Polinoame cu coeficienți reali: gradul și forma (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Deschide orice manual de fizică sau de chimie la un capitol de modelare și vei da peste aceeași scriere: o mărime exprimată printr-o sumă de puteri ale timpului, ale temperaturii sau ale concentrației. Poziția unui cărucior pe o șină în primele secunde, cantitatea de substanță rămasă într-un vas, presiunea dintr-un recipient care se încălzește — toate arată la fel, oricât de diferite ar fi fenomenele din spate. Obiectul matematic care le strânge pe toate se numește polinom, iar programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2) îi dedică un capitol întreg, chiar la începutul anului. La bacalaureatul M2, în sesiunile 2027–2029, polinoamele apar la Subiectul al II-lea, unde una dintre cele două probleme este despre structuri algebrice și polinoame; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, acea problemă pornește de la un polinom cu un parametru real. La proba MAT_P2 din 2030 tema intră în domeniul Algebră.

Lecția aceasta răspunde la întrebările de care depinde tot restul capitolului: cum se scrie ordonat un astfel de obiect, cum se citesc din el numerele care îl determină și cum se numește mărimea care spune, dintr-o privire, cât de „mare" este. Fără aceste trei lucruri, împărțirea cu rest, schema lui Horner și rădăcinile care vin în lecțiile următoare rămân rețete învățate pe de rost.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști un polinom cu coeficienți reali printre alte expresii algebrice și să spui, cu argument, de ce o expresie nu este polinom.
Vei ști să scrii orice polinom în forma algebrică ordonată descrescător, punând $0$ pe rangurile care lipsesc.
Vei ști să citești coeficienții, coeficientul dominant și termenul liber, oricât de dezordonat ar fi scris polinomul.
Vei ști ce este gradul unui polinom, ce grad au constantele nenule și din ce motiv polinomului nul nu i se atribuie niciunul.
Vei ști când sunt egale două polinoame și cum se determină un parametru dintr-o astfel de egalitate.
Vei ști să discuți gradul unui polinom în care un coeficient depinde de un parametru real — o cerință de examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un polinom cu coeficienți reali?

Un polinom cu coeficienți reali este o expresie de forma $a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ , în care $n$ este un număr natural, iar $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}$ sunt numere reale, numite coeficienți. Nimic altceva nu este permis: doar puteri cu exponent natural ale lui $X$ , înmulțite cu numere reale și adunate între ele.

Trei cuvinte din definiție merită apăsate. Puteri cu exponent natural — nu negativ, nu fracționar. Numere reale drept coeficienți — deci $\frac{2}{3}$ , $- 5$ sau $0, 25$ sunt coeficienți perfect legali. Sumă finită — un polinom se termină, are un ultim termen.

Mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali se notează $R [X]$ . Notația se citește „erre de X" și înseamnă exact „polinoamele în nedeterminata $X$ , cu coeficienți din $R$ ". În tot capitolul acesta rămânem în $R [X]$ : coeficienții sunt numere reale și nimic altceva.

Un exemplu de lucru, pe care îl vom relua: $f = 2 X^{3} - X^{2} + 4$ .

2. De ce se scrie $X$ cu majusculă?

Pentru că $X$ nu este o necunoscută pe care s-o afli, ci un simbol care ține locul rangurilor. Într-o ecuație ca $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ litera mică desemnează un număr căutat, iar sarcina ta este să-l găsești. Într-un polinom, $X$ nu ascunde niciun număr: el doar marchează pozițiile pe care stau coeficienții, ca într-un raft cu sertare numerotate. Un polinom nu se „rezolvă" — el se scrie, se citește, se adună, se înmulțește.

Distincția are urmări practice. Când vei înlocui, în lecțiile următoare, litera $X$ cu un număr, rezultatul se va numi valoarea polinomului în acel număr, iar operația va avea nume și reguli proprii. Până atunci, $X$ rămâne o etichetă.

Modelele din științe folosesc, firește, alte litere: $t$ pentru timp, $c$ pentru concentrație, $v$ pentru viteză. Nu e nicio contradicție — litera este doar un nume, iar obiectul matematic e același. În capitolul acesta folosim $X$ pentru că așa se scrie un polinom privit ca obiect algebric, și păstrăm litera modelului atunci când discutăm un fenomen concret.

3. Cum se citește forma algebrică a unui polinom?

Forma algebrică a unui polinom este scrierea lui ca sumă de termeni $a_{k} X^{k}$ , așezați în ordinea descrescătoare a exponenților. E o convenție, nu o obligație matematică: $5 - 3 X^{2} + X$ și $- 3 X^{2} + X + 5$ sunt același polinom, dar numai a doua scriere îți arată imediat ce cauți.

Din forma algebrică se citesc, fără niciun calcul, trei lucruri:

coeficienții $a_{k}$ — numărul care stă în fața lui $X^{k}$ , cu semnul lui cu tot;
coeficientul dominant — coeficientul puterii celei mai mari care apare efectiv, adică primul număr din scrierea ordonată;
termenul liber $a_{0}$ — numărul care nu e însoțit de nicio putere a lui $X$ .

Regula care salvează cele mai multe puncte la examen: rangurile care lipsesc nu dispar, ci au coeficientul $0$ . Pentru $f = 5 X^{4} - 3 X^{2} + X - 7$ șirul complet al coeficienților este

$a_{4} = 5, a_{3} = 0, a_{2} = - 3, a_{1} = 1, a_{0} = - 7.$

Sunt cinci numere, nu patru, deși în scriere apar doar patru termeni. Coeficientul lui $X^{3}$ există și este zero; îl vei avea nevoie la fiecare împărțire din lecțiile următoare.

4. Ce este gradul unui polinom și ce grad are polinomul nul?

Gradul unui polinom nenul este cel mai mare exponent al lui $X$ care apare cu coeficient nenul. Se notează $grad f$ . Pentru $f = 5 X^{4} - 3 X^{2} + X - 7$ avem $grad f = 4$ , pentru că $a_{4} = 5$ este nenul, iar puteri mai mari nu apar în scriere.

Cazurile de margine se rețin o dată și nu se mai discută:

un număr real nenul, ca $f = 9$ , este un polinom de gradul $0$ — se scrie $9 = 9 X^{0}$ ;
un polinom ca $g = 9 X$ are gradul $1$ , chiar dacă are un singur termen;
polinomul nul, adică cel cu toți coeficienții egali cu $0$ , nu primește grad. Nu are gradul $0$ și nici gradul $- 1$ : pur și simplu nu i se atribuie niciunul.

Ultima convenție pare o toană, dar este singura care ține regulile de calcul în picioare. Vei vedea în lecția următoare că gradul unui produs este suma gradelor factorilor; dacă polinomului nul i-am da gradul $0$ , regula s-ar strica exact în cazul în care unul dintre factori este nul.

Atenție la o confuzie frecventă: gradul nu are nicio legătură cu numărul de termeni. Polinomul $3 X^{5} + 1$ are doi termeni și gradul $5$ ; polinomul $X^{2} + X + 1$ are trei termeni și gradul $2$ .

5. Care expresii nu sunt polinoame?

Testul e simplu: uită-te la fiecare apariție a literei și întreabă-te dacă stă la o putere cu exponent natural. Dacă da, expresia e polinom; dacă nu, nu este.

expresia	e polinom?	de ce
$\frac{X ^{2}}{5} - 1$	da	coeficientul este $\frac{1}{5}$ , număr real
$\frac{5}{X ^{2}} - 1$	nu	litera stă la numitor, deci exponentul este $- 2$
$3 X - 2$	da	radicalul este coeficient, nu afectează litera
$3 X - 2$	nu	litera stă sub radical, deci exponentul este $\frac{1}{2}$
$2^{X} + 1$	nu	litera stă la exponent, nu la bază

Vezi diferența dintre rândurile vecine: restricția privește litera, nu numerele. Un coeficient are voie să fie fracție, radical sau zecimală; litera, în schimb, are voie doar la exponenți naturali.

6. Când sunt egale două polinoame?

Două polinoame sunt egale atunci când au aceiași coeficienți, rang cu rang. Nu contează cum arată scrierea și nici în ce ordine sunt așezați termenii: contează lista coeficienților. Dacă un rang apare într-un polinom și lipsește din celălalt, coeficientul lipsă se consideră $0$ și se compară cu ce se află de partea cealaltă.

Regula se folosește mai ales invers, ca să afli numere necunoscute. De exemplu, egalitatea

$(m - 4) X^{2} + 3 X + 2 = 6 X^{2} + 3 X + 2$

cere $m - 4 = 6$ pe rangul al doilea, deci $m = 10$ ; pe celelalte două ranguri coeficienții coincid deja. Procedeul se numește identificarea coeficienților și este singurul mod corect de a compara două polinoame: se pun față în față numerele din fața acelorași puteri, nu rezultatele obținute prin înlocuiri.

7. Cum se discută gradul unui polinom cu parametru?

Când coeficientul dominant conține un parametru real, gradul nu mai este un singur număr: depinde de valoarea parametrului. Cerința „determinați gradul" se transformă atunci într-o discuție pe cazuri, iar răspunsul corect este discuția întreagă, nu primul caz.

Rețeta are doi pași. Întâi afli pentru ce valoare a parametrului se anulează coeficientul dominant. Apoi tratezi separat cele două situații: parametrul diferit de acea valoare (coeficientul rămâne nenul, gradul e cel scris) și parametrul egal cu ea (termenul dominant dispare, iar gradul îl dă primul coeficient rămas nenul, pe care trebuie să-l verifici).

Pentru $f = (m - 5) X^{3} + 4 X^{2} - X + 1$ , cu $m$ număr real: dacă $m \neq = 5$ , atunci $grad f = 3$ ; dacă $m = 5$ , polinomul devine $4 X^{2} - X + 1$ , iar coeficientul lui $X^{2}$ este $4$ , nenul, deci $grad f = 2$ . Al doilea pas nu este o formalitate: dacă în locul lui $4 X^{2}$ ar fi stat $0 \cdot X^{2}$ , gradul ar fi coborât mai mult și răspunsul ar fi fost altul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fișa de identitate a unui polinom

Se consideră polinomul $f = 3 X^{5} - X^{3} + 2 X^{2} - 8$ . Precizați gradul, coeficientul dominant, termenul liber și scrieți toți coeficienții lui $f$ .

Rezolvare. Polinomul este deja ordonat descrescător. Cea mai mare putere este $X^{5}$ , cu coeficient $3 \neq = 0$ , deci $grad f = 5$ , iar coeficientul dominant este $3$ .

Completăm rangurile lipsă cu $0$ : nu există termen în $X^{4}$ și nici în $X$ . Lista completă este

$a_{5} = 3, a_{4} = 0, a_{3} = - 1, a_{2} = 2, a_{1} = 0, a_{0} = - 8.$

Sunt șase numere, adică $grad f + 1$ , așa cum trebuie. Termenul liber este $a_{0} = - 8$ . Observă că polinomul are patru termeni scriși, dar șase coeficienți — două noțiuni care nu trebuie confundate.

Exemplul 2 — Un model din chimie, adus la forma algebrică

Într-un vas de reacție, masa de precipitat, măsurată în grame, crește până la un maxim și apoi scade, pentru că precipitatul se redizolvă; ea este aproximată de formula $m (t) = 6 t - \frac{1}{2} t^{2}$ , unde $t$ este timpul în minute, $t \in [0, 12]$ . Scrieți modelul în formă algebrică ordonată descrescător și precizați gradul, coeficientul dominant și termenul liber.

Rezolvare. Formula este scrisă crescător, cum se obișnuiește în manualele de științe. O rescriem în ordinea descrescătoare a puterilor:

$m (t) = - \frac{1}{2} t^{2} + 6 t .$

De aici citim: $grad m = 2$ , coeficientul dominant este $- \frac{1}{2}$ , iar termenul liber este $0$ , pentru că nu apare niciun termen fără $t$ .

Două observații de laborator. Prima: coeficientul dominant este negativ și fracționar — perfect legal, coeficienții sunt numere reale oarecare. A doua: în model, fiecare coeficient are unitatea lui de măsură (aici, grame pe minut și grame pe minut la pătrat), dar unitățile nu intră în polinom. Polinomul este obiectul algebric $- \frac{1}{2} X^{2} + 6 X$ ; unitățile însoțesc rezultatul, nu scrierea.

Exemplul 3 — Egalitatea a două polinoame

Determinați numerele reale $m$ și $p$ pentru care polinoamele $f = (m + 1) X^{3} - 5 X + 2 p$ și $g = 4 X^{3} - 5 X - 6$ sunt egale.

Rezolvare. Punem față în față coeficienții acelorași ranguri. Rangul al treilea dă $m + 1 = 4$ , rangul al doilea dă $0 = 0$ (niciunul dintre polinoame nu are termen în $X^{2}$ ), rangul întâi dă $- 5 = - 5$ , iar rangul zero dă $2 p = - 6$ .

Rămân două ecuații de rezolvat: $m + 1 = 4$ , deci $m = 3$ ; și $2 p = - 6$ , deci $p = - 3$ .

Verificare: pentru $m = 3$ și $p = - 3$ obținem $f = 4 X^{3} - 5 X - 6$ , adică exact $g$ . Verificarea nu e un moft — dacă ai greșit un semn, aici se vede.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Polinomul $f = 7 - 2 X^{4} + X$ are gradul $1$ , coeficientul dominant $7$ și trei coeficienți: $a_{0} = 7$ , $a_{1} = - 2$ , $a_{2} = 1$ ." Găsiți toate greșelile și dați răspunsul corect.

Rezolvare. Sunt trei greșeli, toate din aceeași cauză: elevul a citit polinomul în ordinea în care era scris, nu în ordinea puterilor.

Ordonăm mai întâi descrescător: $f = - 2 X^{4} + X + 7$ . Acum se vede că $grad f = 4$ , nu $1$ ; că numărul din fața celei mai mari puteri este $- 2$ , nu $7$ ; și că un polinom de gradul al patrulea are cinci coeficienți, nu trei:

$a_{4} = - 2, a_{3} = 0, a_{2} = 0, a_{1} = 1, a_{0} = 7.$

Ce a mai pierdut elevul pe drum: semnul minus, care face parte din coeficient, și cele două ranguri lipsă. Lecția practică: ordonează întotdeauna înainte de a citi ceva dintr-un polinom.

Exemplul 5 — Gradul unui polinom cu parametru

Se consideră polinomul $f = (m - 5) X^{3} + (m^{2} - 25) X^{2} + 2 X + 1$ , unde $m$ este număr real. Determinați gradul lui $f$ , discutând după valorile lui $m$ .

Rezolvare. Coeficientul dominant scris este $m - 5$ , care se anulează pentru $m = 5$ . Discutăm cele două situații.

Cazul $m \neq = 5$ . Atunci $m - 5 \neq = 0$ , termenul de gradul al treilea rămâne, deci $grad f = 3$ .

Cazul $m = 5$ . Coeficientul lui $X^{3}$ devine $0$ , dar se anulează și coeficientul următor, pentru că $m^{2} - 25 = 25 - 25 = 0$ . Rămâne $f = 2 X + 1$ , deci $grad f = 1$ .

Răspuns: gradul polinomului este $3$ pentru $m \neq = 5$ și coboară la $1$ pentru $m = 5$ . Gradul $2$ nu se obține niciodată — exact capcana pe care al doilea pas al discuției o scoate la iveală.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 4 X + 3$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că $grad f = 3$ , pentru orice număr real $m$ . b) Determinați numărul real $m$ pentru care coeficientul lui $X^{2}$ este egal cu suma celorlalți trei coeficienți ai lui $f$ . c) Pentru valoarea lui $m$ găsită la punctul b), scrieți forma algebrică a lui $f$ și precizați termenul liber.

Rezolvare. a) Coeficientul lui $X^{3}$ este $1$ , indiferent de $m$ . Fiind nenul, el este coeficientul dominant, iar gradul lui $f$ este $3$ pentru orice număr real $m$ . Parametrul stă pe rangul al doilea, unde nu poate schimba gradul.

b) Cei patru coeficienți sunt $a_{3} = 1$ , $a_{2} = m$ , $a_{1} = - 4$ și $a_{0} = 3$ . Condiția din enunț se scrie $m = 1 - 4 + 3$ , adică $m = 0$ .

c) Pentru $m = 0$ termenul de gradul al doilea dispare și obținem $f = X^{3} - 4 X + 3$ . Termenul liber este $3$ . Gradul rămâne $3$ , în acord cu punctul a).

Să exersăm

Înainte de fiecare răspuns, fă două gesturi mecanice: ordonează polinomul descrescător și numără coeficienții, punând $0$ pe rangurile lipsă. Trebuie să obții exact $grad f + 1$ numere. Aproape toate greșelile capitolului se opresc aici.

1. Scrie polinomul $f = 5 - 2 X^{3} + 7 X$ în formă algebrică ordonată descrescător și precizează gradul lui.

2. Pentru $f = 4 X^{5} - X^{4} + 6 X^{2} - 9$ , scrie toți coeficienții, de la $a_{5}$ la $a_{0}$ .

3. Precizează coeficientul dominant și termenul liber ale polinomului $g = - 3 X^{4} + X^{3} - 8$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un polinom cu patru termeni scriși are gradul $3$ ."

5. Care dintre expresiile următoare sunt polinoame cu coeficienți reali: $\frac{2 X ^{3} - X}{4}$ ; $\frac{4}{2 X ^{3} - X}$ ; $- 5 X^{3} + X$ ; $X^{\frac{1}{2}} + 3$ ; $0 \cdot X^{4} + X - 1$ ? Justifică fiecare răspuns într-un rând și, pentru cele care sunt polinoame, precizează gradul.

6. Determină numerele reale $m$ și $p$ pentru care polinoamele $f = (m - 3) X^{2} + 7 X + p + 1$ și $g = 5 X^{2} + 7 X - 4$ sunt egale.

7. Scrie polinomul de gradul al patrulea care are coeficientul dominant $\frac{1}{2}$ , coeficienții lui $X^{3}$ și ai lui $X^{2}$ egali cu $0$ , coeficientul lui $X$ egal cu $- 6$ și termenul liber $1$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = (m + 2) X^{3} - X^{2} + 7$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ pentru care $grad f = 2$ . b) Pentru $m = 1$ , precizează coeficientul dominant și termenul liber ale lui $f$ .

9. Ordonează descrescător polinomul $u = \frac{X}{3} - X^{4} + 2 - \frac{X ^{2}}{2}$ și precizează gradul și termenul liber.

10. (Problemă aplicată.) La un experiment de fizică, coordonata unui cărucior pe o șină orizontală, măsurată în metri față de reperul ales, este dată de $s (t) = 12 t - 5 t^{2} + \frac{1}{2} t^{3}$ , unde $t$ este timpul în secunde, $t \in [0, 4]$ . Scrie modelul în formă algebrică ordonată descrescător, apoi scrie șirul complet al coeficienților, de la cel dominant până la termenul liber, punând $0$ pe rangurile care lipsesc.

11. Determină numerele reale $m$ și $p$ știind că polinomul $f = (m - 1) X^{3} + (p + 2) X^{2} - X$ este egal cu polinomul $g = - X$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 5 X^{2} + m X - 4$ , unde $m$ este număr real. a) Precizează gradul și coeficientul dominant ale lui $f$ , pentru orice valoare a lui $m$ . b) Determină $m$ știind că respectivul coeficient al lui $X$ este de două ori mai mare decât termenul liber.

13. Scrie două polinoame diferite, amândouă de gradul al treilea, care au același coeficient dominant și același termen liber.

14. Explică, în două-trei fraze, de ce polinomului nul nu i se atribuie grad.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = (m^{2} - 9) X^{2} + (m - 3) X + 5$ , unde $m$ este număr real. Determină valorile lui $m$ pentru care $grad f = 1$ .

16. Scrie în formă algebrică polinomul $v$ ai cărui coeficienți, de la cel dominant la termenul liber, sunt $- 1$ , $0$ , $3$ , $- \frac{1}{2}$ și $4$ .

17. Precizează gradul polinomului $f = - \frac{2}{3}$ și gradul polinomului $g = - \frac{2}{3} X^{2}$ , apoi explică în ce constă diferența dintre ele.

18. (Provocare.) Se consideră polinomul $f = (m - 2) X^{4} + (m^{2} - 4) X^{3} + 3 X + 1$ , unde $m$ este număr real. Arată că nu există niciun număr real $m$ pentru care $grad f = 3$ și determină valorile lui $m$ pentru care $grad f = 1$ .

Răspunsuri și explicații

1. Ordonat descrescător: $f = - 2 X^{3} + 7 X + 5$ . Cea mai mare putere cu coeficient nenul este $X^{3}$ , deci $grad f = 3$ . Termenul în $X^{2}$ lipsește, adică $a_{2} = 0$ .

2. Gradul fiind $5$ , avem șase coeficienți: $a_{5} = 4$ , $a_{4} = - 1$ , $a_{3} = 0$ , $a_{2} = 6$ , $a_{1} = 0$ , $a_{0} = - 9$ . Rangurile $3$ și $1$ nu apar în scriere, deci coeficienții lor sunt nuli.

3. Coeficientul dominant este $- 3$ , pentru că cea mai mare putere este $X^{4}$ și în fața ei stă $- 3$ , semnul inclus. Termenul liber este $- 8$ .

4. Fals. Numărul de termeni scriși și gradul sunt lucruri diferite. Contraexemplu: $f = X^{7} + X^{2} - X + 1$ are patru termeni și gradul $7$ . Afirmația ar fi adevărată doar dacă polinomul ar avea toate rangurile ocupate, de la $0$ la $3$ .

5. Sunt polinoame trei dintre ele. $\frac{2 X ^{3} - X}{4}$ înseamnă $\frac{1}{2} X^{3} - \frac{1}{4} X$ , cu coeficienți reali, de gradul $3$ . $- 5 X^{3} + X$ are radicalul drept coeficient, deci e polinom de gradul $3$ . Iar $0 \cdot X^{4} + X - 1$ este chiar $X - 1$ , polinom de gradul $1$ : un coeficient nul nu ridică gradul. Nu sunt polinoame $\frac{4}{2 X ^{3} - X}$ (litera stă la numitor) și $X^{\frac{1}{2}} + 3$ (exponent fracționar).

6. Identificăm coeficienții rang cu rang: $m - 3 = 5$ , deci $m = 8$ ; pe rangul întâi $7 = 7$ , nimic de aflat; $p + 1 = - 4$ , deci $p = - 5$ . Verificare: pentru $m = 8$ și $p = - 5$ , $f = 5 X^{2} + 7 X - 4 = g$ .

7. $f = \frac{1}{2} X^{4} - 6 X + 1$ . Coeficienții nuli ai lui $X^{3}$ și $X^{2}$ înseamnă că acei termeni nu se scriu, dar rangurile rămân și trebuie numărate: cinci coeficienți pentru un polinom de gradul al patrulea.

8. a) Gradul coboară la $2$ atunci când coeficientul lui $X^{3}$ se anulează: $m + 2 = 0$ , deci $m = - 2$ . Verificăm: pentru $m = - 2$ rămâne $f = - X^{2} + 7$ , iar coeficientul lui $X^{2}$ este $- 1 \neq = 0$ , deci într-adevăr $grad f = 2$ . b) Pentru $m = 1$ obținem $f = 3 X^{3} - X^{2} + 7$ : coeficientul dominant este $3$ , termenul liber este $7$ .

9. $u = - X^{4} - \frac{1}{2} X^{2} + \frac{1}{3} X + 2$ , cu $grad u = 4$ și termenul liber $2$ . Coeficienții fracționari nu schimbă nimic: sunt numere reale, la fel ca întregii.

10. $s (t) = \frac{1}{2} t^{3} - 5 t^{2} + 12 t$ . Fiind de gradul al treilea, modelul are patru coeficienți, iar șirul complet este $\frac{1}{2}$ , $- 5$ , $12$ , $0$ — ultimul fiind termenul liber, care lipsește din scriere tocmai pentru că este nul.

11. Polinomul $g = - X$ are coeficienții $0$ pe rangurile $3$ și $2$ . Identificarea dă $m - 1 = 0$ și $p + 2 = 0$ , deci $m = 1$ și $p = - 2$ . Pe rangul întâi, $- 1 = - 1$ . Polinomul comun este $- X$ , de gradul întâi.

12. a) Coeficientul lui $X^{3}$ este $1$ , deci $grad f = 3$ și coeficientul dominant este $1$ , pentru orice $m$ real. b) Coeficientul lui $X$ este $m$ , iar termenul liber este $- 4$ . Condiția se scrie $m = 2 \cdot (- 4)$ , deci $m = - 8$ .

13. Un exemplu: $f = 2 X^{3} + X + 7$ și $g = 2 X^{3} - 4 X^{2} + 7$ . Amândouă au coeficientul dominant $2$ și termenul liber $7$ , dar diferă pe rangurile $2$ și $1$ , deci sunt polinoame diferite. Orice altă pereche construită la fel este bună.

14. Pentru că gradul se definește ca exponentul celei mai mari puteri cu coeficient nenul, iar polinomul nul nu are niciun coeficient nenul — nu există ce să alegem. Convenția se păstrează pentru că regulile de calcul cu grade rămân adevărate doar dacă polinomul nul e lăsat în afara lor.

15. Ca gradul să fie $1$ trebuie ca $m^{2} - 9 = 0$ și, în același timp, $m - 3 \neq = 0$ . Prima condiție dă $m = 3$ sau $m = - 3$ ; a doua elimină $m = 3$ . Rămâne $m = - 3$ , pentru care $f = - 6 X + 5$ , într-adevăr de gradul întâi. Pentru $m = 3$ se obține $f = 5$ , un polinom de gradul $0$ .

16. $v = - X^{4} + 3 X^{2} - \frac{1}{2} X + 4$ . Al doilea coeficient fiind $0$ , termenul în $X^{3}$ nu apare în scriere, deși rangul lui există.

17. $grad f = 0$ , pentru că $- \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} X^{0}$ , iar puterea lui $X$ este $0$ ; $grad g = 2$ , pentru că nedeterminata apare efectiv, la puterea a doua. Coeficientul, același la amândouă, nu are niciun cuvânt de spus în privința gradului: el poate fi fracție sau radical fără ca gradul să se schimbe. Diferența este că $g$ conține nedeterminata, deci valorile lui se schimbă odată cu ea, pe când $f$ rămâne mereu același număr.

18. Coeficientul lui $X^{4}$ se anulează doar pentru $m = 2$ . Dar pentru $m = 2$ se anulează și coeficientul lui $X^{3}$ , fiindcă $m^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$ . Prin urmare, gradul $3$ nu se obține niciodată: fie $m \neq = 2$ și atunci $grad f = 4$ , fie $m = 2$ și atunci rămâne $f = 3 X + 1$ , deci $grad f = 1$ . Răspuns: gradul $3$ este imposibil, iar $grad f = 1$ pentru $m = 2$ .

De reținut

Un polinom cu coeficienți reali este o sumă finită de termeni de forma $a_{k} X^{k}$ , cu $a_{k}$ număr real și $k$ număr natural; mulțimea lor se notează $R [X]$ , iar litera $X$ este o nedeterminată, nu o necunoscută.
Forma algebrică este scrierea ordonată descrescător după puteri; rangurile care lipsesc au coeficientul $0$ , iar un polinom de gradul $n$ are exact $n + 1$ coeficienți.
Coeficientul dominant este numărul din fața celei mai mari puteri, cu semn cu tot, iar termenul liber este coeficientul $a_{0}$ ; amândouă se citesc din scrierea ordonată, fără niciun calcul.
Gradul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul: constantele nenule au gradul $0$ , iar polinomului nul nu i se atribuie grad.
Două polinoame sunt egale exact atunci când au aceiași coeficienți rang cu rang; de aceea un coeficient care conține un parametru cere întotdeauna discuție pe cazuri.

Greșeli frecvente

Gradul confundat cu numărul de termeni. „ $3 X^{5} + 1$ are doi termeni, deci gradul $2$ " este fals: gradul se citește din exponenți, nu din numărătoare. Scrie polinomul ordonat și uită-te doar la primul exponent; restul termenilor nu au niciun cuvânt de spus.
Semnul lăsat în afara coeficientului. În $5 - X^{2}$ , coeficientul lui $X^{2}$ este $- 1$ , nu $1$ . Semnul face parte din număr, iar la identificarea coeficienților o singură inversare de semn schimbă tot rezultatul. Obiceiul sigur: scrie polinomul cu plus între termeni, punând semnul în interiorul coeficientului.
Termenul liber declarat inexistent. La $f = X^{2} - 4 X$ răspunsul corect este „termenul liber este $0$ ", nu „nu există termen liber". Diferența pare de vorbe, dar la împărțirile din lecțiile următoare acel zero trebuie scris efectiv, altfel calculul se face cu alt polinom.
Unitățile de măsură scrise în interiorul polinomului. Într-un model din științe, coeficienții au unități, dar polinomul rămâne un obiect algebric: se scrie $- \frac{1}{2} X^{2} + 6 X$ , nu „ $- \frac{1}{2}$ g/min² $\cdot X^{2}$ ". Unitățile se pun lângă rezultatul final, când răspunzi la întrebarea fizică sau chimică.
Polinomul tratat ca o ecuație. „Rezolvă polinomul $X^{2} - 8 X + 15$ " nu înseamnă nimic: un polinom nu se rezolvă, ci se scrie, se citește și se calculează cu el. Se rezolvă ecuații, iar ecuația se recunoaște după semnul de egal — capitolul acesta te pregătește pentru ele, dar nu le confundă cu polinoamele.

Aplică acasă

Trei modele din manualele de științe. Caută în manualele de fizică, de chimie și de biologie câte o mărime descrisă printr-o formulă cu puteri — spațiu, concentrație, volum, masă, număr de indivizi. Rescrie fiecare formulă în formă algebrică ordonată descrescător și completează pentru ea o fișă cu patru rubrici: gradul, coeficientul dominant, termenul liber și ce mărime fizică reprezintă fiecare coeficient. Dacă o formulă nu e polinom, notează de ce — e la fel de folositor.
Cartonașele de sortat. Scrie pe opt cartonașe opt expresii, dintre care patru polinoame și patru nu, amestecând radicali, fracții și exponenți negativi. Roagă pe cineva din familie să le sorteze în două grămezi după regula pe care i-o explici în trei fraze. Verifică apoi fiecare alegere și notează care expresie a încurcat pe cel care sorta: acolo este ideea pe care merită s-o repeți.
Coeficientul care se stinge. Ia polinomul $f = (m + 4) X^{3} + (m + 4) X^{2} - X + 6$ și calculează gradul lui pentru $m \in {- 4, 0, 2}$ . Scrie apoi, în trei rânduri, de ce o singură valoare a parametrului schimbă gradul și ce s-ar fi întâmplat dacă al doilea coeficient ar fi fost $m - 4$ în loc de $m + 4$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția pare ușoară și de aceea e periculoasă: elevii o trec repede, iar tot capitolul de polinoame se sprijină pe ea. Cele trei deprinderi care contează se pot verifica în cinci minute, cu creionul pe caiet. Prima: polinomul se ordonează descrescător înainte de a se citi ceva din el — la profilul științe ale naturii deprinderea e cu atât mai importantă cu cât modelele din fizică și din chimie sunt scrise, aproape întotdeauna, în ordine crescătoare. A doua: rangurile care lipsesc se completează cu $0$ , iar numărul coeficienților este cu unu mai mare decât gradul. A treia: semnul aparține coeficientului.

Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Câți coeficienți are un polinom de gradul al cincilea, chiar dacă are doar doi termeni scriși?"; „Care este coeficientul lui $X^{2}$ în $4 - X^{2} + X$ ?"; „De ce $3 X$ este polinom, iar $3 X$ nu este?"; „Ce grad are polinomul nul?". Semn că elevul a înțeles: la orice cerință, primul lucru pe care îl scrie pe hârtie este șirul complet al coeficienților, cu zerourile puse, și abia apoi trece la ce i s-a cerut. Semn că trebuie reluat: răspunde corect când polinomul e scris ordonat și greșește când e amestecat.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Polinoame cu coeficienți reali". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde una dintre cele două probleme ale Subiectului al II-lea este despre structuri algebrice și polinoame, la materia clasei a XII-a. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, forma algebrică și gradul nu apar ca cerință de sine stătătoare, ci în enunțul fiecărei probleme de polinoame — în modelul oficial, „se consideră polinomul $f = X^{3} + a X^{2} - 2 X + 2$ , unde $a$ este număr real", de unde elevul trebuie să citească singur coeficienții. Acolo parametrul e notat cu $a$ ; în lecție l-am notat cu $m$ , ca să nu se confunde cu $a_{k}$ , numele coeficienților. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă polinoamele de la M2 de cele de la M1? Prin anul de studiu și prin mulțimea coeficienților. La științe ale naturii capitolul intră în clasa a IX-a și rămâne în $R [X]$ : coeficienți reali, rădăcini reale. La matematică-informatică polinoamele vin în clasa a X-a, cu coeficienți complecși, rădăcini multiple și relațiile lui Viète. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ce este un polinom, la clasa a 10-a.

La ce subiect apar polinoamele la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, unde una dintre cele două probleme este despre structuri algebrice și polinoame; în sesiunile 2027–2029 tema figurează la materia clasei a XII-a. În modelul oficial, enunțul pornește de la un polinom dat cu un parametru real, iar cerințele cer valori, relații între rădăcini și resturi de împărțire. Din 2030, la proba MAT_P2, polinoamele intră în domeniul Algebră.

Ce este coeficientul dominant al unui polinom și de ce contează? Este numărul aflat în fața celei mai mari puteri a lui $X$ , luat cu semnul lui. Contează pentru că el fixează gradul: cât timp este nenul, gradul nu se schimbă, oricât ar varia ceilalți coeficienți. La cerințele cu parametru, tot de la el pornește discuția — anularea lui este singura cale prin care gradul poate coborî.

Cum aflu gradul unui polinom scris în dezordine? Nu ai nevoie să rescrii tot: cauți printre termeni exponentul cel mai mare și verifici că numărul din fața lui nu este zero. În practică e totuși mai sigur să ordonezi descrescător, pentru că aceeași scriere îți dă imediat și coeficientul dominant, și termenul liber, și rangurile lipsă. Ordonarea durează zece secunde și previne majoritatea greșelilor.

Un model din fizică, de exemplu $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 2$ , este polinom? Da. Litera folosită nu contează — poate fi $t$ , $x$ , $c$ sau orice altceva; contează ca litera să apară doar la puteri cu exponent natural, înmulțită cu numere reale. Modelul acesta este un polinom de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $- 5$ și termenul liber $2$ . Ca obiect algebric, el se scrie $- 5 X^{2} + 20 X + 2$ .

De ce se scriu cu $0$ coeficienții termenilor care lipsesc? Pentru că rangul există chiar dacă termenul nu se vede, iar toate regulile capitolului se aplică pe șirul complet al coeficienților. La împărțirea polinoamelor, un rang sărit deplasează toate calculele cu o poziție și dă un rezultat care nu are legătură cu problema. Obiceiul corect: scrie șirul complet, numără-l și abia apoi începe calculul.

Ce înseamnă notația $R [X]$ ? Înseamnă mulțimea tuturor polinoamelor în nedeterminata $X$ cu coeficienți reali. $R$ singur este mulțimea numerelor reale, iar $R [X]$ este mulțimea obiectelor construite din ele după regula polinoamelor. În lecțiile despre operațiile cu polinoame și despre valorile unui polinom vei vedea că în $R [X]$ se calculează ca între numere, reducând termenii asemenea ca în clasa a VIII-a.