Regula sumei și combinarea regulilor

Agenția de la parterul liceului are în vitrină două oferte pentru vacanța de vară: patru trasee la munte și trei trasee la mare. Alegi un singur traseu. Câte variante ai? Nimeni nu s-ar gândi să înmulțească: $4 + 3 = 7$ , și gata. Dar dacă în aceeași vacanță ai merge și la munte, și la mare, variantele ar fi $4 \cdot 3 = 12$ . Aceeași ofertă, două numere complet diferite — pentru că enunțul a schimbat un singur cuvânt.

Aceasta este toată povestea lecției de față. Ai învățat în Regula produsului să numeri alegerile care se fac una după alta; acum înveți regula pentru situațiile care se exclud reciproc — și, mai important, înveți să le folosești pe amândouă în aceeași problemă. Pentru că problemele reale nu sunt niciodată „doar produs" sau „doar sumă": ele cer împărțirea în cazuri, un produs în interiorul fiecărui caz și o adunare la final. Vom vedea și o a treia tehnică, surprinzător de eficientă — numărarea prin complement — care rezolvă într-un rând probleme cu „cel puțin un…" ce altfel ar cere zece cazuri.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți și să aplici regula sumei pentru situații care se exclud reciproc.
Vei ști să verifici cele două condiții ale unei împărțiri corecte în cazuri: cazurile să nu se suprapună și să acopere tot.
Vei ști ce se întâmplă când cazurile se suprapun și cum se corectează numărarea.
Vei ști să combini regula sumei cu regula produsului: produs în interiorul cazului, sumă între cazuri.
Vei ști să numeri prin complement, când în enunț apare expresia „cel puțin".
Vei ști să alegi corect metoda citind cuvintele „și" / „sau" din enunț.

Hai să descoperim împreună

1. Regula sumei

Să ne întoarcem la vitrina agenției. Cele $4$ trasee montane și cele $3$ trasee marine formează două liste fără niciun element comun: niciun traseu nu e, în același timp, și la munte, și la mare. Dacă vrem să numărăm toate alegerile posibile pentru o singură vacanță, pur și simplu punem listele cap la cap și numărăm: $7$ .

Regula sumei. Dacă un obiect poate fi ales fie dintr-o mulțime cu $m$ elemente, fie dintr-o mulțime cu $n$ elemente, iar cele două mulțimi nu au niciun element comun, atunci alegerea se poate face în $m + n$ moduri.

În limbajul mulțimilor, aceasta se scrie foarte compact: dacă $A \cap B = \emptyset$ , atunci

$∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣,$

unde $∣ A ∣$ notează numărul de elemente al mulțimii $A$ (numit și cardinalul mulțimii).

Forma generală. Dacă situațiile posibile se împart în $k$ cazuri care se exclud două câte două, iar cazul $i$ oferă $n_{i}$ variante, atunci numărul total este

$n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} .$

Justificarea e imediată cu diagrama arborescentă: din rădăcină pleacă $k$ ramuri mari, iar sub ramura $i$ se află $n_{i}$ frunze. Cum nicio frunză nu apare sub două ramuri mari, numărul total de frunze este suma. Ai văzut deja exact acest desen în lecția Diagrame arborescente: numărarea posibilităților, la arborii neuniformi.

✏️Ilustrație: diagramă cu două cercuri disjuncte, unul etichetat „trasee la munte: 4", celălalt „trasee la mare: 3", iar dedesubt scrie „nicio suprapunere ⇒ 4 + 3 = 7 variante"

2. Cele două condiții ale unei împărțiri corecte în cazuri

Regula sumei pare atât de simplă încât e ușor s-o aplici greșit. Ca să fie corectă, împărțirea în cazuri trebuie să treacă două teste:

Cazurile nu se suprapun — nicio posibilitate nu intră în două cazuri deodată. Altfel o numeri de două ori.
Cazurile acoperă tot — nicio posibilitate nu rămâne pe dinafară. Altfel îți lipsesc variante.

Un exemplu de împărțire corectă: numerele de trei cifre se împart după prima cifră în nouă cazuri ( $1$ , $2$ , …, $9$ ) — un număr are exact o cifră a sutelor, deci nici suprapunere, nici scăpări.

Un exemplu de împărțire greșită: „numere de trei cifre pare sau cu cifre distincte". Numărul $246$ este și par, și cu cifre distincte, deci ar fi numărat de două ori. Aici cele două cazuri se suprapun și regula sumei, aplicată direct, dă un rezultat prea mare.

3. Când cazurile se suprapun

Într-o clasă, $18$ elevi joacă fotbal și $12$ joacă baschet. Câți elevi practică unul dintre cele două sporturi? Răspunsul „ $18 + 12 = 30$ " e corect doar dacă niciun elev nu joacă amândouă. Dacă $5$ elevi joacă și fotbal, și baschet, ei au fost numărați de două ori, deci trebuie scăzuți o dată:

$18 + 12 - 5 = 25 elevi .$

Regula generală (pentru două mulțimi oarecare):

$∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣.$

Când $A \cap B = \emptyset$ , termenul scăzut este $0$ și regăsim regula sumei.

Aplicație numerică. Câte numere de la $1$ la $100$ sunt divizibile cu $2$ sau cu $3$ ? Divizibile cu $2$ : $50$ . Divizibile cu $3$ : $33$ (căci $3 \cdot 33 = 99$ ). Divizibile și cu $2$ , și cu $3$ , adică divizibile cu $6$ : $16$ (căci $6 \cdot 16 = 96$ ). Prin urmare

$50 + 33 - 16 = 67 numere .$

(Am verificat rezultatul și prin numărare directă, unul câte unul: sunt exact $67$ .)

Vei regăsi această formulă, cu alt înțeles, la probabilitatea reuniunii a două evenimente — matematica e plină de astfel de ecouri.

✏️Ilustrație: diagramă Venn cu două cercuri care se intersectează, etichetate „fotbal: 18" și „baschet: 12", cu zona comună hașurată și marcată „5"; sub desen scrie 18 + 12 − 5 = 25

4. Combinarea regulilor: produs în interior, sumă între cazuri

Aici începe partea cu adevărat utilă. Cele mai multe probleme de numărare nu se rezolvă nici doar cu produsul, nici doar cu suma, ci prin împărțire în cazuri, produs în fiecare caz, adunare la final.

Problemă. Câte numere de trei cifre, pare, cu cifre distincte există?

Dacă am încerca direct produsul, ne-am împotmoli: numărul de variante pentru cifra sutelor depinde de faptul că ultima cifră este sau nu $0$ (dacă e $0$ , sutele au $9$ variante; dacă nu e $0$ , au doar $8$ , pentru că se elimină și $0$ , și cifra folosită). Împărțim, deci, în două cazuri care se exclud:

Cazul 1: cifra unităților este $0$ .

Unități: $1$ variantă ( $0$ ).
Sute: orice cifră nenulă și diferită de $0$ , deci $9$ variante.
Zeci: orice cifră în afara celor două folosite, deci $8$ variante.

$1 \cdot 9 \cdot 8 = 72$ de numere.

Cazul 2: cifra unităților este $2$ , $4$ , $6$ sau $8$ .

Unități: $4$ variante.
Sute: nu poate fi $0$ și nici cifra de la unități, deci $10 - 2 = 8$ variante.
Zeci: orice cifră în afara celor două folosite, deci $8$ variante.

$4 \cdot 8 \cdot 8 = 256$ de numere.

Cele două cazuri nu se suprapun (o cifră a unităților nu poate fi în același timp $0$ și nenulă) și acoperă toate numerele pare. Prin regula sumei:

$72 + 256 = 328 numere .$

(Rezultatul a fost verificat și prin numărarea efectivă a tuturor numerelor de trei cifre: sunt exact $328$ .)

Reține tiparul, pentru că îl vei folosi în zeci de probleme: „sau" între cazuri $\Rightarrow$ adun; „și" în interiorul unui caz $\Rightarrow$ înmulțesc.

5. Numărarea prin complement

Există enunțuri la care împărțirea în cazuri devine obositoare: „cel puțin un…", „măcar o dată", „nu toate". Pentru ele avem o scurtătură.

Ideea. Dacă $E$ este mulțimea posibilităților care ne interesează și $T$ mulțimea tuturor posibilităților, atunci

$∣ E ∣ = ∣ T ∣ - ∣ \overline{E} ∣,$

unde $\overline{E}$ (complementara lui $E$ ) este mulțimea posibilităților care nu ne interesează.

Problemă. Câte coduri formate din trei cifre (prima cifră poate fi și $0$ ) conțin cel puțin un $7$ ?

Direct ar însemna trei cazuri („exact un $7$ ", „exact doi de $7$ ", „trei de $7$ ") și atenție la suprapuneri. Prin complement, rezolvarea are două rânduri:

Total coduri: $1 0^{3} = 1000$ .
Coduri fără niciun $7$ : fiecare poziție are $9$ variante, deci $9^{3} = 729$ .
Coduri cu cel puțin un $7$ : $1000 - 729 = 271$ .

(Verificat prin numărare directă a celor $1000$ de coduri: exact $271$ conțin cifra $7$ .)

Semnalul din enunț: dacă vezi „cel puțin unul", întreabă-te imediat care e contrariul. Contrariul lui „cel puțin un $7$ " este „niciun $7$ " — o condiție mult mai comodă, pentru că se traduce într-un produs simplu. Atenție însă: contrariul lui „cel puțin doi" nu este „niciunul", ci „cel mult unul", adică „niciunul sau exact unul".

6. Cum alegi metoda: un mic algoritm

Când citești o problemă de numărare, pune-ți întrebările în ordinea aceasta:

Toate alegerile sunt necesare simultan? („un aperitiv și un fel principal și un desert") $\Rightarrow$ regula produsului.
Situațiile sunt alternative care se exclud? („un traseu la munte sau unul la mare") $\Rightarrow$ regula sumei.
Alternativele se suprapun? $\Rightarrow$ adun și scad partea comună: $∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ .
Apare „cel puțin"? $\Rightarrow$ încearcă numărarea prin complement.
Există o restricție care blochează produsul? $\Rightarrow$ împarte în cazuri după acea restricție, aplică produsul în fiecare caz și adună.

Și, ca întotdeauna în acest capitol, ai o plasă de siguranță: pe un caz mic, desenează arborele și numără frunzele. Metoda te va scoate din orice îndoială.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un meniu cu alternativă la început

La un restaurant, meniul fix începe fie cu una dintre cele $3$ supe, fie cu una dintre cele $4$ salate, iar apoi se alege unul dintre cele $5$ feluri principale. Câte meniuri diferite există?

Rezolvare. Primul curs se alege în $3 + 4 = 7$ moduri (supele și salatele sunt liste disjuncte: nimic nu e și supă, și salată). Felul principal se alege apoi în $5$ moduri, indiferent de primul curs. Prin regula produsului:

$(3 + 4) \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35 meniuri .$

Observă ordinea operațiilor: suma dinăuntrul parantezei numără variantele unei singure etape, iar înmulțirea leagă cele două etape. Greșeala clasică ar fi $3 + 4 \cdot 5 = 23$ — adică uitarea parantezei.

Exemplul 2 — Numere de una sau două cifre

Câte numere de cel mult două cifre se pot forma folosind doar cifrele $1$ , $2$ , $3$ (cifrele se pot repeta)?

Rezolvare. Împărțim după numărul de cifre — cazuri evident disjuncte.

Numere de o cifră: $3$ .
Numere de două cifre: $3 \cdot 3 = 9$ .

Total: $3 + 9 = 12$ numere. (Le putem chiar enumera: $1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33$ .)

Exemplul 3 — Cazuri care se suprapun

Câte numere de la $1$ la $100$ sunt divizibile cu $2$ sau cu $3$ ?

Rezolvare. Fie $A$ mulțimea multiplilor lui $2$ și $B$ mulțimea multiplilor lui $3$ din intervalul dat. Atunci $∣ A ∣ = 50$ , $∣ B ∣ = 33$ , iar $A \cap B$ este mulțimea multiplilor lui $6$ , cu $∣ A \cap B ∣ = 16$ . Prin urmare

$∣ A \cup B ∣ = 50 + 33 - 16 = 67.$

Dacă am fi adunat pur și simplu, am fi obținut $83$ — cu $16$ mai mult, exact numerele numărate de două ori (cele divizibile cu $6$ ).

Exemplul 4 — Împărțire în cazuri cu produs în fiecare caz

Câte numere de trei cifre, pare, cu cifre distincte există?

Rezolvare. Împărțim după cifra unităților, singura care poartă restricția de paritate.

Unități $= 0$ : sutele au $9$ variante (orice cifră nenulă), zecile $8$ variante $\Rightarrow 9 \cdot 8 = 72$ .
Unități $\in {2, 4, 6, 8}$ : $4$ variante pentru unități; sutele nu pot fi $0$ și nici cifra de la unități, deci $8$ variante; zecile au $8$ variante $\Rightarrow 4 \cdot 8 \cdot 8 = 256$ .

Cazurile se exclud și acoperă tot, deci răspunsul este $72 + 256 = 328$ de numere.

Exemplul 5 — Numărare prin complement

Câte numere de trei cifre au cel puțin o cifră egală cu $5$ ?

Rezolvare. Numărăm întâi tot, apoi scoatem ce nu ne trebuie.

Numere de trei cifre în total: de la $100$ la $999$ , adică $900$ .
Numere fără niciun $5$ : cifra sutelor are $8$ variante (nu $0$ , nu $5$ ), cifra zecilor $9$ variante (orice, în afară de $5$ ), cifra unităților tot $9$ variante. Deci $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$ .
Numere cu cel puțin un $5$ : $900 - 648 = 252$ .

Compară efortul: pe cazuri („exact un $5$ ", „exact doi de $5$ ", „trei de $5$ ") ar fi însemnat trei subprobleme, fiecare cu subcazuri după poziția cifrei — de cinci ori mai mult scris, cu cinci ori mai multe ocazii de a greși.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Câte numere pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii ${0, 1, 2, 3, 4}$ ?

Rezolvare. Împărțim, ca la Exemplul 4, după cifra unităților — care trebuie să fie pară, deci $0$ , $2$ sau $4$ .

Cazul 1: unități $= 0$ . Rămân cifrele $1, 2, 3, 4$ pentru sute și zeci: sutele au $4$ variante, zecile $3$ . Obținem $4 \cdot 3 = 12$ numere.

Cazul 2: unități $\in {2, 4}$ ( $2$ variante). Cifra sutelor nu poate fi $0$ și nici cifra folosită la unități, deci are $5 - 2 = 3$ variante. Cifra zecilor poate fi orice cifră rămasă, inclusiv $0$ : $3$ variante. Obținem $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ numere.

Total: $12 + 18 = 30$ de numere.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie explicit cazurile pe care le folosești și verifică, înainte de a aduna, că ele nu se suprapun și că acoperă toate posibilitățile.

1. Pe raft sunt $3$ romane și $5$ volume de povestiri. În câte moduri poți alege o singură carte de citit?

2. O agenție oferă $4$ trasee la munte și $3$ trasee la mare. Câte variante ai dacă alegi un singur traseu?

3. Meniul fix începe cu o supă ( $3$ variante) sau cu o salată ( $4$ variante) și continuă cu un fel principal ( $5$ variante). Câte meniuri există?

4. Câte numere de cel mult două cifre se pot forma cu cifrele $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , dacă cifrele se pot repeta?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o clasă, $18$ elevi joacă fotbal și $12$ joacă baschet; prin urmare $30$ de elevi practică unul dintre cele două sporturi."

6. În aceeași clasă, $5$ elevi joacă și fotbal, și baschet. Câți elevi practică cel puțin unul dintre cele două sporturi?

7. Câte numere de la $1$ la $100$ sunt divizibile cu $3$ sau cu $5$ ?

8. Câte coduri formate din trei cifre (prima poate fi $0$ ) conțin cel puțin un $7$ ?

9. Câte numere de trei cifre, divizibile cu $5$ , cu cifre distincte există?

10. Câte numere de patru cifre au cel puțin o cifră egală cu $9$ ?

11. (Problemă aplicată.) Maria poate ajunge în centru cu autobuzul (pe $2$ rute) sau cu trenul (pe $3$ rute), iar apoi merge la film în unul dintre cele $2$ intervale orare. Câte variante de „ieșire în oraș" are?

12. Câte parole formate din exact două sau exact trei litere mici ale alfabetului englez ( $26$ de litere) există, dacă literele se pot repeta?

13. Câte numere de trei cifre încep cu cifra $1$ sau se termină cu cifra $0$ ?

14. Într-o grupă sunt $5$ băieți și $4$ fete. a) În câte moduri se poate alege un delegat? b) În câte moduri se poate alege o pereche formată dintr-un băiat și o fată?

15. Câte numere de două cifre au cifrele egale sau au suma cifrelor egală cu $10$ ?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Câte numere pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ?

17. Se aruncă două zaruri, unul roșu și unul albastru. În câte cazuri suma punctelor este $4$ sau $10$ ?

18. (Provocare.) Câte numere de patru cifre au cel puțin două cifre egale între ele? (Indicație: numără mai întâi contrariul.)

Răspunsuri și explicații

1. Cele două rafturi nu au cărți comune, deci se aplică regula sumei: $3 + 5 = 8$ moduri.

2. $4 + 3 = 7$ variante. Alegi un singur traseu, deci cazurile se exclud; dacă ai merge și la munte, și la mare, ar fi $4 \cdot 3 = 12$ variante.

3. Primul curs: $3 + 4 = 7$ variante; felul principal: $5$ variante. Total $(3 + 4) \cdot 5 = 35$ de meniuri. Atenție la paranteză: $3 + 4 \cdot 5 = 23$ ar fi greșit. (Este Exemplul 1, redactat de tine.)

4. Cazurile (o cifră / două cifre) se exclud: $4 + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20$ de numere. (Procedeul este cel din Exemplul 2, cu patru cifre în loc de trei.)

5. Fals. Concluzia ar fi corectă doar dacă niciun elev nu ar practica ambele sporturi. Dacă există elevi care joacă și fotbal, și baschet, ei ar fi numărați de două ori, iar totalul real ar fi mai mic decât $30$ .

6. $18 + 12 - 5 = 25$ de elevi. Cei $5$ au fost numărați o dată la fotbal și o dată la baschet, deci se scad o dată.

7. Multipli de $3$ : $33$ ; multipli de $5$ : $20$ ; multipli de $15$ (comuni ambelor): $6$ . Rezultatul este $33 + 20 - 6 = 47$ de numere.

8. Total coduri: $1 0^{3} = 1000$ . Coduri fără niciun $7$ : $9^{3} = 729$ . Cu cel puțin un $7$ : $1000 - 729 = 271$ .

9. Un număr e divizibil cu $5$ dacă se termină în $0$ sau în $5$ — două cazuri care se exclud. Caz $1$ (unități $= 0$ ): sutele $9$ variante, zecile $8$ , deci $72$ . Caz $2$ (unități $= 5$ ): sutele nu pot fi $0$ sau $5$ , deci $8$ variante, zecile $8$ , deci $64$ . Total $72 + 64 = 136$ de numere.

10. Total numere de patru cifre: $9000$ . Fără niciun $9$ : prima cifră are $8$ variante (nu $0$ , nu $9$ ), celelalte trei câte $9$ , deci $8 \cdot 9^{3} = 5832$ . Răspuns: $9000 - 5832 = 3168$ de numere.

11. Mijlocul de transport se alege în $2 + 3 = 5$ moduri (autobuz sau tren), iar intervalul orar în $2$ moduri. Total $(2 + 3) \cdot 2 = 10$ variante.

12. Parole de două litere: $2 6^{2} = 676$ . Parole de trei litere: $2 6^{3} = 17576$ . Cazurile se exclud (o parolă nu poate avea și două, și trei litere), deci $676 + 17576 = 18252$ parole.

13. Numere care încep cu $1$ : $100$ (de la $100$ la $199$ ). Numere care se termină cu $0$ : $9 \cdot 10 = 90$ . Numere care satisfac ambele condiții (încep cu $1$ și se termină cu $0$ ): $10$ . Rezultat: $100 + 90 - 10 = 180$ .

14. a) Un singur delegat, dintre băieți sau dintre fete: $5 + 4 = 9$ moduri. b) Un băiat și o fată: $5 \cdot 4 = 20$ de perechi. Compară cele două puncte — ele arată, în două rânduri, toată diferența dintre sumă și produs.

15. Cifre egale: $11, 22, \dots, 99$ , adică $9$ numere. Sumă $10$ : $19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91$ , adică $9$ numere. Comun ambelor: doar $55$ . Rezultat: $9 + 9 - 1 = 17$ numere.

16. Caz $1$ (unități $= 0$ ): sutele au $5$ variante, zecile $4$ , deci $20$ de numere. Caz $2$ (unități $\in {2, 4}$ , deci $2$ variante): sutele nu pot fi $0$ și nici cifra folosită, deci $4$ variante; zecile $4$ variante; obținem $2 \cdot 4 \cdot 4 = 32$ . Total $20 + 32 = 52$ de numere. (Structura rezolvării este cea din Exemplul 6, cu o cifră în plus.)

17. Sumă $4$ : $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 1)$ — trei cazuri. Sumă $10$ : $(4, 6)$ , $(5, 5)$ , $(6, 4)$ — tot trei. Situațiile se exclud (o sumă nu poate fi și $4$ , și $10$ ), deci $3 + 3 = 6$ cazuri.

18. Numărăm prin complement. Numere de patru cifre în total: $9000$ (de la $1000$ la $9999$ ). Numere cu toate cifrele distincte: $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$ . Numere cu cel puțin două cifre egale: $9000 - 4536 = 4464$ . (Contrariul lui „cel puțin două cifre egale" este „toate cifrele distincte" — de aceea complementul e atât de comod aici.)

De reținut

Regula sumei: dacă situațiile se exclud reciproc, numărul total de posibilități este suma numerelor de posibilități din fiecare caz: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$ când $A \cap B = \emptyset$ .
O împărțire în cazuri e corectă doar dacă cazurile nu se suprapun și acoperă tot. Verifică ambele condiții înainte de a aduna.
Când cazurile se suprapun, se scade partea comună: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ .
Tiparul de bază al problemelor complexe: împart în cazuri, înmulțesc în interiorul fiecărui caz, adun la final.
La enunțurile cu „cel puțin", numără prin complement: $∣ E ∣ = ∣ T ∣ - ∣ \overline{E} ∣$ . Contrariul lui „cel puțin unul" este „niciunul".

Greșeli frecvente

Aduni cazuri care se suprapun. $18$ fotbaliști $+ 12$ baschetbaliști nu înseamnă $30$ de elevi dacă $5$ joacă ambele; corect este $25$ .
Uiți paranteza la combinarea regulilor. „Supă sau salată, apoi fel principal" înseamnă $(3 + 4) \cdot 5 = 35$ , nu $3 + 4 \cdot 5 = 23$ .
Împarți în cazuri care nu acoperă tot. La numerele pare cu cifre distincte, dacă tratezi doar cazul „unități $\in {2, 4, 6, 8}$ " pierzi cele $72$ de numere care se termină în $0$ .
Confunzi contrariul lui „cel puțin doi". Contrariul nu este „niciunul", ci „cel mult unul" — adică „niciunul sau exact unul". Scrie de fiecare dată complementul în cuvinte, înainte de a-l număra.
Aduni când enunțul cere produs. Dacă ambele alegeri se fac (și mijlocul de transport, și intervalul orar), se înmulțește; suma apare doar între alternative care se exclud.

Aplică acasă

Sondaj în familie. Întreabă cinci persoane din familie sau dintre prieteni dacă preferă filmele și dacă preferă cărțile. Notează câți răspund „da" la fiecare și câți la amândouă, apoi calculează cu formula $∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ câți preferă cel puțin una dintre cele două. Verifică rezultatul numărând direct persoanele.
Ofertele din vitrină. Fotografiază (sau notează) meniul unui local care are structura „supă sau salată, apoi fel principal, apoi desert". Calculează numărul total de meniuri, atent la locul în care aduni și la cel în care înmulțești.
Loteria cifrei norocoase. Alege-ți o cifră preferată și calculează câte numere de patru cifre o conțin cel puțin o dată. Folosește complementul, apoi verifică pe un caz mai mic (numere de două cifre) numărând efectiv.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează perechea de reguli fundamentale ale combinatoricii și, mai ales, învață elevul să aleagă între ele. Programa de trunchi comun cere explicit ca elevul să justifice metoda aleasă la fiecare etapă a rezolvării, iar aici se formează exact acest reflex: „și" duce la produs, „sau" (între cazuri disjuncte) duce la sumă, „cel puțin" duce la complement.

Ce verifică lecția: dacă elevul controlează cele două condiții ale împărțirii în cazuri (fără suprapuneri, fără scăpări), dacă știe să corecteze o suprapunere prin scăderea părții comune și dacă folosește complementul acolo unde e mai economic. Întrebări bune de control: „Se poate ca o variantă să intre în două cazuri deodată?"; „Am acoperit toate posibilitățile?"; „Care este contrariul condiției din enunț?". Semn că a înțeles: rezolvă problema cu cifre pare distincte fără să uite cazul „unități $= 0$ " — greșeala cea mai frecventă din tot capitolul.

La Bacalaureat, tipul „câte numere pare de trei cifre distincte…" apare frecvent la subiectul I, iar baremul acordă puncte separat pentru fiecare caz tratat. Elevul care scrie explicit „Cazul 1…", „Cazul 2…" își asigură punctajul parțial chiar dacă greșește un calcul. Lecția pregătește direct Probleme practice de numărare: coduri, echipe, drumuri, unde combinarea regulilor devine rutină.

Întrebări frecvente

Ce spune regula sumei? Că, dacă o alegere se poate face fie într-un fel ( $m$ variante), fie în alt fel ( $n$ variante), iar cele două categorii nu au niciun element comun, numărul total de variante este $m + n$ . Condiția esențială este ca situațiile să se excludă reciproc.

Când adun și când înmulțesc într-o problemă de numărare? Aduni când situațiile sunt alternative care se exclud („merg la munte sau la mare"). Înmulțești când alegerile se fac una după alta și toate sunt necesare („aleg un traseu și un hotel"). Multe probleme cer amândouă: împarți în cazuri, înmulțești în fiecare caz și aduni rezultatele.

Ce fac dacă cele două categorii au elemente comune? Folosești formula $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ : aduni cele două numere și scazi o dată elementele comune, care altfel ar fi numărate de două ori. Exemplu: $18$ fotbaliști, $12$ baschetbaliști, $5$ care joacă ambele $\Rightarrow 25$ de elevi.

Ce înseamnă numărarea prin complement? Înseamnă să numeri toate posibilitățile și să scazi pe cele care nu îndeplinesc condiția: $∣ E ∣ = ∣ T ∣ - ∣ \overline{E} ∣$ . Este metoda de ales la enunțurile cu „cel puțin", pentru că negarea lor („niciunul") se calculează, de obicei, cu un simplu produs.

Cum număr numerele de trei cifre care conțin cel puțin o cifră de $5$ ? Numeri întâi toate numerele de trei cifre ( $900$ ), apoi pe cele fără niciun $5$ ( $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$ , pentru că prima cifră nu poate fi nici $0$ , nici $5$ ) și scazi: $900 - 648 = 252$ de numere.

De ce trebuie să tratez separat cazul în care numărul se termină în 0? Pentru că cifra $0$ are un statut special: ea este pară, dar nu poate ocupa prima poziție. Dacă ultima cifră este $0$ , prima are $9$ variante; dacă ultima cifră este $2$ , $4$ , $6$ sau $8$ , prima are doar $8$ variante. Numerele fiind diferite, produsul unic nu funcționează și e nevoie de două cazuri.

Cum verific dacă împărțirea mea în cazuri este corectă? Pune-ți două întrebări: „Poate o variantă să apară în două cazuri deodată?" (dacă da, ai suprapunere și numeri de două ori) și „Există vreo variantă care nu intră în niciun caz?" (dacă da, ai scăpări). Doar când răspunsul e „nu" la ambele poți aduna liniștit.