Regula produsului

Când îți deschizi un cont la bancă, primești un card și un cod PIN de patru cifre. Bancomatul îți dă trei încercări; la a patra greșeală, cardul se blochează. Pare o măsură exagerată — până când calculezi câte coduri există. Sunt $10000$. Cu trei încercări, șansa cuiva care ghicește la întâmplare este de $3$ la $10000$, adică sub $0,03\%$. Toată siguranța cardului tău stă, de fapt, într-o singură înmulțire: $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$.

Înmulțirea aceasta are un nume: regula produsului. Ea este cea mai folosită unealtă din toată combinatorica și o vei recunoaște, după această lecție, în orice situație în care faci alegeri una după alta: un meniu, o parolă, un traseu, o formație de echipă, o plăcuță de înmatriculare. În lecția precedentă, Diagrame arborescente: numărarea posibilităților, ai observat deja tiparul: la un arbore uniform, numărul frunzelor este produsul numerelor de ramuri. Acum îl transformăm în regulă, îi punem condiția de aplicare — pentru că are una, iar ea se uită ușor — și îl folosim la probleme în care desenul nu ar mai încăpea pe nicio foaie.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți regula produsului pentru două etape și pentru un număr oarecare de etape.
• Vei ști să justifici regula pornind de la diagrama arborescentă.
• Vei ști să verifici condiția de aplicare: numărul de variante de la o etapă nu trebuie să depindă de ce ai ales la etapele anterioare.
• Vei ști să deosebești alegerile cu repetiție ($n^k$ variante) de cele fără repetiție ($n(n-1)(n-2)\cdots$ variante).
• Vei ști să rezolvi probleme cu restricții începând cu poziția cea mai restricționată.
• Vei ști să demonstrezi că o mulțime cu $n$ elemente are exact $2^n$ submulțimi.

Hai să descoperim împreună

1. De la arbore la regulă

Reluăm meniul de la bufet: $2$ supe, $3$ feluri principale, $2$ deserturi. Arborele avea $2\cdot 3\cdot 2=12$ frunze. De ce funcționează înmulțirea, de fapt?

Gândește în doi pași. După ce alegi supa, ai $2$ posibilități. Din fiecare dintre ele pornesc $3$ variante de fel principal, deci după două etape ai $2$ grupuri a câte $3$ variante, adică $2\cdot 3=6$. Din fiecare dintre cele $6$ pornesc $2$ variante de desert, adică $6$ grupuri a câte $2$, deci $6\cdot 2=12$.

Ideea esențială este că fiecare posibilitate parțială se multiplică de același număr de ori la etapa următoare. Iar „de atâtea ori" este exact definiția înmulțirii: $6$ grupuri a câte $2$ obiecte înseamnă $6\cdot 2$ obiecte. Deci nu e un truc, ci înmulțirea în sensul ei cel mai vechi.

2. Enunțul regulii

Regula produsului (pentru două etape). Dacă o alegere se face în două etape, prima etapă putând fi realizată în $m$ moduri, iar a doua — oricare ar fi rezultatul primei — în $n$ moduri, atunci alegerea completă se poate face în $m\cdot n$ moduri.

Regula produsului (formă generală). Dacă o alegere se face în $k$ etape succesive, iar etapa $i$ poate fi realizată în $n_i$ moduri, indiferent de rezultatele etapelor anterioare, atunci numărul total de posibilități este

$$n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot \dots \cdot n_k.$$

Justificare. Construim arborele situației, cu câte un nivel pentru fiecare etapă. La nivelul $1$ apar $n_1$ noduri. Din fiecare dintre ele pleacă $n_2$ ramuri, deci nivelul $2$ are $n_1\cdot n_2$ noduri. Din fiecare dintre acestea pleacă $n_3$ ramuri, deci nivelul $3$ are $n_1\cdot n_2\cdot n_3$ noduri, și tot așa. După $k$ niveluri obținem $n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k$ frunze, iar fiecare frunză este exact o posibilitate completă. $■$

În limbaj de fiecare zi, regula produsului răspunde la enunțurile cu „și": aleg o supă și un fel principal și un desert. Când în enunț apare „sau", povestea e alta — o vei studia în Regula sumei și combinarea regulilor.

3. Condiția care se uită cel mai des

Citește încă o dată enunțul și oprește-te la cuvintele „indiferent de rezultatele etapelor anterioare". Ele sunt inima regulii, și tot ele sunt partea pe care elevii o sar.

Atenție: nu se cere ca variantele să fie aceleași, ci ca numărul lor să fie același. La numerele de trei cifre cu cifre distincte, după ce alegi cifra sutelor, cifrele rămase pentru zeci diferă de la caz la caz — dar sunt întotdeauna $9$ la număr. De aceea regula se aplică fără probleme.

Iată și cazul în care regula nu se aplică: agenția care oferă excursie la Brașov (cu $2$ hoteluri) sau la Sibiu (cu $3$ hoteluri). Numărul variantelor de la etapa a doua depinde de orașul ales — $2$ sau $3$ — deci nu putem înmulți nimic. Acolo desenăm arborele și adunăm: $2+3=5$.

Testul rapid, pe care merită să ți-l faci reflex: după ce fac prima alegere, câte variante am la a doua? Depinde răspunsul de ce am ales? Dacă nu depinde, înmulțești liniștit. Dacă depinde, împarți problema în cazuri.

4. Alegeri cu repetiție: $n^k$

Cel mai simplu tipar din toată combinatorica: la fiecare dintre cele $k$ etape avem aceleași $n$ variante, pentru că elementele se pot repeta. Regula produsului dă

$$\underset{k\text{ factori}}{\underbrace{n\cdot n\cdot \dots \cdot n}}=n^k.$$

Exemple pe care le întâlnești zilnic:

• Cod PIN de $4$ cifre: $10^4=10000$ coduri.
• Test cu $10$ întrebări la care se răspunde cu „adevărat" sau „fals": $2^{10}=1024$ moduri de completare.
• Parolă de $3$ caractere, fiecare caracter fiind o literă mică ($26$) sau o cifră ($10$), deci $36$ variante pe poziție: $36^3=46656$ parole.
• Lacăt cu $3$ rotițe, fiecare cu $8$ simboluri: $8^3=512$ coduri.

Compară ultimele două exemple ca să simți de ce parolele lungi contează: adăugarea unui singur caracter înmulțește numărul de parole cu $36$. De la $3$ la $6$ caractere trecem de la $46656$ la peste două miliarde.

5. Alegeri fără repetiție: $n(n-1)(n-2)\cdots$

Când elementele nu se pot repeta, la fiecare etapă oferta scade cu exact unu: primul element se alege în $n$ moduri, al doilea în $n-1$, al treilea în $n-2$ și așa mai departe. Pentru $k$ etape:

$$n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot (n-k+1)(k\text{ factori}).$$

Verifică singur numărul factorilor pe un caz mic: pentru $n=10$ și $k=3$ produsul este $10\cdot 9\cdot 8$ — trei factori, ultimul fiind $10-3+1=8$. ✓

Situația tipică: alegem trei persoane dintr-un grup de $10$ pentru trei funcții diferite — președinte, vicepreședinte, secretar. Numărul de variante este $10\cdot 9\cdot 8=720$: o persoană deja aleasă nu mai poate ocupa a doua funcție.

Acest produs este atât de important încât în lecțiile următoare va primi o notație proprie și o formulă cu factoriale. Deocamdată îl scriem pur și simplu ca produs — și așa vom rezolva orice problemă de acest tip.

6. Restricții: începe cu poziția cea mai restricționată

Regula produsului cere să parcurgem etapele într-o ordine în care numărul de variante este bine determinat la fiecare pas. Când există restricții, ordinea în care completăm pozițiile nu este indiferentă — și aici stă toată dibăcia.

Problemă. Câte numere de trei cifre, impare, cu cifre distincte există?

Dacă începem cu cifra sutelor ne împotmolim: numărul de variante pentru cifra unităților ar depinde de faptul că prima cifră a fost sau nu impară. Începem, deci, cu poziția cea mai restricționată — cifra unităților:

• Unități: trebuie să fie cifră impară: $1,3,5,7,9$, deci $5$ variante.
• Sute: nu poate fi $0$ și nu poate fi cifra deja folosită la unități (care e impară, deci diferită de $0$). Se elimină exact $2$ cifre din cele $10$, deci $8$ variante — indiferent care a fost cifra unităților.
• Zeci: orice cifră, în afară de cele două deja folosite: $8$ variante.

Total: $5\cdot 8\cdot 8=320$ de numere. (Am verificat prin numărare directă pe calculator: sunt exact $320$.)

Regula practică: completează întâi pozițiile cu condiții (prima cifră nenulă, ultima cifră pară, o anumită literă la început), apoi pozițiile libere.

7. O aplicație elegantă: numărul submulțimilor

Câte submulțimi are mulțimea $M=\{a,b,c,d,e\}$? Ideea care rezolvă problema într-o linie: a alege o submulțime înseamnă a decide, pentru fiecare element în parte, dacă îl iei sau nu.

Avem astfel $5$ etape (câte una pentru fiecare element), fiecare cu exact $2$ variante („îl iau" / „nu îl iau"), iar deciziile nu se influențează între ele. Regula produsului dă

$$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5=32\text{ submulțimi}.$$

În cele $32$ intră și mulțimea vidă (când am răspuns „nu" de cinci ori) și mulțimea $M$ însăși (când am răspuns „da" de cinci ori) — ambele sunt submulțimi legitime.

Teoremă. O mulțime cu $n$ elemente are exact $2^n$ submulțimi.

Demonstrația e cea de mai sus, scrisă cu $n$ în loc de $5$: fiecare dintre cele $n$ elemente aduce o decizie binară, deci $\underset{n}{\underbrace{2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}}=2^n$. Rezultatul apare des la Bacalaureat și îl vei regăsi, sub altă formă, în lecția Triunghiul lui Pascal.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ținute

Ai $4$ tricouri, $3$ perechi de pantaloni și $2$ perechi de încălțăminte. Câte ținute complete diferite poți alcătui?

Rezolvare. Alegerea are trei etape independente: tricoul ($4$ moduri), pantalonii ($3$ moduri), încălțămintea ($2$ moduri). Numărul de variante la o etapă nu depinde de alegerile anterioare, deci se aplică regula produsului:

$$4\cdot 3\cdot 2=24\text{ ținute}.$$

Dacă ai purta câte o ținută pe zi, ți-ar ajunge aproape o lună fără repetiție.

Exemplul 2 — Coduri PIN

a) Câte coduri PIN de patru cifre există? b) Câte dintre ele au toate cifrele distincte?

Rezolvare. a) Fiecare poziție se completează cu una dintre cele $10$ cifre, iar cifrele se pot repeta: $10^4=10000$ coduri.

b) Cifrele trebuie să fie distincte, deci oferta scade cu unu la fiecare pas:

$$10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040\text{ coduri}.$$

Observă că aproape jumătate dintre coduri conțin cel puțin o cifră repetată ($10000-5040=4960$, adică $49,6\%$) — un motiv în plus să nu-ți alegi PIN-ul de tipul $1122$.

Exemplul 3 — Codul unei biciclete

Un lacăt de bicicletă are un cod format din trei cifre urmate de două litere din alfabetul englez ($26$ de litere). Câte coduri există?

Rezolvare. Cinci etape, fiecare cu ofertă fixă: $10$, $10$, $10$, $26$, $26$. Regula produsului dă

$$10^3\cdot 26^2=1000\cdot 676=676000\text{ coduri}.$$

Dacă un hoț ar încerca un cod pe secundă, i-ar trebui peste o săptămână de încercări neîntrerupte.

Exemplul 4 — Numere de trei cifre cu cifre distincte

Câte numere de trei cifre au toate cifrele distincte?

Rezolvare. Completăm de la stânga la dreapta, ținând cont că prima cifră nu poate fi $0$:

• Sute: $9$ variante ($1,2,\dots ,9$).
• Zeci: orice cifră în afară de cea de la sute, deci $10-1=9$ variante (acum $0$ este permis).
• Unități: orice cifră în afară de cele două folosite, deci $8$ variante.

$$9\cdot 9\cdot 8=648\text{ numere}.$$

Verificare de bun-simț: în total există $900$ de numere de trei cifre, iar $648$ dintre ele au cifrele distincte — puțin peste $70\%$, ceea ce e credibil.

Exemplul 5 — Numere impare cu cifre distincte

Câte numere de trei cifre, impare, cu cifre distincte există?

Rezolvare. Începem cu poziția cea mai restricționată, cifra unităților.

• Unități (impară): $5$ variante.
• Sute (nenulă și diferită de cifra unităților): din cele $10$ cifre se elimină $0$ și cifra unităților, care sunt distincte între ele; rămân $8$ variante.
• Zeci (diferită de cele două alese): $8$ variante.

$$5\cdot 8\cdot 8=320\text{ numere}.$$

De ce nu am început cu sutele? Pentru că atunci numărul de variante pentru unități ar fi depins de paritatea cifrei alese la sute ($5$ sau $4$ variante), iar condiția regulii produsului ar fi fost încălcată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Determinați numărul submulțimilor mulțimii $M=\{1,2,3,4,5,6\}$ și numărul submulțimilor nevide ale acesteia.

Rezolvare. Pentru fiecare dintre cele $6$ elemente decidem, independent, dacă îl includem sau nu în submulțime — două variante de element. Prin regula produsului,

$$2^6=64\text{ submulțimi}.$$

Submulțimile nevide se obțin scăzând singura submulțime fără niciun element, mulțimea vidă: $64-1=63$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie mai întâi câte etape are alegerea și câte variante are fiecare etapă; abia apoi înmulțește. Redactarea aceasta e cea punctată la examen.

1. Ai $5$ tricouri și $4$ perechi de pantaloni. Câte ținute diferite (tricou + pantalon) poți alcătui?

2. Un meniu se compune dintr-un aperitiv ($3$ variante), un fel principal ($4$ variante) și o băutură ($2$ variante). Câte meniuri diferite există?

3. a) Câte coduri PIN de patru cifre există? b) Câte au toate cifrele distincte?

4. Un test are $10$ întrebări la care se răspunde cu „adevărat" sau „fals". În câte moduri poate fi completat testul?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul numerelor de trei cifre cu cifre distincte este $9\cdot 9\cdot 9$."

6. Un lacăt are trei rotițe, fiecare cu $8$ simboluri. Câte coduri se pot forma?

7. Câte numere de patru cifre se pot forma cu cifrele din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$, dacă cifrele se pot repeta?

8. Într-un club cu $10$ membri se aleg un președinte, un vicepreședinte și un secretar (persoane diferite). Câte variante există?

9. Un chestionar are $6$ întrebări cu câte $4$ variante de răspuns, dintre care se bifează exact una. În câte moduri poate fi completat?

10. Câte numere de patru cifre au toate cifrele distincte?

11. (Problemă aplicată.) Pe o linie de tren sunt $8$ stații. Se tipăresc bilete pe care scriu stația de plecare și stația de sosire (diferite). Câte tipuri de bilete trebuie tipărite?

12. Câte parole de trei caractere se pot forma, dacă fiecare caracter este o literă mică din alfabetul englez ($26$) sau o cifră?

13. Câte numere de trei cifre au toate cifrele impare?

14. Un steag are trei benzi orizontale, iar benzile alăturate trebuie să aibă culori diferite. Câte steaguri se pot face cu $5$ culori disponibile?

15. Câte numere de trei cifre sunt divizibile cu $5$?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determinați numărul submulțimilor mulțimii $A=\{1,2,3,4,5\}$, apoi numărul submulțimilor nevide ale mulțimii $B=\{a,b,c,d,e,f,g\}$.

17. Din orașul $A$ în orașul $B$ există $3$ drumuri, iar din $B$ în $C$ există $4$ drumuri. În câte moduri se poate face un traseu dus-întors $A\to B\to C\to B\to A$, dacă la întoarcere drumurile pot fi alese liber (chiar și aceleași)?

18. (Provocare.) Câte numere de cinci cifre au toate cifrele distincte? Explică de ce primul factor este $9$ și nu $10$, iar al doilea este tot $9$ și nu $8$.

Răspunsuri și explicații

1. Două etape, cu $5$, respectiv $4$ variante: $5\cdot 4=20$ ținute.

2. Trei etape independente: $3\cdot 4\cdot 2=24$ meniuri.

3. a) Patru poziții, câte $10$ cifre fiecare, cu repetiție: $10^4=10000$. b) Fără repetiție, oferta scade la fiecare pas: $10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$. (Este Exemplul 2.)

4. Zece întrebări, câte $2$ variante fiecare: $2^{10}=1024$ moduri.

5. Fals. La a treia cifră au fost deja folosite două cifre distincte, deci rămân $8$ variante, nu $9$. Numărul corect este $9\cdot 9\cdot 8=648$. (Primul factor este $9$ pentru că prima cifră nu poate fi $0$; al doilea este $9$ pentru că $0$ redevine disponibil, dar iese cifra folosită la sute.)

6. $8\cdot 8\cdot 8=8^3=512$ coduri.

7. Patru poziții, $5$ variante fiecare: $5^4=625$ numere.

8. Funcțiile sunt diferite, deci ordinea contează, iar o persoană nu poate ocupa două funcții: $10\cdot 9\cdot 8=720$ variante.

9. $4^6=4096$ moduri.

10. $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$ numere. (Prima cifră nenulă: $9$ variante; apoi $9$, $8$, $7$.)

11. Biletul precizează plecarea și sosirea, deci perechea este ordonată, iar stațiile sunt diferite: $8\cdot 7=56$ tipuri de bilete.

12. Fiecare caracter are $26+10=36$ variante: $36^3=46656$ parole.

13. Fiecare dintre cele trei cifre se alege din $\{1,3,5,7,9\}$, iar prima nu are restricția suplimentară (nicio cifră impară nu este $0$): $5^3=125$ numere.

14. Banda de sus: $5$ variante; banda din mijloc: $4$ (diferită de cea de sus); banda de jos: $4$ (diferită doar de cea din mijloc). Total $5\cdot 4\cdot 4=80$ steaguri.

15. Ultima cifră este $0$ sau $5$ ($2$ variante), prima cifră este nenulă ($9$ variante), cifra zecilor e liberă ($10$ variante): $9\cdot 10\cdot 2=180$ numere.

16. Pentru $A$ (cinci elemente): $2^5=32$ submulțimi. Pentru $B$ (șapte elemente): $2^7=128$ submulțimi, din care se scade mulțimea vidă, deci $127$ submulțimi nevide.

17. Traseul are patru etape: $3$, $4$, $4$, $3$ variante, deci $3\cdot 4\cdot 4\cdot 3=144$ de moduri. (Se putea și mai scurt: $12$ moduri la dus, $12$ la întors, deci $12^2=144$.)

18. $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=27216$ numere. Primul factor este $9$ pentru că cifra zecilor de mii nu poate fi $0$ (altfel numărul ar avea patru cifre). Al doilea este tot $9$ pentru că, la a doua poziție, cifra $0$ devine permisă, dar iese din joc cifra folosită prima — ies și intră câte una, deci numărul rămâne $9$. De la a treia poziție încolo scăderea e obișnuită: $8$, $7$, $6$.

De reținut

• Regula produsului: dacă o alegere se face în $k$ etape, iar etapa $i$ are $n_i$ variante indiferent de alegerile anterioare, numărul total de posibilități este $n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k$.
• Condiția „indiferent de alegerile anterioare" se referă la numărul variantelor, nu la variantele înseși. Când numărul depinde de alegerea anterioară, regula nu se aplică și se împarte problema în cazuri.
• Cu repetiție: $k$ poziții, câte $n$ variante fiecare $\Rightarrow n^k$ posibilități. Fără repetiție: $n(n-1)(n-2)\cdots$, cu $k$ factori, ultimul fiind $n-k+1$.
• La probleme cu restricții, completează întâi poziția cea mai restricționată (prima cifră nenulă, ultima cifră pară etc.), apoi restul.
• O mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, pentru că fiecare element aduce o decizie independentă: îl iau sau nu îl iau.

Greșeli frecvente

• Aduni în loc să înmulțești. „Trei tricouri și două perechi de pantaloni" nu dau $5$ ținute, ci $6$: „și" cheamă înmulțirea, nu adunarea.
• Aplici regula când numărul de variante depinde de alegerea anterioară. La agenția cu $2$ hoteluri la Brașov și $3$ la Sibiu, produsul nu are sens; acolo se împarte în cazuri și se adună.
• Uiți că prima cifră a unui număr nu poate fi $0$. Numerele de trei cifre cu cifre distincte sunt $9\cdot 9\cdot 8$, nu $10\cdot 9\cdot 8$.
• Începi cu poziția liberă în loc de cea restricționată. La numerele impare cu cifre distincte, dacă pornești de la cifra sutelor te blochezi; pornind de la unități, totul curge.
• Confunzi $n^k$ cu produsul descrescător. Verifică întotdeauna în enunț dacă elementele se pot repeta: $10^4=10000$, dar $10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$ — o diferență de aproape două ori.

Aplică acasă

1. Auditul parolelor. Alege trei conturi pe care le folosești și numără câte caractere are fiecare parolă și din ce fel de caractere e formată (litere mici, mari, cifre, semne). Calculează, pentru fiecare, numărul de parole posibile de acea formă. Ordonează-le și vezi care este cea mai slabă.

2. Meniul săptămânii. Scrie pe o foaie ce ai în casă la trei categorii (fel principal, garnitură, desert) și calculează câte meniuri distincte se pot compune. Verifică apoi dacă îți ajung pentru toate zilele lunii, fără repetiție.

3. Numerele de înmatriculare. Caută formatul plăcuțelor din județul tău (o combinație de litere de județ, două cifre și trei litere). Calculează, cu regula produsului, câte plăcuțe distincte se pot emite și compară numărul cu populația județului.

Pentru părinți și profesori

Regula produsului este noțiunea centrală a unității Metode de numărare: toate formulele care urmează (permutări, aranjamente, combinări) se demonstrează pornind de la ea. Lecția insistă deliberat pe condiția de aplicare — numărul de variante de la fiecare etapă trebuie să fie independent de alegerile anterioare — pentru că aici se produc, practic, toate greșelile din capitol.

Ce verifică lecția: dacă elevul identifică etapele alegerii și numărul de variante al fiecăreia, dacă distinge situațiile cu repetiție de cele fără repetiție și dacă tratează corect restricțiile (prima cifră nenulă, ultima cifră impară). Întrebări bune de control: „Câte etape are alegerea?"; „După ce am ales prima cifră, câte variante am pentru a doua — și depinde de ce am ales?"; „De ce am început cu ultima poziție, nu cu prima?". Semn clar că a înțeles: verifică singur rezultatul pe un caz mic, desenând arborele.

La Bacalaureat, regula produsului apare direct la subiectul I: „câte numere de trei cifre distincte…", „câte submulțimi are mulțimea…", „în câte moduri se pot așeza…". Baremul punctează separat identificarea numărului de variante pe fiecare poziție, deci scrierea produsului cu factorii explicați aduce punctaj chiar și când calculul final e greșit.

Întrebări frecvente

Ce spune regula produsului? Că, dacă o alegere se face în mai multe etape succesive, iar fiecare etapă are un număr de variante care nu depinde de alegerile anterioare, numărul total de posibilități este produsul numerelor de variante. Pe scurt: pentru trei etape cu $n_1$, $n_2$ și $n_3$ variante, totalul este $n_1\cdot n_2\cdot n_3$.

Când se înmulțește și când se adună în problemele de numărare? Se înmulțește când etapele se fac una după alta și toate sunt necesare („un aperitiv și un fel principal și un desert"). Se adună când situațiile sunt alternative care se exclud reciproc („merg la munte sau la mare"). Cuvintele „și" / „sau" din enunț sunt cel mai bun indiciu.

Câte coduri PIN de patru cifre există? Există $10^4=10000$, pentru că fiecare dintre cele patru poziții poate fi completată cu oricare dintre cele $10$ cifre, iar cifrele se pot repeta. Dacă cerem cifre distincte, numărul scade la $10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$.

Câte numere de trei cifre cu cifre distincte există? Sunt $9\cdot 9\cdot 8=648$. Primul factor este $9$ pentru că cifra sutelor nu poate fi $0$; al doilea este tot $9$ pentru că $0$ redevine disponibil la zeci, dar iese cifra deja folosită; al treilea este $8$, fiindcă două cifre sunt deja consumate.

Câte submulțimi are o mulțime cu $n$ elemente? Exact $2^n$. Motivul: a construi o submulțime înseamnă a lua, pentru fiecare element, o decizie independentă („îl includ" sau „nu îl includ"), deci $n$ etape cu câte $2$ variante. În total intră și mulțimea vidă, și mulțimea însăși.

De ce nu pot aplica regula produsului la orice problemă? Pentru că regula cere ca numărul de variante de la fiecare etapă să fie același, indiferent de alegerile anterioare. Dacă la Brașov ai $2$ hoteluri și la Sibiu $3$, produsul nu are sens: acolo trebuie să tratezi separat cele două cazuri și să aduni rezultatele.

Cum procedez când problema are restricții? Începi cu poziția cea mai restricționată. La „numere de trei cifre impare cu cifre distincte" pornești de la cifra unităților ($5$ variante), apoi treci la cifra sutelor ($8$ variante, pentru că se elimină $0$ și cifra deja folosită) și abia la final la cifra zecilor ($8$ variante). Rezultatul este $320$.