Matematică la liceul tehnologic — clasa a XII-a

Lecții de matematică pentru clasa a XII-a la liceul tehnologic — profilurile tehnic, servicii, resurse naturale și protecția mediului —, pe unitățile programei. Fiecare lecție scrisă pentru filiera tehnologică pornește de la o situație dintr-o meserie (un deviz, o rată, panta unui drum, un lot de piese), ajunge la modelul matematic, îl rezolvă pas cu pas și se încheie cu exerciții cu răspuns și cu locul temei la Bacalaureatul M3: dacă și cum a apărut în probele oficiale. Materia anului trecut: clasa a XI-a, la tehnologic.

Pentru recapitulări de câteva minute: Învață ușor — mini-lecțiile de la tehnologic ale clasei, câte o noțiune pe pagină, ca răspuns la o întrebare.

Programa și examenul

Lecțiile urmează programa școlară a clasei a XII-a pentru filiera tehnologică (PROGRAMA 2, OMEC nr. 5959/2006), cu 3 ore pe săptămână, și programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic, anexa nr. 2 la OMEN nr. 4430/2014), după care se dă examenul în sesiunile 2027–2029. Aceeași programă de examen e valabilă pentru toate profilurile filierei: tehnic, servicii, resurse naturale și protecția mediului.

Cine va da Bacalaureatul în 2030 are la clasele a XI-a și a XII-a programe noi (OMEC nr. 3716/2026, aplicate la clasa a XI-a din 2028–2029 și la clasa a XII-a din 2029–2030), cu alt conținut: lecțiile de aici nu sunt scrise pentru el.

Traseul anului, pe unități

Sub fiecare unitate, după lecții, sunt testul ei, cu barem, și fișa ei de lucru, de tipărit. Pe traseu sunt 144 de lecții: 19 lecții scrise pentru filiera tehnologică și 125 de lecții de la alte profiluri, marcate: fie acolo unde programa cere o temă pe care lecțiile de la tehnologic nu o tratează sau o tratează doar în parte, fie imediat după lecția de la tehnologic pe care o desfac în pași mai mici.

1. Legi de compoziție și grupuri

• Lege de compoziție la tehnologic: tabla
• Legea de compoziție internă și tabla operației — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple — lecție de la mate-info (M1)
• Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită — lecție de la mate-info (M1)
• Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule — lecție de la mate-info (M1)
• Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru
• Proprietățile unei legi de compoziție — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Asociativitatea unei legi de compoziție — lecție de la mate-info (M1)
• Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei — lecție de la mate-info (M1)
• Elementul neutru al unei legi de compoziție — lecție de la mate-info (M1)
• Elemente simetrizabile și simetricul unui element — lecție de la mate-info (M1)
• Legi de compoziție cu parametri: determinarea parametrilor din proprietăți — lecție de la mate-info (M1)
• Grupul ℤₙ pentru tehnologic: turele de recepție
• Grupul: definiție și grupuri numerice — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Grupul: definiție și exemple din mulțimile de numere — lecție de la mate-info (M1)
• Reguli de calcul într-un grup; ecuații într-un grup — lecție de la mate-info (M1)
• Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Mulțimea claselor de resturi modulo n; adunarea claselor — lecție de la mate-info (M1)
• Înmulțirea claselor de resturi modulo n; distributivitatea — lecție de la mate-info (M1)
• Grupuri de matrice — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Grupul permutărilor S₃ — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Permutări: definiție, notație și compunere — lecție de la mate-info (M1), clasa a XI-a
• Legi de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții — lecție de la mate-info (M1)
• Grupuri de matrice și grupuri de permutări — lecție de la mate-info (M1)
• Morfism de grupuri la tehnologic: condiția
• Morfisme și izomorfisme de grupuri — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Morfisme de grupuri — lecție de la mate-info (M1)
• Izomorfisme de grupuri; compararea tablelor grupurilor finite — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: legi de compoziție și grupuri · test: legi de compoziție și grupuri — test de la științe ale naturii (M2) · test: legea de compoziție și tabla operației — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă

2. Inele și corpuri

• Inelul și exemplele numerice pentru tehnologic
• Inelul: definiție și exemple — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Inelul: definiție, axiome și exemple — lecție de la mate-info (M1)
• Inele de matrice și inele de funcții reale — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Când ℤₙ este corp: la tehnologic
• Corpul: corpuri numerice și clase modulo p — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Corpul: definiție și exemple; corpul claselor de resturi modulo un număr prim — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: inele, corpuri și polinoame · test: inele și corpuri — test de la științe ale naturii (M2) · fișa de lucru

3. Polinoame

• Polinoame: grad, coeficienți, adunare, tehnologic
• Polinoame peste un corp: formă și operații — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Inelul polinoamelor cu coeficienți într-un corp comutativ — lecție de la mate-info (M1)
• Ce este un polinom. Forma algebrică și gradul — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Egalitatea a două polinoame. Identificarea coeficienților — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Adunarea și scăderea polinoamelor — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Înmulțirea polinoamelor. Gradul produsului — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Valoarea unui polinom. Funcția polinomială — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Rădăcinile unui polinom — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Polinoame cu coeficienți reali: gradul și forma — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a
• Operații cu polinoame și gradul rezultatului — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a
• Funcția polinomială: valori, tabel și rădăcini — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a
• Bac tehnologic: tabelul lui Horner pas cu pas
• Teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Împărțirea polinoamelor peste un corp; teorema restului și teorema lui Bézout — lecție de la mate-info (M1)
• Împărțirea polinoamelor. Teorema împărțirii cu rest — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Algoritmul împărțirii pas cu pas — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Împărțirea la X − a. Teorema restului — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Schema lui Horner — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Teorema împărțirii cu rest la polinoame — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a
• Împărțirea la X − a și schema lui Horner — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a
• Bézout pentru tehnologic: x − a divide polinomul
• Teorema lui Bézout și rădăcinile polinomului — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția polinomială și rădăcinile polinoamelor cu coeficienți clase de resturi — lecție de la mate-info (M1)
• Divizibilitatea polinoamelor — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Teorema lui Bézout — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Divizibilitatea polinoamelor. Teorema lui Bézout — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a
• C.m.m.d.c. și descompunerea în factori — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Divizibilitatea polinoamelor: cel mai mare divizor comun și algoritmul lui Euclid — lecție de la mate-info (M1)
• Descompunerea în factori ireductibili peste C și peste R — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Polinoame ireductibile; descompunerea în factori ireductibili peste diferite corpuri — lecție de la mate-info (M1)
• Rădăcini și Viète de gradul 3 la tehnologic
• Rădăcini reale și ecuații polinomiale — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a
• Polinoame în fizică, chimie și biologie — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a
• Relațiile lui Viète, până la gradul 4 — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al treilea — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Rădăcinile raționale ale unei ecuații algebrice — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ecuații algebrice cu coeficienți întregi: rădăcini întregi și raționale — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Rădăcini conjugate: raționali și reali — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ecuații algebrice cu coeficienți reali și raționali: rădăcini conjugate — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Ecuații binome și ecuații bipătrate — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ecuații reciproce de gradul 3 și 4 — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ecuații reciproce — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a

Exersezi: test: polinoame, împărțire și divizibilitate — test de la științe ale naturii (M2) · test: ecuații algebrice și relațiile lui Viète — test de la științe ale naturii (M2) · test: Polinoame: formă algebrică și operații — test de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a · test: Împărțirea polinoamelor și schema lui Horner — test de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a · test: Divizibilitate, Bézout și ecuații polinomiale — test de la științe ale naturii (M2), clasa a IX-a · test: operații cu polinoame — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · test: împărțirea polinoamelor și schema lui Horner — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · test: divizibilitate și teorema lui Bézout — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · test: ecuații bipătrate și ecuații reciproce — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · test: ecuații algebrice cu coeficienți întregi și raționali — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · test: polinoame peste un corp — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă · test compus, de tipărit

4. Primitive

• Primitiva: încasările unei zile, tehnologic
• Primitive: problema inversă a derivării — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Problema inversă derivării: noțiunea de primitivă — lecție de la mate-info (M1)
• Mulțimea primitivelor. Integrala nedefinită — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți — lecție de la mate-info (M1)
• Ce funcții admit primitive — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Primitivele funcțiilor definite pe ramuri — lecție de la mate-info (M1)
• Primitiva care trece printr-un punct dat — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Proprietățile unei primitive deduse din funcție: monotonie, extreme, convexitate — lecție de la mate-info (M1)
• Primitiva care îndeplinește o condiție; modelări cu primitive — lecție de la mate-info (M1)
• Primitive uzuale: tabel, liniaritate, tehnologic
• Liniaritatea integralei nedefinite — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Tabelul primitivelor uzuale: puteri și radicali — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale — lecție de la mate-info (M1)
• Primitive cu exponențială și logaritm — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Primitive trigonometrice și cu arctangentă — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm: completarea tabelului — lecție de la mate-info (M1)
• Primitive: cum recunoști funcția la examen — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Primitive în științe: de la rată la cantitate — lecție de la științe ale naturii (M2)

Exersezi: test: primitive · test: Primitive și tabelul primitivelor — test de la științe ale naturii (M2) · test: Existența primitivelor și aplicații — test de la științe ale naturii (M2) · fișa de lucru

5. Integrala definită

• Probleme care conduc la noțiunea de integrală — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Leibniz–Newton la tehnologic: calcul în 3 pași
• Integrala definită: aria de sub grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Problema ariei: subgraficul unei funcții și aproximarea lui prin dreptunghiuri — lecție de la mate-info (M1)
• Estimarea unei integrale de pe grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Formula Leibniz-Newton, de la primitivă la arie — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Formula Leibniz–Newton — lecție de la mate-info (M1)
• Integrala pe tronsoane la tehnologic
• Liniaritate, monotonie, aditivitate la integrală — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Încadrarea și compararea integralelor; inegalități cu integrale — lecție de la mate-info (M1)
• Proprietățile integralei definite — lecție de la mate-info (M1)
• Integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Integrala funcțiilor pe ramuri și a funcțiilor cu modul — lecție de la mate-info (M1)
• Bac tehnologic: alegerea funcțiilor la părți
• Integrarea prin părți — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Integrarea prin părți: formula și primele aplicații — lecție de la mate-info (M1)
• Integrarea prin părți pentru integrala definită — lecție de la mate-info (M1)
• Integrarea prin părți aplicată de două ori — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Integrarea prin părți: alegerea părților și aplicarea repetată — lecție de la mate-info (M1)
• Substituția t = u(x) și limitele noi, tehnologic
• Schimbarea de variabilă — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Schimbarea de variabilă: formula și justificarea ei — lecție de la mate-info (M1)
• Schimbarea de variabilă pentru integrala definită — lecție de la mate-info (M1)
• Substituții la integrala definită: tiparele de examen — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Schimbarea de variabilă: recunoașterea derivatei și substituțiile tipice — lecție de la mate-info (M1)
• Cum alegi metoda de calcul al unei integrale — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Fracții în integrală: Q de gradul 2, tehnologic
• Descompunerea în fracții simple — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Primitivele funcțiilor raționale: descompunerea în fracții simple — lecție de la mate-info (M1)
• Primitivele funcțiilor raționale: rădăcini multiple și factori de gradul al doilea — lecție de la mate-info (M1)
• Integrale raționale: numitor de grad cel mult 4 — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Integrale definite din funcții raționale și reductibile la raționale — lecție de la mate-info (M1)
• Cum alegi metoda de integrare — lecție de la mate-info (M1)
• Metode de integrare combinate — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: integrala definită, arii, volume · test: Integrala definită și formula Leibniz–Newton — test de la științe ale naturii (M2) · test: fracții simple și integrale raționale — test de la științe ale naturii (M2) · test: primitivele funcțiilor raționale — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă

6. Aplicații ale integralei definite

• Aria cu integrala la tehnologic: o rigolă
• Aria subgraficului, cu schimbare de semn — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Aria subgraficului unei funcții continue — lecție de la mate-info (M1)
• Arii delimitate de grafice, axe și drepte verticale: cazuri cu schimbare de semn — lecție de la mate-info (M1)
• Aria dintre două curbe — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții — lecție de la mate-info (M1)
• Bac tehnologic: volum prin rotația graficului
• Volumul unui corp de rotație — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Volumul corpului de rotație — lecție de la mate-info (M1)
• Volumele sferei, cilindrului și conului — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Volume de rotație în probleme — lecție de la mate-info (M1)
• Volumele cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei, deduse cu integrala — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: arii delimitate de grafice — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru

Teste de la tehnologic

Începutul de an: Test inițial tehnologic — clasa a XII-a, cu materia anului trecut. Sfârșitul de an: Evaluare sumativă tehnologic — clasa a XII-a. Toate testele clasei, cu barem și rezolvare, se fac direct pe pagină, fără cont:

• Test inițial tehnologic — clasa a XII-a
• Evaluare sumativă tehnologic — clasa a XII-a

Bacalaureatul M3

Pentru cine e acum în clasa a XII-a, examenul e Bacalaureatul M3 din 2027, proba M_tehnologic. Pe site ai:

• subiectele oficiale de Bacalaureat M3, 2013–2026: cele 83 de probe M_tehnologic publicate de minister (modele, simulări, sesiuni), cu enunțul oficial, rezolvare și barem
• Simulare Bac matematică tehnologic nr. 1, scrisă de noi după programa de examen, cu barem
• Simulare Bac matematică tehnologic nr. 2, scrisă de noi după programa de examen, cu barem
• Simulare Bac matematică tehnologic nr. 3, scrisă de noi după programa de examen, cu barem
• Simulare Bac matematică tehnologic nr. 4, scrisă de noi după programa de examen, cu barem
• Simulare Bac matematică tehnologic nr. 5, scrisă de noi după programa de examen, cu barem
• ce probă dai, pe profiluri: de ce la tehnologic e M3, nu M2

Formulele clasei, la tehnologic

Formulele scrise pentru clasa a XII-a la filiera tehnologică, fiecare cu legenda literelor și un exemplu rezolvat. Restul formulelor fiecărei teme sunt pe pagina temei, la secțiunea „Pentru filiera tehnologică”.

• Schema lui Horner și Bézout — Polinoame
• Relațiile lui Viète de gradul 3 — Polinoame
• Legi de compoziție și grupuri — Legi de compoziție și clase de resturi
• Primitive uzuale — Primitive și integrala nedefinită
• Formula Leibniz-Newton — Integrala definită
• Formula integrării prin părți — Integrala definită
• Aria și volumul cu integrale — Aplicații ale integralei definite

Temele: Polinoame · Legi de compoziție și clase de resturi · Primitive și integrala nedefinită · Integrala definită · Aplicații ale integralei definite.

Dacă ești la alt profil

La matematică-informatică (M1) și la științe ale naturii (M2) programa și proba de Bacalaureat sunt altele: matematica de clasa a XII-a, mate-info · matematica de clasa a XII-a, științe ale naturii.

Pentru părinți

La liceul tehnologic matematica are mai puține ore decât la teoretic, iar programa cere mai ales calcul sigur, citirea unui grafic sau a unui tabel și aplicarea unei formule într-o situație concretă. Lecțiile de aici sunt scrise exact așa: problema vine din meserie, matematica o rezolvă. Toate materialele sunt gratuite și nu cer cont.

Pentru profesori

Fișele de lucru de la tehnologic, clasa a XII-a: câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului, teme pentru acasă cu alte exerciții decât fișa și teste compuse pentru unitățile fără test scris, gata de tipărit. Fiecare lecție de la tehnologic are exemple rezolvate, exerciții cu răspuns și secțiunea „Așa vine la Bac M3”, care arată dacă și cum a apărut tema în probele oficiale, cu trimitere la cerințele reale. Testele au barem pe puncte. Toate materialele pentru profesori, pe clase: pagina pentru profesori. Programa: programa de matematică, clasa a XII-a.

Materia clasei, capitol cu capitol, alături de celelalte clase: materia de matematică pe clase. Cum verificăm lecțiile, testele și baremele: cum verificăm matematica.

Întrebări frecvente

Ce se învață la matematică în clasa a XII-a, la liceul tehnologic? legi de compoziție și grupuri; inele și corpuri; polinoame; primitive; integrala definită; aplicații ale integralei definite. Lecțiile, în ordine, sunt în traseul de mai sus.

Câte ore de matematică are clasa a XII-a la liceul tehnologic? Trei ore pe săptămână, pe programa filierei tehnologice (PROGRAMA 2, OMEC nr. 5959/2006).

Câte lecții și teste are clasa a XII-a la tehnologic pe Matepolis? 19 lecții scrise pentru filiera tehnologică și, pe traseul M3 al clasei, încă 125 de lecții de la alte profiluri, pe teme din programa clasei (144 de lecții în total), plus 31 de teste cu barem (20 de teste de la alte profiluri); profesorii au în plus 6 fișe de lucru și 3 teme pentru acasă. Toate sunt gratuite și nu cer cont.

Ce Bacalaureat dau la liceul tehnologic? Proba de matematică M_tehnologic, numită pe scurt M3 — nu M2, care e proba de la științe ale naturii. Pentru cine e acum în clasa a XII-a, examenul e în 2027, pe programa din 2014.

Există fișe de lucru pentru clasa a XII-a la liceul tehnologic? Da: fișele de lucru de la tehnologic, clasa a XII-a au câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului și teme pentru acasă; se tipăresc direct din browser, gratuit și fără cont.

Lecțiile de aici sunt aceleași ca la mate-info? Nu. Sunt scrise separat pentru filiera tehnologică: alte situații, alte exemple, alte exerciții și legătura directă cu cerințele Bacalaureatului M3. Pe traseu stau însă și lecții marcate „de la științe ale naturii (M2)” sau „de la mate-info (M1)”: ele detaliază, în pași mai mici, temele lecțiilor de la tehnologic sau acoperă teme din programă care nu au încă lecție de la tehnologic.