Aplicații: dobândă compusă, scara Richter, pH și dezintegrare

Un depozit bancar, un cutremur, o sticlă de suc de lămâie și o bucată de cărbune dintr-o peșteră preistorică nu par să aibă nimic în comun. Și totuși, toate patru sunt descrise de aceeași pereche de funcții. Banii cresc exponențial, atomii radioactivi scad exponențial, iar cutremurele și aciditatea se măsoară pe scări logaritmice tocmai pentru că mărimile fizice din spatele lor se întind pe intervale uriașe — de la $1$ la milioane, uneori la miliarde.

Ideea de fond a acestei lecții este simplă și merită spusă de la început: exponențiala pune întrebarea „cât va fi peste $n$ pași?", iar logaritmul pune întrebarea inversă, „după câți pași ajung acolo?". Prima se rezolvă cu un calcul de putere; a doua, cu un logaritm. Tot ce urmează — dobânda compusă, magnitudinea unui cutremur, pH-ul unei soluții, timpul de înjumătățire al unui izotop — sunt patru costume diferite pentru aceeași matematică. Iar la Bacalaureat M1 aceste contexte apar exact ca aici: cu o formulă dată în enunț și cu obligația de a o folosi corect.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii modelul exponențial al unei creșteri sau descreșteri cu procent fix și să treci de la el la logaritm atunci când necunoscuta este timpul.
• Vei ști să aplici formula dobânzii compuse $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$ și să calculezi în cât timp o sumă atinge o valoare dată.
• Vei ști să folosești regula lui 70 pentru estimarea rapidă a timpului de dublare și să o compari cu rezultatul exact.
• Vei ști să interpretezi magnitudinea Richter, atât ca raport de amplitudini, cât și ca raport de energii.
• Vei ști să calculezi pH-ul unei soluții din concentrația ionilor de hidrogen și invers, și să compari două soluții.
• Vei ști să folosești timpul de înjumătățire pentru a afla cantitatea rămasă după un timp dat sau vechimea unei probe.

Hai să descoperim împreună

1. Structura comună a tuturor problemelor

Aproape toate aplicațiile din această lecție se scriu sub forma $$M(t)=M_0\cdot q^t,$$ unde $M_0$ este valoarea inițială, $q>0$ este factorul de multiplicare pe unitatea de timp, iar $t$ este timpul. Dacă $q>1$, mărimea crește; dacă $0<q<1$, scade.

Ai două tipuri de întrebări:

• Directă: se dă $t$, se cere $M(t)$ — calculezi o putere.
• Inversă: se dă $M(t)$, se cere $t$ — logaritmezi: din $q^t=\frac{M}{M_0}$ rezultă $$t={\log }_q\frac{M}{M_0}=\frac{\lg \frac{M}{M_0}}{\lg q},$$ folosind formula de schimbare a bazei, fiindcă pe calculator ai la dispoziție doar $\lg$ și $\ln$.

Restul lecției este aceeași schemă, îmbrăcată de patru ori.

2. Dobânda compusă

O sumă $S_0$ depusă cu dobândă anuală de $p\%$, capitalizată (adică dobânda se adaugă la capital și produce, la rândul ei, dobândă), devine după $n$ ani $$S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n.$$

Aici $q=1+\frac{p}{100}$ este factorul de creștere: la $6\%$, $q=1,06$. Ideea o cunoști din clasa a IX-a, de la creșterea procentuală repetată; noutatea e că acum poți răspunde și la întrebarea inversă.

Exemplu. Depunem $5000$ de lei cu $6\%$ pe an. După primul an avem $5000\cdot 1,06=5300$ lei; după al doilea, $5300\cdot 1,06=5618$ lei; după al treilea, $5955,08$ lei. După $10$ ani: $$S_{10}=5000\cdot 1,06^{10}\approx 5000\cdot 1,79085\approx 8954,24\text{ lei}.$$

Compară cu dobânda simplă, unde s-ar adăuga în fiecare an câte $300$ de lei: după $10$ ani ai avea doar $8000$ de lei. Diferența de aproape $955$ de lei este „dobânda la dobândă" — efectul exponențial.

Atenție la capitalizarea mai deasă. Dacă dobânda de $12\%$ pe an se capitalizează lunar, factorul lunar este $1+\frac{0,12}{12}=1,01$, iar după un an ai $10000\cdot 1,01^{12}\approx 11268,25$ lei, adică mai mult decât cei $11200$ de lei de la capitalizarea anuală.

3. Întrebarea inversă: în cât timp se dublează suma?

Aici intervine logaritmul. Condiția „suma se dublează" se scrie $S_0{q}^n=2S_0$, adică $q^n=2$, deci $$n={\log }_{q}2=\frac{\lg 2}{\lg q}.$$

Exemplu. La $6\%$ pe an: $n=\frac{\lg 2}{\lg 1,06}\approx \frac{0,30103}{0,025306}\approx 11,90$ ani. Cum banii se adaugă o dată pe an, răspunsul practic este $12$ ani. Verificare: $1,06^{11}\approx 1,8983$ (încă nu s-a dublat), iar $1,06^{12}\approx 2,0122$ (s-a dublat) ✓.

Regula lui 70. Pentru procente mici, timpul de dublare se estimează rapid cu $n\approx \frac{70}{p}$. La $6\%$: $\frac{70}{6}\approx 11,7$ ani, foarte aproape de valoarea exactă $11,90$. La $5\%$: $\frac{70}{5}=14$ ani, față de valoarea exactă $14,21$. Regula e o aproximare utilă în discuții rapide, dar la examen se folosește formula cu logaritmi.

4. Scara Richter

Magnitudinea unui cutremur pe scara Richter este definită prin $$M=\lg \frac{A}{A_0},$$ unde $A$ este amplitudinea maximă înregistrată de seismograf, iar $A_0$ este o amplitudine de referință. Fiind un logaritm zecimal, scara comprimă enorm: o creștere cu o unitate de magnitudine înseamnă o amplitudine de $10$ ori mai mare.

Exemplu. Cutremurul din Vrancea din $4$ martie $1977$ a avut magnitudinea $7,2$, iar cel din $10$ noiembrie $1940$, magnitudinea $7,7$. Raportul amplitudinilor: $$\frac{A_{1940}}{A_{1977}}=\frac{10^{7,7}}{10^{7,2}}=10^{0,5}=\sqrt{10}\approx 3,16.$$ Deși pe scară diferența pare mică — o jumătate de unitate — mișcarea solului a fost de peste trei ori mai amplă.

Energia eliberată crește și mai repede. Relația uzuală, cu energia $E$ măsurată în jouli, este $$\lg E=4,8+1,5M.$$ De aici, o creștere cu o unitate de magnitudine înmulțește energia cu $10^{1,5}\approx 31,6$. Pentru cele două cutremure de mai sus, raportul energiilor este $10^{1,5\cdot 0,5}=10^{0,75}\approx 5,62$: cutremurul din $1940$ a eliberat de aproape șase ori mai multă energie decât cel din $1977$.

Calcul direct. Pentru $M=7,2$: $\lg E=4,8+10,8=15,6$, deci $E=10^{15,6}\approx 3,98\cdot 10^{15}$ jouli — de ordinul consumului de energie electrică al României pe o săptămână.

5. pH-ul soluțiilor

În chimie, aciditatea se măsoară prin pH, definit ca $$\mathrm{pH}=-\lg \left[{\mathrm{H}}^{+}\right],$$ unde $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]$ este concentrația ionilor de hidrogen, în moli pe litru. Semnul minus e acolo doar pentru ca numerele să iasă pozitive: concentrațiile sunt subunitare, deci logaritmii lor sunt negativi.

Relația inversă se obține imediat: $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-\mathrm{pH}}$.

Exemple. Apa pură are $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-7}$ mol/L, deci $\mathrm{pH}=7$ — valoarea neutră. O soluție cu $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-3}$ mol/L are $\mathrm{pH}=3$, deci este acidă. Sucul de lămâie are $\mathrm{pH}\approx 2,4$, de unde $$\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-2,4}\approx 3,98\cdot 10^{-3}\text{mol/L}.$$

Compararea a două soluții se face prin scădere de pH-uri. Dacă o soluție are $\mathrm{pH}=3$ și alta $\mathrm{pH}=6$, raportul concentrațiilor este $$\frac{10^{-3}}{10^{-6}}=10^3=1000:$$ prima este de o mie de ori mai acidă, deși pe scară diferența e de doar trei unități. Aceasta este marea capcană a scărilor logaritmice: diferențele mici ascund rapoarte uriașe.

6. Dezintegrarea radioactivă și timpul de înjumătățire

O substanță radioactivă se descompune după un model exponențial descrescător. Dacă $T$ este timpul de înjumătățire (durata în care rămâne exact jumătate din cantitate), atunci după timpul $t$ rămâne $$N(t)=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}=N_0\cdot 2^{-t/T}.$$

Verificarea formulei e imediată: pentru $t=T$ obținem $N_0\cdot 2^{-1}=\frac{N_0}{2}$ ✓; pentru $t=2T$, $\frac{N_0}{4}$ ✓.

Exemplu direct. Izotopul iod-$131$, folosit în medicina nucleară, are $T=8$ zile. Dintr-o cantitate de $80$ mg, după $32$ de zile (adică $4$ timpi de înjumătățire) rămân $$80\cdot 2^{-4}=\frac{80}{16}=5\text{mg}.$$

Exemplu invers (datarea cu carbon). Carbonul-$14$ are $T=5730$ de ani. Într-un fragment de lemn dintr-un sit arheologic se măsoară $40\%$ din carbonul-$14$ al unui organism viu. Vechimea se află logaritmând: $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}=0,4⟹\frac{t}{T}={\log }_{1/2}0,4=\frac{\lg 2,5}{\lg 2}\approx 1,3219,$$ deci $t\approx 5730\cdot 1,3219\approx 7575$ de ani. Verificare: $0,5^{1,3219}\approx 0,400$ ✓.

Reține cazurile „rotunde", care apar cel mai des la examen: rămâne $50\%$ după un timp de înjumătățire, $25\%$ după doi, $12,5\%$ după trei.

7. De ce scări logaritmice

Toate scările din această lecție — Richter, pH, decibeli — folosesc logaritmul din același motiv: mărimile pe care le descriu variază pe intervale imposibil de reprezentat liniar. Amplitudinile seismice se întind de la microni la metri; concentrațiile de ioni, de la $1$ la $10^{-14}$ mol/L. Logaritmul le comprimă, transformând raportul în diferență.

Un al patrulea exemplu, la fel de comun: nivelul sonor în decibeli, $$L=10\lg \frac{I}{I_0},I_0=10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2.$$ O conversație normală are aproximativ $60$ dB, un aspirator $80$ dB, un concert $100$ dB. Diferența de $40$ dB dintre conversație și concert înseamnă un raport de intensități de $10^4=10000$.

Regula de citire, valabilă la toate: o diferență constantă pe scară înseamnă un raport constant în realitate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Dobândă compusă, întrebare directă

O sumă de $5000$ de lei este depusă cu o dobândă anuală de $6\%$, capitalizată. Ce sumă se află în cont după $10$ ani?

Rezolvare. Factorul anual este $q=1+\frac{6}{100}=1,06$, deci $$S_{10}=5000\cdot 1,06^{10}.$$ Calculăm puterea: $1,06^{10}\approx 1,790847$, deci $S_{10}\approx 8954,24$ lei.

Verificare pe pași mici: $5000\cdot 1,06=5300$; $5300\cdot 1,06=5618$; $5618\cdot 1,06=5955,08$ — creșterea anuală este ea însăși crescătoare, semn că modelul e exponențial, nu liniar. ✓

Exemplul 2 — Dobândă compusă, întrebare inversă

După câți ani se dublează o sumă depusă cu $6\%$ pe an, capitalizată anual?

Rezolvare. Condiția este $1,06^n=2$, deci $$n={\log }_{1,06}2=\frac{\lg 2}{\lg 1,06}\approx \frac{0,30103}{0,02531}\approx 11,90.$$ Cum dobânda se adaugă o dată pe an, suma se dublează efectiv după $12$ ani.

Verificare: $1,06^{11}\approx 1,8983<2$ și $1,06^{12}\approx 2,0122>2$ ✓.

Comparație cu regula lui 70: $\frac{70}{6}\approx 11,7$ — o estimare bună, la mai puțin de trei luni de valoarea exactă.

Exemplul 3 — Scara Richter

Cutremurul din Vrancea din $1940$ a avut magnitudinea $7,7$, iar cel din $1977$, magnitudinea $7,2$. De câte ori a fost mai mare amplitudinea în $1940$? Dar energia eliberată?

Rezolvare. Amplitudinea. Din $M=\lg \frac{A}{A_0}$ rezultă $A=A_0\cdot 10^M$, deci $$\frac{A_{1940}}{A_{1977}}=10^{7,7-7,2}=10^{0,5}=\sqrt{10}\approx 3,16.$$

Energia. Din $\lg E=4,8+1,5M$ obținem $E=10^{4,8+1,5M}$, deci $$\frac{E_{1940}}{E_{1977}}=10^{1,5(7,7-7,2)}=10^{0,75}\approx 5,62.$$

Amplitudine de $3,16$ ori mai mare, energie de $5,62$ ori mai mare — pentru o diferență de doar $0,5$ pe scară.

Exemplul 4 — pH

a) Calculați pH-ul unei soluții cu $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-4}$ mol/L. b) Sucul de lămâie are $\mathrm{pH}=2,4$. Calculați concentrația ionilor de hidrogen. c) De câte ori este mai acidă o soluție cu $\mathrm{pH}=3$ decât una cu $\mathrm{pH}=6$?

Rezolvare.

a) $\mathrm{pH}=-\lg 10^{-4}=-(-4)=4$. Soluția este acidă.

b) $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-2,4}=10^{-3}\cdot 10^{0,6}\approx 10^{-3}\cdot 3,981\approx 3,98\cdot 10^{-3}$ mol/L.

c) Raportul concentrațiilor este $\frac{10^{-3}}{10^{-6}}=10^3=1000$: prima soluție este de o mie de ori mai acidă.

Verificare la b): $-\lg \left(3,98\cdot 10^{-3}\right)=3-\lg 3,98\approx 3-0,600=2,40$ ✓.

Exemplul 5 — Datarea cu carbon-14

Un fragment de lemn descoperit într-un sit arheologic conține $40\%$ din carbonul-$14$ prezent într-un organism viu. Știind că timpul de înjumătățire al carbonului-$14$ este de $5730$ de ani, determinați vechimea fragmentului.

Rezolvare. Modelul este $N(t)=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$, cu $T=5730$. Condiția $N(t)=0,4N_0$ dă $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}=0,4⟺\frac{t}{T}={\log }_{1/2}0,4=\frac{\lg 0,4}{\lg 0,5}=\frac{\lg 2,5}{\lg 2}.$$ Numeric: $\frac{0,39794}{0,30103}\approx 1,3219$, deci $$t\approx 5730\cdot 1,3219\approx 7575\text{ani}.$$

Verificare: $0,5^{1,3219}\approx 0,400$, adică exact $40\%$ ✓. Estimare rapidă de control: după un timp de înjumătățire ($5730$ ani) rămâne $50\%$, după doi ($11460$ ani) rămâne $25\%$ — cei $40\%$ trebuie să corespundă unei vechimi între aceste două valori, ceea ce se confirmă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

O sumă de $4000$ de lei este depusă într-un cont cu dobândă anuală de $10\%$, capitalizată la sfârșitul fiecărui an. a) Determinați suma din cont după $2$ ani. b) Determinați numărul minim de ani după care suma din cont depășește $8000$ de lei.

Rezolvare.

a) Factorul anual este $q=1,1$, deci $S_2=4000\cdot 1,1^2=4000\cdot 1,21=4840$ lei.

b) Condiția este $4000\cdot 1,1^n>8000$, adică $1,1^n>2$. Logaritmăm în baza $10$; funcția $\lg$ fiind strict crescătoare, sensul se păstrează: $$n\lg 1,1>\lg 2⟹n>\frac{\lg 2}{\lg 1,1}\approx \frac{0,30103}{0,04139}\approx 7,27.$$ Cel mai mic număr natural care verifică este $n=8$.

Verificare: $4000\cdot 1,1^7\approx 7794,87$ lei (sub prag) și $4000\cdot 1,1^8\approx 8574,36$ lei (peste prag) ✓.

Răspuns: după $8$ ani.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată modelul (formula folosită), apoi înlocuiește datele. La rezultatele cu logaritmi, păstrează patru zecimale în calculele intermediare și rotunjește doar la final.

1. O sumă de $2000$ de lei este depusă cu $5\%$ pe an, capitalizat. Ce sumă se află în cont după $3$ ani?

2. Calculează suma din cont după $2$ ani pentru un depozit de $8000$ de lei cu dobândă anuală de $4\%$.

3. După câți ani întregi depășește $2000$ de lei o sumă de $1000$ de lei depusă cu $7\%$ pe an?

4. Folosind regula lui $70$, estimează timpul de dublare la o dobândă de $5\%$ pe an, apoi compară cu valoarea exactă obținută prin logaritmi.

5. De câte ori este mai mare amplitudinea unui cutremur de magnitudine $6$ față de unul de magnitudine $4$?

6. Amplitudinea înregistrată la un cutremur este de $10^{6,5}$ ori mai mare decât amplitudinea de referință $A_0$. Care este magnitudinea?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un cutremur de magnitudine $8$ este de două ori mai puternic decât unul de magnitudine $4$."

8. Folosind relația $\lg E=4,8+1,5M$, calculează de câte ori crește energia eliberată când magnitudinea crește cu $2$ unități.

9. Calculează pH-ul unei soluții în care $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-4}$ mol/L.

10. De câte ori sunt mai mulți ioni de hidrogen într-o soluție cu $\mathrm{pH}=6$ decât într-una cu $\mathrm{pH}=9$?

11. Berea are $\mathrm{pH}\approx 4,5$. Calculează concentrația ionilor de hidrogen, cu două zecimale semnificative.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O soluție cu $\mathrm{pH}=3$ este de trei ori mai acidă decât una cu $\mathrm{pH}=1$."

13. (Problemă aplicată.) Iodul-$131$ are timpul de înjumătățire de $8$ zile. Dintr-o probă de $80$ mg, câte miligrame rămân după $32$ de zile? Dar după $16$ zile?

14. Într-o probă mai rămâne $12,5\%$ din carbonul-$14$ inițial. Care este vechimea probei, dacă $T=5730$ de ani?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) O sumă de $4000$ de lei este depusă cu dobândă anuală de $10\%$, capitalizată. a) Determinați suma din cont după $2$ ani. b) Determinați numărul minim de ani după care suma depășește $8000$ de lei.

16. Nivelul sonor este $L=10\lg \frac{I}{I_0}$, cu $I_0=10^{-12}$ W/m². Calculează nivelul, în decibeli, pentru o intensitate $I=10^{-5}$ W/m².

17. De câte ori este mai mare intensitatea sonoră la un concert de $90$ dB față de o conversație de $60$ dB?

18. (Provocare.) Un ceai la $90^{\circ }$C se răcește într-o cameră la $20^{\circ }$C după legea $T(t)=20+70\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/15}$, unde $t$ se măsoară în minute. După cât timp ajunge ceaiul la $40^{\circ }$C?

Răspunsuri și explicații

1. $S_3=2000\cdot 1,05^3=2000\cdot 1,157625=2315,25$ lei. (Rezultatul este exact, fiindcă $1,05^3=1,157625$ este o zecimală finită, nu o valoare rotunjită.)

2. $S_2=8000\cdot 1,04^2=8000\cdot 1,0816=8652,80$ lei.

3. Condiția $1000\cdot 1,07^n>2000$ dă $1,07^n>2$, deci $n>\frac{\lg 2}{\lg 1,07}\approx \frac{0,30103}{0,02938}\approx 10,24$. Cel mai mic număr natural este $n=11$. Verificare: $1000\cdot 1,07^{10}\approx 1967,15$ lei (sub prag) și $1000\cdot 1,07^{11}\approx 2104,85$ lei (peste prag) ✓.

4. Regula lui $70$ dă $\frac{70}{5}=14$ ani. Valoarea exactă: $\frac{\lg 2}{\lg 1,05}\approx \frac{0,30103}{0,02119}\approx 14,21$ ani. Estimarea este mai mică cu aproximativ $0,21$ ani, adică sub trei luni — foarte bună pentru un calcul mintal.

5. Amplitudinea este $A=A_0\cdot 10^M$, deci raportul este $10^{6-4}=10^2=100$: de o sută de ori mai mare.

6. $M=\lg \frac{A}{A_0}=\lg 10^{6,5}=6,5$.

7. Fals. Scara Richter este logaritmică: raportul amplitudinilor este $10^{8-4}=10^4=10000$, iar raportul energiilor este $10^{1,5\cdot 4}=10^6$, adică un milion. „De două ori" ar fi valabil pe o scară liniară, ceea ce scara Richter nu este.

8. Din $E=10^{4,8+1,5M}$ rezultă că, la o creștere cu $2$ unități de magnitudine, energia se înmulțește cu $10^{1,5\cdot 2}=10^3=1000$ de ori.

9. $\mathrm{pH}=-\lg 10^{-4}=4$.

10. Concentrațiile sunt $10^{-6}$ și $10^{-9}$ mol/L, deci raportul este $10^{-6}:10^{-9}=10^3=1000$: de o mie de ori mai mulți ioni în soluția cu $\mathrm{pH}=6$.

11. $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-4,5}=10^{-5}\cdot 10^{0,5}\approx 10^{-5}\cdot 3,162\approx 3,16\cdot 10^{-5}$ mol/L. Verificare: $-\lg \left(3,16\cdot 10^{-5}\right)=5-\lg 3,16\approx 5-0,5=4,5$ ✓.

12. Fals, de două ori. Întâi, raportul nu este $3$, ci $\frac{10^{-3}}{10^{-1}}=10^{-2}$. Apoi, sensul e inversat: soluția cu $\mathrm{pH}=3$ este de $100$ de ori mai puțin acidă decât cea cu $\mathrm{pH}=1$, fiindcă un pH mai mare înseamnă mai puțini ioni de hidrogen.

13. După $32$ de zile au trecut $\frac{32}{8}=4$ timpi de înjumătățire, deci rămân $80\cdot 2^{-4}=\frac{80}{16}=5$ mg. După $16$ zile au trecut $2$ timpi, deci rămân $80\cdot 2^{-2}=20$ mg.

14. Cum $12,5\%=\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$, au trecut exact $3$ timpi de înjumătățire: $t=3\cdot 5730=17190$ de ani.

15. a) $S_2=4000\cdot 1,21=4840$ lei. b) Din $1,1^n>2$ rezultă $n>\frac{\lg 2}{\lg 1,1}\approx 7,27$, deci $n=8$ ani. Verificare: $4000\cdot 1,1^7\approx 7794,87<8000$ și $4000\cdot 1,1^8\approx 8574,36>8000$ ✓.

16. $L=10\lg \frac{10^{-5}}{10^{-12}}=10\lg 10^7=10\cdot 7=70$ dB.

17. Diferența este de $30$ dB, deci $10\lg \frac{I_2}{I_1}=30$, de unde $\lg \frac{I_2}{I_1}=3$ și $\frac{I_2}{I_1}=10^3=1000$: intensitatea este de o mie de ori mai mare.

18. Condiția $T(t)=40$ dă $70\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/15}=20$, adică ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/15}=\frac{2}{7}$. Logaritmăm: $$\frac{t}{15}={\log }_{1/2}\frac{2}{7}=\frac{\lg 3,5}{\lg 2}\approx \frac{0,54407}{0,30103}\approx 1,8074,$$ deci $t\approx 15\cdot 1,8074\approx 27,11$ minute, adică aproximativ $27$ de minute. Verificare: $20+70\cdot 0,5^{27,11/15}\approx 20+70\cdot 0,2857\approx 40,0$ ✓.

De reținut

• Modelul comun: $M(t)=M_0\cdot q^t$. Întrebarea directă („cât va fi?") cere o putere; întrebarea inversă („după cât timp?") cere un logaritm: $t=\frac{\lg \left(M/M_0\right)}{\lg q}$.
• Dobânda compusă: $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$. Timpul de dublare este $n=\frac{\lg 2}{\lg q}$, estimat rapid prin regula lui 70: $n\approx \frac{70}{p}$.
• Scara Richter: $M=\lg \frac{A}{A_0}$ — o unitate în plus înseamnă amplitudine de $10$ ori mai mare; din $\lg E=4,8+1,5M$, aceeași unitate înseamnă energie de aproximativ $31,6$ ori mai mare.
• pH: $\mathrm{pH}=-\lg \left[{\mathrm{H}}^{+}\right]$ și $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-\mathrm{pH}}$. O diferență de $1$ unitate de pH înseamnă un raport de $10$ între concentrații; pH mai mare înseamnă aciditate mai mică.
• Dezintegrare: $N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T}$, unde $T$ este timpul de înjumătățire. Rămâne $50\%$ după $T$, $25\%$ după $2T$, $12,5\%$ după $3T$; pentru procente „nerotunde", vechimea se află logaritmând.

Greșeli frecvente

• Confunzi dobânda simplă cu cea compusă. La dobândă simplă se adaugă anual aceeași sumă; la dobândă compusă se înmulțește anual cu același factor. După $10$ ani la $6\%$, diferența dintre cele două este de aproape $1000$ de lei la un capital de $5000$.
• Tratezi scările logaritmice ca liniare. „Magnitudinea $8$ e de două ori magnitudinea $4$" este greșit: raportul amplitudinilor este $10000$. Aceeași greșeală apare la pH și la decibeli.
• Uiți semnul minus din definiția pH-ului. Din $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-5}$ scrii $\mathrm{pH}=-5$ în loc de $5$. Definiția conține un minus tocmai ca rezultatul să fie pozitiv.
• Inversezi sensul acidității. pH mai mare înseamnă mai puțini ioni de hidrogen, deci soluție mai puțin acidă. Elevii citesc adesea invers, pentru că „mai mare" sugerează „mai puternic".
• Rotunjești prea devreme. La $n=\frac{\lg 2}{\lg 1,06}$, dacă rotunjești $\lg 1,06$ la $0,03$ obții $10$ ani în loc de $11,9$. Păstrează patru–cinci zecimale în calculele intermediare.

Aplică acasă

1. Simulatorul de depozit. Într-un tabel (pe hârtie sau într-o foaie de calcul), pune pe prima coloană anii de la $0$ la $20$ și pe a doua suma obținută din $3000$ de lei cu o dobândă la alegerea ta. Marchează anul în care suma se dublează și compară-l cu estimarea $\frac{70}{p}$.

2. pH-ul din bucătărie. Caută pe etichete sau pe internet pH-ul aproximativ pentru cinci produse (oțet, suc de lămâie, lapte, apă minerală, bicarbonat dizolvat), calculează pentru fiecare concentrația $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-\mathrm{pH}}$ și ordonează produsele după aciditate.

3. Cutremurele din România. Caută magnitudinile a trei cutremure din zona Vrancea din ultimul secol și calculează, două câte două, raportul amplitudinilor și raportul energiilor. Scrie o frază care explică unui adult de ce o diferență de $0,5$ pe scara Richter contează enorm.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide blocul de exponențiale și logaritmi cu partea care răspunde la întrebarea „la ce folosește?". Programa de mate-info cere explicit modelarea unor situații cotidiene cu funcții exponențiale și logaritmice, precum și rezolvarea de probleme din alte discipline — chimie, fizică, economie. De aceea accentul cade aici nu pe tehnica de calcul, ci pe traducerea enunțului în model și pe interpretarea rezultatului.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a modelului înainte de calcul; (2) alegerea între întrebarea directă (putere) și cea inversă (logaritm); (3) folosirea formulei de schimbare a bazei pentru calculul efectiv; (4) rotunjirea în sensul potrivit contextului — la ani întregi în sus, când se cere depășirea unui prag; (5) interpretarea corectă a scărilor logaritmice. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă o unitate în plus pe scara Richter?", „De ce pH-ul are semn minus în definiție?", „Cum afli după câți ani se dublează suma, fără să încerci valori?".

La Bacalaureat M1, aceste contexte apar de obicei cu formula dată în enunț, iar dificultatea reală este de a extrage datele și de a rezolva o inecuație exponențială simplă. Semne că elevul a înțeles: își pune spontan întrebarea „ce cresc și cu ce factor?", verifică rezultatul prin încadrare între două valori întregi și nu confundă niciodată o scară logaritmică cu una liniară.

Întrebări frecvente

Care este formula dobânzii compuse? Este $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$, unde $S_0$ este suma inițială, $p$ procentul anual și $n$ numărul de ani. Spre deosebire de dobânda simplă, aici dobânda se adaugă la capital și produce, la rândul ei, dobândă — de unde creșterea exponențială.

Cum aflu după câți ani se dublează o sumă depusă cu dobândă? Rezolvi ecuația $q^n=2$, unde $q=1+\frac{p}{100}$, deci $n=\frac{\lg 2}{\lg q}$. Pentru o estimare rapidă, folosește regula lui $70$: timpul de dublare este aproximativ $\frac{70}{p}$ ani.

Ce înseamnă o unitate în plus pe scara Richter? Înseamnă o amplitudine a mișcării solului de $10$ ori mai mare și o energie eliberată de aproximativ $31,6$ ori mai mare, fiindcă $10^{1,5}\approx 31,6$. Scara fiind logaritmică, diferențele mici de magnitudine ascund rapoarte foarte mari.

Cum se calculează pH-ul unei soluții? Cu formula $\mathrm{pH}=-\lg \left[{\mathrm{H}}^{+}\right]$, unde concentrația ionilor de hidrogen se exprimă în moli pe litru. Invers, din pH obții concentrația prin $\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]=10^{-\mathrm{pH}}$. Apa pură are pH-ul $7$, valorile mai mici înseamnă soluții acide, cele mai mari, soluții bazice.

Ce este timpul de înjumătățire și cum îl folosesc? Este durata în care rămâne exact jumătate din cantitatea inițială a unei substanțe radioactive. Cu el scrii modelul $N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T}$: pentru $t$ dat afli cantitatea rămasă, iar pentru o cantitate dată afli timpul, logaritmând.

Cum se datează un obiect cu carbon-14? Se măsoară procentul de carbon-$14$ rămas față de un organism viu și se rezolvă ecuația ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5730}=p$, unde $p$ este procentul scris ca număr subunitar. Logaritmând, se obține vechimea $t$ în ani.

De ce se folosesc scări logaritmice și nu liniare? Pentru că mărimile descrise variază pe intervale uriașe — amplitudini seismice, concentrații de ioni, intensități sonore. Logaritmul comprimă aceste intervale și transformă rapoartele în diferențe, astfel încât o scară de la $0$ la $10$ poate acoperi rapoarte de miliarde.