Pentru a măsura lățimea unui lac, construiești pe malul tău un triunghi mic $$\triangle EDC$$ asemenea cu triunghiul mare $$\triangle BAC$$ (ca în lecție, cu $$\angle A = \angle D = 90°$$ și $$B, C, E$$ coliniare). De ce sunt cele două triunghiuri asemenea?

Pentru că au un unghi drept fiecare și unghiurile din $$C$$ sunt opuse la vârf (criteriul U.U.)

Pentru că au toate laturile egale

Pentru că sunt amândouă triunghiuri isoscele

Pentru că au același perimetru

Cum aflu înălțimea unui copac cu umbra?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Distanțe aflate cu asemănarea

Înfigi un băț drept lângă el și măsori, în același moment, umbra bățului și umbra copacului. Razele soarelui vin paralel, așa că cele două triunghiuri dreptunghice formate au aceeași formă, iar laturile lor sunt în același raport. Dacă bățul de 1 m are umbra de 2 m, iar copacul are umbra de 10 m, înălțimea lui este $1 \cdot \frac{10}{2} = 5$ m. Rezultatul este o valoare apropiată, nu una la milimetru.

Ideea de bază: dacă două triunghiuri sunt asemenea, laturile lor omoloage sunt proporționale. Asta ne ajută să aflăm lungimi pe care nu le putem măsura direct — construim un triunghi mic, ușor de măsurat (un băț și umbra lui), asemenea cu un triunghi mare, inaccesibil (un copac și umbra lui).

La metoda umbrei, obiectul vertical și bățul vertical formează, cu razele paralele ale soarelui, două triunghiuri dreptunghice cu un unghi comun (criteriul U.U.), deci asemenea. Formula:

$\frac{I ^ _{obiect}}{I ^ _{b \overset{a}{˘} ț}} = \frac{u _{obiect}}{u _{b \overset{a}{˘} ț}}$

Exemplu: un băț de $1 m$ are umbra $2 m$ ; în același moment, un stâlp are umbra $10 m$ . Atunci $\hat{I}_{st \overset{a}{ˆ} lp} = 1 \cdot \frac{10}{2} = 5 m$ .

Reguli de aur: umbrele se măsoară simultan, unitățile trebuie unificate, iar rezultatul e o aproximare, nu o valoare exactă.

De reținut

triunghiuri asemenea → laturi care se corespund proporționale
$\frac{ı ˆ n a ˘ l ț imea obiectului}{ı ˆ n a ˘ l ț imea b a ˘ ț ului} = \frac{umbra obiectului}{umbra b a ˘ ț ului}$
umbrele se măsoară în același moment
toate lungimile în aceeași unitate

Greșeala tipică

Se amestecă unitățile, punând centimetri într-o parte a proporției și metri în cealaltă. Toate lungimile se trec în aceeași unitate înainte de a scrie raportul.

Exerciții din această mini-lecție

Un băț de $1 m$ aruncă o umbră de $0, 8 m$ . În același moment, un stâlp aruncă o umbră de $4 m$ . Ce înălțime are stâlpul?
- a) $4, 2 m$
- b) $5 m$
- c) $3, 2 m$
- d) $4, 8 m$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5 m$

$\frac{I ^}{1} = \frac{4}{0 , 8} = 5 \Rightarrow \hat{I} = 5 m$ . Umbra stâlpului e de $5$ ori mai lungă decât a bățului, deci stâlpul e de $5$ ori mai înalt.
Pentru a măsura lățimea unui lac, construiești pe malul tău un triunghi mic $△ E D C$ asemenea cu triunghiul mare $△ B A C$ (ca în lecție, cu $∠ A = ∠ D = 90°$ și $B, C, E$ coliniare). De ce sunt cele două triunghiuri asemenea?
- a) Pentru că au toate laturile egale
- b) Pentru că au un unghi drept fiecare și unghiurile din $C$ sunt opuse la vârf (criteriul U.U.)
- c) Pentru că sunt amândouă triunghiuri isoscele
- d) Pentru că au același perimetru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Pentru că au un unghi drept fiecare și unghiurile din $C$ sunt opuse la vârf (criteriul U.U.)

Ambele triunghiuri au câte un unghi de $90°$ (construite perpendicular pe mal) și unghiurile din $C$ sunt opuse la vârf, deci egale. Cu două unghiuri respectiv egale, triunghiurile sunt asemenea prin criteriul U.U.
Un băț de $1, 2 m$ aruncă o umbră de $0, 6 m$ . În același moment, un stâlp aruncă o umbră de $3 m$ . Ce înălțime are stâlpul?
- a) $3, 6 m$
- b) $16 m$
- c) $6 m$
- d) $1, 5 m$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6 m$

$\frac{I ^}{1 , 2} = \frac{3}{0 , 6} = 5 \Rightarrow \hat{I} = 1, 2 \cdot 5 = 6 m$ . Umbra stâlpului e de $5$ ori mai lungă decât a bățului, deci stâlpul e de $5$ ori mai înalt.

Întrebări conexe

Ce înălțime are stâlpul dacă bățul de 1 m are umbra de 2 m?

Depinde de umbra stâlpului. Împarți umbra lui la umbra bățului și înmulțești cu înălțimea bățului. La o umbră de 14 m iese un stâlp de 7 m. Raportul dintre umbră și înălțime este același pentru toate obiectele verticale din acel moment.

De ce trebuie măsurate umbrele în același moment?

Fiindcă soarele urcă și coboară, iar umbrele se lungesc sau se scurtează de la un sfert de oră la altul. Măsurate la ore diferite, cele două umbre nu mai corespund aceluiași unghi, deci proporția scrisă ar fi falsă.

Cum folosesc o oglindă pusă pe jos ca să măsor înălțimea?

Așezi oglinda între tine și obiect și te dai înapoi până îi vezi vârful în ea. Se formează două triunghiuri asemenea, cu vârful în oglindă, deci înălțimea obiectului iese din raportul distanțelor de la oglindă. Metoda merge și pe vreme înnorată.

Cum potrivesc laturile care se corespund în proporție?

Pui înălțimea cu înălțimea și umbra cu umbra, niciodată amestecat. Cel mai sigur este să scrii întâi relația de asemănare cu vârfurile în ordine, fiindcă atunci rapoartele se citesc singure din literele scrise.

Ce fac dacă terenul dintre mine și obiect este în pantă?

Metoda umbrei își pierde exactitatea, fiindcă umbra se așază pe o suprafață înclinată și pare mai lungă sau mai scurtă. Pe pantă se măsoară cu alte mijloace, iar dacă panta este mică, rezultatul se ia doar ca valoare orientativă.

Cât de mare poate fi eroarea la metoda umbrei?

De obicei câteva procente, venite din marginea neclară a umbrei, din bățul care nu stă tocmai drept și din rotunjirea măsurătorilor. Pentru înălțimea unui copac de zece metri, o abatere de o jumătate de metru este obișnuită.

Oamenii mai întreabă și: metoda umbrei · înălțimea unui copac cu umbra · aproximarea distanțelor cu asemănare · cum măsor un obiect înalt · triunghiuri asemenea în practică