Ce este distributivitatea înmulțirii?

Lecția pe scurt · clasa a IV-a · Trucurile înmulțirii: proprietăți

Este proprietatea care îți dă voie să desfaci un factor incomod într-o sumă și să înmulțești pe bucăți: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ . Astfel $6 \times 103 = 6 \times 100 + 6 \times 3 = 618$ . Alături de ea, înmulțirea mai are comutativitatea, care lasă factorii să-și schimbe locul, asociativitatea, care lasă gruparea liberă, și pe 1 ca element neutru, orice număr înmulțit cu 0 dând 0.

Înmulțirea are patru „trucuri” care ne ajută să calculăm mai repede. Comutativitatea spune că poți schimba locul factorilor: 3 · 5 = 5 · 3. Asociativitatea spune că poți schimba gruparea, când ai trei factori: (2 · 5) · 3 = 2 · (5 · 3) — caută mereu perechi care dau numere rotunde, precum 4 · 25 = 100. Elementul neutru este 1, pentru că orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat, iar orice număr înmulțit cu 0 dă 0. Cea mai puternică proprietate este distributivitatea: descompui un factor incomod într-o sumă și înmulțești pe bucăți: a · (b + c) = a · b + a · c. De exemplu, 6 · 103 = 6 · 100 + 6 · 3 = 600 + 18 = 618. Aceste proprietăți, folosite împreună, transformă un calcul greu într-unul rapid și sigur.

De reținut

distributivitate: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
comutativitate și asociativitate: ordinea și gruparea factorilor sunt libere
$a \times 1 = a$ , iar $a \times 0 = 0$

Greșeala tipică

Se aplică distributivitatea pe jumătate, înmulțind doar cu primul termen din paranteză. La $6 \times (100 + 3)$ trebuie înmulțiți amândoi termenii, altfel se pierde bucata de 18.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează cât mai isteț, grupând perechea rotundă: 2 · 39 · 5 = ____
- a) 390
- b) 78
- c) 195
- d) 410
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 390

Prin comutativitate mutăm factorii ca perechea rotundă 2 · 5 = 10 să stea alături, apoi prin asociativitate o grupăm: 2 · 39 · 5 = (2 · 5) · 39 = 10 · 39 = 390.
Ce proprietate a înmulțirii este ilustrată de egalitatea 254 · 0 = 0?
- a) Comutativitatea
- b) Elementul neutru
- c) Înmulțirea cu 0
- d) Distributivitatea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Înmulțirea cu 0

Orice număr înmulțit cu 0 dă mereu 0, oricât de mare ar fi numărul. Aceasta este proprietatea „înmulțirea cu 0”, diferită de elementul neutru (care este 1, nu 0).
Calculează cât mai isteț, grupând perechea rotundă: 4 · 57 · 25 = ____
- a) 5700
- b) 1140
- c) 228
- d) 5710
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 5700

Prin comutativitate mutăm factorii ca perechea rotundă 4 · 25 = 100 să stea alături, apoi prin asociativitate o grupăm: 4 · 57 · 25 = (4 · 25) · 57 = 100 · 57 = 5700.

Întrebări conexe

Cum calculez 4 × 17 × 25 mai repede?

Grupezi factorii care dau un număr rotund: $4 \times 25 = 100$ , apoi $100 \times 17 = 1700$ . Dacă ai fi mers în ordinea scrisă, ai fi avut de făcut $68 \times 25$ , un calcul mult mai greu. Gruparea liberă este îngăduită de asociativitate.

Cum înmulțesc repede cu 11?

Rupi pe $11$ în $10 + 1$ și înmulțești cu fiecare bucată: $23 \times 11 = 230 + 23 = 253$ . Același drum merge și la $12$ , la $21$ sau la $101$ , dacă desfaci al doilea factor într-o parte rotundă și un rest mic.

Cum înmulțesc 8 cu 99 folosind distributivitatea?

Scrii $99 = 100 - 1$ , deci $8 \times 99 = 8 \times 100 - 8 = 800 - 8 = 792$ . Proprietatea funcționează și cu scădere, nu doar cu adunare, iar la numere apropiate de sute sau de mii este cel mai comod drum.

Merg proprietățile înmulțirii și la împărțire?

Nu. Împărțirea nu este comutativă, fiindcă $12 : 3$ nu este egal cu $3 : 12$ , și nici asociativă. Elementul ei neutru la dreapta este tot 1, pentru că $a : 1 = a$ , dar celelalte reguli nu se pot muta de la înmulțire.

De ce ordinea factorilor nu schimbă produsul?

Pentru că un dreptunghi format din 3 rânduri de câte 5 pătrățele are tot atâtea pătrățele ca unul din 5 rânduri de câte 3. Întorci desenul cu un sfert de rotire și obții cealaltă formă, dar numărul rămâne același.

Cum folosesc proprietățile într-un exercițiu cu paranteze?

Poți fie să calculezi întâi paranteza, fie să înmulțești pe bucăți, după cum îți convine. La $5 \times (20 + 7)$ obții atât $5 \times 27 = 135$ , cât și $100 + 35 = 135$ . Alegi drumul care cere calcule mai simple.

Oamenii mai întreabă și: distributivitatea înmulțirii · proprietățile înmulțirii · comutativitatea înmulțirii · element neutru la înmulțire · calcul rapid la înmulțire