Punctul $$Q$$ se află pe bisectoarea unghiului $$\widehat{mOn}$$. Distanța de la $$Q$$ la latura $$Om$$ este $$7{,}4$$ cm. Cât este distanța de la $$Q$$ la latura $$On$$?

Nu se poate afla fără alte date

Punctul $$R$$ se află pe bisectoarea unghiului $$\widehat{pOq}$$. Distanța de la $$R$$ la latura $$Oq$$ este $$5{,}6$$ cm. Cât este distanța de la $$R$$ la latura $$Op$$?

Nu se poate afla fără alte date

Ce este cercul înscris într-un triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Bisectoarele triunghiului și cercul înscris

Este cercul care atinge toate cele trei laturi și stă în întregime în interiorul triunghiului. Centrul lui se numește incentru, se notează cu $I$ și se află la întâlnirea celor trei bisectoare, care sunt concurente. Fiindcă orice punct de pe o bisectoare păstrează aceeași distanță până la laturile unghiului, incentrul se află la fel de departe de toate cele trei laturi, iar acea distanță comună este chiar raza cercului.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta care îl împarte în două unghiuri congruente. Proprietatea-cheie: orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de cele două laturi ale unghiului. Într-un triunghi $A B C$ , cele trei bisectoare ale unghiurilor sunt concurente — se întâlnesc într-un singur punct, numit incentru și notat $I$ . Pentru că $I$ se află pe toate cele trei bisectoare, el este egal depărtat de toate cele trei laturi; această distanță comună este raza $r$ a cercului înscris în triunghi, cerc tangent la toate laturile, situat complet în interior.

Exemplu: dacă $m (A) = 70°$ , bisectoarea din $A$ formează cu fiecare latură vecină din $A$ un unghi de $\frac{70°}{2} = 35°$ .

Formulă utilă pentru unghiul dintre două bisectoare: $m (B I C) = 90° + \frac{m ( A )}{2}$ .

De reținut

bisectoarele celor trei unghiuri se întâlnesc într-un singur punct
punctul lor comun se numește incentru și se notează $I$
incentrul stă la aceeași distanță de toate cele trei laturi
raza cercului înscris este chiar acea distanță

Greșeala tipică

Se măsoară distanța de la incentru până la un vârf și se ia drept rază. Raza cercului înscris se măsoară pe perpendiculara dusă până la o latură, iar drumul până la vârf este mai lung.

Exerciții din această mini-lecție

Punctul $Q$ se află pe bisectoarea unghiului $m O n$ . Distanța de la $Q$ la latura $O m$ este $7, 4$ cm. Cât este distanța de la $Q$ la latura $O n$ ?
- a) $3, 7$ cm
- b) $7, 4$ cm
- c) $14, 8$ cm
- d) Nu se poate afla fără alte date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7, 4$ cm

Proprietatea bisectoarei spune că orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de cele două laturi ale unghiului. Deci distanța de la $Q$ la $O n$ este egală cu distanța de la $Q$ la $O m$ , adică $7, 4$ cm.
În triunghiul $A B C$ , $m (B) = 44°$ și $m (C) = 66°$ . Bisectoarele din $B$ și din $C$ se întâlnesc în $I$ . Cât este $m (B I C)$ ?
- a) $55°$
- b) $110°$
- c) $125°$
- d) $145°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $125°$

$B I$ este bisectoarea lui $B$ , deci $m (I B C) = \frac{44°}{2} = 22°$ . $C I$ este bisectoarea lui $C$ , deci $m (I C B) = \frac{66°}{2} = 33°$ . În triunghiul $B I C$ , suma unghiurilor este $180°$ , deci $m (B I C) = 180° - 22° - 33° = 125°$ . Verificare: $m (A) = 180° - 44° - 66° = 70°$ , iar $90° + \frac{70°}{2} = 125°$ .
Punctul $R$ se află pe bisectoarea unghiului $pO q$ . Distanța de la $R$ la latura $O q$ este $5, 6$ cm. Cât este distanța de la $R$ la latura $O p$ ?
- a) $2, 6$ cm
- b) $5, 6$ cm
- c) $11, 6$ cm
- d) Nu se poate afla fără alte date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5, 6$ cm

Proprietatea bisectoarei spune că orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de cele două laturi ale unghiului. Deci distanța de la $R$ la $O p$ este egală cu distanța de la $R$ la $O q$ , adică $5, 6$ cm.

Întrebări conexe

Ce proprietate au punctele de pe bisectoarea unui unghi?

Fiecare dintre ele se află la aceeași distanță față de cele două laturi ale unghiului, distanța fiind măsurată pe perpendiculară. Dacă un punct de pe bisectoare stă la $7, 4$ cm de o latură, tot atât are și până la cealaltă. Proprietatea este cheia întregii lecții.

De ce unghiul dintre două bisectoare depășește mereu $90°$ ?

Fiindcă el se calculează cu $90°$ plus jumătate din unghiul al treilea, iar acea jumătate este întotdeauna pozitivă. Într-un triunghi cu un unghi de $58°$ , unghiul dintre celelalte două bisectoare măsoară $90° + 29° = 119°$ . Este deci un unghi obtuz.

Ce este cercul circumscris unui triunghi?

Este cercul care trece prin cele trei vârfuri, cu centrul la întâlnirea mediatoarelor laturilor. Spre deosebire de cel înscris, el cuprinde triunghiul, iar centrul lui poate cădea și în afara figurii, la triunghiurile obtuzunghice.

Unde se află incentrul unui triunghi echilateral?

Fix în mijlocul figurii, acolo unde se adună și centrul cercului circumscris, punctul de întâlnire al medianelor și cel al înălțimilor. Toate liniile importante coincid, fiindcă figura arată la fel din oricare vârf ai privi-o.

Ce înseamnă că un cerc este tangent la o latură?

Înseamnă că îl atinge într-un singur punct, fără să îl taie. Raza dusă până în acel punct este perpendiculară pe latură, iar lungimea ei este chiar distanța de la centru până acolo. Cercul înscris este tangent la toate cele trei laturi.

Oamenii mai întreabă și: cercul înscris în triunghi · incentrul unui triunghi · unde se întâlnesc bisectoarele · centrul cercului înscris