .

Pasul 4 — contextul. Aceeași medie, aceeași mediană, aceleași cuartile — și totuși grupele nu sunt la fel. Grupa I este de două ori mai omogenă: rezultatele ei sunt mai previzibile. Grupa II are și elevi mai slabi, și elevi mai buni. Care e „mai bună" depinde de scop: dacă vrei un rezultat sigur la un concurs pe echipe, alegi grupa I; dacă vrei un elev pentru olimpiadă, te uiți la grupa II.

Acesta este motivul pentru care un set de date nu se descrie niciodată doar prin medie.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Temperaturile înregistrate la prânz, timp de cinci zile, au fost, în grade Celsius: $19, 23, 17, 21, 20$ . a) Calculați media temperaturilor. b) Determinați mediana setului de date. c) Calculați abaterea standard, considerând datele drept întreaga populație.

Rezolvare. a) $\overset{x}{ˉ} = \frac{19 + 23 + 17 + 21 + 20}{5} = \frac{100}{5} = 20$ .

b) Ordonăm crescător: $17, 19, 20, 21, 23$ . Cum $n = 5$ este impar, mediana este valoarea de pe poziția a treia: $Q_{2} = 20$ .

c) Abaterile față de medie sunt $- 3, - 1, 0, 1, 3$ (suma lor este $0$ ✓), iar pătratele $9, 1, 0, 1, 9$ , cu suma $20$ . Prin urmare

$σ = \frac{20}{5} = 4 = 2 grade Celsius .$

Media și mediana coincid, semn de distribuție simetrică. Pentru completare, cele cinci numere caracteristice sunt $17; 18; 20; 22; 23$ , cu $A = 6$ și $IQR = 4$ . La examen se cere explicit ordonarea datelor înainte de mediană și scrierea formulei înainte de calculul abaterii standard: ambii pași se punctează separat.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La orice mediană sau cuartilă, ordonează întâi datele și scrie numărul $n$ — jumătate dintre greșelile capitolului vin din sărirea acestui pas. La abaterea standard, scrie tabelul abaterilor și verifică întotdeauna că suma lor este zero.

1. Într-o clasă de $30$ de elevi, culorile preferate sunt: albastru — $12$ elevi, roșu — $9$ , verde — $6$ , negru — $3$ . Alcătuiți tabelul de frecvențe absolute și verificați suma.

2. Pentru datele de la exercițiul 1, calculați frecvențele relative și procentele.

3. Pentru aceleași date, calculați unghiurile sectoarelor unei diagrame circulare și verificați suma lor.

4. Într-un tabel de frecvențe, valorile $4, 5, 6, 7, 8, 9$ au frecvențele $1, 3, 5, 7, 6, 3$ . Calculați frecvențele cumulate crescător și precizați câți elevi au notă strict mai mică decât $8$ , respectiv cel mult $8$ .

5. Calculați media aritmetică a datelor $3, 7, 7, 8, 10, 12, 15, 18$ .

6. Un elev are la o disciplină notele $8$ și $9$ la ascultare și nota $7$ la teză, teza având coeficientul $2$ . Calculați media ponderată.

7. Determinați mediana pentru fiecare dintre seturile: a) $1, 3, 4, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 20$ ; b) $3, 7, 7, 8, 10, 12, 15, 18$ .

8. Determinați modul setului $3, 7, 7, 8, 10, 12, 15, 18$ și precizați dacă setul $2, 2, 5, 5, 9$ are unul sau mai multe moduri.

9. Pentru setul $2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8$ determinați $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ , amplitudinea și abaterea intercuartilică.

10. Pentru setul $4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 26$ determinați cele cinci numere caracteristice și abaterea intercuartilică.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mediana unui set de date este întotdeauna una dintre valorile setului."

12. Calculați abaterea standard a setului $2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8$ , considerând datele drept întreaga populație.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate valorile unui set de date cresc cu $3$ , atunci abaterea standard crește și ea cu $3$ ."

14. Setul $X$ este $2, 4, 6, 8, 10$ , iar setul $Y$ este $5, 5, 6, 6, 6, 7, 7$ . Calculați mediile și abaterile standard (ca populații) și precizați care set este mai omogen.

15. (Problemă aplicată.) Timpii, în minute, ai celor $20$ de participanți la un cros au fost: $12, 15, 17, 18, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 38, 41, 44, 47$ . Grupați datele pe clasele $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ , $[40, 50)$ , alcătuiți tabelul de frecvențe și estimați media pe date grupate.

16. (Problemă aplicată.) Un liceu are $600$ de elevi în clasa a IX-a, $450$ în a X-a, $300$ în a XI-a și $150$ în a XII-a. Se realizează un sondaj pe un eșantion stratificat de $100$ de elevi. Câți elevi se aleg din fiecare an de studiu?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră setul de date $7, 9, 10, 11, 13$ . a) Calculați media aritmetică a datelor. b) Determinați mediana setului. c) Calculați abaterea standard, considerând datele drept întreaga populație.

18. (Provocare.) Un set de date are media $6$ și abaterea standard $2$ (ca populație). a) Ce medie și ce abatere standard are setul obținut adunând $5$ la fiecare valoare? b) Dar setul obținut înmulțind fiecare valoare cu $3$ și adunând apoi $5$ ? Justificați.

Răspunsuri și explicații

1. Tabelul are perechile $(albastru, 12)$ , $(ro ș u, 9)$ , $(verde, 6)$ , $(negru, 3)$ . Verificare: $12 + 9 + 6 + 3 = 30 = n$ ✓. Caracteristica este calitativă, deci nu are sens să vorbim de medie — doar de mod, care este „albastru".

2. $f_{1} = \frac{12}{30} = 0, 40$ ; $f_{2} = \frac{9}{30} = 0, 30$ ; $f_{3} = \frac{6}{30} = 0, 20$ ; $f_{4} = \frac{3}{30} = 0, 10$ . În procente: $40%$ , $30%$ , $20%$ , $10%$ , cu suma $100%$ ✓.

3. $α_{i} = f_{i} \cdot 36 0^{\circ}$ , deci $14 4^{\circ}$ , $10 8^{\circ}$ , $7 2^{\circ}$ și $3 6^{\circ}$ . Suma: $144 + 108 + 72 + 36 = 36 0^{\circ}$ ✓. (Echivalent: fiecare procent valorează $3, 6^{\circ}$ .)

4. Volumul este $n = 1 + 3 + 5 + 7 + 6 + 3 = 25$ , iar cumulatele crescător sunt $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $22$ , $25$ (ultima trebuie să dea $n$ ✓). Elevii cu notă strict mai mică decât $8$ sunt cei cu note până la $7$ inclusiv, adică $N_{4} = 16$ . Cei cu notă cel mult $8$ sunt $N_{5} = 22$ — diferența dintre cele două întrebări este chiar capcana obișnuită a frecvențelor cumulate.

5. $\overset{x}{ˉ} = \frac{3 + 7 + 7 + 8 + 10 + 12 + 15 + 18}{8} = \frac{80}{8} = 10$ .

6. $\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{8 \cdot 1 + 9 \cdot 1 + 7 \cdot 2}{1 + 1 + 2} = \frac{8 + 9 + 14}{4} = \frac{31}{4} = 7, 75$ .

7. a) $n = 11$ , impar, deci mediana este valoarea de pe poziția a șasea: $Q_{2} = 7$ . b) $n = 8$ , par, deci $Q_{2} = \frac{x _{4} + x _{5}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$ — valoare care nu apare în set.

8. În primul set, singura valoare care se repetă este $7$ , deci $M o = 7$ (set unimodal). Al doilea set are două valori cu frecvența maximă $2$ , deci este bimodal: $M o \in {2, 5}$ ; ambele se scriu.

9. Datele sunt deja ordonate, $n = 9$ impar, deci $Q_{2} = x_{5} = 5$ . Jumătatea de jos, fără mediană: $2, 3, 3, 4 \Rightarrow Q_{1} = \frac{3 + 3}{2} = 3$ . Jumătatea de sus: $6, 7, 7, 8 \Rightarrow Q_{3} = \frac{7 + 7}{2} = 7$ . Amplitudinea $A = 8 - 2 = 6$ , iar $IQR = 7 - 3 = 4$ .

10. $n = 10$ par, deci $Q_{2} = \frac{10 + 12}{2} = 11$ . Jos: $4, 6, 7, 9, 10 \Rightarrow Q_{1} = 7$ . Sus: $12, 13, 15, 18, 26 \Rightarrow Q_{3} = 15$ . Cele cinci numere: $4; 7; 11; 15; 26$ . $IQR = 8$ , iar $A = 22$ . Mustața dreaptă e mult mai lungă — distribuția e asimetrică spre dreapta, din cauza valorii $26$ .

11. Fals. Când $n$ este par, mediana este media celor două valori din mijloc și poate să nu apară în set: la $3, 7, 7, 8, 10, 12, 15, 18$ mediana este $9$ , valoare care nu este printre date. Afirmația e adevărată doar pentru $n$ impar.

12. Media este $\overset{x}{ˉ} = \frac{45}{9} = 5$ . Abaterile: $- 3, - 2, - 2, - 1, 0, 1, 2, 2, 3$ (suma $0$ ✓), iar pătratele $9, 4, 4, 1, 0, 1, 4, 4, 9$ , cu suma $36$ . Deci $σ = \frac{36}{9} = 2$ .

13. Fals. Translația mută toate valorile la fel, deci media crește cu $3$ , dar distanțele dintre date rămân neschimbate, iar abaterea standard le măsoară exact pe acestea. Formal: $(x_{i} + 3) - (\overset{x}{ˉ} + 3) = x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ , deci pătratele nu se schimbă.

14. Setul $X$ : media $\frac{30}{5} = 6$ , abaterile $- 4, - 2, 0, 2, 4$ , suma pătratelor $40$ , deci $σ_{X} = 8 = 22 \approx 2, 83$ . Setul $Y$ : media $\frac{42}{7} = 6$ , abaterile $- 1, - 1, 0, 0, 0, 1, 1$ , suma pătratelor $4$ , deci $σ_{Y} = \frac{4}{7} \approx 0, 76$ . Aceeași medie, dar $Y$ este mult mai omogen. (Volumele diferă, deci comparația se face doar pe indicatori, nu pe sume.)

15. Frecvențele pe clase sunt $4$ , $7$ , $6$ , $3$ , cu suma $20 = n$ ✓. Centrele claselor: $15$ , $25$ , $35$ , $45$ . Media estimată: $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{4 \cdot 15 + 7 \cdot 25 + 6 \cdot 35 + 3 \cdot 45}{20} = \frac{60 + 175 + 210 + 135}{20} = \frac{580}{20} = 29 minute .$ Media reală, calculată pe datele brute, este $28, 45$ minute: gruparea introduce o mică eroare, pentru că înlocuiește fiecare valoare cu centrul clasei ei. Cumulatele sunt $4$ , $11$ , $17$ , $20$ , deci clasa mediană este $[20, 30)$ , prima în dreptul căreia cumulata depășește $\frac{n}{2} = 10$ . Histograma are dreptunghiuri lipite, de înălțimi $4$ , $7$ , $6$ , $3$ .

16. Volumul populației este $N = 600 + 450 + 300 + 150 = 1500$ . Cotele: $n_{i} = \frac{N _{i}}{1500} \cdot 100$ , deci $40$ elevi din clasa a IX-a, $30$ din a X-a, $20$ din a XI-a și $10$ din a XII-a. Verificare: $40 + 30 + 20 + 10 = 100$ ✓.

17. a) $\overset{x}{ˉ} = \frac{7 + 9 + 10 + 11 + 13}{5} = \frac{50}{5} = 10$ . b) Datele sunt deja ordonate și $n = 5$ este impar, deci $Q_{2} = 10$ . c) Abaterile: $- 3, - 1, 0, 1, 3$ , cu suma $0$ ✓; pătratele: $9, 1, 0, 1, 9$ , cu suma $20$ . Deci $σ = \frac{20}{5} = 2$ .

18. a) Media devine $6 + 5 = 11$ , iar abaterea standard rămâne $2$ : adunarea unei constante mută tot setul, fără să schimbe distanțele dintre date. b) Înmulțirea cu $3$ triplează și media, și abaterea standard; adunarea lui $5$ mută doar media. Deci noua medie este $3 \cdot 6 + 5 = 23$ , iar noua abatere standard este $3 \cdot 2 = 6$ . Justificarea: dacă $y_{i} = 3 x_{i} + 5$ , atunci $\overset{y}{ˉ} = 3 \overset{x}{ˉ} + 5$ și $y_{i} - \overset{y}{ˉ} = 3 (x_{i} - \overset{x}{ˉ})$ , deci fiecare pătrat se înmulțește cu $9$ , iar radicalul cu $3$ .

De reținut

Orice analiză statistică răspunde la două întrebări: unde stau datele (medie, mediană, mod) și cât de împrăștiate sunt (amplitudine, $IQR$ , abatere standard). Un set descris doar prin medie nu este descris.
Verificările tabelului de frecvențe: $\sum n_{i} = n$ , $\sum f_{i} = 1$ , $\sum p_{i} = 100%$ , $\sum α_{i} = 36 0^{\circ}$ . Se fac întotdeauna, înainte de orice calcul mai departe.
Cuartilele: ordonezi, calculezi $Q_{2}$ , iar când $n$ este impar valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți; apoi $Q_{1}$ și $Q_{3}$ sunt medianele jumătăților. Cele cinci numere caracteristice sunt $x_{m i n}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, x_{m a x}$ .
Abaterea standard: $σ$ împarte la $n$ (populație), $s$ împarte la $n - 1$ (eșantion); simbolurile nu se amestecă, iar pe aceleași date $s > σ$ . Translația nu o schimbă, înmulțirea cu $k > 0$ o înmulțește cu $k$ .
Un sondaj este bun prin metodă, nu prin mărime. Doar eroarea de eșantionare scade mărind eșantionul; autoselecția și non-răspunsul rămân. Cotele stratificate se calculează cu $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n$ .

Greșeli frecvente

Mediana calculată fără ordonarea datelor. Este cea mai frecventă greșeală a capitolului și duce mereu la un răspuns greșit. Ordonarea crescătoare este pasul unu, indiferent cât de simple par datele.
Mediana inclusă într-una dintre jumătăți la $n$ impar. Convenția este clară: valoarea mediană nu intră în nicio jumătate. La setul $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ , jumătatea de jos este $3, 5, 7$ , nu $3, 5, 7, 8$ .
Amestecarea lui $σ$ cu $s$ . Împărțirea la $n$ se face pentru populație, cea la $n - 1$ pentru eșantion. Enunțul precizează întotdeauna care este cazul; dacă nu, se lucrează cu $σ$ și se spune explicit că datele sunt considerate întreaga populație.
Comparații între grupuri de mărimi diferite făcute pe numere brute. „La noi au răspuns $30$ de elevi, la ei $50$ " nu spune nimic; comparația se face în procente, prin medii și prin abateri standard.
Confuzia dintre diagrama cu bare și histogramă. Barele stau deasupra unor categorii și sunt separate; histograma stă deasupra unor intervale vecine, iar dreptunghiurile sunt lipite.

Aplică acasă

Statistica familiei tale. Notează, timp de o săptămână, câte minute petreci zilnic pe drum spre școală și înapoi. La final calculează media, mediana, cele cinci numere caracteristice și abaterea standard, apoi desenează boxplot-ul. Compară cu un coleg: cine are drumul mai previzibil?
Vânătoarea de grafice înșelătoare. Caută în presă sau pe rețelele sociale trei grafice cu date. Verifică pentru fiecare: axa valorilor pornește de la zero? procentele adună $100%$ ? este scrisă mărimea eșantionului? Notează ce lipsește. Vei descoperi că cele mai multe grafice greșite nu mint prin cifre, ci prin desen.
Sondajul din clasă. Alcătuiește un chestionar cu trei întrebări neutre, cu variante care nu se suprapun, și aplică-l colegilor. Fă tabelul de frecvențe, diagrama circulară și extrapolează la nivelul întregii școli. Scrie concluzia obligatoriu cu „estimăm", cu numărul de respondenți și cu limitările.

Pentru părinți și profesori

Lecția reunește tot capitolul de statistică matematică și sondaje: populație, eșantion și caracteristică; tabele de frecvențe absolute, relative, procentuale și cumulate; cele cinci reprezentări grafice din programă (bare, diagramă circulară, histogramă, poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate, boxplot); mărimile caracteristice (medie, mediană, mod, cuartile, amplitudine, abatere standard); compararea seturilor și etapele unui sondaj. Ideea structurantă este că orice descriere statistică cere un indicator de centru și unul de împrăștiere, iar exemplul 5 arată de ce: două grupe cu aceeași medie, aceeași mediană și aceleași cuartile pot fi profund diferite.

Puncte de verificat: (1) ordonează datele înainte de mediană și de cuartile; (2) respectă convenția prin care, la $n$ impar, mediana nu intră în jumătăți; (3) folosește $σ$ pentru populație și $s$ pentru eșantion, fără să le amestece; (4) verifică $\sum n_{i} = n$ , $\sum p_{i} = 100%$ și $\sum α_{i} = 36 0^{\circ}$ ; (5) știe că bare înseamnă categorii, iar histogramă înseamnă intervale; (6) înțelege că un eșantion mai mare nu repară autoselecția. Întrebări bune de control: „De ce media și mediana pot să difere mult?", „Ce se schimbă în abaterea standard dacă toate notele cresc cu un punct?", „De ce un sondaj online voluntar nu e reprezentativ?".

La Bacalaureat, statistica apare în probleme scurte, cu trei subpuncte: media, mediana și abaterea standard ale unui set mic de date, uneori și citirea unui tabel sau a unei diagrame. Baremul punctează separat ordonarea datelor, scrierea formulei și calculul final. Semne că elevul a înțeles: scrie mereu $n$ lângă set, verifică suma abaterilor față de medie și își pune întrebarea „ce înseamnă acest număr?" după fiecare rezultat.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre medie și mediană și pe care o folosesc? Media adună toate valorile și împarte la numărul lor; mediana este valoarea din mijloc, după ordonare. Media este sensibilă la valori extreme, mediana nu. Când cele două diferă mult, setul are valori extreme și descrierea corectă se face pe mediană. De aceea salariul median spune, de obicei, mai mult decât salariul mediu.

Cum calculez cuartilele când numărul de date este impar? Ordonezi datele, iei mediana $Q_{2}$ ca valoare din mijloc și apoi o scoți din calcul: $Q_{1}$ este mediana valorilor strict de dinaintea ei, iar $Q_{3}$ mediana valorilor strict de după ea. La setul $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ obții $Q_{1} = 5$ , $Q_{2} = 8$ , $Q_{3} = 12$ .

Când folosesc $σ$ și când $s$ ? $σ$ (împărțire la $n$ ) se folosește când setul de date este toată populația studiată — toți elevii clasei, toate zilele lunii. $s$ (împărțire la $n - 1$ ) se folosește când setul este un eșantion extras dintr-o populație mai mare. Pe aceleași date, $s$ este întotdeauna mai mare decât $σ$ .

Ce înseamnă concret o abatere standard mare? Că valorile stau, în medie, departe de medie: grupul este eterogen, iar rezultatele sunt greu de prezis. O abatere standard mică înseamnă grup omogen. Valoarea $σ = 0$ apare exact atunci când toate datele sunt egale.

Ce arată și ce nu arată un boxplot? Arată cele cinci numere caracteristice, deci poziția, împrăștierea și simetria setului. Nu arată câte date sunt, ce valori individuale au și dacă există mai multe grupuri distincte. De aceea, când compari două boxplot-uri, scrii întotdeauna și volumele seturilor.

Când grupez datele pe clase și cum aleg clasele? Grupezi datele continue sau cele discrete cu foarte multe valori diferite. Clasele se scriu semideschis, $[a, b)$ , au aceeași lățime și sunt între $5$ și $10$ la număr. Lățimea se obține împărțind amplitudinea la numărul de clase și rotunjind în sus la un număr comod.

Un sondaj cu mai mulți respondenți este automat mai bun? Nu. Mărimea reduce doar eroarea de eșantionare. Dacă eșantionul este ales prost — de exemplu, răspund doar cei care vor, ceea ce se numește autoselecție — rezultatul rămâne distorsionat oricât de mulți respondenți ai. Reprezentativitatea se obține prin metodă: aleatoriu simplu sau stratificat.

Ce fel de probleme de statistică se dau la Bacalaureat? Cel mai frecvent: calculul mediei, al medianei și al abaterii standard pentru un set mic de date, citirea unui tabel de frecvențe sau a unei diagrame și determinarea unui procent. Sunt exerciții scurte, în care punctele se pierd din ordonarea uitată sau din confundarea celor două formule ale abaterii standard.