Distanța unui punct față de o dreaptă în reperul cartezian (M2, științe ale naturii)

Un feribot urmează un drum drept, iar pe harta de navigație este marcat un recif. Întrebarea care contează nu este cât de departe e reciful de punctul de plecare, ci cât de aproape va trece feribotul de el, adică distanța de la recif la dreapta drumului. Lecția de față, din clasa a X-a de la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum se calculează această distanță din ecuația dreptei și din coordonatele punctului. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a X-a, „calcularea unor distanțe și a unor arii” în reperul cartezian, iar distanța unui punct față de o dreaptă este una dintre ele, deși nu apare în programa nouă a clasei a X-a; în Anexa 28, geometria analitică plană e la clasa a IX-a (reperul, distanța dintre două puncte, panta, ecuațiile dreptei, pozițiile relative, ecuația cercului), fără distanța unui punct față de o dreaptă, iar aria triunghiului în coordonate vine la clasa a XI-a, cu determinanți. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 domeniul „Geometrie. Trigonometrie” include distanța dintre două puncte, nu și distanța unui punct față de o dreaptă. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cere calculul distanțelor în reperul cartezian.

Lecția se sprijină pe trei rezultate de clasa a IX-a: formula distanței dintre două puncte, ecuația dreptei printr-un punct, cu panta dată și condiția de perpendicularitate $m_1{m}_2=-1$ din lecția despre intersecția a două drepte, unde ai aflat deja, pe un exemplu, piciorul perpendicularei și distanța până la o dreaptă. Pasul anterior al suplimentului este lecția M2 despre vectori în coordonate, din aceeași unitate.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă distanța unui punct față de o dreaptă și cum o citești pe o hartă, ca cea mai mică apropiere de-a lungul unui drum drept.
• Vei ști să legi formula de drumul cu piciorul perpendicularei, pe care l-ai parcurs deja în clasa a IX-a.
• Vei ști să folosești formula $d(P,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ și să o verifici pe calculul pas cu pas.
• Vei ști să afli distanța dintre două drepte paralele, înălțimea unui triunghi și aria lui.
• Vei ști să rezolvi probleme în care distanța este dată și se cere un punct sau un parametru.
• Vei ști să aplici distanța în situații din științe, cu unitatea de măsură scrisă la rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. Cât de aproape trece un drum drept de un punct?

Pe hartă, drumul feribotului este o dreaptă $h$, iar reciful este un punct $P$ în afara ei. Pe măsură ce feribotul înaintează, distanța până la recif scade, atinge o valoare minimă și apoi crește din nou. Distanța de la punctul $P$ la dreapta $h$ este tocmai această valoare minimă: lungimea segmentului $PN$, unde $N$ este piciorul perpendicularei coborâte din $P$ pe $h$. O notăm $d(P,h)$.

De ce minimul se atinge chiar în piciorul perpendicularei ai văzut în lecția despre intersecția a două drepte: acolo, conducta cea mai scurtă de la o stație la un canal era perpendiculară pe canal. Figura A arată situația de acum: dreapta $h$, punctul $P$, perpendiculara $PN$ și paralela prin $P$ la $h$. Toate punctele acelei paralele se află la aceeași distanță de $h$, observație pe care o folosim la dreptele paralele și la problemele cu distanță impusă.

Dacă punctul se află pe dreaptă, distanța este $0$. În toate celelalte cazuri ea este un număr strict pozitiv, măsurat în unitatea axelor.

2. Cum refaci drumul din clasa a IX-a pe un punct nou?

În aceeași lecție de clasa a IX-a ai aflat piciorul perpendicularei și lungimea conductei dintre stație și canal. Refacem drumul, pe scurt, pe dreapta $h$ de ecuație $y=2x+1$ și punctul $P(6,3)$, care nu verifică ecuația, fiindcă $2\cdot 6+1=13\ne 3$. Perpendiculara prin $P$ are panta $m$ cu $2\cdot m=-1$, deci $m=-\frac{1}{2}$, și ecuația $y-3=-\frac{1}{2}(x-6)$, adică $y=-\frac{x}{2}+6$. Piciorul $N$ se află pe ambele drepte: din $2x+1=-\frac{x}{2}+6$ rezultă $\frac{5x}{2}=5$, deci $x=2$ și $y=5$, adică $N(2,5)$. În fine, cu formula distanței dintre două puncte,

$$PN=\sqrt{(6-2{)}^2+(3-5{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$$

Figura B arată cazul. Drumul este sigur, dar are patru pași: pantă, ecuație, sistem, lungime. Formula din secțiunea următoare îi strânge într-un singur calcul.

3. De ce formula are la numitor lungimea unui vector?

Aducem dreapta la forma $ax+by+c=0$, cu $a$ și $b$ nu simultan nuli, cum ai văzut în lecția despre ecuația dreptei. Pentru un punct $P(x_0,y_0)$ are loc

$$d(P,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Formula se obține repetând cu litere pașii din secțiunea 2; calculul este mai lung, dar nu cere nimic nou. Citirea ei are două părți. Numărătorul este valoarea expresiei $ax+by+c$ în punctul $P$: ea este $0$ exact pentru punctele dreptei, așa că formula este și un test de apartenență. Numitorul, $\sqrt{a^2+b^2}$, este lungimea vectorului de coordonate $(a,b)$, perpendicular pe dreaptă, calculată ca în lecția despre coordonatele unui vector; împărțirea la această lungime face din valoarea expresiei o lungime, în unitatea axelor. Pentru originea reperului, numărătorul se reduce la $|c|$.

Controlul pe exemplul din secțiunea 2: dreapta $h:2x-y+1=0$ și punctul $P(6,3)$ dau $d(P,h)=\frac{|2\cdot 6-3+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$, exact lungimea găsită pe drumul lung. Pentru a folosi formula, toți termenii trebuie mutați în membrul stâng: din $y=2x+1$ citești $a=2$, $b=-1$, $c=1$.

O dreaptă verticală, de ecuație $x=k$, are forma generală $x-k=0$, cu $a=1$ și $b=0$, iar formula dă $|x_0-k|$, diferența absciselor; o dreaptă orizontală $y=k$ dă, la fel, $|y_0-k|$. Pentru dreapta $h_1:x=-2$ și punctul $P(5,1)$ obții $d(P,h_1)=|5-(-2)|=7$; pentru dreapta $h_2:y=4$ și același punct, $d(P,h_2)=|1-4|=3$. Ambele se citesc direct pe desen, pentru că perpendiculara este orizontală, respectiv verticală.

4. Cum verifici o arie calculată cu două baze diferite?

Într-un triunghi $ABC$, înălțimea din $C$ este distanța de la $C$ la dreapta $AB$. Pentru $A(-3,-2)$, $B(5,2)$ și $C(1,7)$: dreapta $AB$ are panta $\frac{2+2}{5+3}=\frac{1}{2}$ și ecuația $y+2=\frac{1}{2}(x+3)$, adică $x-2y-1=0$. Înălțimea este

$$d(C,AB)=\frac{|1-14-1|}{\sqrt{1+4}}=\frac{14}{\sqrt{5}}=\frac{14\sqrt{5}}{5}.$$

Baza are lungimea $AB=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}$, deci aria este $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot \frac{14}{\sqrt{5}}=28$. Piciorul înălțimii este punctul $\left(\frac{19}{5},\frac{7}{5}\right)$, iar Figura C îl arată. Refaci apoi aria cu altă latură drept bază. Dreapta $BC$ are panta $\frac{7-2}{1-5}=-\frac{5}{4}$ și ecuația $5x+4y-33=0$, iar $BC=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$; înălțimea din $A$ este $d(A,BC)=\frac{|-15-8-33|}{\sqrt{41}}=\frac{56}{\sqrt{41}}$, iar $\frac{1}{2}\cdot \sqrt{41}\cdot \frac{56}{\sqrt{41}}=28$, aceeași arie. Coincidența celor două rezultate controlează deodată ecuațiile dreptelor și distanțele; radicalul bazei îl anulează pe cel al înălțimii, de aceea aria iese un număr simplu.

5. Ce rămâne neschimbat de-a lungul a două drepte paralele?

Toate punctele unei drepte paralele cu $h$ se află la aceeași distanță de $h$, cum arăta paralela din Figura A. De aceea, pentru două drepte paralele distincte iei orice punct al primei și afli cât de departe este de cealaltă. Pentru dreptele $h_1:20x+21y-7=0$ și $h_2:20x+21y+51=0$, punctul $P(-7,7)$ se află pe $h_1$, fiindcă $-140+147-7=0$. Atunci

$$d(P,h_2)=\frac{|20\cdot (-7)+21\cdot 7+51|}{\sqrt{400+441}}=\frac{58}{29}=2.$$

Dacă ecuațiile au coeficienții lui $x$ și $y$ identici, lucrezi direct cu termenii liberi: distanța este $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, aici $\frac{|-7-51|}{29}=2$. Condiția „aceiași coeficienți” este esențială; dacă o ecuație este înmulțită cu un număr, o aduci întâi la aceiași $a$ și $b$ ca cealaltă.

6. Ce arată modulul din formulă când distanța este impusă?

Punctele aflate la distanța $r$ de o dreaptă nu formează un singur loc, ci două drepte paralele cu ea, câte una de fiecare parte. De aceea, când distanța este dată și se cere un punct sau un parametru, modulul din formulă se desface în două cazuri. De exemplu, punctele $(t,0)$ ale axei $Ox$ situate la $3$ unități de dreapta $12x-35y+6=0$ verifică $\frac{|12t+6|}{37}=3$, adică $|12t+6|=111$. Rezultă $12t+6=111$, cu $t=\frac{35}{4}$, sau $12t+6=-111$, cu $t=-\frac{39}{4}$: axa $Ox$ taie fiecare dintre cele două paralele o dată.

Dacă enunțul adaugă o condiție, de pildă ca punctul să aibă abscisa pozitivă, una dintre soluții se elimină, iar eliminarea se justifică scris. În exemplul de mai sus, condiția „abscisă pozitivă” păstrează doar $t=\frac{35}{4}$, iar justificarea are o singură propoziție: cealaltă valoare, $-\frac{39}{4}$, este negativă.

7. În ce unitate iese distanța și când rotunjești?

Rezultatul are întotdeauna unitatea axelor: dacă reperul este desenat în metri, distanța iese în metri; pe harta de navigație, în kilometri, dacă aceasta este unitatea caroiajului. Pe o hartă la scară, transformi abia rezultatul final, ca să nu rotunjești de două ori; efectul rotunjirii făcute prea devreme e discutat în lecția despre media datelor. Dacă punctele sunt date cu zecimale, păstrează în calcul valorile exacte ale coeficienților și rotunjește numai distanța obținută, la precizia cerută de problemă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Care punct este mai aproape de dreaptă?

Se consideră dreapta $h:9x+40y-15=0$ și punctele $P(2,3)$ și $Q(-3,1)$. Care dintre cele două puncte se află mai aproape de dreapta $h$?

Rezolvare. Dreapta este deja în forma generală, cu $a=9$, $b=40$ și $c=-15$, iar $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41$. Înlocuind coordonatele punctului,

$$d(P,h)=\frac{|9\cdot 2+40\cdot 3-15|}{41}=\frac{123}{41}=3.$$

Pentru al doilea punct, $d(Q,h)=\frac{|9\cdot (-3)+40\cdot 1-15|}{41}=\frac{2}{41}$. Punctul $Q$ este mult mai aproape: distanța lui este de aproape $62$ de ori mai mică. Pe un desen făcut de mână, diferența s-ar putea citi greșit, pentru că dreapta trece aproape de ambele puncte ale unei figuri mici; calculul o face sigură.

Exemplul 2 — Dreaptă dată prin două puncte

Dreapta $h$ trece prin punctele $(-1,-5)$ și $(2,4)$. Aflați distanța de la punctul $P(4,0)$ la $h$.

Rezolvare. Panta este $\frac{4+5}{2+1}=3$, deci $y-4=3(x-2)$, adică $y=3x-2$. Trecem toți termenii în stânga: $h:3x-y-2=0$; verificare cu primul punct: $-3+5-2=0$. Atunci

$$d(P,h)=\frac{|3\cdot 4-0-2|}{\sqrt{9+1}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}.$$

Ecuația dreptei se scrie întâi, cu verificarea pe punctele date, și abia apoi coeficienții intră în formulă: o greșeală de semn la $c$ ar schimba numărătorul, iar verificarea o prinde înainte de calculul distanței.

Exemplul 3 — Punctul aflat la mijloc între două paralele

Verificați că dreptele $h_1:7x+24y-13=0$ și $h_2:7x+24y+37=0$ sunt paralele, aflați distanța dintre ele și arătați că punctul $M(12,-4)$ se află exact la jumătatea acestei distanțe, de fiecare dintre ele.

Rezolvare. Coeficienții lui $x$ și $y$ coincid, iar termenii liberi diferă, deci dreptele sunt paralele și distincte. Cu $\sqrt{49+576}=25$, distanța este

$$d(h_1,h_2)=\frac{|-13-37|}{25}=\frac{50}{25}=2.$$

Pentru punctul $M$: $d(M,h_1)=\frac{|84-96-13|}{25}=\frac{25}{25}=1$ și $d(M,h_2)=\frac{|84-96+37|}{25}=\frac{25}{25}=1$. Cele două distanțe sunt egale și însumează $2$, deci $M$ se află între drepte, la jumătatea distanței dintre ele: pe paralela de mijloc, de ecuație $7x+24y+12=0$.

Exemplul 4 — Parametrul unei drepte, din distanța dată

Determinați numărul real $m$ pentru care dreapta $h_m:2x+y+m=0$ se află la distanța $\sqrt{5}$ de punctul $P(1,1)$.

Rezolvare. Condiția se scrie $\frac{|2+1+m|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, adică $|m+3|=5$. Rezultă $m+3=5$ sau $m+3=-5$, deci $m\in \{-8,2\}$. Cele două drepte, $2x+y+2=0$ și $2x+y-8=0$, sunt paralele și se află de o parte și de alta a punctului $P$, fiecare la distanța $\sqrt{5}$.

Exemplul 5 — Casa de lângă linia de înaltă tensiune

Pe un plan de situație, în metri, doi stâlpi ai unei linii electrice se află în punctele $(0,10)$ și $(70,250)$, iar conductorul este considerat rectiliniu între ei. O casă se află în punctul $H(30,20)$. a) Scrieți ecuația dreptei $h$ a liniei. b) Calculați distanța de la casă la linie. c) Comparați distanța de la casă la linie cu distanța de la casă la cel mai apropiat stâlp.

Rezolvare. a) Panta este $\frac{250-10}{70-0}=\frac{24}{7}$, deci $y=\frac{24}{7}x+10$, adică $h:24x-7y+70=0$. Verificare pe al doilea stâlp: $24\cdot 70-7\cdot 250+70=1680-1750+70=0$.

b) $d(H,h)=\frac{|24\cdot 30-7\cdot 20+70|}{\sqrt{576+49}}=\frac{650}{25}=26$ de metri.

c) Distanța până la cel mai apropiat stâlp, $(0,10)$, este $\sqrt{900+100}=\sqrt{1000}\approx 31,62$ m, mai mare decât distanța până la conductor, $26$ m. Rezultatul era de așteptat: perpendiculara este drumul cel mai scurt, iar piciorul ei cade între cei doi stâlpi.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Punctele $A(-1,2)$, $B(5,5)$ și $C(3,-2)$ sunt vârfurile triunghiului $ABC$ din reperul cartezian $xOy$. a) Determinați ecuația dreptei $AB$. b) Arătați că înălțimea din $C$ a triunghiului $ABC$ are lungimea $\frac{12\sqrt{5}}{5}$. c) Calculați aria triunghiului $ABC$.

Rezolvare. a) Panta este $\frac{5-2}{5+1}=\frac{1}{2}$, iar $y-2=\frac{1}{2}(x+1)$ dă $AB:x-2y+5=0$. Verificare: $B$ dă $5-10+5=0$.

b) $d(C,AB)=\frac{|3+4+5|}{\sqrt{1+4}}=\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$.

c) $AB=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{5}\cdot \frac{12}{\sqrt{5}}=18$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi dreapta în forma $ax+by+c=0$ și numește coeficienții. Rezultatele cu radical la numitor se scriu cu numitor rațional, iar la problemele cu distanță dată caută ambele cazuri ale modulului.

1. Calculează distanța de la punctul $P(5,1)$ la dreapta $h:11x-60y-56=0$.

2. Calculează distanța de la punctul $P(3,-2)$ la dreapta $h:x-y+4=0$.

3. Calculează distanța de la punctul $P(1,1)$ la dreapta $h$ de ecuație $y=-4x+3$.

4. Calculează distanța de la punctul $P(-3,2)$ la dreapta $h_1:x=6$ și distanța de la punctul $Q(1,7)$ la dreapta $h_2:y=-4$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două puncte $A$ și $B$ se află la aceeași distanță de o dreaptă $h$, atunci dreapta $AB$ este paralelă cu $h$.”

6. Calculează distanța de la originea reperului, $O(0,0)$, la dreapta $h:16x+63y-130=0$.

7. Dreptele $h_1:33x-56y+20=0$ și $h_2:33x-56y-175=0$ au aceeași direcție. Află distanța dintre ele.

8. Punctele $A(-3,-1)$, $B(3,3)$, $C(4,7)$ și $D(-2,3)$ sunt vârfurile unui paralelogram. Calculează distanța de la $D$ la dreapta $AB$ și aria paralelogramului.

9. (Problemă aplicată.) Pe o hartă cu unitatea de $1$ km, vârful unui vulcan activ se află în punctul $V(18,0)$, iar o șosea rectilinie trece prin punctele $(0,1)$ și $(24,8)$. a) Scrie ecuația șoselei. b) La ce distanță de vârful vulcanului trece șoseaua? c) Autoritățile au declarat o zonă de excludere de $5$ km în jurul vârfului. Trece șoseaua prin această zonă?

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie punctul $P(8,7)$ și dreapta $h:x+y-9=0$. a) Arătați că $d(P,h)=3\sqrt{2}$. b) Determinați coordonatele punctului $Q$, simetricul punctului $P$ față de dreapta $h$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Punctele $A(-5,5)$, $B(2,4)$ și $C(1,7)$ sunt vârfurile unui triunghi. a) Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$. b) Calculați aria triunghiului $ABC$. c) Determinați distanța de la punctul $C$ la dreapta $AB$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numerele reale $m$ pentru care punctul $P(2,m)$ se află la distanța $\sqrt{10}$ de dreapta $h:x+3y-1=0$.

13. Pe axa $Oy$, găsește punctele care se află la $3$ unități de dreapta $2x+y-9=0$.

14. Dreapta $h:5x+12y-60=0$ taie axele de coordonate în punctele $A$ și $B$. Calculează aria triunghiului $OAB$ și distanța de la originea $O$ la $h$, apoi verifică legătura dintre ele.

15. Calculează distanța dintre dreptele paralele $h_1:y=-3x+4$ și $h_2:y=-3x-6$.

16. Arată că punctul $P(1,1)$ se află la aceeași distanță de dreptele $h_1:x+5y-19=0$ și $h_2:5x-y+9=0$.

17. Scrie ecuațiile dreptelor paralele cu $h:39x+80y-5=0$ aflate la distanța $1$ de ea.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ pentru care dreapta $mx-y+1=0$ se află la distanța $1$ de punctul $(2,3)$.

Răspunsuri și explicații

1. $\sqrt{121+3600}=\sqrt{3721}=61$, iar $d(P,h)=\frac{|55-60-56|}{61}=\frac{61}{61}=1$.

2. $d(P,h)=\frac{|3+2+4|}{\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$.

3. Forma generală este $h:4x+y-3=0$, deci $d(P,h)=\frac{|4+1-3|}{\sqrt{17}}=\frac{2}{\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{17}$.

4. $d(P,h_1)=|-3-6|=9$ și $d(Q,h_2)=|7-(-4)|=11$.

5. Fals. Pentru dreapta $h=Ox$ și punctele $A(0,2)$, $B(4,-2)$, ambele sunt la distanța $2$ de $h$, dar se află de o parte și de alta a ei, iar dreapta $AB$ o taie în punctul $(2,0)$. Afirmația devine adevărată doar dacă punctele sunt de aceeași parte a dreptei.

6. $\sqrt{256+3969}=\sqrt{4225}=65$, deci $d(O,h)=\frac{|-130|}{65}=\frac{130}{65}=2$.

7. Coeficienții lui $x$ și $y$ coincid, iar termenii liberi diferă, deci dreptele sunt paralele și distincte. Distanța este $d(h_1,h_2)=\frac{|20+175|}{\sqrt{1089+3136}}=\frac{195}{65}=3$.

8. Dreapta $AB$ are panta $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ și ecuația $AB:2x-3y+3=0$. Atunci $d(D,AB)=\frac{|-4-9+3|}{\sqrt{13}}=\frac{10}{\sqrt{13}}$, iar $AB=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}$. Aria paralelogramului este baza ori înălțimea: $2\sqrt{13}\cdot \frac{10}{\sqrt{13}}=20$.

9. a) Panta este $\frac{7}{24}$, deci $y=\frac{7}{24}x+1$, adică $h:7x-24y+24=0$. b) $d(V,h)=\frac{|7\cdot 18-0+24|}{\sqrt{49+576}}=\frac{150}{25}=6$ km. c) Nu: cel mai apropiat punct al șoselei este la $6$ km de vârful vulcanului, deci în afara zonei de $5$ km.

10. a) $d(P,h)=\frac{|8+7-9|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$. b) Perpendiculara prin $P$ are panta $1$ și ecuația $y=x-1$; din $x+(x-1)=9$ rezultă $x=5$ și $y=4$, deci piciorul ei este $N(5,4)$. Simetricul $Q$ are mijlocul segmentului $PQ$ în $N$, deci $Q(2\cdot 5-8,2\cdot 4-7)=Q(2,1)$. Control: $d(Q,h)=\frac{|2+1-9|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$.

11. a) Panta lui $CA$ este $\frac{5-7}{-5-1}=\frac{1}{3}$, iar panta lui $CB$ este $\frac{4-7}{2-1}=-3$; produsul lor este $-1$, deci $CA\perp CB$. b) $CA=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$ și $CB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, deci aria este $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=10$. c) $AB=\sqrt{49+1}=5\sqrt{2}$, iar din aria scrisă cu baza $AB$ rezultă $d(C,AB)=\frac{2\cdot 10}{5\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. Control cu formula: $AB:x+7y-30=0$ și $d(C,AB)=\frac{|1+49-30|}{\sqrt{50}}=\frac{20}{\sqrt{50}}=2\sqrt{2}$.

12. $\frac{|2+3m-1|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ dă $|3m+1|=10$, deci $3m+1=10$ sau $3m+1=-10$, adică $m\in \left\{-\frac{11}{3},3\right\}$.

13. Un punct al axei $Oy$ are forma $(0,t)$. Din $\frac{|t-9|}{\sqrt{5}}=3$ rezultă $|t-9|=3\sqrt{5}$, deci $t=9+3\sqrt{5}$ sau $t=9-3\sqrt{5}$.

14. Pentru $y=0$ rezultă $x=12$, iar pentru $x=0$ rezultă $y=5$, deci $A(12,0)$ și $B(0,5)$; aria triunghiului dreptunghic $OAB$ este $\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5=30$. Distanța de la $O$ la $h$ este $\frac{|-60|}{\sqrt{25+144}}=\frac{60}{13}$. Ipotenuza are lungimea $AB=\sqrt{144+25}=13$, iar $\frac{1}{2}\cdot 13\cdot \frac{60}{13}=30$: distanța de la $O$ este înălțimea din $O$, iar aria iese aceeași.

15. Formele generale sunt $3x+y-4=0$ și $3x+y+6=0$, cu aceiași coeficienți, deci $d(h_1,h_2)=\frac{|-4-6|}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$.

16. $d(P,h_1)=\frac{|1+5-19|}{\sqrt{26}}=\frac{13}{\sqrt{26}}$ și $d(P,h_2)=\frac{|5-1+9|}{\sqrt{26}}=\frac{13}{\sqrt{26}}$, egale, fiecare cu valoarea $\frac{\sqrt{26}}{2}$.

17. O dreaptă paralelă are forma $39x+80y+c=0$. Distanța dintre ele este $\frac{|c+5|}{89}=1$, deci $c+5=89$ sau $c+5=-89$, adică $c\in \{-94,84\}$: dreptele $39x+80y+84=0$ și $39x+80y-94=0$.

18. Condiția este $\frac{|2m-3+1|}{\sqrt{m^2+1}}=1$, adică $|2m-2|=\sqrt{m^2+1}$. Ridicând la pătrat, $4m^2-8m+4=m^2+1$, deci $3m^2-8m+3=0$, cu soluțiile $m=\frac{4+\sqrt{7}}{3}$ și $m=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$. Ambii membri ai egalității ridicate la pătrat erau nenegativi, deci ambele valori sunt soluții.

De reținut

• Distanța de la $P$ la dreapta $h$ este lungimea perpendicularei $PN$, cea mai scurtă dintre toate segmentele care unesc $P$ cu puncte ale dreptei.
• Pentru $h:ax+by+c=0$ și $P(x_0,y_0)$, $d(P,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$; formula se aplică după ce toți termenii au fost aduși în membrul stâng.
• Distanța este $0$ exact când punctul verifică ecuația dreptei, iar pentru dreptele $x=k$ și $y=k$ ea este diferența absolută a coordonatelor.
• Două drepte paralele cu aceiași coeficienți $a$, $b$ se află la distanța $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$; o înălțime a unui triunghi este distanța de la un vârf la latura opusă, iar aria este semiprodusul bazei cu înălțimea.
• O distanță dată duce la o ecuație cu modul, cu două cazuri, corespunzătoare celor două paralele aflate la acea distanță de dreaptă.

Greșeli frecvente

• Împarți la $a^2+b^2$ în loc de $\sqrt{a^2+b^2}$. Numitorul formulei este lungimea vectorului de coordonate $(a,b)$, deci are radical. Fără radical, rezultatul nu se mai păstrează când înmulțești ecuația cu un număr, semn sigur că nu este o distanță.
• Confunzi distanța până la dreaptă cu distanța până la un punct anume al ei. Distanța până la un stâlp sau până la intersecția cu o axă este mai mare decât distanța până la dreaptă, cu excepția cazului în care acel punct este chiar piciorul perpendicularei.
• Iei panta perpendicularei egală cu opusul pantei. Pentru o dreaptă cu panta $m$, perpendiculara are panta $-\frac{1}{m}$, nu $-m$. Cu panta greșită, piciorul perpendicularei și distanța calculată pe drumul lung ies greșit.
• Confunzi distanța până la o dreaptă cu distanța până la un segment al ei. Pentru punctul $P(7,4)$ și segmentul cu capetele $(0,0)$ și $(4,0)$, piciorul perpendicularei pe dreapta $y=0$ este $(7,0)$, în afara segmentului: distanța până la dreaptă este $4$, dar cel mai apropiat punct al segmentului este capătul $(4,0)$, la distanța $5$.
• Aplici formula ariei cu o latură și cu o înălțime care nu îi corespunde. Înălțimea din $C$ se înmulțește cu latura $AB$, opusă lui $C$. Dacă folosești distanța de la $C$ la $AB$ împreună cu latura $AC$, aria iese greșită.

Aplică acasă

1. Punctele măsurate și dreapta de tendință. Alege un tabel de măsurători din laboratorul de fizică în care mărimile cresc aproximativ liniar, de pildă alungirea unui elastic în funcție de masa atârnată. Reprezintă punctele pe hârtie milimetrică, trasează cu rigla o dreaptă care trece printre ele și scrie-i ecuația. Calculează distanța fiecărui punct la dreaptă și compar-o cu abaterea citită pe verticală: care este mai mare și de ce?
2. Cine e mai aproape, din ochi? Cu un coleg, pe hârtie milimetrică: unul desenează o dreaptă oblică și trei puncte aproape de ea, celălalt ghicește, doar privind desenul, care punct e cel mai aproape de dreaptă. Verificați apoi cu formula. Repetați de cinci ori, schimbând rolurile, și notați în ce situații v-a înșelat ochiul: puncte aproape la fel de depărtate, dreaptă foarte înclinată sau puncte departe una de alta.
3. Parametrul pe glisor. Într-o aplicație de geometrie dinamică, desenează punctul $P(1,1)$ și dreapta $2x+y+m=0$, cu $m$ controlat de un glisor. Afișează distanța de la $P$ la dreaptă și caută, mișcând glisorul, valorile lui $m$ pentru care distanța este $\sqrt{5}\approx 2,24$. Compară valorile găsite cu cele din Exemplul 4 și explică de ce sunt două.

Pentru părinți și profesori

Lecția adaugă geometriei analitice din clasa a IX-a singura piesă din rândul de geometrie al programei de examen care lipsește din traseul de bază: distanța unui punct față de o dreaptă. Formula este legată de drumul cu piciorul perpendicularei, parcurs deja în clasa a IX-a, pentru ca elevul să știe de unde vine și să o poată controla: pantă, perpendiculară, sistem, distanța dintre două puncte. Aplicațiile sunt cele numite de programa de examen, distanțe și arii, plus distanța dintre două paralele și problemele cu parametru.

Întrebări bune de control: „Ce faci cu ecuația $y=mx+n$ înainte de a folosi formula?”; „De ce are formula valoare absolută?”; „Câte puncte de pe o axă se află la o distanță dată de o dreaptă oblică?”. Semn bun: elevul își verifică distanța calculând o dată și piciorul perpendicularei. La exercițiile cu arie, merită cerut și calculul cu altă latură drept bază: coincidența celor două rezultate este un control complet al ecuațiilor de drepte și al distanțelor. Formula distanței nu cere determinanți; ea folosește doar forma generală a ecuației dreptei, cunoscută din clasa a IX-a.

Programa și examenul. La Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027–2029, programa de examen (OMEN 4430/2014) include, la geometria clasei a X-a, ecuațiile dreptei, condițiile de paralelism și de perpendicularitate, precum și „calcularea unor distanțe și a unor arii”; distanța unui punct față de o dreaptă face parte din aceste calcule, iar exercițiile marcate în lecție se sprijină pe acest rând. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, Anexa 28) are geometria analitică plană la clasa a IX-a, până la distanța dintre două puncte, ecuațiile dreptei și ecuația cercului, iar aria triunghiului în coordonate apare la clasa a XI-a, cu determinanți; de aceea tema lecției stă în suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Programa probei MAT_P2 din 2030 nu numește, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”, distanța punct–dreaptă. În modelul oficial publicat pentru 2026, singura cerință de geometrie analitică, a cincea de la Subiectul I, cere un punct aflat din egalitatea mijloacelor a două segmente. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Pentru comparație: versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții, distanța punct–dreaptă în clasa a XI-a. Pentru recapitulare, folosește testul suplimentului despre dispersie, numărarea prin funcții și vectori.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția M1 și lecția M2 despre distanța la o dreaptă?

La mate-info (M1) tema vine în clasa a XI-a, după ecuația generală a dreptei și determinanți; formula se demonstrează complet, cu sisteme rezolvate prin metoda lui Cramer, iar lecția tratează și semnul expresiei $ax+by+c$. La științe ale naturii ea intră în suplimentul pentru bacalaureatul 2027–2029, la clasa a X-a, cu deducerea pe un exemplu și cu instrumentele din clasa a IX-a.

La ce subiect al bacalaureatului M2 intră distanța punct–dreaptă?

Programa pentru sesiunile 2027–2029 cere calcularea unor distanțe și a unor arii în reperul cartezian, la clasa a X-a; subiectul nu este precizat. În modelul oficial pentru 2026, geometria analitică apare la cerința a cincea a Subiectului I, printr-o problemă despre mijlocul unui segment, nu prin distanța la o dreaptă.

În ce unitate se exprimă distanța calculată?

În unitatea axelor reperului. Dacă punctele și dreapta sunt date pe un plan în metri, distanța iese în metri; pe o hartă cu unitatea de un kilometru, iese în kilometri. Formula nu schimbă unitatea: numărătorul și numitorul se măsoară la fel, iar raportul lor păstrează unitatea coordonatelor. Scrie unitatea la rezultat.

De ce aria unui triunghi iese adesea număr întreg, deși înălțimea are radical?

Baza, calculată cu formula distanței dintre două puncte, conține de obicei același radical ca numitorul înălțimii, pentru că ambele provin din coeficienții dreptei care conține latura. La înmulțire radicalii se simplifică. Când aria rămâne cu radical, verifică încă o dată dacă ai înmulțit înălțimea cu latura pe care cade.

Cum verific rapid că n-am greșit formula?

Ai două controale. Primul: afli piciorul perpendicularei, cu panta perpendicularei și intersecția dreptelor, și calculezi lungimea segmentului cu formula distanței dintre două puncte. Al doilea, la o problemă cu arie: refaci aria cu altă latură drept bază. Dacă rezultatele coincid, ecuațiile dreptelor și distanțele sunt corecte.

Ce legătură are distanța la o dreaptă cu vectorii?

Coeficienții $a$ și $b$ din ecuația $ax+by+c=0$ dau un vector perpendicular pe dreaptă, iar perpendiculara coborâtă din punct are direcția acestui vector. De aceea numitorul formulei, $\sqrt{a^2+b^2}$, este chiar lungimea vectorului de coordonate $(a,b)$, calculată ca în lecția despre coordonatele unui vector.