Cum aflu distanța dintre două drepte paralele?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Distanța la o dreaptă

Scrii ambele drepte cu aceiași coeficienți ai lui $x$ și $y$ : $a x + b y + c_{1} = 0$ și $a x + b y + c_{2} = 0$ . Distanța este $\frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ . Exemplu: $3 x + 4 y - 5 = 0$ și $6 x + 8 y + 30 = 0$ . Împarți a doua ecuație la $2$ și obții $3 x + 4 y + 15 = 0$ . Distanța este $\frac{∣ - 5 - 15∣}{9 + 16} = \frac{20}{5} = 4$ . Fără împărțirea la $2$ , rezultatul ar fi greșit.

Cea mai scurtă cale de la un punct $P$ la o dreaptă $h$ este perpendiculara; lungimea ei se numește distanța de la $P$ la $h$ și se notează $d (P, h)$ . Pe un exemplu, o poți afla pas cu pas: panta perpendicularei, din condiția ca produsul pantelor să fie $- 1$ , apoi intersecția celor două drepte, apoi lungimea segmentului.

Formula scurtează drumul. Scrii dreapta ca $a x + b y + c = 0$ , cu toți termenii în stânga, și calculezi $d (P, h) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ . Pentru drepte verticale sau orizontale rezultatul este diferența absolută a coordonatelor, iar distanța este zero exact când punctul verifică ecuația.

Două paralele cu aceiași coeficienți $a$ și $b$ se află la distanța $\frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ ; dacă una dintre ecuații a fost înmulțită cu un factor, împarți mai întâi la el. Înălțimea unui triunghi este distanța de la vârf la latura opusă; înmulțită cu latura și împărțită la doi, ea dă aria. Când distanța este dată, modulul duce la două cazuri, câte unul de fiecare parte a dreptei.

De reținut

$d (P, h) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ pentru $h : a x + b y + c = 0$
paralelele se aduc la aceiași coeficienți $a$ și $b$ înaintea formulei
când distanța e cunoscută, modulul dă două soluții, câte una de fiecare parte

Greșeala tipică

Se aplică formula paralelelor direct pe $3 x + 4 y - 5 = 0$ și $6 x + 8 y + 30 = 0$ , obținând $\frac{35}{5} = 7$ ; ecuațiile trebuie aduse întâi la aceiași coeficienți, iar distanța corectă este $4$ .

Exerciții din această mini-lecție

Distanța de la punctul $P (1, 2)$ la dreapta $h : x = 7$ este:
- a) $5$
- b) $6$
- c) $8$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$

Dreapta este verticală, deci distanța este diferența absolută a absciselor: $∣1 - 7∣ = 6$ .
Distanța de la originea $O (0, 0)$ la dreapta $h : 28 x - 45 y + 106 = 0$ este:
- a) $106$
- b) $\frac{106}{73}$
- c) $\frac{53}{106}$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2$

$2 8^{2} + 4 5^{2} = 2809 = 53$ , iar $d (O, h) = \frac{∣106∣}{53} = 2$ . Varianta cu $73$ adună coeficienții în loc să calculeze lungimea vectorului $(28, - 45)$ .
Distanța de la punctul $P (3, 0)$ la dreapta $h : y = x + 1$ este:
- a) $22$
- b) $4$
- c) $2$
- d) $42$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $22$

Forma generală este $h : x - y + 1 = 0$ , deci $d (P, h) = \frac{∣3 - 0 + 1∣}{2} = \frac{4}{2} = 22$ .

Întrebări conexe

Cum calculez aria unui triunghi dat prin coordonate, cu o înălțime?

Pentru $A (1, 1)$ , $B (5, 4)$ , $C (2, 6)$ , dreapta $A B$ are ecuația $3 x - 4 y + 1 = 0$ , iar $A B = 5$ . Înălțimea din $C$ este $\frac{∣6 - 24 + 1∣}{5} = \frac{17}{5}$ . Aria este $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{17}{5} = \frac{17}{2} = 8, 5$ . Lungimea bazei se simplifică cu numitorul înălțimii, de aceea aria iese simplă.

Cum aflu piciorul perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă?

Pentru $P (5, 0)$ și dreapta $y = 2 x$ , perpendiculara are panta $- \frac{1}{2}$ : $y = - \frac{x - 5}{2}$ . Intersecția dă $2 x = - \frac{x - 5}{2}$ , adică $x = 1$ , $y = 2$ , deci $N (1, 2)$ . Distanța $P N = 16 + 4 = 25$ coincide cu cea dată de formulă.

Pentru ce $m$ se află punctul $(m, 1)$ la distanța $2$ de dreapta $3 x - 4 y + 1 = 0$ ?

Formula dă $\frac{∣3 m - 4 + 1∣}{5} = 2$ , adică $∣3 m - 3∣ = 10$ . Modulul aduce două cazuri: $3 m - 3 = 10$ , cu $m = \frac{13}{3}$ , sau $3 m - 3 = - 10$ , cu $m = - \frac{7}{3}$ . Cele două puncte sunt de o parte și de alta a dreptei.

Cât de aproape trece de un far o navă care merge în linie dreaptă?

Dacă farul este în punctul $(2, 3)$ , iar nava urmează dreapta $x + y - 10 = 0$ , cu unitățile în kilometri, distanța minimă este $\frac{∣2 + 3 - 10∣}{2} = \frac{5}{2} = \frac{5 2}{2} \approx 3, 54$ km. Nava este cel mai aproape în piciorul perpendicularei din far.

Cât este distanța de la $A (2, - 1)$ la dreapta $5 x + 12 y + 15 = 0$ ?

Înlocuiești coordonatele în membrul stâng: $5 \cdot 2 + 12 \cdot (- 1) + 15 = 13$ . Numitorul este $25 + 144 = 13$ . Distanța este $\frac{∣13∣}{13} = 1$ . Coeficienții $5$ și $12$ fac radicalul exact, ca în exercițiile de tip bacalaureat M2.

Oamenii mai întreabă și: distanța dintre două drepte paralele · lățimea benzii dintre două paralele · formula distanței dintre paralele · cât de departe sunt două drepte paralele