Diagrame arborescente: numărarea posibilităților (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Gregor Mendel a urmărit, în grădina mănăstirii din Brno, zeci de mii de plante de mazăre. Proporțiile pe care le-a găsit nu au ieșit dintr-o formulă, ci dintr-o întrebare de numărare: câte combinații de „bucăți de ereditate” pot primi urmașii de la cei doi părinți? Răspunsul se obține cu un desen care se ramifică la fiecare alegere, numit diagramă arborescentă, iar lecția aceasta, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), te învață să-l construiești și să-l citești fără greș. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, unde programa numește explicit diagramele arborescente printre regulile de numărare. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține capitolul „Metode de numărare”, fără să numească separat arborele; modelul oficial publicat are, la Subiectul I, o cerință în care numărarea cazurilor pregătește calculul unei probabilități.

Arborele nu ascunde nimic într-o formulă: îți arată fiecare posibilitate pe drumul ei și rămâne proba la care revii când o regulă de calcul nu ți se pare sigură.

Ce vei învăța

Vei ști să construiești un arbore pentru o alegere făcută în etape și să numești corect rădăcina, nivelurile, nodurile și frunzele.
Vei ști să numeri frunzele unui arbore la care din noduri diferite pleacă numere diferite de ramuri.
Vei ști să tai ramurile interzise de condițiile din enunț, fără să desenezi întâi tot arborele.
Vei ști să folosești arborele în genetică, la gameți și la încrucișări, și să deosebești frunzele de rezultatele distincte.
Vei ști să citești un arbore dat într-o figură și să răspunzi la întrebări despre drumurile lui.
Vei ști să recunoști tiparul de înmulțire care anunță regula produsului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o diagramă arborescentă?

O diagramă arborescentă este un desen care descrie o alegere făcută în etape: pornește dintr-un punct numit rădăcină, are câte un nivel pentru fiecare etapă, iar din fiecare nod pleacă exact câte o ramură pentru fiecare variantă posibilă la etapa următoare, ținând cont de ce s-a ales înainte; un nod din care nu mai pleacă nimic se numește frunză, iar fiecare drum complet de la rădăcină la o frunză reprezintă o singură posibilitate.

Un exemplu de laborator: un elev pregătește o soluție: alege întâi solventul, apă sau etanol, apoi una dintre trei săruri, notate $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ . Din rădăcină pornesc două ramuri, câte una pentru fiecare solvent. Din fiecare dintre cele două noduri obținute pornesc trei ramuri, câte una pentru fiecare sare. Desenul are două niveluri și șase frunze; fiecare frunză e o pereche de tipul (apă, $S_{2}$ ) sau (etanol, $S_{3}$ ).

Ordinea nivelurilor o alegi tu, dar toate ramurile de pe același nivel descriu aceeași etapă.

2. De ce numărul posibilităților este numărul frunzelor?

Argumentul are două jumătăți. Fiecare posibilitate completă duce la o frunză: urmezi pe desen alegerile ei, etapă cu etapă, și ajungi într-un capăt. Două posibilități diferite nu ajung în aceeași frunză, fiindcă se despart în nodul primei alegeri diferite, iar într-un arbore ramurile doar se despart, nu se unesc.

Frunzele și posibilitățile se potrivesc deci una câte una: nimic nu e numărat de două ori și nimic nu rămâne pe dinafară. Două frunze cu aceeași etichetă arată o etapă desenată de două ori; o variantă absentă arată o ramură scăpată.

3. Ce faci când din noduri pleacă numere diferite de ramuri?

La o excursie într-o rezervație naturală, ghidul propune trei zone: pădurea, mlaștina și pajiștea. În pădure există două puncte de observație, în mlaștină trei, iar pe pajiște unul singur. Un vizitator alege o zonă și apoi un punct din zona aleasă.

Arborele are pe primul nivel trei ramuri, dar din nodurile lor pleacă $2$ , $3$ , respectiv $1$ ramuri. Un asemenea arbore se numește neuniform. Frunzele nu se mai obțin dintr-o singură înmulțire; le numeri pe fiecare ramură mare și aduni: $2 + 3 + 1 = 6$ variante. Cine ar înmulți $3 \cdot 3$ ar presupune că fiecare zonă are trei puncte — o ipoteză pe care enunțul nu o face.

Aici vezi, pe desen, două gesturi care vor primi nume în lecțiile următoare: în interiorul unei ramuri mari numeri pe niveluri, iar între ramurile mari aduni. Tratarea lor sistematică este în lecția despre regula sumei și combinarea regulilor.

4. Cum se vede pe arbore interdicția de a repeta?

Programa dă chiar un exemplu: numerele de două cifre scrise cu cifrele $3$ , $6$ și $7$ , cu sau fără repetiție. Privim întâi arborele în care repetiția e permisă: trei ramuri pentru cifra zecilor și, din fiecare nod, trei ramuri pentru cifra unităților.

Numerele de două cifre scrise cu 3, 6 și 7: cu repetiție, 9 frunze; fără repetiție se taie din fiecare nod ramura care repetă cifra.

Cerința „cifre distincte” nu cere un arbore nou. Ea taie din fiecare nod de pe al doilea nivel exact ramura care repetă cifra deja folosită: din nodul $3$ dispare frunza $33$ , din nodul $6$ frunza $66$ , din nodul $7$ frunza $77$ . Rămân $9 - 3 = 6$ frunze. Observă că tăierea a lăsat arborele tot uniform: fiecare nod de pe primul nivel păstrează două ramuri, chiar dacă nu aceleași.

Orice altă condiție din enunț — o cifră interzisă pe prima poziție, o regulă de joc — se aplică la fel, nod cu nod: te întrebi ce variante mai sunt permise după drumul parcurs până acolo.

5. Arborele unei încrucișări genetice

La o genă cu alelele $A$ (dominantă) și $a$ (recesivă), un organism heterozigot $A a$ transmite fiecărui gamet exact una dintre cele două alele. La încrucișarea $A a \times A a$ , arborele are două niveluri: primul pentru alela primită de la mamă, al doilea pentru alela primită de la tată.

Încrucișarea Aa × Aa: patru frunze, dar Aa și aA descriu același genotip.

Arborele are patru frunze: $AA$ , $A a$ , $a A$ și $aa$ . Dar genotipurile distincte sunt doar trei, pentru că $A a$ și $a A$ descriu același organism — contează ce alele are, nu de la care părinte a venit fiecare. Mai departe, când alela $A$ este complet dominantă, $AA$ și $A a$ arată la fel, deci fenotipurile distincte sunt două.

Tabelul lui Punnett de la biologie este exact acest arbore scris în pătrățele. Lecția de numărare de aici: o frunză e o posibilitate a desenului, iar întrebarea din enunț poate grupa mai multe frunze în același rezultat. Înainte de a răspunde, citește dacă se cer frunzele sau rezultatele distincte.

6. Tiparul care anunță regula produsului

Un laborant etichetează eprubetele cu o literă, $P$ sau $Q$ , urmată de o cifră, $1$ , $2$ sau $3$ . Pe primul nivel sunt două noduri. Fiecare dintre ele se ramifică în trei, deci pe al doilea nivel sunt de trei ori mai multe noduri, adică șase.

Ce s-a întâmplat? Când fiecare nod al unui nivel se ramifică de tot atâtea ori, numărul nodurilor de pe nivelul următor se obține înmulțind. Așa se explică de ce, la un arbore uniform, numărul frunzelor e produsul numerelor de ramuri de pe fiecare nivel. Observația devine regulă, cu condiția ei de aplicare scrisă precis, în lecția următoare, regula produsului.

7. Când arborele nu mai încape pe foaie

O secvență de zece nucleotide, fiecare dintre $A$ , $C$ , $G$ și $T$ , ar avea un arbore cu peste un milion de frunze. Atunci arborele se folosește în trei feluri:

schiță: primele două niveluri, cu numărul de ramuri notat lângă fiecare nivel;
listă: arborele complet, când enunțul cere chiar variantele;
probă: arborele unei variante mici a problemei, comparat cu rezultatul dat de o regulă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Gameții unei plante cu trei gene

O plantă de mazăre are genotipul $R r Y y tt$ : gena formei seminței ( $R$ neted, $r$ zbârcit), gena culorii ( $Y$ galben, $y$ verde) și gena înălțimii ( $T$ înaltă, $t$ pitică). Cele trei gene se află pe cromozomi diferiți, deci alelele lor ajung în gameți independent. Construiți arborele gameților, scrieți-i pe toți și determinați câți gameți diferiți ar produce o plantă $R r Y y T t$ .

Rezolvare. Fiecare gamet primește câte o alelă din fiecare genă, așa că arborele are trei niveluri. Pe primul nivel sunt două ramuri, $R$ și $r$ ; din fiecare nod pleacă două ramuri, $Y$ și $y$ . La al treilea nivel planta nu are de ales: ambele ei alele pentru înălțime sunt $t$ , deci din fiecare nod pleacă o singură ramură.

Gameții sunt $R Y t$ , $R y t$ , $r Y t$ și $r y t$ , adică $4$ gameți diferiți. Nivelul cu o singură ramură nu schimbă numărul frunzelor, dar se scrie: fiecare gamet conține alela $t$ .

Pentru planta $R r Y y T t$ , fiecare nod al treilea nivel se desparte în $T$ și $t$ : $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ gameți diferiți. Regula de lucru: fiecare genă heterozigotă dublează numărul gameților, iar fiecare genă homozigotă îl lasă neschimbat, cât timp genele sunt pe cromozomi diferiți.

Exemplul 2 — Citește arborele: ziua de teren

Planul unei zile de teren este dat în figura de mai jos. Echipa merge fie la lac, unde recoltează apă de la una dintre stațiile $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , la suprafață sau la fund, fie în pădure, unde parcurge unul dintre transectele $T_{1}$ , $T_{2}$ . a) Câte planuri complete există? b) De ce nu este corect calculul $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ ? c) Câte planuri conțin o probă luată de la fund?

Planul zilei de teren: arborele e neuniform, cu frunze pe niveluri diferite.

Rezolvare. a) Numărăm frunzele pe fiecare ramură mare. Sub „lac” sunt trei stații, fiecare cu două adâncimi, deci $3 \cdot 2 = 6$ frunze. Sub „pădure” sunt două frunze. În total $6 + 2 = 8$ planuri.

b) Produsul $2 \cdot 3 \cdot 2$ ar presupune că și pădurea are trei variante pe al doilea nivel și două pe al treilea, dar ramurile ei se opresc mai devreme. Înmulțirea e permisă numai în interiorul ramurii „lac”.

c) Proba de la fund apare doar pe ramura „lac”, câte o dată la fiecare stație: $3$ planuri.

Exemplul 3 — Lanțurile trofice ale unei pajiști

Într-un model simplificat al unei pajiști, legăturile de hrănire sunt: iarba este mâncată de lăcustă și de iepure; trifoiul, de iepure și de melc; lăcusta, de broască și de sturz; iepurele, de vulpe; melcul, de sturz. Un lanț trofic are trei verigi: un producător, un consumator primar care îl mănâncă și un consumator secundar care îl mănâncă pe acesta. Câte lanțuri trofice de trei verigi există în acest model? În câte apare iepurele?

Rezolvare. Arborele pornește din rădăcină cu cei doi producători. Numărul de ramuri nu se alege de noi, ci îl dictează tabelul hrănirii:

iarbă → lăcustă → (broască, sturz): $2$ lanțuri; iarbă → iepure → vulpe: $1$ lanț;
trifoi → iepure → vulpe: $1$ lanț; trifoi → melc → sturz: $1$ lanț.

Adunând frunzele, obținem $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ lanțuri, iar iepurele apare în $2$ dintre ele. Un produs de tipul „ $2$ producători, $3$ consumatori primari, $4$ secundari” nu are sens: nu orice animal mănâncă orice plantă, iar arborele păstrează doar legăturile reale.

Exemplul 4 — Arborele unui meci care se oprește

Doi elevi, Ana și Bogdan, joacă o serie de partide de șah fără remize; seria se termină când unul dintre ei ajunge la două victorii. Scrieți toate desfășurările posibile ale seriei, notând cu $A$ o partidă câștigată de Ana și cu $B$ una câștigată de Bogdan.

Rezolvare. Construim arborele partidă cu partidă și oprim o ramură în clipa în care un jucător are două victorii. După primele două partide, drumurile $AA$ și $B B$ se opresc: seria e decisă. Drumurile $A B$ și $B A$ continuă cu a treia partidă, care decide oricum.

Frunzele sunt $AA$ , $A B A$ , $A B B$ , $B AA$ , $B A B$ și $B B$ , adică $6$ desfășurări, pe niveluri diferite: două pe al doilea, patru pe al treilea. Cele opt șiruri de trei rezultate nu descriu seria, fiindcă $AAA$ , $AA B$ , $B B A$ și $B B B$ s-ar fi oprit după a doua partidă.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: grupele sanguine

Tatăl are grupa sanguină $A B$ (genotip $I^{A} I^{B}$ ), iar mama are grupa $A$ , cu genotipul $I^{A} i$ . Alelele $I^{A}$ și $I^{B}$ sunt codominante, iar $i$ este recesivă. Un elev desenează arborele alelelor primite de copil și scrie: „Arborele are $4$ frunze, deci copiii acestui cuplu pot avea $4$ grupe sanguine diferite.” Găsiți greșeala și dați răspunsul corect.

Rezolvare. Arborele elevului e corect: frunzele sunt $I^{A} I^{A}$ , $I^{A} i$ , $I^{B} I^{A}$ și $I^{B} i$ , patru genotipuri diferite. Greșeala e în ultimul pas: grupa sanguină este fenotipul, nu genotipul. $I^{A} I^{A}$ și $I^{A} i$ dau amândouă grupa $A$ , $I^{A} I^{B}$ dă grupa $A B$ , iar $I^{B} i$ dă grupa $B$ .

Grupele posibile sunt $A$ , $A B$ și $B$ , adică $3$ , nu $4$ ; grupa $0$ ar cere genotipul $ii$ , imposibil fiindcă tatăl nu are alela $i$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, 4}$ . a) Determinați numărul perechilor $(a, b)$ cu $a, b \in M$ și $a \neq = b$ pentru care produsul $ab$ este număr par. b) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare o pereche $(a, b)$ cu $a, b \in M$ și $a \neq = b$ , produsul $ab$ să fie număr par.

Rezolvare. a) Pe primul nivel al arborelui stă $a$ , cu patru ramuri; din fiecare nod pleacă trei ramuri, pentru valorile lui $b$ diferite de $a$ . Tăiem ramurile cu produs impar, nod cu nod:

$a = 1$ : rămân $b = 2$ și $b = 4$ , deci $2$ perechi;
$a = 2$ : orice $b$ dă produs par, deci $3$ perechi;
$a = 3$ : rămân $b = 2$ și $b = 4$ , deci $2$ perechi;
$a = 4$ : $3$ perechi.

Numărul perechilor este $2 + 3 + 2 + 3 = 10$ .

b) Toate perechile cu $a \neq = b$ sunt frunzele arborelui netăiat: $4 \cdot 3 = 12$ . Probabilitatea cerută este

$P = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} .$

Control: s-au tăiat doar $(1, 3)$ și $(3, 1)$ , iar $12 - 2 = 10$ . Cerința urmează forma cerinței de numărare și probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Desenează arborele măcar la primele exerciții, chiar dacă vezi rezultatul din calcul. La cele cu condiții, taie ramurile nod cu nod și scrie lângă fiecare nod câte ramuri au rămas.

1. Un ornitolog notează, pentru fiecare pasăre observată, specia (vrabie, pițigoi, mierlă sau cinteză) și sexul (mascul sau femelă). Desenează arborele, scrie toate frunzele și spune câte înregistrări diferite pot apărea.

2. Din rădăcina unui arbore pleacă trei ramuri; din primul nod obținut pleacă $3$ ramuri, din al doilea $1$ ramură, din al treilea $2$ ramuri, iar din fiecare nod al celui de-al doilea nivel pleacă apoi câte $2$ ramuri. Câte frunze are arborele?

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un arbore cu trei niveluri, în care din fiecare nod care nu e frunză pleacă cel puțin două ramuri, are cel puțin opt frunze.”

4. Un arbore uniform are două niveluri și $15$ frunze, iar din fiecare nod care nu e frunză pleacă cel puțin două ramuri. Câte ramuri pot pleca din rădăcină? Găsește toate posibilitățile.

5. Într-un arbore uniform, din rădăcină pleacă $3$ ramuri, apoi din fiecare nod al nivelurilor următoare pleacă $2$ , $2$ , respectiv $5$ ramuri. Câte noduri are fiecare nivel și câte frunze are arborele?

6. Cu cifrele unei mulțimi formate din cifre nenule se pot scrie, cu repetiție, exact $16$ numere de două cifre. Câte cifre are mulțimea și câte numere de două cifre distincte se pot scrie cu ele?

7. (Problemă aplicată.) Într-un lac, legăturile de hrănire dintr-un model simplificat sunt: fitoplanctonul este consumat de zooplancton; algele filamentoase, de melcii de apă; zooplanctonul, de obleți și de plătici; melcii, de plătici; obleții, de știucă și de cormoran; plăticile, de știucă. Câte lanțuri trofice de patru verigi, de la un producător până la un prădător care nu mai e mâncat de nimeni în model, există? În câte dintre ele apare știuca?

8. Câte numere de trei cifre se pot scrie cu cifrele $1$ , $2$ și $3$ , cu repetiție, astfel încât fiecare cifră să fie cel puțin egală cu cea din stânga ei? Construiește arborele tăind ramurile interzise.

9. Din rădăcina unui arbore cu două niveluri pleacă $4$ ramuri. Din nodurile obținute pleacă $2$ , $3$ , $4$ , respectiv $x$ ramuri, iar arborele are $14$ frunze. Află $x$ .

10. La o încrucișare între doi părinți, toate cele patru frunze ale arborelui alelelor sunt $A a$ . Ce genotipuri au părinții? Justifică folosind arborele.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de două cifre au cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităților.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de două cifre, scrise numai cu cifrele $2$ , $4$ și $7$ (cifrele se pot repeta), sunt mai mari decât $42$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea numerelor de două cifre care se pot scrie numai cu cifrele $1$ , $5$ și $9$ , cifrele putându-se repeta. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din această mulțime, el să fie divizibil cu $3$ .

14. O sămânță pusă la germinat este verificată o dată pe zi, cel mult $4$ zile; notăm cu $G$ ziua în care a germinat și cu $N$ o zi fără germinare. Verificările se opresc la prima zi $G$ sau după a patra zi. Scrie toate înregistrările posibile.

15. O parolă are patru simboluri, fiecare fiind un cerc, un pătrat sau un triunghi. Câte noduri are nivelul al doilea al arborelui parolelor și câte frunze are arborele complet? Ce parte a arborelui ai desena într-o schiță?

16. Câte numere de două cifre se pot scrie cu cifrele $0$ , $4$ și $8$ , dacă cifrele se pot repeta? Ce ramuri ale arborelui se taie încă de pe primul nivel?

17. Un arbore uniform are $24$ de frunze, iar pe ultimul nivel din fiecare nod pleacă $4$ ramuri. Dacă ștergem ultimul nivel, câte frunze rămân?

18. (Provocare.) Un elev urcă o scară cu $5$ trepte, făcând la fiecare pas $1$ , $2$ sau $3$ trepte deodată. În câte moduri poate urca scara? Construiește arborele pașilor, oprind fiecare ramură când a ajuns sus.

Răspunsuri și explicații

1. Arborele are pe primul nivel patru ramuri (speciile) și din fiecare nod două ramuri (sexul), deci $4 \cdot 2 = 8$ înregistrări: vrabie–mascul, vrabie–femelă, pițigoi–mascul, pițigoi–femelă, mierlă–mascul, mierlă–femelă, cinteză–mascul, cinteză–femelă.

2. Pe al doilea nivel sunt $3 + 1 + 2 = 6$ noduri, iar fiecare se ramifică în două, deci arborele are $6 \cdot 2 = 12$ frunze.

3. Fals. Frunzele nu trebuie să stea toate pe ultimul nivel. Din rădăcină pleacă două ramuri: una se oprește (frunză), cealaltă duce la un nod $P$ . Din $P$ pleacă tot două ramuri: una frunză, alta spre un nod $Q$ , din care pleacă două frunze. Arborele are trei niveluri, din fiecare nod care nu e frunză pleacă două ramuri, dar frunzele sunt doar $1 + 1 + 2 = 4$ . Afirmația ar fi adevărată numai dacă toate frunzele ar sta pe nivelul al treilea: atunci ar fi cel puțin $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

4. Dacă din rădăcină pleacă $r$ ramuri și din fiecare nod al primului nivel $s$ ramuri, atunci $r \cdot s = 15$ , cu $r \geq 2$ și $s \geq 2$ . Singurele posibilități sunt $r = 3$ , $s = 5$ și $r = 5$ , $s = 3$ ; deci din rădăcină pot pleca $3$ sau $5$ ramuri.

5. Nivelurile au $3$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $6 \cdot 2 = 12$ și $12 \cdot 5 = 60$ de noduri; ultimul nivel este al frunzelor, deci arborele are $60$ de frunze.

6. Dacă mulțimea are $k$ cifre nenule, cu repetiție se scriu $k \cdot k = 16$ numere, deci $k = 4$ . Fără repetiție, din fiecare nod al primului nivel se taie o ramură: $4 \cdot 3 = 12$ numere.

7. Pornind de la producători: fitoplancton → zooplancton → obleț → (știucă, cormoran) dă $2$ lanțuri; fitoplancton → zooplancton → plătică → știucă dă $1$ lanț; alge → melci → plătică → știucă dă $1$ lanț. În total $2 + 1 + 1 = 4$ lanțuri, iar știuca apare în $3$ dintre ele.

8. După cifra $1$ pot urma $1$ , $2$ sau $3$ ; după $2$ pot urma $2$ sau $3$ ; după $3$ doar $3$ . Frunzele sunt $111$ , $112$ , $113$ , $122$ , $123$ , $133$ , $222$ , $223$ , $233$ și $333$ , adică $10$ numere.

9. Frunzele sunt $2 + 3 + 4 + x = 14$ , deci $9 + x = 14$ și $x = 5$ .

10. Fiecare frunză conține o alelă de la primul părinte și una de la al doilea. Ca toate frunzele să fie $A a$ , un părinte trebuie să transmită mereu $A$ , iar celălalt mereu $a$ : primul are genotipul $AA$ , al doilea $aa$ . Dacă vreun părinte ar avea ambele alele, ar apărea și frunze $AA$ sau $aa$ .

11. Cifra unităților $u$ trebuie să fie nenulă (altfel și zecile ar fi $0$ ), iar $2 u \leq 9$ , deci $u \in {1, 2, 3, 4}$ . Numerele sunt $21$ , $42$ , $63$ și $84$ : în total $4$ .

12. Pe ramura cifrei $2$ nu rămâne nimic, fiindcă orice număr care începe cu $2$ e mai mic decât $42$ . Pe ramura cifrei $4$ rămân $44$ și $47$ , iar pe ramura cifrei $7$ toate trei: $72$ , $74$ , $77$ . În total $0 + 2 + 3 = 5$ numere.

13. Mulțimea are $3 \cdot 3 = 9$ numere. Un număr e divizibil cu $3$ când suma cifrelor e divizibilă cu $3$ ; dintre cele nouă, doar $15$ , $51$ și $99$ au această proprietate. Probabilitatea este $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

14. Înregistrările sunt $G$ , $N G$ , $N N G$ , $N N N G$ și $N N N N$ , adică $5$ . Fiecare ramură $G$ se oprește imediat, iar singura care ajunge la a patra zi fără germinare este $N N N N$ .

15. Primul nivel are $3$ noduri, al doilea $3 \cdot 3 = 9$ noduri, iar arborele complet are $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ de frunze. Într-o schiță desenezi primele două niveluri și notezi că de la fiecare nod pleacă trei ramuri până la al patrulea nivel.

16. Pe primul nivel se taie ramura $0$ , pentru că un număr nu începe cu zero; rămân $2$ ramuri, iar din fiecare pleacă $3$ . Numerele sunt $40$ , $44$ , $48$ , $80$ , $84$ , $88$ : în total $6$ .

17. Fiecare nod de pe penultimul nivel avea $4$ frunze sub el, deci penultimul nivel are $24 : 4 = 6$ noduri. După ștergere, ele devin frunze: rămân $6$ frunze.

18. Notând cu $u (n)$ numărul de moduri de a urca $n$ trepte, primul pas are $1$ , $2$ sau $3$ trepte, deci $u (n) = u (n - 1) + u (n - 2) + u (n - 3)$ , cu $u (1) = 1$ , $u (2) = 2$ , $u (3) = 4$ . Rezultă $u (4) = 7$ și $u (5) = 13$ moduri. Arborele are frunze pe niveluri diferite, de la al doilea până la al cincilea nivel.

De reținut

Într-un arbore, fiecare drum de la rădăcină la o frunză este o posibilitate; numărul posibilităților este numărul frunzelor, fiindcă ramurile se despart și nu se mai unesc.
Condițiile din enunț se aplică nod cu nod, tăind ramurile interzise; un arbore fără repetiție este arborele cu repetiție din care s-au tăiat ramurile care repetă.
La un arbore neuniform numeri frunzele pe fiecare ramură mare și aduni; înmulțirea e permisă doar pe nivelurile la care fiecare nod are tot atâtea ramuri ca vecinii lui.
Frunzele pot sta pe niveluri diferite, când procesul se oprește mai devreme; atunci numărul frunzelor nu mai e o putere sau un produs.
Frunzele și rezultatele cerute nu sunt același lucru: două frunze pot da același genotip sau același fenotip, așa că citești întâi ce se numără.

Greșeli frecvente

Frunzele numărate ca rezultate distincte. La $A a \times A a$ arborele are patru frunze, dar genotipurile sunt trei și fenotipurile două. Întreabă-te dacă enunțul cere combinații sau rezultate.
Frunzele socotite la fel de probabile. Desfășurările seriei nu sunt egal probabile: $AA$ se încheie după două partide, $A B A$ are nevoie de trei, deci șansele lor diferă chiar dacă fiecare partidă e echilibrată. Raportul „favorabile supra posibile” se folosește numai pe frunze la fel de probabile; arborele cu opriri le numără, dar nu le cântărește.
O etapă fără alegere lăsată afară. La un gamet al plantei $R r Y y tt$ , nivelul înălțimii are o singură ramură, dar gametul conține totuși alela $t$ . Scrie nivelul, chiar dacă nu dublează nimic.
Ramuri tăiate în alt nod decât cel corect. O condiție ca „fiecare cifră cel puțin egală cu precedenta” depinde de drumul parcurs; nu taie aceeași ramură în toate nodurile unui nivel.
Arbore desenat cu etapele amestecate. Dacă pe același nivel pui și variante de solvent, și variante de sare, unele posibilități apar de două ori, iar altele dispar. Un nivel înseamnă o singură etapă.

Aplică acasă

Arborele familiei tale pentru o trăsătură. Alege o trăsătură ușor de observat, de exemplu lobul urechii prins sau liber, și notează cum e la părinți și la frați. Desenează arborele alelelor pentru câteva ipoteze despre genotipurile părinților și vezi care ipoteză e compatibilă cu ce observi.
Rețeaua trofică din parc. În parcul din apropiere, notează o săptămână ce animale vezi hrănindu-se și cu ce. Construiește tabelul „cine pe cine mănâncă”, apoi arborele lanțurilor trofice de trei verigi, și verifică dacă vreun animal apare în mai multe lanțuri decât celelalte.
Turneul de la masa de tenis. Stabilește cu un coleg o serie „până la trei victorii”. Înainte de a juca, construiește arborele desfășurărilor posibile și numără frunzele; după fiecare serie jucată, bifează frunza la care ați ajuns.

Pentru părinți și profesori

Arborele îl obligă pe elev să despartă o alegere în etape și să nu amestece etapele pe același nivel. Lecția insistă pe trei deprinderi pe care formulele nu le dau: tăierea ramurilor nod cu nod, arborii neuniformi sau cu opriri și deosebirea dintre frunze și rezultate distincte, utilă la genetică.

Întrebări bune de control: „Ce etapă descrie acest nivel?”; „Din acest nod câte ramuri mai sunt permise și de ce?”; „Enunțul îți cere frunze sau rezultate?”. Semn că elevul a înțeles: la o problemă nouă începe prin a scrie etapele, apoi desenează doar cât îi trebuie din arbore. Lecția se continuă cu regula produsului, iar unitatea se verifică în testul de metode de numărare M2. Legătura cu clasa a IX-a este tabelul de adevăr: rândurile lui sunt frunzele unui arbore cu câte două ramuri pe nivel, ca în lecția despre tabelul de adevăr al unui enunț compus. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: diagrame arborescente, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Metode de numărare” numește explicit „diagrame arborescente” printre regulile de numărare, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține capitolul „Metode de numărare” (mulțimi finite ordonate, permutări, aranjamente, combinări, binomul lui Newton) fără să numească arborele, care rămâne unealta prin care se numără cazurile. De aceea exercițiile de numărare cu numere mici sunt marcate „tip Bacalaureat M2”, după capitolul din care fac parte. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință în care numărarea cazurilor pregătește calculul unei probabilități; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între lecția de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Instrumentul e același, dar la științe ale naturii lecția îl folosește pe situații din biologie: gameții unei plante, încrucișări, grupe sanguine, lanțuri trofice. Accentul cade pe citirea arborelui — tăierea ramurilor, arborii neuniformi sau cu opriri, frunzele care dau același rezultat — mai mult decât pe problemele cu cifre ale lecției de la mate-info.

La ce subiect apare diagrama arborescentă la bacalaureatul M2? Arborele nu apare ca cerință separată: e unealta cu care se numără cazurile. În modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință în care se numără numerele cu o proprietate și apoi se calculează o probabilitate. Pentru proba MAT_P2 din 2030, programa trece diagramele arborescente în domeniul Algebră, dar un model de subiect nu există încă.

Cum verific că arborele meu nu a pierdut și nu a dublat nicio posibilitate? Lângă fiecare nod scrii, din enunț, lista variantelor permise acolo și o compari cu ramurile desenate: o variantă fără ramură e o posibilitate pierdută. La final citești frunzele: două frunze cu aceeași etichetă înseamnă o etapă desenată de două ori. Dacă ai și un calcul, el trebuie să dea exact numărul frunzelor.

Tabelul lui Punnett și arborele sunt același lucru? Pentru o singură genă, da: rândurile tabelului sunt alelele unui părinte, coloanele alelele celuilalt, iar căsuțele sunt frunzele arborelui cu două niveluri. Arborele are avantajul că se extinde ușor la trei gene sau la situații în care un nivel are o singură ramură, unde tabelul devine incomod.

Cum construiesc arborele când procesul se oprește mai devreme? Desenezi pas cu pas și, după fiecare ramură, verifici regula de oprire: dacă a fost atinsă, nodul devine frunză și nu mai continui din el. La o serie până la două victorii, drumurile $AA$ și $B B$ se opresc după două partide, iar celelalte merg mai departe. Frunzele stau atunci pe niveluri diferite și se numără una câte una.

Cum aleg ordinea nivelurilor? Pui pe primul nivel etapa care îți ușurează restul desenului, de obicei cea cu cele mai multe condiții: prima cifră a unui număr, producătorul dintr-un lanț trofic, părintele al cărui gamet îl urmărești întâi. Orice ordine dă același număr de frunze, dar una potrivită face ramurile tăiate ușor de văzut.