Coordonatele unui vector în reperul cartezian (M2, științe ale naturii)

La ora de fizică, două forțe trag de același corp: una de $5$ newtoni spre nord-est, alta de $13$ newtoni în altă direcție. Ca să afli rezultanta, ai două căi: să desenezi paralelogramul și să măsori cu rigla, ori să scrii fiecare forță prin două numere și să aduni numerele. A doua cale este singura care dă rezultate exacte și singura care se poate face pe foaia de examen. Lecția aceasta, din materia clasei a X-a de la profilul științe ale naturii (M2), arată cum se traduce un vector în perechea lui de coordonate și cum devin, după traducere, toate operațiile cu vectori simple socoteli cu numere. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: coordonatele unui vector în plan, ale sumei vectoriale și ale produsului cu un scalar sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu apar în programa nouă a claselor a IX-a și a X-a.

Vectorul ca obiect geometric — segmentul orientat, direcția, sensul, lungimea — este subiectul lecției despre segmentul orientat și vectorul în plan, iar regulile de adunare și de înmulțire cu un număr sunt construite geometric în lecțiile despre adunarea vectorilor și despre înmulțirea unui vector cu un scalar. Aici nu le reluăm: le folosim, ca să obținem versiunea lor în cifre. La Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, geometria analitică plană e în programă; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința a cincea a Subiectului I cere coordonatele unui punct din condiția ca două segmente să aibă același mijloc.

Ce vei învăța

• Vei ști ce sunt versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$ și de ce orice vector din plan se scrie într-un singur fel ca $x\vec{i}+y\vec{j}$.
• Vei ști să afli coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$ din coordonatele capetelor, prin scăderea „vârf minus origine".
• Vei ști să aduni doi vectori și să înmulțești un vector cu un număr lucrând separat pe fiecare coordonată.
• Vei ști să calculezi lungimea unui vector cu $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ și să o legi de distanța dintre două puncte.
• Vei ști când doi vectori sunt egali și când sunt coliniari, folosind condiția $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$.
• Vei ști să rezolvi cerințe de tip Bacalaureat M2 cu puncte, vectori și un parametru real.

Hai să descoperim împreună

1. Ce sunt coordonatele unui vector?

Fixăm în plan un reper cartezian $xOy$, cel din lecția despre reperul cartezian. Notăm cu $\vec{i}$ vectorul de lungime $1$ orientat în sensul pozitiv al axei $Ox$ și cu $\vec{j}$ vectorul de lungime $1$ orientat în sensul pozitiv al axei $Oy$; ei se numesc versorii axelor.

Coordonatele unui vector $\vec{v}$ din plan sunt cele două numere reale $x$ și $y$, unice, pentru care $\vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}$; scriem pe scurt $\vec{v}(x,y)$ și citim „vectorul $\vec{v}$ de coordonate $x$ și $y$". Existența celor două numere vine din descompunerea oricărui vector după două direcții neparalele, iar unicitatea lor este ceea ce face ca toată socoteala de mai jos să aibă sens: două perechi diferite nu pot da niciodată același vector, iar același vector nu poate fi citit în două feluri.

Merită spus de ce lucrul acesta nu e evident. Un vector nu are un loc anume în plan: aceeași săgeată, mutată paralel cu ea însăși, rămâne același vector. Ce rămâne neschimbat la mutare sunt tocmai deplasarea pe orizontală și deplasarea pe verticală — cele două numere din definiție. Coordonatele sunt, prin urmare, singura informație care supraviețuiește translației, și de aceea ele îl determină complet.

Așadar $\vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}$ se scrie $\vec{v}(3,2)$, iar $\vec{w}(-1,5)$ înseamnă $\vec{w}=-\vec{i}+5\vec{j}$. Cele două scrieri spun exact același lucru; prima e mai bună în calcule cu litere, a doua în calcule cu cifre.

2. Cum aflu coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$?

Fie $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ două puncte. Vectorul de poziție al unui punct $P(x,y)$, adică $\overrightarrow{OP}$ — noțiunea din lecția despre vectorul de poziție, luată aici cu originea $O$ chiar în originea reperului — se scrie $\overrightarrow{OP}=x\vec{i}+y\vec{j}$, adică $\overrightarrow{OP}(x,y)$: coordonatele vectorului de poziție sunt chiar coordonatele punctului. Din regula triunghiului, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$, deci $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ și, pe coordonate,

$$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A).$$

În cuvinte: vârf minus origine, pe fiecare coordonată. Ordinea contează — $\overrightarrow{BA}$ are coordonatele opuse.

Pentru $A(2,1)$ și $B(6,4)$ obținem $\overrightarrow{AB}(4,3)$, iar $\overrightarrow{BA}(-4,-3)$. Observă că nu am avut nevoie de niciun desen: din patru numere au ieșit două.

3. Când sunt egali doi vectori?

Doi vectori sunt egali exact atunci când au aceleași coordonate. Motivul este unicitatea din definiție: dacă $x_1\vec{i}+y_1\vec{j}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$, atunci $(x_1-x_2)\vec{i}+(y_1-y_2)\vec{j}=\vec{0}$, iar acest lucru se întâmplă doar când amândouă parantezele sunt nule.

Consecința practică este metoda de rezolvare pentru o categorie întreagă de cerințe de examen: o egalitate între vectori se traduce în două ecuații între numere. Dacă se cere punctul $D$ pentru care $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$, scrii egalitatea pe fiecare coordonată și obții un sistem cu două necunoscute, de obicei rezolvabil dintr-o privire.

De aici vine și traducerea condițiilor geometrice uzuale. Patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$, cu $A$, $B$, $C$ necoliniare, formează un paralelogram $ABDC$ exact când $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, adică atunci când două perechi de numere coincid; fără condiția de necoliniaritate, egalitatea rămâne adevărată, dar cele patru puncte stau pe o dreaptă și nu determină niciun paralelogram. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ exact când $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$, ceea ce, scris pe coordonate, dă imediat formula mijlocului din lecția despre coordonatele mijlocului unui segment. Nu ai de memorat formule separate: ai o singură regulă, aplicată de fiecare dată la fel.

4. Cum se calculează suma și produsul cu un scalar?

Fie $\vec{u}(x_1,y_1)$ și $\vec{v}(x_2,y_2)$ doi vectori și $t$ un număr real. Grupând termenii după $\vec{i}$ și după $\vec{j}$, obținem

$$\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2)\vec{i}+(y_1+y_2)\vec{j},t\vec{u}=(t{x}_1)\vec{i}+(t{y}_1)\vec{j}.$$

Cu alte cuvinte, se adună coordonată cu coordonată, iar înmulțirea cu un număr se face pe fiecare coordonată. Scăderea se obține din primele două: $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-1)\vec{v}$, deci coordonatele se scad.

Un exemplu complet, cu $\vec{u}(5,-2)$ și $\vec{v}(-3,4)$: suma este $\vec{u}+\vec{v}$, de coordonate $(2,2)$; diferența este $\vec{u}-\vec{v}$, de coordonate $(8,-6)$; iar $2\vec{u}+3\vec{v}$ are coordonatele $(10-9,-4+12)=(1,8)$. Toate regulile geometrice de compunere se regăsesc aici, dar fără riglă și fără compas.

Două observații care scurtează calculele la examen. Prima: vectorul nul are coordonatele $(0,0)$, iar opusul lui $\vec{u}$, adică $-\vec{u}$, are coordonatele schimbate de semn; de aceea o egalitate de forma $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$ înseamnă pur și simplu că cei doi vectori sunt opuși. A doua: orice combinație de tipul $a\vec{u}+b\vec{v}$ se calculează dintr-o dată, pe fiecare coordonată separat, fără să scrii vectorii intermediari — la $2\vec{u}+3\vec{v}$ ai scris o singură linie, nu trei.

5. Cât de lung este un vector?

Dacă $\vec{v}(x,y)$, atunci vectorul se poate desena pornind din origine, cu vârful în punctul de coordonate $(x,y)$. Proiecțiile pe axe formează un triunghi dreptunghic cu catetele $|x|$ și $|y|$, iar teorema lui Pitagora dă

$$\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}.$$

Numărul acesta este modulul vectorului, definit geometric în lecția despre segmentul orientat și vectorul în plan ca lungimea comună a reprezentanților lui; el este nenegativ și se anulează doar pentru vectorul nul. Aplicat lui $\overrightarrow{AB}$, modulul devine $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, adică exact formula din lecția despre distanța dintre două puncte în plan: lungimea vectorului $\overrightarrow{AB}$ este distanța $AB$.

Pentru $\overrightarrow{AB}(4,3)$ de mai sus, $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. Atenție la o capcană de raționament: modulul sumei nu este suma modulelor. Pentru $\vec{u}(3,4)$ și $\vec{v}(5,12)$ avem $\Vert \vec{u}\Vert =5$ și $\Vert \vec{v}\Vert =13$, dar $\vec{u}+\vec{v}$ are coordonatele $(8,16)$, cu modulul $\sqrt{320}\approx 17,89$, nu $18$. Egalitate ar fi doar dacă cei doi vectori ar avea aceeași direcție și același sens.

6. Cum recunosc doi vectori coliniari?

Doi vectori nenuli sunt coliniari dacă au aceeași direcție, adică dacă unul este produsul celuilalt cu un număr real: $\vec{v}=t\vec{u}$. Pe coordonate, aceasta înseamnă $x_2=t{x}_1$ și $y_2=t{y}_1$, de unde, eliminând pe $t$, se obține condiția

$$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0.$$

Este cel mai comod criteriu de la examen, pentru că nu cere să găsești efectiv factorul $t$: faci două înmulțiri și o scădere. De pildă, $\vec{u}(2,-3)$ și $\vec{w}(-6,9)$ sunt coliniari, fiindcă $2\cdot 9-(-6)\cdot (-3)=18-18=0$; într-adevăr, $\vec{w}=-3\vec{u}$.

Criteriul rezolvă direct și cerințele cu parametru. Dacă se cere numărul real $m$ pentru care $\vec{u}(2,-3)$ și $\vec{v}(m,6)$ sunt coliniari, scrii $2\cdot 6-m\cdot (-3)=0$, adică $12+3m=0$, deci $m=-4$.

Tot de aici se obține și coliniaritatea a trei puncte: punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare exact atunci când vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt coliniari, pentru că ei pornesc din același punct. Calculezi cele două perechi de coordonate, faci înmulțirile în cruce și compari cu zero; dacă rezultatul nu e zero, punctele formează un triunghi. Verificarea aceasta ia trei rânduri și înlocuiește orice desen. În clasa a XI-a, aceeași idee revine în lecția despre coliniaritate și ecuația dreptei cu determinant, unde expresia $x_1{y}_2-x_2{y}_1$ se scrie compact ca determinant, notație care intră în programă abia atunci; la clasa a X-a o folosim în forma desfășurată. Lecția despre aria triunghiului cu determinant o scrie tot cu determinant, deci o citești abia în clasa a XI-a.

7. La ce folosește traducerea în coordonate?

La orice problemă în care vectorii vin din realitate. O forță, o viteză, o deplasare se dau prin două componente, iar compunerea lor se face adunând componentele. O barcă vâslită cu viteza ${\vec{v}}_1(0,4)$, în kilometri pe oră, dusă de un curent ${\vec{v}}_2(3,0)$, se mișcă efectiv cu ${\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2$, de coordonate $(3,4)$, deci cu $\sqrt{9+16}=5$ kilometri pe oră, pe o direcție care nu e nici a vâslitului, nici a curentului.

Același mecanism stă în spatele cerințelor de examen: punctele se dau prin coordonate, condițiile geometrice (mijloc, paralelism, coliniaritate, lungime) se scriu ca egalități între numere, iar rezolvarea devine algebră curată.

Un al doilea câștig, mai puțin vizibil, este controlul erorilor. Într-un desen, o eroare de un milimetru trece neobservată; în coordonate, orice greșeală se vede la verificare, pentru că rezultatul se poate reintroduce în condiția inițială. Obiceiul de a scrie, după fiecare răspuns, o linie de control — „$\overrightarrow{CD}$ are coordonatele $(3,4)$, la fel ca $\overrightarrow{AB}$" — costă zece secunde și salvează punctele cerinței.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Coordonatele și lungimea unui vector

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,5)$ și $B(4,-3)$. Determinați coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$ și lungimea lui.

Rezolvare. Scădem vârf minus origine: $\overrightarrow{AB}(4-(-2),-3-5)$, adică $\overrightarrow{AB}(6,-8)$. Atenție la semne: a doua coordonată iese negativă, pentru că vectorul coboară. Lungimea este

$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{100}=10.$$

Numărul $10$ este și distanța dintre cele două puncte; pătratele scapă de semnul minus, deci sensul vectorului nu-i schimbă lungimea.

Exemplul 2 — Operații pe coordonate

Se consideră vectorii $\vec{u}(-4,7)$ și $\vec{v}(6,-1)$. Determinați coordonatele vectorilor $\vec{u}+\vec{v}$, $\vec{u}-\vec{v}$ și $2\vec{u}+3\vec{v}$.

Rezolvare. Lucrăm separat pe fiecare coordonată.

Deci $\vec{u}+\vec{v}$ are coordonatele $(2,6)$, $\vec{u}-\vec{v}$ are coordonatele $(-10,8)$, iar $2\vec{u}+3\vec{v}$ are coordonatele $(10,11)$.

Exemplul 3 — O egalitate de vectori, rezolvată ca sistem

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(4,7)$ și $C(-2,0)$. Determinați coordonatele punctului $D$ pentru care $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$.

Rezolvare. Mai întâi $\overrightarrow{AB}(3,4)$. Notând $D(x,y)$, avem $\overrightarrow{CD}(x+2,y-0)$. Egalitatea vectorilor înseamnă egalitatea coordonatelor:

$$x+2=3\text{și}y=4,$$

de unde $x=1$ și $y=4$, deci $D(1,4)$. Verificare: $\overrightarrow{CD}(1-(-2),4-0)$, adică $\overrightarrow{CD}(3,4)$, exact ca $\overrightarrow{AB}$.

Exemplul 4 — Coliniaritate cu parametru

Determinați numărul real $m$ pentru care vectorii $\vec{u}(5,-4)$ și $\vec{v}(m,12)$ sunt coliniari.

Rezolvare. Condiția de coliniaritate se scrie $5\cdot 12-m\cdot (-4)=0$, adică $60+4m=0$, deci $m=-15$.

Control: pentru $m=-15$ avem $\vec{v}(-15,12)$ și, într-adevăr, $\vec{v}=-3\vec{u}$, pentru că $-3\cdot 5=-15$ și $-3\cdot (-4)=12$.

Exemplul 5 — Când rezultanta chiar este suma intensităților

Asupra unui corp acționează, în același plan, forțele ${\vec{F}}_1(6,8)$ și ${\vec{F}}_2(9,12)$, exprimate în newtoni. Arătați că cele două forțe sunt coliniare și determinați intensitatea rezultantei.

Rezolvare. Condiția de coliniaritate dă $6\cdot 12-9\cdot 8=72-72=0$, deci forțele au aceeași direcție; cum ${\vec{F}}_2=1,5\cdot {\vec{F}}_1$, factorul fiind pozitiv, ele au și același sens. Intensitățile lor sunt

$$\Vert {\vec{F}}_1\Vert =\sqrt{36+64}=10,\Vert {\vec{F}}_2\Vert =\sqrt{81+144}=15.$$

Rezultanta este ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2$, de coordonate $(15,20)$, cu intensitatea $\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$ newtoni.

Aici rezultanta este exact $10+15=25$ de newtoni — cazul de egalitate anunțat în subsecțiunea 5, singurul în care intensitățile se pot aduna direct. Când direcțiile diferă, rezultanta e strict mai mică.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(4,3)$ și $C(6,-1)$. a) Determinați coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$. b) Arătați că $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =2\sqrt{5}$. c) Determinați numărul real $m$ pentru care vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\vec{v}=m\vec{i}+\vec{j}$ sunt coliniari.

Rezolvare. a) Vârf minus origine: $\overrightarrow{AB}(4-(-2),3-1)$, adică $\overrightarrow{AB}(6,2)$.

b) Avem $\overrightarrow{BC}(6-4,-1-3)$, adică $\overrightarrow{BC}(2,-4)$, deci

$$\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$$

c) Vectorul $\vec{v}$ are coordonatele $(m,1)$. Condiția de coliniaritate cu $\overrightarrow{AB}(6,2)$ se scrie $6\cdot 1-m\cdot 2=0$, adică $6=2m$, deci $m=3$. Verificare: $\overrightarrow{AB}=2\vec{v}$, pentru că $\vec{v}(3,1)$.

Să exersăm

Înainte de orice: notează-ți coordonatele punctelor, în ordinea din enunț, și scrie vectorii ceruți ca „vârf minus origine". La cerințele cu parametru, pornește de la condiția $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$; la cele cu egalitate de vectori, transform-o în două ecuații.

1. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$ și $B(5,7)$. Determină coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$.

2. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,4)$ și $B(2,-1)$. Determină coordonatele vectorilor $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$.

3. Se consideră vectorii $\vec{u}(2,5)$ și $\vec{v}(-1,3)$. Determină coordonatele vectorului $4\vec{u}-3\vec{v}$, apoi stabilește dacă el este coliniar cu $\vec{u}$.

4. Se consideră vectorul $\vec{u}(-4,6)$. Determină coordonatele vectorilor $3\vec{u}$ și $-\frac{1}{2}\vec{u}$.

5. Calculează modulul vectorului $\vec{v}(-8,15)$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Doi vectori care au aceeași lungime sunt egali."

7. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4,0)$ și $B(5,12)$. Calculează $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$.

8. Scrie vectorul $\vec{v}(-2,7)$ sub forma $x\vec{i}+y\vec{j}$, apoi determină coordonatele vectorului $\vec{w}=5\vec{i}-\vec{j}$.

9. Determină numărul real $m$ pentru care vectorii $\vec{u}(m,-4)$ și $\vec{v}(3,6)$ sunt coliniari.

10. (Problemă aplicată.) O dronă de măsurare zboară cu viteza proprie ${\vec{v}}_1(12,5)$, în kilometri pe oră, iar vântul are viteza ${\vec{v}}_2(-7,7)$, tot în kilometri pe oră. Determină coordonatele vitezei rezultante și mărimea ei, apoi compar-o cu mărimea vitezei proprii.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,-3)$, $B(-1,9)$ și $C(-2,3)$. a) Determină coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$. b) Calculează $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$. c) Determină coordonatele punctului $D$ pentru care $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$.

12. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,5)$ și $B(7,-1)$. Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $AB$, apoi verifică egalitatea $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ pe coordonate.

13. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(3,5)$ și $C(6,11)$. Verifică dacă cele trei puncte sunt coliniare.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră vectorii $\vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}$ și $\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$. a) Determină coordonatele vectorului $2\vec{u}+\vec{v}$. b) Calculează $\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert$.

15. Determină numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}(a,a+1)$ și $\vec{v}(2,6)$ sunt coliniari.

16. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,-1)$, $B(5,3)$, $C(-4,0)$ și $D(-1,4)$. Arată că $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,3)$ și $B(3,-1)$. a) Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $AB$. b) Calculează $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$. c) Determină coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$, unde $O$ este originea reperului.

18. (Provocare.) Arată, folosind numai coordonatele, că pentru orice trei puncte din plan are loc egalitatea $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Apoi, pentru $A(1,2)$, $B(5,0)$ și $C(3,7)$, determină coordonatele punctului $G$ pentru care $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.

Răspunsuri și explicații

1. Scădem vârf minus origine: $\overrightarrow{AB}(5-1,7-2)$, adică $\overrightarrow{AB}(4,5)$.

2. $\overrightarrow{AB}(2-(-3),-1-4)$, adică $\overrightarrow{AB}(5,-5)$. Vectorul $\overrightarrow{BA}$ are coordonatele opuse: $\overrightarrow{BA}(-5,5)$.

3. Avem $4\vec{u}$ de coordonate $(8,20)$ și $3\vec{v}$ de coordonate $(-3,9)$, deci $4\vec{u}-3\vec{v}$ are coordonatele $(8-(-3),20-9)=(11,11)$. Condiția de coliniaritate cu $\vec{u}(2,5)$ dă $2\cdot 11-11\cdot 5=22-55=-33\ne 0$, deci cei doi vectori nu sunt coliniari.

4. $3\vec{u}$ are coordonatele $(-12,18)$, iar $-\frac{1}{2}\vec{u}$ are coordonatele $(2,-3)$.

5. $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{(-8{)}^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$.

6. Fals. Lungimea este un singur număr, iar un vector are nevoie de direcție și de sens ca să fie determinat. Vectorii $\vec{u}(3,4)$ și $\vec{v}(-3,-4)$ au amândoi modulul $5$, dar sunt opuși, deci nu sunt egali. Egalitatea cere coordonate identice, adică două condiții, nu una.

7. $\overrightarrow{AB}(5-(-4),12-0)$, adică $\overrightarrow{AB}(9,12)$, deci $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.

8. $\vec{v}=-2\vec{i}+7\vec{j}$. Reciproc, $\vec{w}=5\vec{i}-\vec{j}$ are coordonatele $(5,-1)$, pentru că lipsa unui coeficient în fața lui $\vec{j}$ înseamnă coeficientul $-1$.

9. Condiția de coliniaritate: $m\cdot 6-3\cdot (-4)=0$, adică $6m+12=0$, deci $m=-2$. Control: $\vec{u}(-2,-4)$, iar $\vec{u}=-\frac{2}{3}\vec{v}$.

10. Viteza rezultantă este ${\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2$, de coordonate $(12+(-7),5+7)=(5,12)$, iar mărimea ei este $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ kilometri pe oră. Viteza proprie are mărimea $\sqrt{144+25}=13$ kilometri pe oră: vântul a schimbat complet direcția de zbor, fără să schimbe deloc mărimea vitezei.

11. a) $\overrightarrow{AB}(-1-2,9-(-3))$, adică $\overrightarrow{AB}(-3,12)$. b) $\overrightarrow{AC}(-2-2,3-(-3))$, adică $\overrightarrow{AC}(-4,6)$, deci $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. c) Notând $D(x,y)$, vectorul $\overrightarrow{DC}$ are coordonatele $(-2-x,3-y)$. Egalând cu $(-3,12)$ obținem $-2-x=-3$ și $3-y=12$, deci $x=1$ și $y=-9$, adică $D(1,-9)$.

12. Mijlocul are coordonatele $\left(\frac{-1+7}{2},\frac{5+(-1)}{2}\right)$, adică $M(3,2)$. Atunci $\overrightarrow{AM}(4,-3)$ și $\overrightarrow{AB}(8,-6)$, iar jumătatea celui de-al doilea este chiar $(4,-3)$, deci egalitatea se verifică pe fiecare coordonată.

13. $\overrightarrow{AB}(2,4)$ și $\overrightarrow{AC}(5,10)$. Condiția de coliniaritate dă $2\cdot 10-5\cdot 4=20-20=0$, deci vectorii sunt coliniari; având punctul $A$ comun, cele trei puncte sunt coliniare.

14. a) $\vec{u}$ are coordonatele $(3,-1)$, iar $\vec{v}$ coordonatele $(1,2)$, deci $2\vec{u}+\vec{v}$ are coordonatele $(6+1,-2+2)=(7,0)$. b) $\vec{u}-\vec{v}$ are coordonatele $(2,-3)$, deci $\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert =\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

15. Condiția de coliniaritate: $a\cdot 6-2(a+1)=0$, adică $6a-2a-2=0$, deci $4a=2$ și $a=\frac{1}{2}$. Control: $\vec{u}\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{4}\vec{v}$.

16. $\overrightarrow{AB}(5-2,3-(-1))$, adică $\overrightarrow{AB}(3,4)$, iar $\overrightarrow{CD}(-1-(-4),4-0)$, adică $\overrightarrow{CD}(3,4)$. Coordonatele coincid, deci cei doi vectori sunt egali (patrulaterul $ABDC$ este paralelogram).

17. a) $M\left(\frac{-1+3}{2},\frac{3+(-1)}{2}\right)$, adică $M(1,1)$. b) $\overrightarrow{AB}(4,-4)$, deci $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. c) $\overrightarrow{OA}$ are coordonatele $(-1,3)$, iar $\overrightarrow{OB}$ coordonatele $(3,-1)$; suma lor are coordonatele $(2,2)$, deci $C(2,2)$.

18. Cu $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ și $C(x_C,y_C)$, suma $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ are prima coordonată $(x_B-x_A)+(x_C-x_B)=x_C-x_A$ și, la fel, a doua $y_C-y_A$ — adică exact coordonatele lui $\overrightarrow{AC}$. Pentru partea a doua, notăm $G(x,y)$. Suma celor trei vectori are prima coordonată $(1-x)+(5-x)+(3-x)=9-3x$ și a doua $(2-y)+(0-y)+(7-y)=9-3y$. Anulându-le pe amândouă obținem $x=3$ și $y=3$, deci $G(3,3)$ — centrul de greutate al triunghiului, a cărui caracterizare vectorială este demonstrată în lecția despre centrul de greutate.

De reținut

• Coordonatele unui vector $\vec{v}$ sunt cele două numere unice $x$ și $y$ pentru care $\vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}$, unde $\vec{i}$ și $\vec{j}$ sunt versorii axelor; se scrie pe scurt $\vec{v}(x,y)$.
• Vectorul $\overrightarrow{AB}$ are coordonatele $(x_B-x_A,y_B-y_A)$, adică vârf minus origine; inversarea capetelor schimbă semnele amândurora.
• Doi vectori sunt egali exact când au aceleași coordonate, deci o egalitate vectorială se traduce în două ecuații cu numere.
• Suma se face coordonată cu coordonată, iar înmulțirea cu un număr real se face pe fiecare coordonată; modulul se calculează cu $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ și coincide, pentru $\overrightarrow{AB}$, cu distanța dintre cele două puncte.
• Doi vectori $\vec{u}(x_1,y_1)$ și $\vec{v}(x_2,y_2)$ sunt coliniari dacă și numai dacă $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$, criteriu care rezolvă direct cerințele cu parametru și coliniaritatea a trei puncte.

Greșeli frecvente

• Scăderea în ordine greșită. $\overrightarrow{AB}$ înseamnă coordonatele lui $B$ minus coordonatele lui $A$, nu invers. O inversare schimbă semnul ambelor coordonate și, deși modulul rămâne același, toate cerințele cu egalități de vectori sau cu puncte de determinat ies greșit.
• Confundarea coordonatelor unui punct cu cele ale unui vector. Perechea $(3,2)$ înseamnă un loc în plan când e vorba de punct și o deplasare când e vorba de vector. Ele coincid numai pentru vectorii care pornesc din origine, adică pentru vectorii de poziție.
• Adunarea modulelor în loc de adunarea vectorilor. Din $\Vert \vec{u}\Vert =5$ și $\Vert \vec{v}\Vert =13$ nu rezultă $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert =18$. Întâi se adună coordonatele, abia apoi se calculează modulul sumei.
• Uitarea coeficientului subînțeles. În $\vec{w}=5\vec{i}-\vec{j}$, a doua coordonată este $-1$, nu $1$ și nici $0$. Rescrie mental vectorul ca $5\vec{i}+(-1)\vec{j}$ înainte de a citi coordonatele.
• Aplicarea condiției de coliniaritate cu termenii amestecați. Se calculează $x_1{y}_2-x_2{y}_1$, adică prima coordonată a unui vector ori a doua a celuilalt, în cruce. Scrierea $x_1{y}_1-x_2{y}_2$ nu are nicio legătură cu coliniaritatea și duce la un parametru greșit.

Aplică acasă

1. Harta drumului spre școală. Desenează pe hârtie milimetrică un reper și marchează casa ta în origine, iar școala într-un punct cu coordonate întregi (alege scara: o unitate egal $100$ de metri). Împarte drumul în trei etape, scrie vectorul fiecărei etape în coordonate și verifică, adunându-i, că obții vectorul de la casă la școală. Compară apoi lungimea drumului cu modulul vectorului sumă.

2. Compunerea forțelor, cu un instrument digital. În GeoGebra sau Desmos, desenează vectorii ${\vec{F}}_1(3,4)$ și ${\vec{F}}_2(5,12)$ pornind din origine, apoi construiește paralelogramul lor. Citește de pe ecran coordonatele diagonalei și compară-le cu suma pe care o calculezi pe hârtie. Măsoară și lungimile, ca să vezi cu ochii tăi de ce rezultanta este mai scurtă decât suma intensităților.

3. Colecția de coliniarități. Alege cinci perechi de vectori cu coordonate întregi, unele coliniare, altele nu, și construiește un tabel cu trei coloane: coordonatele, valoarea expresiei $x_1{y}_2-x_2{y}_1$ și verdictul. Pentru perechile coliniare, scrie și factorul $t$ pentru care $\vec{v}=t\vec{u}$.

Pentru părinți și profesori

Lecția este puntea dintre geometria vectorială, făcută cu desene, și calculul analitic, făcut cu numere. Ea nu adaugă proprietăți noi ale vectorilor: le traduce pe cele cunoscute într-un limbaj în care totul se verifică prin socoteală. Pentru elevul de la științe ale naturii, câștigul e imediat la fizică — componentele unei forțe sau ale unei viteze sunt exact coordonatele despre care e vorba aici — și la examen, unde cerințele de geometrie analitică se rezolvă în două-trei rânduri, dacă traducerea e făcută corect.

De verificat în caiet: sensul scăderii la $\overrightarrow{AB}$; faptul că o egalitate de vectori a fost desfăcută în două ecuații, nu rezolvată din desen; coeficientul $-1$ subînțeles; și, la modul, că s-a calculat după adunarea coordonatelor, nu înainte. Un exercițiu de control rapid, care arată dacă traducerea e stăpânită, este acesta: se dau trei vârfuri ale unui paralelogram și se cere al patrulea. Elevul care a înțeles scrie o egalitate de vectori și rezolvă două ecuații; cel care n-a înțeles caută o formulă. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă perechea $(3,2)$, dacă vorbim despre un punct, și ce înseamnă dacă vorbim despre un vector?"; „Cum arăt că două segmente orientate dau același vector?"; „Ce condiție scrii ca să afli parametrul din coliniaritate?"; „De ce lungimea lui $\overrightarrow{AB}$ este distanța de la $A$ la $B$?". Semnul că elevul a înțeles este că nu mai desenează ca să rezolve, dar desenează ca să-și verifice răspunsul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) capitolul cel mai apropiat este „Geometrie analitică" din domeniul „Geometrie. Trigonometrie", care cere reperul cartezian, coordonatele unui punct, distanța dintre două puncte și coordonatele mijlocului unui segment — coordonatele unui vector nu sunt numite acolo, calculul vectorial nefiind în programa nouă. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă cere explicit, la clasa a X-a, „reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real"; în modelul oficial pentru sesiunea 2026, cerința a cincea a Subiectului I este de geometrie analitică plană. Din acest motiv lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum se află coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$? Se scad coordonatele originii din cele ale vârfului: $\overrightarrow{AB}$ are coordonatele $(x_B-x_A,y_B-y_A)$. Regula se ține minte ca „vârf minus origine" și vine din egalitatea $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$. Inversarea capetelor schimbă semnele ambelor coordonate, deci $\overrightarrow{BA}$ are coordonatele opuse. Când originea este chiar $O$, scăderea nu mai schimbă nimic: vectorul $\overrightarrow{OM}$ are exact coordonatele punctului $M$.

Care este formula modulului unui vector? Dacă $\vec{v}$ are coordonatele $(x,y)$, atunci $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$. Formula vine din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic format de proiecțiile vectorului pe axe. Pentru $\overrightarrow{AB}$ rezultatul coincide cu distanța dintre punctele $A$ și $B$, așa că cele două formule sunt, de fapt, una singură.

Cum se adună doi vectori dați prin coordonate? Se adună separat primele coordonate și separat pe cele de-a doua. La fel se face și scăderea, iar înmulțirea cu un număr real înmulțește fiecare coordonată. Toate regulile geometrice de compunere, cu triunghiul sau cu paralelogramul, se reduc astfel la adunări de numere, ceea ce le face exacte și rapide.

Când sunt doi vectori coliniari? Atunci când unul este produsul celuilalt cu un număr real, adică atunci când au aceeași direcție. Pe coordonate, condiția se scrie $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$, cu înmulțirile în cruce. Criteriul este cel mai rapid la examen, pentru că nu cere determinarea efectivă a factorului de proporționalitate.

Ce diferă la vectori între M1 și M2? Diferă anul și scopul. La matematică-informatică, coordonatele și coliniaritatea apar în clasa a XI-a, scrise cu determinanți, în capitolul de aplicații ale determinanților în geometrie. La științe ale naturii, programa de examen din 2014 le cere la clasa a X-a, fără determinanți, în forma desfășurată — de aceea tema intră în suplimentul M2, cu aceleași rezultate, dar cu alte unelte de calcul.

La ce subiect apar vectorii la bacalaureatul M2? Programa de examen nu împarte temele pe subiecte. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința a cincea a Subiectului I, una dintre cele șase cerințe scurte din materia claselor a IX-a și a X-a, este de geometrie analitică plană: se dau două puncte și se cere un al treilea, dintr-o condiție despre mijlocul unui segment. Cerințele cu coordonate de vectori și cu coliniaritate se rezolvă la fel, în două-trei rânduri.

Ce sunt versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$? Sunt vectorii de lungime $1$ orientați în sensul pozitiv al axelor: $\vec{i}$ pe $Ox$, $\vec{j}$ pe $Oy$. Orice vector din plan se scrie într-un singur fel ca $x\vec{i}+y\vec{j}$, iar perechea $(x,y)$ este tocmai perechea coordonatelor lui. Unicitatea acestei scrieri este motivul pentru care egalitatea a doi vectori înseamnă egalitatea coordonatelor.

Care e diferența dintre coordonatele unui punct și cele ale unui vector? Coordonatele unui punct spun unde se află el față de origine; coordonatele unui vector spun cât se deplasează pe orizontală și cât pe verticală, indiferent de unde pornește. Ele coincid numai pentru vectorii de poziție, adică pentru cei care pornesc din origine: dacă $P$ are coordonatele $(3,2)$, atunci și $\overrightarrow{OP}$ are coordonatele $(3,2)$.