Factorialul unui număr natural

Ai șase melodii preferate și vrei să le asculți într-o ordine nouă în fiecare zi. Câte zile îți ajung? Cu regula produsului răspunzi imediat: prima melodie se poate alege în $6$ moduri, a doua în $5$ (una s-a consumat), a treia în $4$ și așa mai departe, până la ultima, care e unica rămasă. Deci $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$ de zile — aproape doi ani cu doar șase melodii.

Produsele acestea „descrescătoare până la $1$" apar în combinatorică la tot pasul: la ordonarea cărților pe raft, a concurenților la start, a literelor într-un cuvânt, a scaunelor la o masă. Sunt atât de frecvente încât matematicienii le-au dat un nume, o notație și câteva reguli de calcul care te scapă de înmulțiri interminabile. Numele este factorial, iar notația — un simplu semn de exclamare. Lecția aceasta e despre el: ce este, de ce $0!=1$, cât de repede crește și, mai ales, cum simplifici expresii cu factoriale fără să calculezi vreodată numerele uriașe din ele. Este unealta de calcul pe care se sprijină toate formulele din restul unității.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești factorialul unui număr natural și să calculezi valorile mici, până la $8!$.
• Vei ști de ce se acceptă convenția $0!=1$ și ce argumente o susțin.
• Vei ști să folosești formula de recurență $n!=n\cdot (n-1)!$ în ambele sensuri.
• Vei ști să simplifici rapoarte de factoriale fără să calculezi numărătorul și numitorul.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu factoriale, punând corect condițiile asupra lui $n$.
• Vei ști cât de exploziv crește factorialul și de ce acest lucru contează în probleme practice.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția

Definiție. Fie $n$ un număr natural nenul. Se numește factorialul lui $n$, și se notează $n!$ (se citește „$n$ factorial"), produsul tuturor numerelor naturale de la $1$ până la $n$:

$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n.$$

Prin convenție, se definește în plus $0!=1$.

Primele valori se calculează direct și merită știute pe de rost:

Observă că produsul se poate scrie și în ordine descrescătoare — $n!=n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$ — pentru că înmulțirea este comutativă. În probleme vei folosi mai des forma descrescătoare, fiindcă ea seamănă cu felul în care numeri alegerile: $6$, apoi $5$, apoi $4$…

2. Formula de recurență

Privește tabelul: $6!=720$, iar $7!=5040=7\cdot 720$. Nu e o coincidență. Din definiție,

$$n!=\underset{=(n-1)!}{\underbrace{1\cdot 2\cdot \dots \cdot (n-1)}}\cdot n=n\cdot (n-1)!,$$

adică formula de recurență

$$\boxed{n!=n\cdot (n-1)!},n\ge 1.$$

Ea se citește în ambele sensuri, și amândouă sunt folositoare:

• Înainte: dacă știi $(n-1)!$, obții $n!$ printr-o singură înmulțire ($8!=8\cdot 5040=40320$).
• Înapoi: un factorial mare se poate „desface" până la unul mai mic ($10!=10\cdot 9\cdot 8!$), ceea ce e cheia simplificărilor din secțiunea 5.

Formula funcționează și pentru $n=1$: $1!=1\cdot 0!=1\cdot 1=1$. ✓

3. De ce $0!=1$?

Elevilor li se pare, la prima vedere, o convenție arbitrară — „produsul niciunui număr ar trebui să fie $0$". Nu este arbitrară deloc; sunt cel puțin două argumente solide.

Argumentul recurenței. Vrem ca formula $n!=n\cdot (n-1)!$ să funcționeze pentru orice $n\ge 1$, fără excepții. Pentru $n=1$ ea devine $1!=1\cdot 0!$, adică $1=0!$. Singura valoare care păstrează regula este $0!=1$. Dacă am pune $0!=0$, am obține $1!=0$ — fals.

Argumentul numărării. Factorialul numără ordonările. În câte moduri poți așeza în ordine zero obiecte? Într-un singur mod: nu așezi nimic. „A nu așeza nimic" este exact o variantă, nu zero variante — la fel cum o listă goală este o listă perfect valabilă. Deci $0!=1$. (Am verificat acest lucru și cu ajutorul calculatorului, generând efectiv toate ordonările unei mulțimi cu $0$, $1$, …, $8$ elemente: numărul lor a fost, de fiecare dată, exact $n!$, iar pentru mulțimea vidă a ieșit $1$.)

Există aici o analogie utilă cu ceva ce știi deja: $a^0=1$ pentru $a\ne 0$, tot pentru ca regulile puterilor să rămână valabile fără excepții. Matematica alege convențiile care păstrează regulile, nu pe cele care sună „intuitiv".

4. O creștere care sperie

Factorialul crește mai repede decât orice putere. Compară:

Până la $n=3$, puterea lui $2$ conduce; de la $n=4$ încolo, factorialul o depășește și se distanțează iremediabil. Motivul e simplu: la fiecare pas, $2^n$ se înmulțește cu $2$, în timp ce $n!$ se înmulțește cu $n$, un număr din ce în ce mai mare.

Două exemple care fac cifrele palpabile:

• $10!=3628800$ secunde înseamnă exact $42$ de zile.
• $15!=1307674368000$ secunde înseamnă peste $41000$ de ani.
• Un pachet de $52$ de cărți de joc poate fi amestecat în $52!$ moduri, adică aproximativ $8\cdot 10^{67}$ — mai multe decât numărul atomilor din galaxia noastră. Practic, orice amestecare bine făcută produce o ordine în care pachetul nu a mai fost niciodată, de la inventarea cărților de joc.

Consecința practică pentru tine: nu calcula niciodată factorialele mari. Într-o problemă cu $100!$, nimeni nu vrea numărul; se cere doar rezultatul unei simplificări.

5. Simplificarea rapoartelor de factoriale

Aceasta este tehnica de calcul cea mai des folosită din toată unitatea. Ideea: desfaci factorialul mai mare până ajungi la cel mic, apoi simplifici.

Exemplul-tip. Calculăm $\frac{10!}{8!}$. Scriem $10!=10\cdot 9\cdot 8!$ și simplificăm:

$$\frac{10!}{8!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8!}{8!}=10\cdot 9=90.$$

Nu am calculat nici $10!$ (peste trei milioane), nici $8!$. Aceeași metodă merge oricât de mari ar fi numerele:

$$\frac{100!}{98!}=\frac{100\cdot 99\cdot 98!}{98!}=100\cdot 99=9900.$$

Regula de aur: $\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$ — un produs de exact $k$ factori, care începe de la $n$ și coboară.

Cu literă merge la fel de bine:

$$\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)\cdot n!}{n!}=(n+1)(n+2),\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)\cdot n.$$

Atenție la o greșeală foarte răspândită: $\frac{10!}{5!}\ne 2!$ și $\frac{10!}{5!}\ne \frac{10}{5}!$ — factorialul nu se „simplifică" ca un factor obișnuit. Verifică pe numere mici: $\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12$, în timp ce $2!=2$. Nimic în comun.

6. Ecuații cu factoriale

Rețeta este mereu aceeași, în patru pași:

1. Pui condițiile ca toate factorialele să aibă sens: fiecare argument trebuie să fie număr natural. Din $(n-2)!$ rezultă $n\ge 2$, din $(n-1)!$ rezultă $n\ge 1$ etc.
2. Exprimi totul prin cel mai mic factorial care apare, folosind recurența.
3. Simplifici acel factorial (el este nenul, deci simplificarea e permisă) și rezolvi ecuația algebrică rămasă.
4. Verifici soluțiile față de condiții și le respingi pe cele care nu sunt numere naturale sau nu respectă restricțiile.

Exemplu. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $\frac{n!}{(n-2)!}=90$.

Condiție: $n\ge 2$. Scriem $n!=n(n-1)(n-2)!$ și simplificăm:

$$n(n-1)=90⟺n^2-n-90=0.$$

Discriminantul este $\Delta =1+360=361=19^2$, deci $n=\frac{1\pm 19}{2}$, adică $n=10$ sau $n=-9$. A doua valoare nu e număr natural, deci se respinge. Rămâne $n=10$, care verifică și condiția $n\ge 2$.

Verificare: $\frac{10!}{8!}=10\cdot 9=90$. ✓

7. O identitate care apare des

Din recurență se obține, cu un pas de calcul, o relație frumoasă:

$$(n+1)!-n!=(n+1)\cdot n!-n!=n!\cdot [(n+1)-1]=n\cdot n!.$$

Deci

$$\boxed{n\cdot n!=(n+1)!-n!}$$

Verificăm pe un caz mic, cum facem mereu: pentru $n=4$, membrul stâng este $4\cdot 24=96$, iar membrul drept $120-24=96$. ✓

Identitatea e utilă la sume care se „telescopează". De exemplu:

$$1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+4\cdot 4!+5\cdot 5!=(2!-1!)+(3!-2!)+\dots +(6!-5!)=6!-1!=719.$$

Toți termenii intermediari se anulează doi câte doi și rămân doar primul și ultimul. Sumele care se comportă astfel se numesc telescopice, iar identitatea de mai sus este exact „cheia" care le deschide.

8. La ce ne va folosi

Factorialul nu e un capriciu de notație: el este forma compactă a produselor de tipul $n(n-1)(n-2)\cdots$ pe care le-ai întâlnit deja la Regula produsului. În lecția următoare, Permutări: definiție și formulă, vei vedea că numărul ordonărilor a $n$ obiecte distincte este exact $n!$, iar mai departe toate formulele unității — pentru aranjamente, combinări, binomul lui Newton — se scriu cu factoriale. Simplificările din secțiunea 5 vor fi, de acum, pâinea ta zilnică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule directe

Calculați $4!$, $5!$, $6!$ și $7!$, folosind de fiecare dată rezultatul precedent.

Rezolvare. Pornim de la $3!=6$ și aplicăm recurența $n!=n\cdot (n-1)!$:

$$4!=4\cdot 3!=4\cdot 6=24,5!=5\cdot 24=120,6!=6\cdot 120=720,7!=7\cdot 720=5040.$$

Patru înmulțiri simple în loc de patru produse lungi — acesta e câștigul recurenței.

Exemplul 2 — Rapoarte de factoriale

Calculați: a) $\frac{10!}{8!}$; b) $\frac{100!}{97!}$; c) $\frac{(n+2)!}{n!}$, pentru $n\in \mathbb{N}$.

Rezolvare. a) $\frac{10!}{8!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8!}{8!}=90$.

b) $\frac{100!}{97!}=\frac{100\cdot 99\cdot 98\cdot 97!}{97!}=100\cdot 99\cdot 98=970200$.

c) $\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)\cdot n!}{n!}=(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$.

Observă la punctul b) numărul de factori: $100-97=3$, deci trei factori, începând de la $100$ în jos.

Exemplul 3 — Expresii cu mai multe factoriale

Calculați: a) $\frac{6!}{3!\cdot 2!}$; b) $\frac{8!}{5!\cdot 3!}$.

Rezolvare. a) $\frac{6!}{3!\cdot 2!}=\frac{720}{6\cdot 2}=\frac{720}{12}=60$.

b) Aici e mai comod să desfacem numărătorul până la $5!$:

$$\frac{8!}{5!\cdot 3!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 6}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56.$$

Am folosit $3!=6$ și am simplificat, evitând complet calculul lui $8!=40320$.

Exemplul 4 — O ecuație cu factoriale

Rezolvați în $\mathbb{N}$ ecuația $(n+1)!=12\cdot (n-1)!$.

Rezolvare. Condiție: $n-1\ge 0$, deci $n\ge 1$.

Scriem factorialul mai mare prin cel mai mic: $(n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!$. Ecuația devine

$$(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!=12\cdot (n-1)!.$$

Cum $(n-1)!\ne 0$, putem simplifica: $n(n+1)=12$, adică $n^2+n-12=0$, cu $\Delta =1+48=49$ și rădăcinile $n=3$, respectiv $n=-4$.

Valoarea $n=-4$ nu este număr natural și se respinge. Rămâne $n=3$.

Verificare: $(3+1)!=24$ și $12\cdot 2!=12\cdot 2=24$. ✓

Exemplul 5 — Identitatea $n\cdot n!=(n+1)!-n!$

a) Verificați identitatea pentru $n=5$. b) Calculați suma $S=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+4\cdot 4!+5\cdot 5!$.

Rezolvare. a) Membrul stâng: $5\cdot 120=600$. Membrul drept: $6!-5!=720-120=600$. ✓

b) Înlocuim fiecare termen conform identității:

$$S=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+(5!-4!)+(6!-5!).$$

Termenii se anulează doi câte doi (suma este telescopică) și rămâne $S=6!-1!=720-1=719$.

Verificare directă: $1+4+18+96+600=719$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $\frac{(n+2)!}{n!}=42$.

Rezolvare. Condiție: $n\in \mathbb{N}$ (ambele factoriale au sens pentru orice $n$ natural).

Simplificăm raportul: $\frac{(n+2)!}{n!}=(n+1)(n+2)$. Ecuația devine

$$(n+1)(n+2)=42⟺n^2+3n+2=42⟺n^2+3n-40=0.$$

Discriminantul este $\Delta =9+160=169=13^2$, deci $n=\frac{-3\pm 13}{2}$, adică $n=5$ sau $n=-8$. A doua nu este naturală, deci se respinge.

Verificare: $\frac{7!}{5!}=7\cdot 6=42$. ✓ Soluția este $n=5$.

Să exersăm

Nu calcula niciodată un factorial mai mare decât $8!$: simplifică întâi și abia apoi înmulțește. La ecuații, scrie condițiile înainte de orice calcul — baremul le punctează separat.

1. Calculează $4!$, $5!$, $6!$ și $7!$.

2. Calculează, simplificând: a) $\frac{8!}{6!}$; b) $\frac{10!}{7!}$.

3. Simplifică, pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: a) $\frac{(n+1)!}{n!}$; b) $\frac{(n+2)!}{n!}$.

4. Calculează $\frac{6!}{3!\cdot 3!}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$0!=0$, pentru că nu înmulțim niciun număr."

6. Arată printr-un calcul că $5!+5!=2\cdot 5!$ și explică de ce $5!+5!$ nu este egal cu $10!$.

7. Rezolvă în $\mathbb{N}$: $(n+1)!=6\cdot n!$.

8. Rezolvă în $\mathbb{N}$: $\frac{n!}{(n-2)!}=90$.

9. Rezolvă în $\mathbb{N}$: $\frac{(n+2)!}{n!}=42$.

10. Calculează $\frac{100!}{98!}$ fără să calculezi factorialele.

11. (Problemă aplicată.) Câte zile înseamnă $10!$ secunde? (Indicație: o zi are $86400$ de secunde.)

12. Verifică identitatea $n\cdot n!=(n+1)!-n!$ pentru $n=4$ și pentru $n=6$.

13. Cu câte zerouri se termină numărul $10!$? Dar $20!$?

14. Compară $2^{10}$ cu $10!$. De la ce valoare a lui $n$ devine $n!$ mai mare decât $2^n$?

15. Simplifică, pentru $n\ge 1$: $\frac{(2n)!}{(2n-2)!}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=56$.

17. Calculează suma $1!+2!+3!+4!+5!$.

18. (Provocare.) Arată că $1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots +n\cdot n!=(n+1)!-1$ și verifică formula pentru $n=5$.

Răspunsuri și explicații

1. $4!=24$, $5!=120$, $6!=720$, $7!=5040$. Fiecare se obține din precedentul printr-o singură înmulțire, conform recurenței. (Este Exemplul 1.)

2. a) $\frac{8!}{6!}=8\cdot 7=56$. b) $\frac{10!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8=720$ (trei factori, pentru că $10-7=3$).

3. a) $\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)\cdot n!}{n!}=n+1$. b) $\frac{(n+2)!}{n!}=(n+1)(n+2)$.

4. $\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{720}{6\cdot 6}=\frac{720}{36}=20$.

5. Fals. Prin definiție se acceptă $0!=1$, iar convenția nu este arbitrară: ea face ca formula $n!=n\cdot (n-1)!$ să funcționeze și pentru $n=1$ ($1!=1\cdot 0!$). În plus, există exact un mod de a ordona zero obiecte — să nu ordonezi nimic.

6. $5!+5!=120+120=240=2\cdot 120=2\cdot 5!$. Nu poate fi $10!$, pentru că $10!=3628800$: factorialul nu este „aditiv", adică $a!+b!\ne (a+b)!$.

7. Din $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ obținem $(n+1)\cdot n!=6\cdot n!$; simplificăm cu $n!\ne 0$ și rezultă $n+1=6$, deci $n=5$. Verificare: $6!=720=6\cdot 120$. ✓

8. Condiție: $n\ge 2$. Simplificând, $n(n-1)=90$, adică $n^2-n-90=0$, cu $\Delta =361$ și soluțiile $n=10$, $n=-9$. Se respinge $n=-9$; rămâne $n=10$.

9. $(n+1)(n+2)=42$, deci $n^2+3n-40=0$, cu $\Delta =169$ și soluțiile $n=5$ și $n=-8$. Rămâne $n=5$ (verificare: $7!/5!=42$). Este Exemplul 6, redactat de tine.

10. $\frac{100!}{98!}=100\cdot 99=9900$.

11. $10!=3628800$ secunde. Împărțim la $86400$: $3628800:86400=42$. Deci exact $42$ de zile — șase săptămâni fix.

12. Pentru $n=4$: $4\cdot 24=96$ și $5!-4!=120-24=96$. ✓ Pentru $n=6$: $6\cdot 720=4320$ și $7!-6!=5040-720=4320$. ✓

13. $10!=3628800$ se termină cu $2$ zerouri, iar $20!=2432902008176640000$ se termină cu $4$ zerouri. Explicația: fiecare zero final provine dintr-o pereche de factori $2$ și $5$, iar factorii $5$ sunt cei rari — până la $10$ există doi multipli de $5$ ($5$ și $10$), iar până la $20$ există patru ($5$, $10$, $15$, $20$).

14. $2^{10}=1024$, iar $10!=3628800$, deci $10!$ este de peste $3500$ de ori mai mare. Comparând valorile mici: $1!=1<2$, $2!=2<4$, $3!=6<8$, dar $4!=24>16$ — deci de la $n=4$ încolo factorialul depășește puterea lui $2$ și rămâne mai mare.

15. $\frac{(2n)!}{(2n-2)!}=2n\cdot (2n-1)$, adică $4n^2-2n$ (doi factori, pentru că indicii diferă cu $2$).

16. Condiție: $n\ge 1$. Simplificăm: $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)\cdot n$. Ecuația devine $n^2+n-56=0$, cu $\Delta =1+224=225=15^2$ și soluțiile $n=7$ și $n=-8$. Rămâne $n=7$. Verificare: $\frac{8!}{6!}=8\cdot 7=56$. ✓

17. $1+2+6+24+120=153$.

18. Folosim identitatea $k\cdot k!=(k+1)!-k!$ pentru fiecare termen. Suma devine $(2!-1!)+(3!-2!)+\dots +[(n+1)!-n!]$; toți termenii intermediari se reduc și rămâne $(n+1)!-1!=(n+1)!-1$. Pentru $n=5$: membrul stâng este $1+4+18+96+600=719$, iar membrul drept $6!-1=720-1=719$. ✓

De reținut

• Definiția: $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ pentru $n\ge 1$, cu convenția $0!=1$. Valorile mici merită știute: $1$, $1$, $2$, $6$, $24$, $120$, $720$, $5040$, $40320$.
• Recurența $n!=n\cdot (n-1)!$ se folosește în ambele sensuri: pentru a calcula rapid și pentru a desface un factorial mare până la unul mic.
• $0!=1$ nu este o toană: convenția păstrează valabilitatea recurenței și corespunde faptului că există exact un mod de a ordona zero obiecte.
• Simplificarea rapoartelor: $\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$, un produs cu exact $k$ factori. Nu calcula niciodată factorialele mari.
• La ecuații cu factoriale: pui condițiile, exprimi totul prin cel mai mic factorial, simplifici, rezolvi și respingi soluțiile care nu sunt numere naturale.

Greșeli frecvente

• $0!=0$. Fals: $0!=1$. Ține minte argumentul recurenței: $1!=1\cdot 0!$ obligă $0!$ să fie $1$.
• „Simplificarea" $\frac{10!}{5!}=2!$. Complet greșit; factorialul nu se comportă ca un factor obișnuit. Corect: $\frac{10!}{5!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6$. Verifică pe cazul mic $\frac{4!}{2!}=12\ne 2!=2$.
• $a!+b!=(a+b)!$. Fals: $5!+5!=240$, dar $10!=3628800$. Factorialul nu este nici aditiv, nici multiplicativ în acest sens.
• Uiți condițiile la ecuații. Din $(n-2)!$ rezultă $n\ge 2$; fără această condiție poți accepta soluții pentru care expresia nici nu are sens. Baremul acordă puncte separat pentru condiții.
• Calculezi factorialele înainte de a simplifica. La $\frac{100!}{98!}$, cine se apucă de calcul pierde ora; cine simplifică scrie răspunsul $9900$ în două rânduri.

Aplică acasă

1. Playlistul. Alege $5$ melodii preferate și calculează în câte ordini le poți asculta ($5!$). Scrie efectiv $10$ dintre ordini pe o foaie și estimează cât ți-ar lua să le scrii pe toate, cronometrându-te la primele zece.

2. Cronometrul factorialului. Calculează câte minute înseamnă $8!$ secunde, câte ore înseamnă $9!$ secunde și câte zile înseamnă $10!$ secunde. Notează rezultatele unul sub altul: vei vedea „explozia" cu ochiul liber.

3. Cărțile de joc. Ia un pachet de cărți și amestecă-l. Caută pe internet valoarea lui $52!$ și scrie-o pe o foaie. Reflectează asupra afirmației: „ordinea pe care tocmai ai obținut-o nu a mai existat niciodată în istoria omenirii" — și explică-i unui coleg de ce este, cu o probabilitate uriașă, adevărată.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce unealta de calcul a întregii unități. Fără stăpânirea simplificărilor de tipul $\frac{n!}{(n-k)!}$, formulele pentru permutări, aranjamente și combinări rămân niște șiruri de simboluri pe care elevul le copiază fără să le poată folosi. De aceea accentul cade aici pe tehnica de calcul, nu pe definiție.

Ce verifică lecția: dacă elevul folosește recurența pentru a desface factorialele, dacă simplifică înainte de a înmulți și dacă pune condițiile la ecuații. Întrebări bune de control: „Câți factori are produsul $\frac{n!}{(n-3)!}$?" (răspuns: trei); „De ce ai voie să simplifici cu $(n-1)!$?" (pentru că este nenul); „Ce condiție impune scrierea $(n-2)!$?" (răspuns: $n\ge 2$). Semn că a înțeles: la $\frac{100!}{98!}$ nu atinge calculatorul.

La Bacalaureat, ecuațiile cu factoriale apar la subiectul I, aproape mereu în forma „rezolvați în mulțimea numerelor naturale", iar baremul punctează separat simplificarea, ecuația de gradul al doilea și respingerea soluției negative. Aceeași disciplină de redactare o vei regăsi la ecuațiile cu aranjamente și combinări din lecțiile Aranjamente: definiție și formulă și Combinări: definiție și formulă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă $n$ factorial? Înseamnă produsul tuturor numerelor naturale de la $1$ până la $n$: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$. De exemplu, $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$. Notația se scrie cu semnul exclamării după număr și se citește „$n$ factorial".

De ce $0!$ este egal cu $1$? Din două motive care se sprijină reciproc. Formula $n!=n\cdot (n-1)!$ dă, pentru $n=1$, egalitatea $1!=1\cdot 0!$, deci $0!$ trebuie să fie $1$. Iar din punct de vedere al numărării, există exact un singur mod de a ordona zero obiecte: să nu ordonezi nimic.

Cum simplific un raport de factoriale? Desfaci factorialul mai mare până ajungi la cel mic și simplifici. De exemplu, $\frac{10!}{8!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8!}{8!}=90$. Regula generală: $\frac{n!}{(n-k)!}$ este un produs de exact $k$ factori, care începe de la $n$ și scade din unu în unu.

Cât face $10!$? $10!=3628800$. Un mod ușor de reținut ordinul de mărime: $10!$ secunde înseamnă exact $42$ de zile.

Este adevărat că $\frac{10!}{5!}=2!$? Nu, este o greșeală frecventă. Factorialul nu se simplifică precum un factor obișnuit. Corect: $\frac{10!}{5!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=30240$. Poți verifica ideea pe un caz mic: $\frac{4!}{2!}=12$, în timp ce $2!=2$.

Cum rezolv o ecuație cu factoriale? Pui întâi condițiile de existență (argumentele factorialelor trebuie să fie numere naturale), exprimi toate factorialele prin cel mai mic dintre ele, simplifici cu acesta (fiind nenul) și rezolvi ecuația rămasă, de obicei de gradul al doilea. La final respingi soluțiile care nu sunt naturale sau nu respectă condițiile.

De ce cresc factorialele atât de repede? Pentru că la fiecare pas se înmulțesc cu un număr tot mai mare: de la $n!$ la $(n+1)!$ se înmulțește cu $n+1$, în timp ce o putere precum $2^n$ se înmulțește mereu cu $2$. De la $n=4$ încolo, $n!$ depășește $2^n$ și diferența devine uriașă: $10!=3628800$, iar $2^{10}=1024$.