Simetricul unui punct față de un punct: formulă

Formulă din tema Dreapta în plan, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A$ este punctul dat, $P$ este centrul de simetrie, iar $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $P$; astfel $P$ devine mijlocul segmentului $A{A}^{\prime }$. Regula: dublezi coordonatele centrului și scazi coordonatele punctului. Aceeași formulă rezolvă problema inversă „știu mijlocul și un capăt, aflu celălalt capăt”. Față de origine, simetricul lui $A(x_A,y_A)$ este $A^{\prime }(-x_A,-y_A)$. Aplicație: într-un paralelogram $ABCD$ diagonalele au același mijloc, deci $x_A+x_C=x_B+x_D$ și $y_A+y_C=y_B+y_D$ — de aici afli al patrulea vârf.

Exemplu: Simetricul lui $A(1,2)$ față de $P(4,3)$ este $A^{\prime }(2\cdot 4-1,2\cdot 3-2)=A^{\prime }(7,4)$. Verificare: mijlocul lui $A{A}^{\prime }$ este $\left(\frac{1+7}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(4,3)=P$ ✓ • În paralelogramul $ABCD$ cu $A(0,0)$, $B(4,1)$ și $C(6,5)$: $x_D=0+6-4=2$ și $y_D=0+5-1=4$, deci $D(2,4)$.