Cât este v(p∨ q) pentru p: „√50>7” și q: „7²=48”?

Compari pătratele: 50>49, deci √50>7 și p este adevărată. A doua propoziție este falsă, pentru că 7²=49. La disjuncție este suficientă o singură componentă adevărată, deci v(p∨ q)=1, chiar dacă q este falsă.

Cum rezolv ecuația (x²-4)(x²+1)=0?

Pui fiecare factor egal cu zero. Din x²-4=0 rezultă x=2 sau x=-2. Factorul x²+1 este cel puțin 1, deci nu se anulează pentru niciun număr real și nu aduce soluții. Mulțimea soluțiilor este -2,2.

Ce valoare de adevăr are p∨¬ p?

Valoarea este mereu 1: una dintre propozițiile p și ¬ p este adevărată, oricare ar fi p. De aceea p∨¬ p este o tautologie, numită și principiul terțului exclus: o propoziție este fie adevărată, fie falsă.

Ce legătură are «sau» cu un produs nul?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Cel puțin o cale de confirmare

Un produs de numere reale este zero exact când cel puțin un factor este zero: $ab = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0$ . Legătura este „sau” inclusiv, deci ambii factori pot fi nuli simultan. Pentru $(2 x - 6) (x + 5) = 0$ obții $2 x - 6 = 0$ sau $x + 5 = 0$ , adică $x = 3$ sau $x = - 5$ . Mulțimea soluțiilor este reuniunea cazurilor, ${- 5, 3}$ . Nu se cere ca factorii să se anuleze deodată: unul singur este de ajuns.

Când o regulă oferă două alternative de acceptare, verifici dacă vreuna dintre ele este îndeplinită. Disjuncția, notată $p \lor q$ , primește verdict adevărat și atunci când sunt confirmate ambele componente. Sensul matematic nu impune alegerea unei singure alternative.

La evaluare, o confirmare justificată este suficientă pentru enunțul complet. O respingere a primei componente lasă încă o posibilitate de verificat. Declari rezultatul fals numai după ce ai infirmat toate alternativele din disjuncție.

Tabelul logic poate fi citit cu ajutorul maximului celor doi indicatori: $v (p \lor q) = max {v (p), v (q)}$ . Formula nu transformă numărul de componente adevărate în valoare de adevăr și nu calculează dimensiunea unei reuniuni.

În liste, un obiect prezent pe două căi rămâne un singur obiect. Construiești reuniunea păstrând toate rezultatele distincte, inclusiv cele comune. Același procedeu funcționează la reunirea soluțiilor obținute din cazurile unui produs nul.

Separă verdictul final de cunoașterea componentelor. Un rezultat adevărat nu îți permite să afirmi că fiecare alternativă este adevărată. Dacă una este deja confirmată, cealaltă poate rămâne necunoscută fără să schimbe rezultatul.

La expresii cu negare, evaluează mai întâi propoziția asupra căreia acționează simbolul și schimbă-i verdictul; apoi aplică regula alternativelor.

De reținut

$p \lor q$ este falsă doar când ambele componente sunt false
$ab = 0$ exact când $a = 0$ sau $b = 0$
„sau” din matematică este inclusiv: admite ambele variante

Greșeala tipică

Se cere ca ambii factori să se anuleze deodată, de exemplu $2 x - 6 = 0$ și $x + 5 = 0$ , și se conchide că ecuația nu are soluții; la produsul nul ajunge un singur factor nul.

Exerciții din această mini-lecție

Dacă $v (p) = 0$ și $v (q) = 1$ , cât este $v (p \lor q)$ ?
- a) $0$
- b) $2$
- c) $1$
- d) Nu se poate determina.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

A doua componentă este adevărată, deci disjuncția este adevărată. Valoarea ei de adevăr este $1$ .
Pentru $p$ : „ $66$ este multiplu de $6$ ” și $q$ : „ $66$ este multiplu de $11$ ”, care este valoarea lui $v (p \lor q)$ ?
- a) $0$
- b) Enunțul nu este propoziție.
- c) $2$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1$

Ambele propoziții sunt adevărate: $66 = 6 \cdot 11 = 11 \cdot 6$ . Disjuncția le admite pe amândouă, iar verdictul logic rămâne $1$ .
Regula acceptă durata sub $5$ minute sau volumul de cel puțin $80$ ml. Datele sunt A: $4$ minute, $50$ ml; B: $6$ minute, $90$ ml; C: $7$ minute, $70$ ml; D: $3$ minute, $100$ ml. Care înregistrare este respinsă?
- a) C.
- b) D.
- c) B.
- d) A.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) C.

La C sunt false ambele condiții: durata nu este sub $5$ minute, iar volumul nu atinge $80$ ml. A trece prima condiție, B pe a doua, iar D le trece pe amândouă.

Întrebări conexe

Ce probe trec o regulă de acceptare formulată cu «sau»?

Trec probele care îndeplinesc cel puțin una dintre condiții, inclusiv cele care le îndeplinesc pe amândouă. La regula „pH sub $6$ sau temperatură peste $30$ °C”, proba cu pH $5, 5$ și $32$ °C trece, iar cea cu pH $6, 8$ și $25$ °C este respinsă, fiindcă ratează ambele condiții.

Cât este $v (p \lor q)$ pentru $p$ : „ $50 > 7$ ” și $q$ : „ $7^{2} = 48$ ”?

Compari pătratele: $50 > 49$ , deci $50 > 7$ și $p$ este adevărată. A doua propoziție este falsă, pentru că $7^{2} = 49$ . La disjuncție este suficientă o singură componentă adevărată, deci $v (p \lor q) = 1$ , chiar dacă $q$ este falsă.

Cum rezolv ecuația $(x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0$ ?

Pui fiecare factor egal cu zero. Din $x^{2} - 4 = 0$ rezultă $x = 2$ sau $x = - 2$ . Factorul $x^{2} + 1$ este cel puțin $1$ , deci nu se anulează pentru niciun număr real și nu aduce soluții. Mulțimea soluțiilor este ${- 2, 2}$ .

Ce valoare de adevăr are $p \lor \neg p$ ?

Valoarea este mereu $1$ : una dintre propozițiile $p$ și $\neg p$ este adevărată, oricare ar fi $p$ . De aceea $p \lor \neg p$ este o tautologie, numită și principiul terțului exclus: o propoziție este fie adevărată, fie falsă.

Ce legătură are disjuncția cu negația unei conjuncții?

Negația lui „ $p$ și $q$ ” este „non $p$ sau non $q$ ”: $\neg (p \land q)$ are aceleași valori ca $\neg p \lor \neg q$ . De exemplu, dacă nu e adevărat că proba e acidă și caldă, atunci ea nu e acidă sau nu e caldă. Aceasta este una dintre legile lui De Morgan.

Oamenii mai întreabă și: produsul nul și disjuncția · produs egal cu zero sau · când este zero un produs · regula produsului nul