Acasă · Lecții · clasa a X-a · Diagrame arborescente: numărarea posibilităților

Diagrame arborescente: numărarea posibilităților

Vineri, la bufetul liceului, apare afișul: „Meniul zilei: alegi o supă, un fel principal și un desert." Sub el, listele — două supe (de legume sau de pui), trei feluri principale (șnițel, pește sau tocăniță) și două deserturi (un măr sau un iaurt). Un coleg întreabă, jumătate în glumă: „Bine, dar în câte feluri diferite pot să mănânc aici?" Întrebarea pare banală. Nu este. Ea deschide un întreg capitol al matematicii, numit combinatorică, iar răspunsul se obține cu un desen pe care îl poți face pe orice colț de foaie.

Instrumentul se numește diagramă arborescentă — un „arbore" care pornește dintr-un punct și se ramifică o dată pentru fiecare alegere pe care o ai de făcut. Puterea lui e că nu cere nicio formulă: desenezi ramurile, le urmărești până la capăt și numeri. Îl vei folosi în toată această unitate ca pe un laborator: acolo unde nu ești sigur de o formulă, desenezi arborele pe un caz mic și verifici. Iar din felul în care se ramifică arborele vei descoperi singur, la finalul lecției, tiparul care va deveni regula produsului.

Ce vei învăța

Vei ști să construiești o diagramă arborescentă pentru o situație cu mai multe alegeri succesive și să folosești corect cuvintele rădăcină, ramură, nod, frunză.
Vei ști să numeri toate posibilitățile dintr-o problemă practică urmărind drumurile de la rădăcină la frunze.
Vei ști să desenezi arbori la care numărul de ramuri diferă de la un nod la altul și să înțelegi de ce acolo nu poți înmulți orbește.
Vei ști să distingi situațiile cu repetiție de cele fără repetiție și pe cele în care ordinea contează de cele în care nu contează.
Vei ști să recunoști tiparul înmulțirii ramurilor, pregătind regula produsului.
Vei ști când arborele nu mai este un instrument practic și de ce avem nevoie de reguli de calcul.

Hai să descoperim împreună

1. Douăsprezece meniuri, numărate cu grijă

Să răspundem la întrebarea de la bufet. Tentația e să spunem repede un număr; hai să facem, în schimb, ce face un matematician: să organizăm căutarea, ca să nu pierdem nicio variantă și să nu numărăm nimic de două ori.

Începem cu un punct — situația de dinaintea oricărei alegeri. Din el pleacă două ramuri, câte una pentru fiecare supă: legume și pui. Am ajuns astfel în două puncte noi. Din fiecare dintre ele pleacă mai departe trei ramuri, câte una pentru fiecare fel principal. Avem acum $2 \cdot 3 = 6$ capete. În sfârșit, din fiecare dintre cele șase capete pleacă două ramuri, pentru cele două deserturi.

Numărăm capetele finale: $12$ . Iată-le:

$(legume, ș ni ț el, m \overset{a}{˘} r), (legume, ș ni ț el, iaurt), (legume, pe ș te, m \overset{a}{˘} r), (legume, pe ș te, iaurt),$ $(legume, toc \overset{a}{˘} ni ț \overset{a}{˘}, m \overset{a}{˘} r), (legume, toc \overset{a}{˘} ni ț \overset{a}{˘}, iaurt), (pui, ș ni ț el, m \overset{a}{˘} r), (pui, ș ni ț el, iaurt),$ $(pui, pe ș te, m \overset{a}{˘} r), (pui, pe ș te, iaurt), (pui, toc \overset{a}{˘} ni ț \overset{a}{˘}, m \overset{a}{˘} r), (pui, toc \overset{a}{˘} ni ț \overset{a}{˘}, iaurt) .$

Douăsprezece meniuri. Nu unsprezece, nu treisprezece: fiecare apare exact o dată, pentru că fiecare drum din desen este unic. Aceasta e prima idee de reținut: un drum în arbore = o posibilitate.

✏️Ilustrație: diagramă arborescentă cu rădăcina în stânga, două ramuri „supă de legume" și „supă de pui", din fiecare trei ramuri „șnițel / pește / tocăniță", iar din fiecare dintre acestea două ramuri „măr / iaurt"; cele 12 capete din dreapta sunt numerotate 1–12

2. Vocabularul arborelui

Desenul de mai sus se numește diagramă arborescentă (sau, mai scurt, arbore) și are un vocabular pe care merită să-l fixăm, pentru că îl vom folosi tot capitolul:

rădăcina — punctul de plecare, situația de dinaintea oricărei alegeri;
ramura — un segment care reprezintă o alegere concretă („aleg supa de pui");
nodul — un punct în care ajungi după una sau mai multe alegeri;
nivelul — o etapă a alegerii (nivelul 1 = supa, nivelul 2 = felul principal, nivelul 3 = desertul);
frunza — un nod final, din care nu mai pleacă nicio ramură; el corespunde unei posibilități complete.

Regula de citire este simplă: numărul posibilităților este numărul frunzelor, adică numărul drumurilor distincte de la rădăcină la capăt.

Arborele are un avantaj pe care nicio formulă nu-l are: nu-ți spune doar câte posibilități există, ci și care sunt. De aceea rămâne, în tot capitolul, instrumentul tău de control: dacă nu ești sigur de o formulă, desenează arborele pe un caz mic și numără frunzele.

3. Când ramurile nu sunt la fel de multe

În exemplul cu meniul, din fiecare nod de pe același nivel plecau tot atâtea ramuri. Nu este întotdeauna așa, iar acesta e primul loc unde elevii se grăbesc și greșesc.

O agenție de turism oferă o excursie de două zile. În prima zi se merge fie la Brașov, fie la Sibiu. La Brașov agenția are contract cu $2$ hoteluri, la Sibiu cu $3$ . Câte variante de excursie există?

Desenăm: din rădăcină pleacă două ramuri (Brașov, Sibiu). Din nodul „Brașov" pleacă $2$ ramuri, din nodul „Sibiu" pleacă $3$ . Frunzele sunt

$(Bra ș ov, H_{1}), (Bra ș ov, H_{2}), (Sibiu, H_{3}), (Sibiu, H_{4}), (Sibiu, H_{5}),$

adică $2 + 3 = 5$ variante — nu $2 \cdot 2 = 4$ și nici $2 \cdot 3 = 6$ . Aici nu se înmulțește nimic: ramurile de pe ultimul nivel se adună, pentru că nodurile de dinainte oferă posibilități diferite ca număr.

Reține deosebirea, pentru că ea revine în toată combinatorica: înmulțirea este permisă doar când numărul de variante de la o etapă nu depinde de ce ai ales înainte. Când depinde, arborele te salvează: îl desenezi și numeri frunzele pe rând.

✏️Ilustrație: arbore neuniform — rădăcina se ramifică în „Brașov" și „Sibiu"; din „Brașov" pleacă 2 ramuri către hotelurile H1, H2, iar din „Sibiu" 3 ramuri către H3, H4, H5; sub desen scrie „2 + 3 = 5 variante"

4. Cu repetiție sau fără repetiție

Al doilea lucru pe care arborele îl arată foarte clar este ce se întâmplă când elementele se pot repeta.

Situația A. Formăm coduri de două cifre folosind cifrele $1$ , $2$ , $3$ , iar o cifră poate fi folosită de două ori. Din rădăcină pleacă $3$ ramuri (prima cifră), iar din fiecare nod obținut pleacă din nou $3$ ramuri (a doua cifră), pentru că nimic nu ne oprește să repetăm. Frunze: $9$ .

$11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.$

Situația B. Aceleași cifre, dar codul trebuie să aibă cifre distincte. Primul nivel are tot $3$ ramuri, dar al doilea nivel are doar $2$ ramuri din fiecare nod: cifra deja folosită dispare din listă. Frunze: $6$ .

$12, 13, 21, 23, 31, 32.$

Diferența dintre $9$ și $6$ este exact diferența dintre „cu repetiție" și „fără repetiție". În enunțuri, semnalele sunt cuvintele: „cifre distincte", „elemente diferite", „fără repetiție", „o persoană nu poate ocupa două funcții" — toate înseamnă că la fiecare pas oferta scade cu unu.

5. Contează ordinea sau nu contează?

Al treilea lucru pe care trebuie să-l citești corect în enunț — și cel mai subtil dintre cele trei. Programa îl cere explicit: să recunoști situațiile practice în care ordinea este esențială și pe cele în care nu este.

Într-o clasă sunt patru elevi: Ana, Bogdan, Carla și Dan. Comparăm două întrebări care par identice, dar nu sunt:

Întrebarea 1. În câte moduri putem alege dintre ei un președinte și un secretar (persoane diferite)?

Aici ordinea contează: „Ana președintă, Bogdan secretar" nu e același lucru cu „Bogdan președinte, Ana secretară". Desenăm arborele: $4$ ramuri pentru președinte, apoi din fiecare nod câte $3$ ramuri pentru secretar (președintele nu mai poate fi ales). Frunze: $12$ .

Întrebarea 2. În câte moduri putem alege dintre ei o echipă de doi care să meargă la concurs?

Aici ordinea nu contează: echipa {Ana, Bogdan} este aceeași cu echipa {Bogdan, Ana}. Dacă folosim același arbore ca înainte, fiecare echipă apare de două ori — o dată în fiecare ordine. Deci numărul echipelor este $12 : 2 = 6$ :

${A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D} .$

Metoda „desenez arborele ordonat, apoi împart la câte ori se repetă fiecare grup" este chiar ideea din spatele formulelor din lecția Combinări: definiție și formulă. Deocamdată reține întrebarea de control: dacă schimb între ele două elemente alese, obțin altceva sau același lucru?

✏️Ilustrație: același arbore cu 12 frunze pentru perechile ordonate (Ana, Bogdan), (Bogdan, Ana) etc.; perechile care conțin aceiași doi elevi sunt unite prin acolade colorate, două câte două, cu textul „12 perechi ordonate = 6 echipe"

6. Tiparul care se repetă: ramurile se înmulțesc

Privește acum, împreună, arborii uniformi din lecție — cei la care numărul de ramuri este același din toate nodurile unui nivel:

Situația	Ramuri pe nivel	Frunze
Meniul zilei	$2$ , apoi $3$ , apoi $2$	$12$
Coduri de $2$ cifre, cu repetiție	$3$ , apoi $3$	$9$
Coduri de $2$ cifre, distincte	$3$ , apoi $2$	$6$
Președinte și secretar din $4$	$4$ , apoi $3$	$12$

În fiecare rând, numărul frunzelor este exact produsul numerelor de ramuri: $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ , $3 \cdot 3 = 9$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $4 \cdot 3 = 12$ . Nu e o coincidență, ci consecința felului în care crește arborele: fiecare nod de pe un nivel se ramifică în același număr de noduri pe nivelul următor, deci la fiecare etapă numărul de capete se înmulțește cu numărul de ramuri.

Observația primește un nume și o lecție proprie: Regula produsului, unde o vom enunța general și o vom folosi la probleme cu numere mari, la care desenul nu mai are nicio șansă.

7. Când arborele nu mai încape pe foaie

Arborele are o limită foarte concretă: hârtia. Pentru un cod de acces de patru cifre, arborele ar avea patru niveluri și $10000$ de frunze — nu-l desenează nimeni.

Din acest motiv, în practică folosim arborele în trei feluri:

Complet, când problema e mică ( $6$ – $20$ de frunze) sau când ni se cere lista variantelor.
Parțial, ca schiță: desenăm primele două niveluri, punem trei puncte și scriem numărul de ramuri lângă fiecare nivel.
Ca verificare, pe un caz mic: dacă nu ești sigur de o formulă, ia $n = 3$ sau $n = 4$ , desenează arborele, numără frunzele și compară.

Ține minte imaginea: arborele nu e o „metodă pentru probleme ușoare", ci schela pe care se ridică toate formulele capitolului — de la Permutări: definiție și formulă până la binomul lui Newton.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei aruncări ale unei monede

O monedă este aruncată de trei ori. Câte rezultate posibile există? În câte dintre ele apar exact două steme?

Rezolvare. Notăm cu $S$ stema și cu $B$ banul. Arborele are trei niveluri, cu câte $2$ ramuri fiecare, deci $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ frunze:

$S S S, S S B, S B S, S B B, B S S, B S B, B B S, B B B .$

Rezultate cu exact două steme: le citim din listă — $S S B$ , $S B S$ , $B S S$ , adică $3$ rezultate.

Arborele produce lista, iar din listă răspundem la orice întrebare suplimentară: „cel puțin două steme" ar da $4$ rezultate — cele trei plus $S S S$ .

Exemplul 2 — Numere de două cifre distincte

Câte numere de două cifre, cu cifre distincte, se pot forma folosind cifrele $1$ , $3$ , $5$ , $7$ ? Scrieți-le pe toate.

Rezolvare. Primul nivel al arborelui are $4$ ramuri (cifra zecilor), iar din fiecare nod pleacă $3$ ramuri (cifra unităților, diferită de prima). Frunze: $4 \cdot 3 = 12$ . Iată-le:

$13, 15, 17, 31, 35, 37, 51, 53, 57, 71, 73, 75.$

Numărăm: $12$ numere. ✓ Dacă cifrele s-ar fi putut repeta, am fi avut $4 \cdot 4 = 16$ numere (se adăugau $11$ , $33$ , $55$ , $77$ ).

Exemplul 3 — Un arbore neuniform

O firmă de curierat livrează un colet din orașul $A$ în orașul $D$ , trecând obligatoriu printr-un oraș intermediar: $B$ sau $C$ . De la $A$ la $B$ există $2$ drumuri, de la $A$ la $C$ există $3$ drumuri. De la $B$ la $D$ există $2$ drumuri, iar de la $C$ la $D$ un singur drum. Câte trasee complete există?

Rezolvare. Împărțim după orașul intermediar, pentru că arborele nu e uniform.

Trasee prin $B$ : $2$ drumuri până la $B$ , apoi $2$ drumuri până la $D$ , deci $2 \cdot 2 = 4$ trasee.
Trasee prin $C$ : $3$ drumuri până la $C$ , apoi $1$ drum până la $D$ , deci $3 \cdot 1 = 3$ trasee.

În total $4 + 3 = 7$ trasee. Atenție la structura rezolvării: în interiorul fiecărei ramuri mari am înmulțit, iar la final am adunat, pentru că un traseu trece ori prin $B$ , ori prin $C$ , niciodată prin amândouă. Vei revedea acest tipar, ridicat la rang de regulă, în Regula sumei și combinarea regulilor.

Exemplul 4 — Ordinea contează sau nu?

Într-un grup de patru prieteni — Ana, Bogdan, Carla, Dan — se aleg doi. Câte variante există dacă: a) unul merge la tablă primul și celălalt al doilea; b) cei doi formează, pur și simplu, o echipă?

Rezolvare. a) Ordinea contează. Arborele are $4$ ramuri la primul nivel și $3$ la al doilea, deci $4 \cdot 3 = 12$ variante ordonate.

b) Ordinea nu contează. Fiecare echipă apare în lista de la punctul a) de exact două ori (o dată în fiecare ordine), deci numărul echipelor este $12 : 2 = 6$ . Le putem chiar scrie: ${A, B}$ , ${A, C}$ , ${A, D}$ , ${B, C}$ , ${B, D}$ , ${C, D}$ .

Morală: același arbore, două răspunsuri diferite — totul depinde de cum citești enunțul.

Exemplul 5 — Steagul cu trei benzi

Un steag este format din trei benzi orizontale. Avem la dispoziție trei culori — roșu, galben, albastru — și impunem condiția ca două benzi alăturate să nu aibă aceeași culoare (benzile de sus și de jos pot avea aceeași culoare). Câte steaguri diferite se pot face?

Rezolvare. Construim arborele pe niveluri, de sus în jos.

Banda de sus: $3$ variante.
Banda din mijloc: trebuie să difere de cea de sus, deci $2$ variante din fiecare nod.
Banda de jos: trebuie să difere doar de cea din mijloc, deci tot $2$ variante.

Arborele este uniform, deci numărul frunzelor este $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ . Iată câteva dintre ele, ca să vezi că restricția e respectată: (roșu, galben, roșu), (roșu, galben, albastru), (roșu, albastru, roșu), (roșu, albastru, galben) și analoagele pentru celelalte două culori de sus.

Capcana ar fi fost să scazi „culoarea folosită deja" și la banda de jos, obținând $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ . Greșit: condiția se referă doar la benzile alăturate, iar banda de jos nu e alăturată celei de sus.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Câte numere de trei cifre, cu cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii ${0, 1, 2, 3}$ ?

Rezolvare. Aici apare condiția pe care baremele o urmăresc de fiecare dată: un număr de trei cifre nu poate începe cu $0$ . De aceea începem arborele cu poziția cea mai restricționată — cifra sutelor.

Cifra sutelor: $3$ variante ( $1$ , $2$ sau $3$ ; nu $0$ ).
Cifra zecilor: din cele $4$ cifre au mai rămas $3$ (cea folosită la sute a ieșit din joc), și acum $0$ este permis, deci $3$ variante.
Cifra unităților: au mai rămas $2$ cifre, deci $2$ variante.

Numărul cerut este $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ .

Verificare prin listă, ca să nu rămână nicio îndoială — numerele care încep cu $1$ sunt $102$ , $103$ , $120$ , $123$ , $130$ , $132$ (șase la număr), iar cele care încep cu $2$ și cu $3$ se obțin la fel, tot câte șase: $6 \cdot 3 = 18$ . ✓

Să exersăm

Desenează efectiv arborele la primele exerciții: mâna care desenează fixează metoda mai bine decât ochiul care citește.

1. La bufet există $3$ sortimente de sandviș și $2$ sortimente de suc. Desenează diagrama arborescentă și scrie toate variantele de „sandviș + suc". Câte sunt?

2. O monedă se aruncă de trei ori. Desenează arborele și răspunde: câte rezultate au exact două steme? Dar cel puțin două steme?

3. Se formează coduri de două cifre folosind cifrele $2$ , $4$ , $6$ . Câte coduri există dacă cifrele se pot repeta? Dar dacă trebuie să fie distincte? Scrie ambele liste.

4. Ai $3$ tricouri, $2$ perechi de pantaloni și $2$ șepci. Câte ținute complete diferite poți alcătui?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un arbore care are $3$ ramuri din rădăcină și câte $4$ ramuri din fiecare dintre nodurile obținute are $7$ frunze."

6. O agenție organizează o excursie de o zi: dimineața se merge fie la muzeu, fie în parcul natural. La muzeu sunt $2$ ghidaje disponibile, în parc sunt $3$ trasee. Câte variante de program există? De ce nu se înmulțește aici?

7. Într-un grup de $5$ elevi se aleg doi. a) Câte variante există dacă unul este căpitanul echipei, iar celălalt rezerva? b) Câte variante există dacă cei doi formează doar o echipă, fără funcții?

8. Câte șiruri de trei litere se pot forma folosind doar literele $A$ și $B$ (literele se pot repeta)? Scrie-le pe toate.

9. O familie are trei copii. Câte variante există pentru succesiunea fată/băiat, în ordinea nașterii? În câte dintre ele sunt cel puțin două fete?

10. Se aruncă două zaruri, unul roșu și unul albastru. Câte rezultate posibile există? În câte dintre ele suma punctelor este $7$ ?

11. Câte numere de două cifre, cu cifre distincte, se pot forma cu cifrele $1$ , $2$ , $3$ , $4$ ?

12. (Problemă aplicată.) Andrei poate ajunge la liceu pe $2$ trasee, cu $3$ mijloace de transport diferite și în $2$ intervale orare. Câte variante de „drum la școală" are? Dacă ar încerca câte o variantă nouă în fiecare zi de școală (cinci zile pe săptămână), în câte săptămâni le epuizează?

13. Un steag are trei benzi orizontale, iar două benzi alăturate trebuie să aibă culori diferite. Câte steaguri se pot face având la dispoziție $5$ culori?

14. O parolă are două caractere: prima este o literă din mulțimea ${a, b, c}$ , a doua este o cifră din mulțimea ${1, 2, 3, 4}$ . Câte parole există?

15. Se aruncă două zaruri. În câte cazuri suma punctelor este $5$ ? Enumeră-le.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Câte numere de trei cifre, cu cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii ${1, 2, 3, 4}$ ?

17. Un test are patru întrebări la care se răspunde cu „adevărat" sau „fals". Câte moduri de a completa testul există? În câte dintre ele apar exact trei răspunsuri „adevărat"?

18. (Provocare.) O monedă se aruncă de patru ori. În câte dintre rezultate nu apar două steme una după alta? Desenează arborele și taie ramurile interzise pe măsură ce le construiești.

Răspunsuri și explicații

1. $3 \cdot 2 = 6$ variante. Arborele are $3$ ramuri la primul nivel (sandvișul) și câte $2$ la al doilea (sucul); frunzele sunt perechile $(S_{1}, B_{1})$ , $(S_{1}, B_{2})$ , $(S_{2}, B_{1})$ , $(S_{2}, B_{2})$ , $(S_{3}, B_{1})$ , $(S_{3}, B_{2})$ .

2. În total $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ rezultate. Exact două steme: $S S B$ , $S B S$ , $B S S$ , deci $3$ . Cel puțin două steme: cele trei de mai sus plus $S S S$ , deci $4$ .

3. Cu repetiție: $3 \cdot 3 = 9$ coduri — $22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66$ . Cu cifre distincte: $3 \cdot 2 = 6$ coduri — $24, 26, 42, 46, 62, 64$ . Diferența de $3$ o dau exact codurile cu cifre egale.

4. $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ ținute. Arborele are trei niveluri, cu $3$ , apoi $2$ , apoi $2$ ramuri.

5. Fals. Numărul frunzelor nu este suma ramurilor, ci produsul lor: $3 \cdot 4 = 12$ frunze. Numărul $7 = 3 + 4$ ar fi corect doar dacă cele două grupuri de ramuri ar porni din rădăcină ca alternative care se exclud, nu unul după celălalt.

6. $2 + 3 = 5$ variante. Nu se înmulțește pentru că arborele este neuniform: din nodul „muzeu" pleacă $2$ ramuri, iar din nodul „parc" pleacă $3$ . Înmulțirea ar fi corectă doar dacă din fiecare nod ar pleca același număr de ramuri.

7. a) Ordinea contează: $5 \cdot 4 = 20$ variante. b) Ordinea nu contează: fiecare echipă apare de două ori în lista de la a), deci $20 : 2 = 10$ echipe.

8. $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ șiruri: $AAA$ , $AA B$ , $A B A$ , $A B B$ , $B AA$ , $B A B$ , $B B A$ , $B B B$ .

9. $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ variante. Cel puțin două fete: $F F B$ , $F B F$ , $B F F$ , $F F F$ , deci $4$ variante — exact jumătate, ceea ce se explică prin simetria dintre fete și băieți.

10. $6 \cdot 6 = 36$ rezultate (zarurile fiind de culori diferite, perechea $(2, 5)$ diferă de $(5, 2)$ ). Suma $7$ apare în $6$ cazuri: $(1, 6)$ , $(2, 5)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , $(5, 2)$ , $(6, 1)$ .

11. $4 \cdot 3 = 12$ numere: $12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43$ .

12. $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ variante. La cinci zile de școală pe săptămână, cele $12$ zile înseamnă două săptămâni întregi și încă două zile.

13. Banda de sus: $5$ variante; banda din mijloc: $4$ (diferită de cea de sus); banda de jos: $4$ (diferită doar de cea din mijloc). În total $5 \cdot 4 \cdot 4 = 80$ steaguri.

14. $3 \cdot 4 = 12$ parole: $a 1, a 2, a 3, a 4, b 1, b 2, b 3, b 4, c 1, c 2, c 3, c 4$ .

15. $4$ cazuri: $(1, 4)$ , $(2, 3)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ .

16. Nicio cifră nu este $0$ , deci nu apare restricția de la prima poziție: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ numere. (Compară cu Exemplul 6, unde mulțimea conținea și cifra $0$ și răspunsul era $18$ — diferența e dată doar de acea restricție.)

17. $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ moduri de completare. Exact trei „adevărat" înseamnă un singur „fals", care poate fi la oricare dintre cele patru întrebări, deci $4$ moduri.

18. $8$ rezultate. Construim arborele tăind orice ramură care ar produce un al doilea $S$ imediat după un $S$ : după o stemă putem pune doar ban, după un ban putem pune orice. Rezultatele valide sunt $B B B B$ , $B B B S$ , $B B S B$ , $B S B B$ , $B S B S$ , $S B B B$ , $S B B S$ , $S B S B$ . Din cele $16$ rezultate posibile, exact jumătate respectă condiția. (Dacă vei repeta problema pentru $5$ aruncări, vei obține $13$ ; șirul $2, 3, 5, 8, 13, \dots$ este șirul lui Fibonacci — o surpriză frumoasă ascunsă într-un arbore.)

De reținut

O diagramă arborescentă organizează alegerile succesive: rădăcina e punctul de plecare, fiecare ramură e o alegere, iar fiecare frunză e o posibilitate completă. Numărul posibilităților = numărul frunzelor.
Arborele nu doar numără, ci și enumeră: e singura metodă care îți dă lista variantelor, nu doar cifra finală.
Când arborele este uniform (același număr de ramuri din toate nodurile unui nivel), numărul frunzelor este produsul numerelor de ramuri. Când este neuniform, ramurile mari se tratează separat și rezultatele se adună.
„Cu repetiție" înseamnă că oferta rămâne aceeași la fiecare nivel; „fără repetiție" înseamnă că ea scade cu unu la fiecare pas.
Întrebarea de control pentru ordine: dacă schimb între ele două elemente alese, obțin altceva? Dacă da, ordinea contează; dacă nu, fiecare grup a fost numărat de mai multe ori.

Greșeli frecvente

Aduni ramurile în loc să le înmulțești. Un arbore cu $3$ și apoi $4$ ramuri are $12$ frunze, nu $7$ . Numără o dată frunzele pe un desen mic și tiparul se fixează definitiv.
Înmulțești pe un arbore neuniform. Dacă din noduri diferite pleacă un număr diferit de ramuri, produsul nu are sens; tratezi fiecare ramură mare separat și aduni la final.
Ignori restricția „cifre distincte". La al doilea nivel oferta scade cu unu, deci $3 \cdot 2$ , nu $3 \cdot 3$ . Citește enunțul cu creionul în mână și subliniază cuvântul „distincte".
Uiți că un număr nu poate începe cu $0$ . Începe întotdeauna arborele cu poziția cea mai restricționată — prima cifră — și abia apoi cu celelalte.
Confunzi „ordonat" cu „neordonat". Perechile „președinte–secretar" sunt ordonate ( $12$ variante pentru $4$ persoane), echipele nu sunt ( $6$ variante). Aceeași cifră de plecare, două răspunsuri diferite.

Aplică acasă

Meniul de acasă. Notează ce sortimente ai la trei categorii: mic dejun ( $3$ variante), băutură ( $2$ ), fruct ( $3$ ). Desenează arborele complet pe o foaie A4, numără frunzele și compară rezultatul cu produsul numerelor de ramuri.
Codul bicicletei. Dacă ai un lacăt cu cifru, numără rotițele și simbolurile de pe fiecare. Calculează câte coduri există și estimează cât ți-ar lua să le încerci pe toate, cu două coduri pe secundă. Vei înțelege de ce lacătele au $4$ rotițe, nu $2$ .
Turneul din curte. Organizează, măcar pe hârtie, un turneu între patru colegi în care fiecare joacă o singură partidă cu fiecare. Scrie toate partidele, apoi verifică numărul lor cu metoda din secțiunea 5. Dar dacă ar fi cinci jucători?

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea Metode de numărare și are rol de temelie: introduce, prin desen, cele trei distincții pe care se sprijină tot capitolul — uniform/neuniform, cu repetiție/fără repetiție, ordonat/neordonat. Programa de trunchi comun cere explicit abordarea prin contexte practice, de aceea exemplele sunt luate din situații recognoscibile: meniuri, coduri, trasee, echipe, steaguri.

Ce verifică lecția: dacă elevul construiește corect arborele (nu doar dacă știe să înmulțească), dacă distinge un arbore neuniform de unul uniform și dacă citește corect enunțul în privința ordinii. Întrebări bune de control: „Câte ramuri pleacă din al doilea nod și de ce?"; „Dacă schimbi între ele cele două persoane alese, obții altă variantă?"; „De ce nu poate începe numărul cu $0$ ?". Semne că a înțeles: desenează spontan un arbore parțial când problema devine mare și explică singur de ce la excursia cu două orașe se adună, iar la meniu se înmulțește.

La Bacalaureat, subiectul I conține aproape întotdeauna un exercițiu de numărare — cel mai frecvent „câte numere de trei cifre distincte…" sau „în câte moduri se pot alege…". Reflexul de a schița arborele pe ciornă înainte de a scrie un produs costă zece secunde și aduce siguranța răspunsului. Continuarea firească este Regula produsului, unde tiparul observat aici devine regulă de calcul.

Întrebări frecvente

Ce este o diagramă arborescentă în matematică? Este un desen care organizează alegerile succesive dintr-o problemă: pornește dintr-un punct numit rădăcină și se ramifică o dată pentru fiecare alegere posibilă. Fiecare drum complet, de la rădăcină până la un capăt, reprezintă o posibilitate, iar numărul posibilităților este numărul capetelor (frunzelor).

Cum număr toate posibilitățile cu ajutorul unui arbore? Construiești arborele nivel cu nivel, câte un nivel pentru fiecare etapă a alegerii, apoi numeri frunzele. Dacă din toate nodurile unui nivel pleacă același număr de ramuri, poți sări peste desen și înmulți direct numerele de ramuri; dacă nu, tratezi separat fiecare ramură mare și aduni rezultatele.

Când se înmulțesc ramurile și când se adună? Se înmulțesc când etapele se fac una după alta și numărul de variante de la o etapă nu depinde de alegerea anterioară (meniu: supă și fel principal și desert). Se adună când situațiile sunt alternative care se exclud una pe alta (excursie la munte sau la mare).

Ce înseamnă „cu repetiție" și „fără repetiție"? „Cu repetiție" înseamnă că același element poate fi folosit de mai multe ori, deci oferta rămâne neschimbată la fiecare nivel al arborelui (coduri de tipul $22$ sunt permise). „Fără repetiție" — sau „cu elemente distincte" — înseamnă că elementul folosit iese din joc, deci numărul de ramuri scade cu unu la fiecare nivel.

Cum îmi dau seama dacă ordinea contează într-o problemă? Iei două elemente alese și le schimbi între ele. Dacă obții o situație diferită (președinte și secretar, cifra zecilor și cifra unităților, locul I și locul II), ordinea contează. Dacă obții exact aceeași situație (o echipă, o grupă, o mulțime), ordinea nu contează și fiecare variantă a fost numărată de mai multe ori.

De ce un număr de trei cifre nu poate începe cu cifra 0? Pentru că $0$ pe prima poziție ar transforma numărul într-unul de două cifre: $012$ este, de fapt, $12$ . De aceea, la problemele cu numere, prima cifră se alege întotdeauna prima și dintr-o mulțime mai săracă cu un element, iar restul pozițiilor se completează după aceea.

Când nu mai merită să desenez arborele? Când numărul frunzelor depășește câteva zeci. Pentru un cod de patru cifre ar trebui desenate $10000$ de frunze, ceea ce e imposibil. În astfel de situații desenezi doar o schiță cu primele două niveluri, notezi câte ramuri are fiecare nivel și înmulțești — adică folosești regula produsului.

La ce îmi folosește arborele dacă oricum învăț formule? Arborele rămâne instrumentul de verificare: orice formulă de combinatorică poate fi controlată pe un caz mic, desenând arborele și numărând frunzele. În plus, el este singura metodă care îți dă lista completă a variantelor — lucru cerut adesea la coduri, trasee sau planuri de rezervă.