Matematică la liceul tehnologic — clasa a IX-a

Lecții de matematică pentru clasa a IX-a la liceul tehnologic — profilurile tehnic, servicii, resurse naturale și protecția mediului —, pe unitățile programei. Fiecare lecție scrisă pentru filiera tehnologică pornește de la o situație dintr-o meserie (un deviz, o rată, panta unui drum, un lot de piese), ajunge la modelul matematic, îl rezolvă pas cu pas și se încheie cu exerciții cu răspuns și cu locul temei la Bacalaureatul M3: dacă și cum a apărut în probele oficiale.

Pentru recapitulări de câteva minute: Învață ușor — mini-lecțiile de la tehnologic ale clasei, câte o noțiune pe pagină, ca răspuns la o întrebare.

Programa și examenul

Lecțiile urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică — OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 3 —, aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Pe programa nouă, la liceul tehnologic matematica are 2 ore pe săptămână în clasele a IX-a și a X-a; cei intrați în clasa a IX-a până în 2025 au început liceul pe programele vechi, cu 3 ore pe săptămână.

Ce examen dai depinde de anul în care ai intrat la liceu:

• elevii intrați în clasa a IX-a în 2023, 2024 sau 2025 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 sau 2029, pe programa de examen aprobată prin OMEN nr. 4430/2014;
• elevii intrați în clasa a IX-a din 2026 încoace dau Bacalaureatul din 2030, unde matematica devine una dintre probele la alegere (OMEC nr. 4138/2026), pe programele de examen MAT_P3–MAT_P6 (OMEC nr. 5077/2026).

Unitățile marcate „Supliment Bac M3 2027–2029” acoperă teme din programa de examen veche care nu mai sunt în programa nouă a clasei: sunt pentru cei care dau examenul în 2027, 2028 sau 2029.

Traseul anului, pe unități

Sub fiecare unitate, după lecții, sunt testul ei, cu barem, și fișa ei de lucru, de tipărit. Pe traseu sunt 263 de lecții: 43 de lecții scrise pentru filiera tehnologică și 220 de lecții de la alte profiluri, marcate: fie acolo unde programa cere o temă pe care lecțiile de la tehnologic nu o tratează sau o tratează doar în parte, fie imediat după lecția de la tehnologic pe care o desfac în pași mai mici.

1. Elemente de logică matematică

• Propoziții și predicate pentru tehnologic
• Propoziția logică și valoarea de adevăr — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Propoziția logică și valoarea ei de adevăr — lecție de la mate-info (M1)
• Predicate și variabile — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Predicate și variabile — lecție de la mate-info (M1)
• Și, sau, nu: logica garanției la tehnologic
• Negația unei propoziții — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Negația unei propoziții — lecție de la mate-info (M1)
• Conjuncția: propoziții legate prin «și» — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Conjuncția: propoziții legate prin «și» — lecție de la mate-info (M1)
• Disjuncția: propoziții legate prin «sau» — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Disjuncția: propoziții legate prin «sau» — lecție de la mate-info (M1)
• Implicația: dacă… atunci… — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Implicația «dacă…, atunci…» — lecție de la mate-info (M1)
• Echivalența: dacă și numai dacă — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Echivalența «dacă și numai dacă» — lecție de la mate-info (M1)
• Tabelul de adevăr al unui enunț compus — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Tabelul de adevăr al unui enunț compus — lecție de la mate-info (M1)
• Toți, niciunul, unii: cuantificatori la tehnologic
• Cuantificatorii universal și existențial — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Cuantificatorii «oricare» (∀) și «există» (∃) — lecție de la mate-info (M1)
• Reguli de negare: De Morgan — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Reguli de negare: legile lui De Morgan — lecție de la mate-info (M1)
• Negarea cuantificatorilor — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Negarea propozițiilor cu cuantificatori — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: logică matematică · test: Operații logice și tabele de adevăr — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă

2. Progresii

• Progresia aritmetică la tehnologic: rate, salarii
• Dobânda simplă și costurile — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Progresii aritmetice în viața de zi cu zi: dobânda simplă și costurile — lecție de la mate-info (M1)
• Progresia aritmetică și rația — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Progresia aritmetică și rația ei — lecție de la mate-info (M1)
• Termenul general al PA — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Termenul general al unei progresii aritmetice — lecție de la mate-info (M1)
• Suma unei progresii aritmetice — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice — lecție de la mate-info (M1)
• Recunoașterea progresiei aritmetice în probleme — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Cum recunoști o progresie aritmetică într-o problemă — lecție de la mate-info (M1)
• Progresia geometrică în epurarea apei, tehnologic
• Progresia geometrică și rația — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Progresia geometrică și rația ei — lecție de la mate-info (M1)
• Termenul general al progresiei geometrice — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Termenul general al unei progresii geometrice — lecție de la mate-info (M1)
• Suma unei progresii geometrice — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice — lecție de la mate-info (M1)
• Procente repetate și baza de calcul — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Creștere și descreștere procentuală repetată — lecție de la mate-info (M1)
• Progresie aritmetică sau geometrică? — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Aritmetică sau geometrică? Cum alegi modelul potrivit — lecție de la mate-info (M1)
• Recapitulare: logică și progresii — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: progresii · test: Progresii aritmetice și geometrice — test de la științe ale naturii (M2) · test: Progresii aritmetice — sume și probleme — test de la mate-info (M1) · test: Progresii geometrice — creștere procentuală — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru

3. Geometrie analitică

• Reper cartezian și plan de șantier, tehnologic
• Reperul cartezian: axe, origine, cadrane — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Reperul cartezian: axe, origine, cadrane — lecție de la mate-info (M1)
• Coordonatele unui punct din plan — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Coordonatele unui punct din plan — lecție de la mate-info (M1)
• Distanța dintre două puncte în plan — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Distanța dintre două puncte în plan — lecție de la mate-info (M1)
• Coordonatele mijlocului unui segment — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Coordonatele mijlocului unui segment — lecție de la mate-info (M1)
• Figuri în reperul cartezian: perimetre — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Figuri în reperul cartezian: perimetre și verificări — lecție de la mate-info (M1)
• Coordonate în situații practice — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Coordonate în situații practice: orientare și hărți — lecție de la mate-info (M1)
• Panta la tehnologic: rampe, drumuri, acoperișuri
• Panta unei drepte — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Panta unei drepte, ca raport — lecție de la mate-info (M1)
• Ecuația dreptei pentru tehnologic: tarife
• Dreapta din punct și pantă — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată — lecție de la mate-info (M1)
• Dreapta prin două puncte — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ecuația dreptei determinate de două puncte — lecție de la mate-info (M1)
• Dreapta și axele — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Intersecțiile dreptei cu axele de coordonate — lecție de la mate-info (M1)
• Poziția dreptei — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Poziția unei drepte: orizontală, verticală, oblică — lecție de la mate-info (M1)
• Coliniaritatea a trei puncte — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Verificarea coliniarității a trei puncte — lecție de la mate-info (M1)
• Recapitulare: geometrie analitică — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: reper, pantă și ecuația dreptei · test: Reperul cartezian, distanțe și dreapta — test de la științe ale naturii (M2) · test: Coordonate, distanțe și mijloc de segment — test de la mate-info (M1) · test: Figuri în reperul cartezian — test de la mate-info (M1) · test: Panta și ecuațiile dreptei — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă

4. Funcții: lecturi grafice

• Citești graficul: agenda salonului, tehnologic
• Graficul și lectura grafică — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Graficul unei funcții și citirea lui — lecție de la mate-info (M1)
• Ecuații și inecuații rezolvate grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ecuații și inecuații rezolvate grafic — lecție de la mate-info (M1)
• Consum și debit: funcția de gradul I, tehnologic
• Funcția afină — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția afină f(x) = ax + b — lecție de la mate-info (M1)
• Monotonia funcției afine — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Monotonia funcției afine: crescătoare sau descrescătoare — lecție de la mate-info (M1)
• Semnul funcției afine și intersecțiile cu axele — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Semnul funcției afine și intersecțiile cu axele — lecție de la mate-info (M1)
• Funcția afină ca model: costuri, tarife, viteze — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția afină ca model: costuri, tarife, viteze — lecție de la mate-info (M1)
• Profit maxim: funcția de gradul II la tehnologic
• Funcția de gradul al doilea — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția de gradul al doilea f(x) = ax² + bx + c — lecție de la mate-info (M1)
• Parabola, vârful și simetria — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Parabola: vârf, axă de simetrie, ramuri — lecție de la mate-info (M1)
• Intersecțiile parabolei cu axele — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Intersecțiile parabolei cu axele — lecție de la mate-info (M1)
• Monotonia și extremul parabolei — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Monotonia și valoarea extremă (maxim sau minim) — lecție de la mate-info (M1)
• Mulțimea valorilor funcției de gradul doi — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea — lecție de la mate-info (M1)
• Semnul funcției de gradul doi — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Semnul funcției de gradul al doilea, citit pe grafic — lecție de la mate-info (M1)
• Inecuații de gradul doi pe grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Inecuații de gradul al doilea rezolvate grafic — lecție de la mate-info (M1)
• Probleme de maxim și minim în context — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Probleme de maxim și minim în context practic — lecție de la mate-info (M1)
• Randament și funcții-raport, liceu tehnologic
• Produsul a două funcții afine pe grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Produsul a două funcții afine și graficul lui — lecție de la mate-info (M1)
• Câtul a două funcții: domeniu și grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Câtul a două funcții: domeniu și comportament — lecție de la mate-info (M1)
• Comportamentul asimptotic citit pe grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Comportament asimptotic citit pe grafic — lecție de la mate-info (M1)
• Scurgerea apei: funcția radical pentru tehnologic
• Funcția radical de ordin 2 — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția radical de ordin 2: f(x) = √x — lecție de la mate-info (M1)
• Domeniul de definiție al funcției cu radical — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Domeniul de definiție al unei funcții cu radical — lecție de la mate-info (M1)
• Funcția exponențială și deprecierea, tehnologic
• Funcția exponențială — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția exponențială f(x) = a^x — lecție de la mate-info (M1)
• Creșterea exponențială — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Creșterea exponențială: de ce «explodează» — lecție de la mate-info (M1)
• Numărul e și exponențiala naturală — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Numărul irațional e și funcția e^x — lecție de la mate-info (M1)
• Logaritmul zecimal: concentrații, tehnologic
• Logaritmul: definiție — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Logaritmul: definiție și calcul — lecție de la mate-info (M1)
• Funcția logaritmică și graficul ei — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția logaritmică și graficul ei — lecție de la mate-info (M1)
• Logaritmul natural și logaritmul zecimal — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Logaritm natural și logaritm zecimal — lecție de la mate-info (M1)
• Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine — lecție de la mate-info (M1)
• Recapitulare: funcții și lecturi grafice — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: funcții citite pe grafic · test: radical, exponențială, logaritm · test: Funcții obținute prin înmulțire și împărțire — test de la mate-info (M1) · test: Funcția exponențială și creșterea exponențială — test de la mate-info (M1) · test: Logaritmi și funcția logaritmică — test de la mate-info (M1) · test: Parabola — vârf, axă, intersecții — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă

5. Trigonometrie: cercul trigonometric și formulele de bază

• Cercul trigonometric pentru tehnologic: unghiuri
• Măsura unui arc: grade și radiani — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Măsura unui arc: grade și radiani — lecție de la mate-info (M1)
• Cercul trigonometric: punctele asociate — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Cercul trigonometric și punctele asociate numerelor reale — lecție de la mate-info (M1)
• Sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric — lecție de la mate-info (M1)
• Valorile sin și cos pentru unghiurile de bază — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază — lecție de la mate-info (M1)
• Funcția tangentă pe [0, 2π] și domeniul ei — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția tangentă și domeniul ei — lecție de la mate-info (M1)
• Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane — lecție de la mate-info (M1)
• Graficele funcțiilor sinus și cosinus — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Graficele funcțiilor sinus și cosinus pe [0, 2π] — lecție de la mate-info (M1)
• Unghiuri mari la primul cadran, la tehnologic
• Formula fundamentală a trigonometriei — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Formula fundamentală: sin²x + cos²x = 1 — lecție de la mate-info (M1)
• Reducerea la primul cadran: formulele pentru π − x — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Reducerea la primul cadran: sin(π − x) și cos(π − x) — lecție de la mate-info (M1)
• Formulele pentru π + x și 2π − x — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Formule cu π + x și 2π − x — lecție de la mate-info (M1)
• Formulele cu π/2 − x — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Formule cu π/2: sin(π/2 − x) = cos x — lecție de la mate-info (M1)
• Formulele pentru tangentă — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Formule pentru tangentă: tg(π + x) și tg(π − x) — lecție de la mate-info (M1)
• Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta — lecție de la mate-info (M1)
• Recapitulare: trigonometrie — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: cercul trigonometric și reducerea · test: Cercul trigonometric, grade și radiani — test de la mate-info (M1) · test: Valori și semne ale funcțiilor trigonometrice — test de la mate-info (M1) · test: Formula fundamentală și reducerea la primul cadran — test de la mate-info (M1) · test: Formule trigonometrice — calcule și demonstrații — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru

6. Supliment Bac M3: numere reale, modul, aproximări, intervale

Pentru Bacalaureatul M3 din 2027–2029: temă din programa de examen veche, care nu mai e în programa nouă a clasei.

• Compari numere și intervale: liceu tehnologic
• Ordonarea și aproximarea numerelor reale — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Modulul la tehnologic: toleranțe de fabricație
• Modulul unui număr real: reguli de calcul — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția modul: definiție, grafic, ecuații cu module — lecție de la mate-info (M1)
• Aproximări și rotunjiri pe factură, tehnologic

Exersezi: test: numere reale, mulțimi, șiruri · fișa de lucru · tema pentru acasă

7. Supliment Bac M3: mulțimi și inducție

Pentru Bacalaureatul M3 din 2027–2029: temă din programa de examen veche, care nu mai e în programa nouă a clasei.

• Mulțimi pentru tehnologic: clienți și produse
• Mulțimi și intervale: operații și De Morgan — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Inducția matematică pas cu pas, pentru tehnologic
• Metoda inducției matematice — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Metoda inducției matematice: principiul dominoului — lecție de la mate-info (M1)
• Inducția matematică: aplicații simple — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Inducția matematică: sume, inegalități și divizibilitate — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: fișa de lucru

8. Supliment Bac M3: șiruri

Pentru Bacalaureatul M3 din 2027–2029: temă din programa de examen veche, care nu mai e în programa nouă a clasei.

• Șiruri: formulă și recurență, liceu tehnologic
• Șiruri: termen, rang și formulă — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Șiruri de numere: termen, rang, formula termenului general — lecție de la mate-info (M1)
• Șiruri: moduri de definire și recurență — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Moduri de definire a unui șir; șiruri date prin recurență — lecție de la mate-info (M1)
• Trei numere în progresie: condiția, tehnologic
• Caracterizarea progresiilor prin trei termeni consecutivi — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi — lecție de la mate-info (M1)
• Condiții de progresie și intercalarea termenilor — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Condiția ca n numere să fie în progresie; formula aⁿ − bⁿ — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: Progresii aritmetice — termen general — test de la mate-info (M1) · test: Progresii geometrice — termen general — test de la mate-info (M1) · test: Șiruri, recurențe și caracterizarea progresiilor — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru

9. Supliment Bac M3: funcții — definiție, proprietăți, compunere

Pentru Bacalaureatul M3 din 2027–2029: temă din programa de examen veche, care nu mai e în programa nouă a clasei.

• Funcția la tehnologic: tabele de tarife
• Noțiunea de funcție — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ce este o funcție: domeniu, codomeniu, valori — lecție de la mate-info (M1)
• Funcții egale, restricții și imaginea unei mulțimi — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcții egale, restricția unei funcții și imaginea unei funcții — lecție de la mate-info (M1)
• Produs cartezian și cadrane: liceu tehnologic
• Funcții mărginite și funcții pare, tehnologic
• Funcții pare și impare: simetria față de Oy și față de origine — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a X-a
• Funcții pare și impare: simetriile graficului — lecție de la mate-info (M1)
• Funcții periodice la tehnologic: cicluri
• Funcții periodice: perioada citită pe grafic — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a X-a
• Funcții compuse: conversii în lanț, tehnologic
• Operații cu funcții și compunerea funcțiilor — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a X-a
• Operații cu funcții; compunerea funcțiilor — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: funcții, inecuații și sisteme · fișa de lucru · tema pentru acasă

10. Supliment Bac M3: gradul I — inecuații și sisteme

Pentru Bacalaureatul M3 din 2027–2029: temă din programa de examen veche, care nu mai e în programa nouă a clasei.

• Inecuații pe condiții de lucru, la tehnologic
• Funcția de gradul I: ecuații și inecuații — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Sisteme 2×2 la tehnologic: două oferte
• Intersecția a două drepte — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Intersecția a două drepte și interpretarea ei — lecție de la mate-info (M1)
• Sisteme de ecuații și de inecuații de gradul I — lecție de la științe ale naturii (M2)

Exersezi: test: Funcția afină — grafic și monotonie — test de la mate-info (M1) · test: Ecuații și inecuații rezolvate grafic — test de la mate-info (M1) · test: Coliniaritate și intersecții de drepte — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru

11. Supliment Bac M3: gradul II analitic

Pentru Bacalaureatul M3 din 2027–2029: temă din programa de examen veche, care nu mai e în programa nouă a clasei.

• Ecuația de gradul II pentru tehnologic: Delta
• Ecuația de gradul al doilea: deducerea formulelor — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Ecuația de gradul al doilea: deducerea formulelor de rezolvare — lecție de la mate-info (M1)
• Viète: suma și produsul rădăcinilor, tehnologic
• Relațiile lui Viète — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Relațiile lui Viète și aplicațiile lor — lecție de la mate-info (M1)
• Suma și produsul date: liceu tehnologic
• Sisteme cu ecuații de gradul al doilea — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Când trinomul e pozitiv: liceu tehnologic
• Puncte comune dreaptă–parabolă: la tehnologic
• Dreapta și parabola: poziții relative, parametri și tangență — lecție de la științe ale naturii (M2), clasa a X-a
• Dreaptă și parabolă: interpretarea geometrică a sistemelor — lecție de la mate-info (M1)

Exersezi: test: ecuația și funcția de gradul II · test: Semn, monotonie și probleme de extrem — test de la mate-info (M1) · test: Relațiile lui Viète și ecuația de gradul al doilea — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă

12. Supliment Bac M3: vectori în plan

Pentru Bacalaureatul M3 din 2027–2029: temă din programa de examen veche, care nu mai e în programa nouă a clasei.

• Vectori: forțe și deplasări, tehnologic
• Segmentul orientat și vectorul în plan — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Rezultanta forțelor la tehnologic
• Adunarea vectorilor: triunghi și paralelogram — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Vector înmulțit cu un număr, pentru tehnologic
• Înmulțirea unui vector cu un scalar — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Vector pe două direcții date, la tehnologic
• Descompunerea unui vector după doi vectori — lecție de la științe ale naturii (M2)

Exersezi: test: vectori, sume și unghiul dublu · fișa de lucru · tema pentru acasă

13. Supliment Bac M3: trigonometrie — adunare și dublu unghi

Pentru Bacalaureatul M3 din 2027–2029: temă din programa de examen veche, care nu mai e în programa nouă a clasei.

• Cotangenta: domeniu, grafic, perioadă, tehnologic
• Funcția cotangentă și periodicitatea — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Funcția cotangentă; periodicitatea funcțiilor trigonometrice — lecție de la mate-info (M1)
• Formulele de adunare: sin și cos, tehnologic
• Formulele sin(a ± b) și cos(a ± b) — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Formulele pentru sumă și diferență: sin(a±b), cos(a±b), tg(a±b) — lecție de la mate-info (M1)
• Unghiul dublu la tehnologic: sin 2a, cos 2a
• Formulele unghiului dublu — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate — lecție de la mate-info (M1)
• Trigonometria în triunghiul dreptunghic, recapitulare — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Trigonometria în triunghiul dreptunghic — recapitulare și extindere — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Valorile funcțiilor trigonometrice din tabele și cu mijloace digitale — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Valorile funcțiilor trigonometrice: tabele și instrumente digitale — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Teorema cosinusului: enunț și aplicații — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Teorema cosinusului — lecție de la mate-info (M1)
• Teorema cosinusului: enunț și primele aplicații — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor din laturi — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Natura unui triunghi din lungimile laturilor — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Natura unui triunghi determinată din lungimile laturilor — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Teorema sinusurilor: enunț și aplicații — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Teorema sinusurilor și cercul circumscris — lecție de la mate-info (M1)
• Teorema sinusurilor: enunț și aplicații — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Rezolvarea triunghiului: cazurile ULU și LLU — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Rezolvarea triunghiurilor oarecare — lecție de la mate-info (M1)
• Rezolvarea triunghiului: cazurile ULU și LLU — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Măsurători indirecte: triangulație și navigație — lecție de la științe ale naturii (M2)
• Măsurători indirecte: triangulație, teren și navigație — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a
• Recapitulare: aplicații ale trigonometriei în geometrie — lecție de la mate-info (M1), clasa a X-a

Exersezi: test: teorema cosinusului — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · test: teorema sinusurilor și raza cercului circumscris — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · test: rezolvarea triunghiurilor oarecare — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · fișa de lucru · tema pentru acasă

Traseul continuă în clasa a X-a, la tehnologic.

Teste de la tehnologic

Începutul de an: Test inițial tehnologic — clasa a IX-a, cu materia anului trecut. Sfârșitul de an: Evaluare sumativă tehnologic — clasa a IX-a. Toate testele clasei, cu barem și rezolvare, se fac direct pe pagină, fără cont:

• Test inițial tehnologic — clasa a IX-a
• Evaluare sumativă tehnologic — clasa a IX-a

Bacalaureatul M3

Cine e în clasa a IX-a în 2026–2027 dă Bacalaureatul în 2030, pe programele noi. Pentru cei care dau proba M3 în 2027–2029 (colegii mai mari), pe site sunt:

• subiectele oficiale de Bacalaureat M3, 2013–2026: cele 83 de probe M_tehnologic publicate de minister (modele, simulări, sesiuni), cu enunțul oficial, rezolvare și barem
• traseul clasei a XII-a, la tehnologic, cu simulările complete
• ce probă dai, pe profiluri: de ce la tehnologic e M3, nu M2

Formulele clasei, la tehnologic

Formulele scrise pentru clasa a IX-a la filiera tehnologică, fiecare cu legenda literelor și un exemplu rezolvat. Restul formulelor fiecărei teme sunt pe pagina temei, la secțiunea „Pentru filiera tehnologică”.

• Modulul și intervalele — Numere reale, modul și parte întreagă
• Funcția de gradul I — Funcția liniară și reperul cartezian
• Progresii aritmetice și geometrice — Progresii
• Funcția de gradul al doilea — Funcția de gradul al doilea
• Ecuația de gradul al doilea și Viète — Funcția de gradul al doilea
• Distanța, mijloc și panta — Dreapta în plan
• Ecuația dreptei — Dreapta în plan
• Vectori în plan — Dreapta în plan
• Trigonometrie: valori și reducere — Trigonometrie
• Formule trigonometrice de adunare — Trigonometrie

Temele: Numere reale, modul și parte întreagă · Funcția liniară și reperul cartezian · Progresii · Funcția de gradul al doilea · Dreapta în plan · Trigonometrie.

Dacă ești la alt profil

La matematică-informatică (M1) și la științe ale naturii (M2) programa și proba de Bacalaureat sunt altele: matematica de clasa a IX-a, mate-info · matematica de clasa a IX-a, științe ale naturii.

Pentru părinți

La liceul tehnologic matematica are mai puține ore decât la teoretic, iar programa cere mai ales calcul sigur, citirea unui grafic sau a unui tabel și aplicarea unei formule într-o situație concretă. Lecțiile de aici sunt scrise exact așa: problema vine din meserie, matematica o rezolvă. Toate materialele sunt gratuite și nu cer cont.

Pentru profesori

Fișele de lucru de la tehnologic, clasa a IX-a: câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului, teme pentru acasă cu alte exerciții decât fișa, gata de tipărit. Fiecare lecție de la tehnologic are exemple rezolvate, exerciții cu răspuns și secțiunea „Așa vine la Bac M3”, care arată dacă și cum a apărut tema în probele oficiale, cu trimitere la cerințele reale. Testele au barem pe puncte. Toate materialele pentru profesori, pe clase: pagina pentru profesori. Planificarea pe trunchiul comun, cu 2 ore pe săptămână: planificarea calendaristică de clasa a IX-a. Programa: programa nouă de clasa a IX-a. La început de an: testul inițial de clasa a IX-a, cu barem, pe materia clasei a VIII-a.

Materia clasei, capitol cu capitol, alături de celelalte clase: materia de matematică pe clase. Cum verificăm lecțiile, testele și baremele: cum verificăm matematica.

Întrebări frecvente

Ce se învață la matematică în clasa a IX-a, la liceul tehnologic? elemente de logică matematică; progresii; geometrie analitică; funcții: lecturi grafice; trigonometrie: cercul trigonometric și formulele de bază; plus 8 unități „Supliment Bac M3”, pentru cei care dau examenul în 2027–2029. Lecțiile, în ordine, sunt în traseul de mai sus.

Câte ore de matematică are clasa a IX-a la liceul tehnologic? Două ore pe săptămână, pe programa nouă de trunchi comun (OMEC nr. 6930/2025, anexa nr. 3), aplicată din 2026–2027.

Câte lecții și teste are clasa a IX-a la tehnologic pe Matepolis? 43 de lecții scrise pentru filiera tehnologică și, pe traseul M3 al clasei, încă 220 de lecții de la alte profiluri, pe teme din programa clasei (263 de lecții în total), plus 40 de teste cu barem (28 de teste de la alte profiluri); profesorii au în plus 13 fișe de lucru și 8 teme pentru acasă. Toate sunt gratuite și nu cer cont.

Ce Bacalaureat dau la liceul tehnologic? Proba de matematică M_tehnologic, numită pe scurt M3 — nu M2, care e proba de la științe ale naturii. Cine intră în clasa a IX-a în 2026 o dă în noul format din 2030, unde matematica e probă la alegere.

Există fișe de lucru pentru clasa a IX-a la liceul tehnologic? Da: fișele de lucru de la tehnologic, clasa a IX-a au câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului și teme pentru acasă; se tipăresc direct din browser, gratuit și fără cont.

Lecțiile de aici sunt aceleași ca la mate-info? Nu. Sunt scrise separat pentru filiera tehnologică: alte situații, alte exemple, alte exerciții și legătura directă cu cerințele Bacalaureatului M3. Pe traseu stau însă și lecții marcate „de la științe ale naturii (M2)” sau „de la mate-info (M1)”: ele detaliază, în pași mai mici, temele lecțiilor de la tehnologic sau acoperă teme din programă care nu au încă lecție de la tehnologic.