Aplicații: dobândă, Richter, pH, dezintegrare: pe scurt

Aproape orice aplicație din această lecție se scrie $M(t)=M_0\cdot q^t$: întrebarea directă («cât va fi peste $t$ pași?») cere o putere, întrebarea inversă («după cât timp?») cere un logaritm, $t=\frac{\lg (M/M_0)}{\lg q}$.

Dobânda compusă: $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$; timpul de dublare este $n={\log }_{q}2=\frac{\lg 2}{\lg q}$, estimat rapid cu regula lui 70, $n\approx \frac{70}{p}$. Scara Richter: $M=\lg \frac{A}{A_0}$ — o unitate în plus înseamnă amplitudine de $10$ ori mai mare; din $\lg E=4,8+1,5M$, aceeași unitate înseamnă energie de circa $31,6$ ori mai mare. pH: $\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]$, deci $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-\mathrm{pH}}$; o diferență de $1$ unitate de pH înseamnă un raport de $10$ între concentrații, iar pH mai mare înseamnă aciditate mai mică. Dezintegrarea: $N(t)=N_0\cdot 2^{-t/T}$, cu $T$ timpul de înjumătățire — rămâne $50\%$ după $T$, $25\%$ după $2T$.

Toate patru comprimă intervale uriașe de valori într-o scară logaritmică: o diferență constantă pe scară înseamnă un raport constant în realitate — capcana clasică e să tratezi scara ca fiind liniară.

Exerciții din această mini-lecție

1. O sumă de $2000$ de lei este depusă cu dobândă anuală de $5\%$, capitalizată. Ce sumă este în cont după $2$ ani?

   • a) $2205$ lei
   • b) $2200$ lei
   • c) $2100$ lei
   • d) $2500$ lei
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2205$ lei

   $S_2=2000\cdot 1,05^2=2000\cdot 1,1025=2205$ lei. Dobânda simplă ar da doar $2200$ lei — diferența de $5$ lei este «dobânda la dobândă».

2. O soluție are $\mathrm{pH}=4$, alta $\mathrm{pH}=7$. De câte ori este mai acidă prima decât a doua?

   • a) de $3$ ori
   • b) de $1000$ de ori
   • c) de $10$ ori
   • d) de $100$ de ori
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) de $1000$ de ori

   Raportul concentrațiilor de ioni de hidrogen este $\frac{10^{-4}}{10^{-7}}=10^3=1000$. O diferență de $3$ unități de pH ascunde un raport de $1000$, nu de $3$.

3. Un cutremur are magnitudinea $6$, altul magnitudinea $5$. De câte ori este mai mare amplitudinea primului?

   • a) de $1$ ori (egale)
   • b) de $2$ ori
   • c) de $10$ ori
   • d) de $6/5$ ori
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) de $10$ ori

   Din $M=\lg \frac{A}{A_0}$: raportul amplitudinilor este $10^{6-5}=10$. O unitate în plus pe scara Richter înseamnă amplitudine de $10$ ori mai mare.