Matematică la liceul tehnologic — clasa a XI-a
Lecții de matematică pentru clasa a XI-a la liceul tehnologic — profilurile tehnic, servicii, resurse naturale și protecția mediului —, pe unitățile programei. Fiecare lecție scrisă pentru filiera tehnologică pornește de la o situație dintr-o meserie (un deviz, o rată, panta unui drum, un lot de piese), ajunge la modelul matematic, îl rezolvă pas cu pas și se încheie cu exerciții cu răspuns și cu locul temei la Bacalaureatul M3: dacă și cum a apărut în probele oficiale. Materia anului trecut: clasa a X-a, la tehnologic.
Pentru recapitulări de câteva minute: Învață ușor — mini-lecțiile de la tehnologic ale clasei, câte o noțiune pe pagină, ca răspuns la o întrebare.
Programa și examenul
Lecțiile urmează programa școlară a clasei a XI-a pentru filiera tehnologică (PROGRAMA 2, OMEC nr. 3252/2006), cu 3 ore pe săptămână, și programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic, anexa nr. 2 la OMEN nr. 4430/2014), după care se dă examenul în sesiunile 2027–2029. Aceeași programă de examen e valabilă pentru toate profilurile filierei: tehnic, servicii, resurse naturale și protecția mediului.
Cine va da Bacalaureatul în 2030 are la clasele a XI-a și a XII-a programe noi (OMEC nr. 3716/2026, aplicate la clasa a XI-a din 2028–2029 și la clasa a XII-a din 2029–2030), cu alt conținut: lecțiile de aici nu sunt scrise pentru el.
Traseul anului, pe unități
Sub fiecare unitate, după lecții, sunt testul ei, cu barem, și fișa ei de lucru, de tipărit. Pe traseu sunt 137 de lecții: 24 de lecții scrise pentru filiera tehnologică și 113 lecții de la alte profiluri, marcate: fie acolo unde programa cere o temă pe care lecțiile de la tehnologic nu o tratează sau o tratează doar în parte, fie imediat după lecția de la tehnologic pe care o desfac în pași mai mici.
1. Calcul matriceal
- Matrice la tehnologic: tabelul de comenzi
- Matrice: definiție, notații și tipuri — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Tablouri de date și noțiunea de matrice — lecție de la mate-info (M1)
- Tipuri de matrice: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară — lecție de la mate-info (M1)
- Adunarea matricelor: loturi, depozite, tehnologic
- Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor — lecție de la mate-info (M1)
- Înmulțirea unei matrice cu un număr complex — lecție de la mate-info (M1)
- Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple
- Înmulțirea matricelor și ordinea factorilor — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul — lecție de la mate-info (M1)
- Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea — lecție de la mate-info (M1)
- Matrice în practică: costuri, transport, doze — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Matrice care modelează situații practice: costuri, fluxuri, stocuri — lecție de la mate-info (M1)
Exersezi: test: matrice și determinanți · test: Matrice: operații și contexte practice — test de la științe ale naturii (M2) · test: adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr — test de la mate-info (M1) · test: înmulțirea matricelor și proprietățile ei — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă
2. Determinanți
- Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid
- Determinantul de ordinul al doilea — lecție de la mate-info (M1)
- Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou
- Determinanți de ordinul 2 și 3 — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus și regula triunghiului — lecție de la mate-info (M1)
- Proprietățile determinanților, la lucru — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Proprietățile determinanților (I): transpusa, linii nule, factor comun — lecție de la mate-info (M1)
- Proprietățile determinanților (II): schimbarea liniilor, linii proporționale, transformări — lecție de la mate-info (M1)
- Determinantul produsului a două matrice — lecție de la mate-info (M1)
- Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană — lecție de la mate-info (M1)
Exersezi: test: determinanți de ordinul 2 și 3 — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru
3. Matrice inversabile și ecuații matriceale
- Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic
- Matrice inversabilă: criteriul determinantului — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului — lecție de la mate-info (M1)
- Inversa 3×3 în patru pași, la tehnologic
- Inversa unei matrice, cu matricea adjunctă — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Calculul inversei cu matricea adjunctă — lecție de la mate-info (M1)
- Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic
- Ecuații matriceale: AX = B și XA = B — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Ecuații matriceale — lecție de la mate-info (M1)
Exersezi: test: inversa, ecuații matriceale, sisteme · test: Matrice inversabile și aplicații geometrice — test de la științe ale naturii (M2) · fișa de lucru · tema pentru acasă
4. Sisteme de ecuații liniare
- Forma matriceală: dozarea aditivilor, tehnologic
- Forma matriceală a unui sistem cu 3 necunoscute — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă — lecție de la mate-info (M1)
- Sistemul rezolvat cu X = A⁻¹B, cu proba pe loc — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Rezolvarea sistemelor cu ajutorul matricei inverse — lecție de la mate-info (M1)
- Cramer pas cu pas: sisteme 3×3 la tehnologic
- Metoda lui Cramer, la cel mult 3 necunoscute — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Sisteme de tip Cramer: teorema și formulele lui Cramer — lecție de la mate-info (M1)
- Metoda lui Gauss pentru sisteme cu trei necunoscute — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare — lecție de la mate-info (M1)
- Poziția relativă a două drepte în plan — lecție de la mate-info (M1)
- Modelarea situațiilor practice cu sisteme de ecuații liniare — lecție de la mate-info (M1)
- Aria triunghiului din coordonate, tehnologic
- Coliniaritate și dreapta, cu determinant — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Aria triunghiului calculată cu un determinant — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Ecuația dreptei determinate de două puncte. Forma cu determinant — lecție de la mate-info (M1)
- Condiția de coliniaritate a trei puncte — lecție de la mate-info (M1)
- Aria unui triunghi cu ajutorul determinantului — lecție de la mate-info (M1)
- Probleme de geometrie analitică: distanțe deduse din arii și optimizare — lecție de la mate-info (M1)
Exersezi: test: ecuații matriceale și sisteme liniare — test de la științe ale naturii (M2) · test: dreapta prin două puncte și coliniaritatea — test de la mate-info (M1) · test: distanța de la un punct la o dreaptă și aria triunghiului — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă
5. Limite și asimptote
- Limite laterale la tehnologic: apa la stăvilar
- Intervale, mărginire și vecinătăți — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite — lecție de la mate-info (M1)
- Limita într-un punct, citită de pe grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Limite laterale: când există limita unei funcții — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Limite laterale — lecție de la mate-info (M1)
- Limite la plus infinit și la minus infinit — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Calculul limitelor uzuale, tehnologic
- Limitele funcțiilor polinomiale și raționale — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Nedeterminările zero supra zero și infinit supra infinit la funcții raționale — lecție de la mate-info (M1)
- Limite de putere și radical — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Limite cu exponențială și logaritm — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică — lecție de la mate-info (M1)
- Nedeterminări de tip 0/0 la tehnologic
- Operații cu limite și cazurile exceptate — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Operații cu limite de funcții — lecție de la mate-info (M1)
- Asimptote pentru tehnologic: randamentul pompei
- Asimptote verticale și orizontale — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Comportarea graficului la infinit și lângă punctele excluse: ce este o asimptotă — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
- Asimptota orizontală — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
- Asimptota verticală — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
- Asimptota oblică: când există și cum se află — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Asimptota oblică — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
Exersezi: test: limite și asimptote · test: Limite de funcții: noțiune, limite laterale și la infinit — test de la științe ale naturii (M2) · test: funcția logaritmică — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · test: funcția exponențială și proprietățile ei — test de la mate-info (M1), clasa a X-a · fișa de lucru · tema pentru acasă
6. Funcții continue
- Continuitatea la tehnologic: viteza telegondolei
- Continuitatea: într-un punct și pe interval — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Continuitatea unei funcții într-un punct — lecție de la mate-info (M1)
- Parametrul care face continuă o funcție pe ramuri — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Funcții continue definite pe ramuri. Determinarea parametrilor — lecție de la mate-info (M1)
- Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue, compunere și inversă — lecție de la mate-info (M1)
- Darboux la tehnologic: rădăcină pe interval
- Funcții continue: operații și semn pe interval — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Semnul unei funcții continue pe un interval — lecție de la mate-info (M1)
- Proprietatea lui Darboux — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Proprietatea valorilor intermediare — lecție de la mate-info (M1)
- Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale — lecție de la mate-info (M1)
Exersezi: test: continuitate și derivate · test: Asimptote și continuitate — test de la științe ale naturii (M2) · fișa de lucru
7. Funcții derivabile
- Derivata, viteza și tangenta pentru tehnologic
- Derivata unei funcții: panta tangentei la grafic — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Problema tangentei și definiția derivatei într-un punct — lecție de la mate-info (M1)
- Funcție derivabilă și funcția derivată — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Ecuația tangentei la graficul unei funcții — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Interpretarea geometrică a derivatei. Ecuația tangentei la grafic — lecție de la mate-info (M1)
- Reguli de derivare la tehnologic: ritmul în lei
- Tabelul derivatelor funcțiilor uzuale — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Derivatele funcțiilor uzuale — lecție de la mate-info (M1)
- Reguli de derivare: suma, produsul și câtul — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Operații cu funcții derivabile: derivata sumei, a produsului și a câtului — lecție de la mate-info (M1)
- Regula lanțului: derivezi dinafară înăuntru — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Derivarea funcțiilor compuse — lecție de la mate-info (M1)
- Cum derivezi orice funcție de la examen — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Bac tehnologic: derivate de ordinul doi pe exemple
- Derivata a doua și curbura graficului — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Derivata de ordinul al doilea — lecție de la mate-info (M1)
- Regula l'Hospital: când se aplică, tehnologic
- Regula lui l'Hôspital, fără demonstrație — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Regulile lui L'Hopital pentru zero supra zero și infinit supra infinit — lecție de la mate-info (M1)
- Nedeterminările reduse la l'Hôspital — lecție de la științe ale naturii (M2)
Exersezi: test: Derivata: definiție, tabel și reguli de derivare — test de la științe ale naturii (M2) · fișa de lucru · tema pentru acasă · test compus, de tipărit
8. Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor
- Unde crește și unde scade: derivata, tehnologic
- Monotonia, citită din semnul derivatei — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi — lecție de la mate-info (M1)
- Puncte critice și puncte de extrem — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Punctele de extrem local și determinarea extremelor — lecție de la mate-info (M1)
- Probleme de optimizare: perimetre, arii și volume — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Probleme de extrem în geometrie — lecție de la mate-info (M1)
- Probleme de optimizare în economie: cost, profit, productivitate — lecție de la mate-info (M1)
- Convexitate și inflexiune: liceu tehnologic
- Convexitate, concavitate și derivata a doua — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Funcții convexe și funcții concave — lecție de la mate-info (M1)
- Convexitatea și semnul derivatei a doua — lecție de la mate-info (M1)
- Puncte de inflexiune: schimbarea de curbură — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Puncte de inflexiune — lecție de la mate-info (M1)
- Bac tehnologic: graficul unei funcții pas cu pas
- Tabelul de variație, cap-coadă — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Tabelul de variație cu derivata întâi — lecție de la mate-info (M1)
- Tabelul de variație complet, cu derivata întâi și derivata a doua — lecție de la mate-info (M1)
- Imaginea unei funcții pe un interval — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Imaginea unei funcții stabilită cu derivata — lecție de la mate-info (M1)
- Reprezentarea grafică: schema în șapte pași — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Schema completă de studiu al variației unei funcții — lecție de la mate-info (M1)
- Reprezentarea grafică a funcțiilor: schema completă a studiului — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
- Graficele celor patru familii de funcții — lecție de la științe ale naturii (M2)
- Graficul funcțiilor polinomiale — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
- Graficul funcțiilor raționale — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
- Graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
- Grafice din fizică și verificarea cu instrumente digitale — lecție de la mate-info (M1), clasa a XII-a
- Recapitulare: studiul variației funcțiilor — lecție de la mate-info (M1)
Exersezi: test: studiul funcțiilor cu derivate · test: Regula lui L’Hospital, monotonia și punctele de extrem — test de la științe ale naturii (M2) · test: Convexitate, inflexiune și tabelul de variație — test de la științe ale naturii (M2) · test: proprietatea lui Darboux și reprezentarea grafică — test de la științe ale naturii (M2) · test: tabelul de variație și probleme de optimizare — test de la mate-info (M1) · fișa de lucru · tema pentru acasă
Traseul continuă în clasa a XII-a, la tehnologic.
Teste de la tehnologic
Începutul de an: Test inițial tehnologic — clasa a XI-a, cu materia anului trecut. Sfârșitul de an: Evaluare sumativă tehnologic — clasa a XI-a. Toate testele clasei, cu barem și rezolvare, se fac direct pe pagină, fără cont:
Bacalaureatul M3
Pentru cine e acum în clasa a XI-a, examenul e Bacalaureatul M3 din 2028, proba M_tehnologic. Pe site ai:
- subiectele oficiale de Bacalaureat M3, 2013–2026: cele 83 de probe M_tehnologic publicate de minister (modele, simulări, sesiuni), cu enunțul oficial, rezolvare și barem
- traseul clasei a XII-a, la tehnologic, cu simulările complete
- ce probă dai, pe profiluri: de ce la tehnologic e M3, nu M2
Formulele clasei, la tehnologic
Formulele scrise pentru clasa a XI-a la filiera tehnologică, fiecare cu legenda literelor și un exemplu rezolvat. Restul formulelor fiecărei teme sunt pe pagina temei, la secțiunea „Pentru filiera tehnologică”.
- Inversa unei matrice — Matrice și operații cu matrice
- Determinanți de ordin 2 și 3 — Determinanți și matrice inversabile
- Sisteme liniare și Cramer — Sisteme de ecuații liniare
- Limite uzuale și nedeterminări — Limite de funcții și continuitate
- Tabelul derivatelor — Derivate
- Reguli de derivare — Derivate
- Studiul funcției — Studiul variației funcțiilor
- Asimptote — Asimptote și reprezentarea grafică
Temele: Matrice și operații cu matrice · Determinanți și matrice inversabile · Sisteme de ecuații liniare · Limite de funcții și continuitate · Derivate · Studiul variației funcțiilor · Asimptote și reprezentarea grafică.
Dacă ești la alt profil
La matematică-informatică (M1) și la științe ale naturii (M2) programa și proba de Bacalaureat sunt altele: matematica de clasa a XI-a, mate-info · matematica de clasa a XI-a, științe ale naturii.
Pentru părinți
La liceul tehnologic matematica are mai puține ore decât la teoretic, iar programa cere mai ales calcul sigur, citirea unui grafic sau a unui tabel și aplicarea unei formule într-o situație concretă. Lecțiile de aici sunt scrise exact așa: problema vine din meserie, matematica o rezolvă. Toate materialele sunt gratuite și nu cer cont.
Pentru profesori
Fișele de lucru de la tehnologic, clasa a XI-a: câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului, teme pentru acasă cu alte exerciții decât fișa și teste compuse pentru unitățile fără test scris, gata de tipărit. Fiecare lecție de la tehnologic are exemple rezolvate, exerciții cu răspuns și secțiunea „Așa vine la Bac M3”, care arată dacă și cum a apărut tema în probele oficiale, cu trimitere la cerințele reale. Testele au barem pe puncte. Toate materialele pentru profesori, pe clase: pagina pentru profesori. Programa: programa de matematică, clasa a XI-a.
Materia clasei, capitol cu capitol, alături de celelalte clase: materia de matematică pe clase. Cum verificăm lecțiile, testele și baremele: cum verificăm matematica.
Întrebări frecvente
Ce se învață la matematică în clasa a XI-a, la liceul tehnologic? calcul matriceal; determinanți; matrice inversabile și ecuații matriceale; sisteme de ecuații liniare; limite și asimptote; funcții continue; funcții derivabile; studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor. Lecțiile, în ordine, sunt în traseul de mai sus.
Câte ore de matematică are clasa a XI-a la liceul tehnologic? Trei ore pe săptămână, pe programa filierei tehnologice (PROGRAMA 2, OMEC nr. 3252/2006).
Câte lecții și teste are clasa a XI-a la tehnologic pe Matepolis? 24 de lecții scrise pentru filiera tehnologică și, pe traseul M3 al clasei, încă 113 lecții de la alte profiluri, pe teme din programa clasei (137 de lecții în total), plus 24 de teste cu barem (17 teste de la alte profiluri); profesorii au în plus 8 fișe de lucru și 6 teme pentru acasă. Toate sunt gratuite și nu cer cont.
Ce Bacalaureat dau la liceul tehnologic? Proba de matematică M_tehnologic, numită pe scurt M3 — nu M2, care e proba de la științe ale naturii. Pentru cine e acum în clasa a XI-a, examenul e în 2028, pe programa din 2014.
Există fișe de lucru pentru clasa a XI-a la liceul tehnologic? Da: fișele de lucru de la tehnologic, clasa a XI-a au câte o fișă cu barem pe fiecare unitate a traseului și teme pentru acasă; se tipăresc direct din browser, gratuit și fără cont.
Lecțiile de aici sunt aceleași ca la mate-info? Nu. Sunt scrise separat pentru filiera tehnologică: alte situații, alte exemple, alte exerciții și legătura directă cu cerințele Bacalaureatului M3. Pe traseu stau însă și lecții marcate „de la științe ale naturii (M2)” sau „de la mate-info (M1)”: ele detaliază, în pași mai mici, temele lecțiilor de la tehnologic sau acoperă teme din programă care nu au încă lecție de la tehnologic.