Funcția polinomială: valori, tabel și rădăcini (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Până acum, în capitolul de polinoame de la clasa a IX-a, profil științe ale naturii (M2), polinomul a fost un obiect pe care l-ai scris, l-ai citit și cu care ai calculat. Acum îi punem prima întrebare care are răspuns numeric: cât face? Un model care descrie temperatura unei probe nu ajută cu nimic dacă nu poți afla temperatura la minutul al patrulea; un model care dă masa unei culturi nu spune nimic până nu-l evaluezi la ora a treia. Iar întrebarea gemene, la fel de practică, este: în ce momente mărimea se face zero? La bacalaureatul M2, în sesiunile 2027–2029, ambele apar la Subiectul al II-lea — în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, primul punct al problemei de polinoame cere „arătați că $f (0) = 2$ , pentru orice număr real", iar punctul următor vorbește despre rădăcinile polinomului.

Lecția aceasta construiește de la zero noțiunea de valoare a unui polinom într-un număr, tabelul de valori care le strânge pe mai multe la un loc și imaginea lor — graficul, pe care îl vei obține cu un instrument digital, așa cum cere programa. Ai nevoie doar de forma algebrică și de gradul unui polinom, fixate la începutul capitolului. La capăt vei ști ce este o rădăcină reală și cum se dovedește că un număr chiar este una.

Ce vei învăța

Vei ști să afli valoarea unui polinom atunci când nedeterminata este înlocuită cu un număr real oarecare, fără greșeli de semn și cu fracții.
Vei ști de ce $f (0)$ este chiar termenul liber și de ce e cea mai rapidă valoare pe care o poți da la un examen.
Vei ști să construiești un tabel de valori și să alegi numerele pe care merită să le pui în el.
Vei ști să desenezi graficul unui polinom cu GeoGebra sau Desmos și ce se poate citi de pe el.
Vei ști ce este o rădăcină reală a unui polinom și cum se verifică, prin înlocuire, că un număr este rădăcină.
Vei ști să determini un parametru dintr-o condiție de tipul „ $f (a)$ are o valoare dată" — cerința care apare la examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă valoarea unui polinom într-un număr?

Valoarea polinomului $f$ în numărul real $a$ , notată $f (a)$ , este numărul real care se obține înlocuind peste tot nedeterminata $X$ cu $a$ și efectuând calculele. Rezultatul este un număr, nu un polinom: după înlocuire, în calcul nu mai rămâne nicio literă.

Să vedem pe un caz concret. Pentru $f = 2 X^{3} - 5 X + 1$ și $a = 2$ scriem

$f (2) = 2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 + 1 = 16 - 10 + 1 = 7.$

Pentru $a = - 1$ , la același polinom, avem $f (- 1) = 2 \cdot (- 1)^{3} - 5 \cdot (- 1) + 1 = - 2 + 5 + 1 = 4$ .

Observă cele două paranteze din al doilea calcul. Numărul negativ se pune între paranteze de fiecare dată când se ridică la putere sau se înmulțește cu un coeficient; fără ele, semnele se amestecă și rezultatul iese altul. Este singura precauție de care ai nevoie la acest capitol.

O deprindere pe care o ai deja: valoarea unei funcții într-un punct se calculează, din clasa a VIII-a, exact așa — se înlocuiește litera cu un număr. Noutatea de aici este doar că expresia este un polinom, cu oricâte ranguri.

2. Cum se calculează valorile fără greșeli de semn?

Trei reguli scurte, care acoperă aproape toate erorile de la acest capitol.

Scrie fiecare putere separat, înainte de a aduna. La $f (- 3)$ pentru un polinom de gradul al patrulea, notează întâi $(- 3)^{4} = 81$ , $(- 3)^{3} = - 27$ , $(- 3)^{2} = 9$ și abia apoi înmulțește cu coeficienții. Calculele făcute „în cap", pe un singur rând, sunt locul unde dispare un semn.

Nu confunda semnul coeficientului cu semnul numărului. În $- X^{2}$ minusul aparține coeficientului; în $(- 2)^{2}$ minusul aparține numărului. Primul nu se ridică la pătrat, al doilea da: $- (- 2)^{2} = - 4$ , în timp ce $(- 2)^{2} = 4$ .

Valoarea în $0$ se citește direct. Dacă $a = 0$ , toate puterile lui $X$ se anulează și rămâne doar ultimul termen. Prin urmare, pentru orice polinom,

$f (0) = termenul liber .$

Este cea mai ieftină valoare din tot capitolul și apare, ca primă cerință, chiar în modelul oficial de subiect pentru bacalaureatul M2. Când o problemă începe cu „arătați că $f (0) = \dots$ ", răspunsul se scrie într-un rând.

3. Ce este tabelul de valori al unui polinom?

Un tabel de valori strânge, unul lângă altul, rezultatele obținute pentru mai multe numere alese de tine. Pe primul rând se scriu numerele puse în locul nedeterminatei, pe al doilea, valorile corespunzătoare.

Pentru $f = X^{2} - 2 X - 3$ alegem numerele întregi de la $- 2$ la $4$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Fiecare celulă se obține printr-o înlocuire: $f (- 2) = 4 + 4 - 3 = 5$ , $f (- 1) = 1 + 2 - 3 = 0$ , $f (0) = - 3$ (termenul liber), și tot așa.

Tabelul spune deja trei lucruri. Primul: există două numere, $- 1$ și $3$ , în care valoarea se face zero. Al doilea: între ele, toate valorile sunt negative. Al treilea: șirul coboară până la $- 4$ și apoi urcă, deci undeva în mijloc se află cea mai mică valoare. Nimic din toate acestea nu s-ar fi văzut dintr-un singur calcul.

Regula practică la alegerea numerelor: pași mici și egali, în jurul valorilor care te interesează. La un model din științe, mai intervine o condiție — se pun în tabel doar numerele care au sens fizic. Un timp negativ sau o concentrație negativă nu se evaluează, chiar dacă polinomul, ca obiect algebric, acceptă orice număr real.

4. Ce este funcția polinomială asociată unui polinom?

Regula prin care fiecărui număr real $x$ i se asociază numărul $f (x)$ se numește funcția polinomială asociată polinomului $f$ . Tabelul de mai sus este o bucată din ea: șapte perechi din infinit de multe.

Numele nu aduce nicio tehnică nouă. El este util pentru că îți dă voie să vorbești despre toate valorile deodată — și pentru că, odată ce ai o funcție, poți să o desenezi. Valorile se pot calcula, firește, și pentru un polinom obținut ca sumă sau ca produs, cu operațiile din lecția precedentă. Modelele din fizică, din chimie și din biologie sunt, aproape toate, exact astfel de reguli: pui un timp, o temperatură sau o doză și primești un număr.

5. Cum arată graficul și ce se citește de pe el?

Fiecare pereche din tabel dă un punct în reperul cartezian: pe orizontală numărul pus în locul nedeterminatei, pe verticală valoarea obținută. Pentru $f = X^{2} - 2 X - 3$ , punctele citite din tabelul de mai sus sunt $(- 2, 5)$ , $(- 1, 0)$ , $(0, - 3)$ , $(1, - 4)$ , $(2, - 3)$ , $(3, 0)$ , $(4, 5)$ . Unite, ele dau o curbă neîntreruptă — graficul polinomului.

Programa cere ca desenul să fie obținut cu un instrument digital, iar asta se face în câteva secunde. În GeoGebra sau în Desmos scrii în bara de intrare f(x)=x^2-2x-3 și graficul apare imediat; poți apoi să apropii imaginea și să citești punctele în care curba întâlnește axa $O x$ . Avantajul e că poți desena, pe același ecran, mai multe polinoame și le poți compara dintr-o privire.

Ce se citește de pe grafic: unde curba taie axa $O x$ , unde taie axa $O y$ (acolo abscisa este $0$ , deci valoarea este termenul liber), în ce zone curba e deasupra axei, deci valorile sunt pozitive, și în ce zone e dedesubt. Ce nu se citește: numere exacte. Un desen arată că o tăiere se află „pe undeva pe la $1, 9$ "; dacă rădăcina este $2$ sau $1, 87$ , ochiul nu are cum să decidă.

6. Ce este o rădăcină reală a unui polinom?

O rădăcină reală a polinomului $f$ este un număr real $a$ pentru care $f (a) = 0$ . Cu alte cuvinte, un număr care, pus în locul nedeterminatei, anulează polinomul.

Legătura cu desenul este directă: rădăcinile reale sunt abscisele punctelor în care graficul întâlnește axa $O x$ . La polinomul nostru, $f = X^{2} - 2 X - 3$ , curba taie axa în două puncte, de abscise $- 1$ și $3$ , iar înlocuirea confirmă: $f (- 1) = 1 + 2 - 3 = 0$ și $f (3) = 9 - 6 - 3 = 0$ .

Ordinea de lucru corectă este întotdeauna aceeași: graficul indică, înlocuirea dovedește. Citești de pe ecran un număr care pare să anuleze polinomul, îl rotunjești dacă e cazul și îl pui la încercare prin calcul. Dacă rezultatul iese exact $0$ , ai o rădăcină; dacă iese orice altceva, ochiul te-a înșelat.

Nu orice polinom cu coeficienți reali are rădăcini reale. Pentru $g = X^{2} + 4$ , oricare ar fi numărul real $a$ , avem $a^{2} \geq 0$ , deci $g (a) = a^{2} + 4 \geq 4$ , adică valoarea este întotdeauna cel puțin $4$ și nu se poate anula. Desenat cu un instrument digital, graficul lui $g$ stă în întregime deasupra axei $O x$ , fără s-o atingă. Căutarea sistematică a rădăcinilor și descompunerea polinomului cu ajutorul lor sunt subiectul lecțiilor următoare din capitol; aici ne oprim la ce înseamnă o rădăcină și cum se verifică.

7. Cum determin un parametru dintr-o condiție cu valori?

Când polinomul conține un parametru real, o condiție de tipul „ $f (a)$ este egal cu un număr dat" devine o ecuație în parametru. Rețeta are doi pași: calculezi $f (a)$ păstrând parametrul și pui rezultatul egal cu numărul cerut.

Pentru $f = X^{3} + m X^{2} - 4$ , cu $m$ număr real, să determinăm $m$ astfel încât $2$ să fie rădăcină. Condiția „ $2$ este rădăcină" înseamnă $f (2) = 0$ , iar

$f (2) = 8 + 4 m - 4 = 4 m + 4.$

Din $4 m + 4 = 0$ obținem $m = - 1$ . Verificăm: pentru $m = - 1$ polinomul devine $X^{3} - X^{2} - 4$ , iar valoarea lui în $2$ este $8 - 4 - 4 = 0$ , cum se cerea. Verificarea nu e o formalitate — ea prinde greșelile de semn făcute la calculul cu parametru.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori într-un număr pozitiv și într-unul negativ

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} + 2 X + 5$ . Calculați $f (3)$ și $f (- 2)$ .

Rezolvare. Scriem întâi puterile, apoi le înmulțim cu coeficienții.

Pentru $a = 3$ : $3^{3} = 27$ și $3^{2} = 9$ , deci

$f (3) = 27 - 36 + 6 + 5 = 2.$

Pentru $a = - 2$ : $(- 2)^{3} = - 8$ și $(- 2)^{2} = 4$ , deci

$f (- 2) = - 8 - 16 - 4 + 5 = - 23.$

Urmărește al doilea calcul termen cu termen: $- 4 \cdot 4 = - 16$ și $2 \cdot (- 2) = - 4$ . Ambele sunt negative, deși în polinom coeficienții au semne diferite — de aceea puterile se scriu separat, înainte de a fi înmulțite.

Exemplul 2 — Tabel de valori și grafic, cu un instrument digital

Construiți tabelul de valori al polinomului $f = X^{3} - 3 X^{2} + 2 X$ pentru $x \in {- 1, 0, 1, \frac{3}{2}, 2, 3}$ și precizați ce se vede din el.

Rezolvare. Calculăm pe rând: $f (- 1) = - 1 - 3 - 2 = - 6$ ; $f (0) = 0$ , termenul liber; $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ ; $f (2) = 8 - 12 + 4 = 0$ ; $f (3) = 27 - 27 + 6 = 6$ . Pentru fracție, $(\frac{3}{2})^{3} = \frac{27}{8}$ și $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ , deci $f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{8} - \frac{27}{4} + 3 = - \frac{3}{8}$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 6$	$0$	$0$	$- \frac{3}{8}$	$0$	$6$

Se văd trei numere în care polinomul se anulează: $0$ , $1$ și $2$ . Se mai vede ceva ce nu s-ar fi observat fără fracție: între $1$ și $2$ valorile coboară sub zero, deci curba nu merge pe axă, ci face o mică adâncitură. Desenat în Desmos cu comanda f(x)=x^3-3x^2+2x, graficul confirmă: trei tăieri ale axei $O x$ și o coborâre între ultimele două.

Exemplul 3 — Verificarea unei rădăcini

Se consideră polinomul $f = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X - 6$ . Arătați că $- 3$ este rădăcină a lui $f$ și stabiliți dacă $1$ este rădăcină.

Rezolvare. Pentru $a = - 3$ avem $(- 3)^{3} = - 27$ și $(- 3)^{2} = 9$ , deci

$f (- 3) = - 27 + 18 + 15 - 6 = 0.$

Valoarea fiind $0$ , numărul $- 3$ este rădăcină a polinomului $f$ .

Pentru $a = 1$ calculul este mai scurt: $f (1) = 1 + 2 - 5 - 6 = - 8$ . Rezultatul nu este $0$ , deci $1$ nu este rădăcină. Reține formularea: nu spunem „ $1$ este aproape rădăcină" sau „e pe aproape" — condiția este ca valoarea să fie exact zero.

Exemplul 4 — Citește graficul

Graficul polinomului $g = X^{3} - 4 X$ , desenat cu un instrument digital, taie axa $O x$ în trei puncte, de abscise aparent $- 2$ , $0$ și $2$ . Confirmați prin calcul că cele trei numere sunt rădăcini ale lui $g$ .

Rezolvare. Citirea de pe ecran este doar o indicație; o transformăm în certitudine prin trei înlocuiri.

$g (- 2) = (- 2)^{3} - 4 \cdot (- 2) = - 8 + 8 = 0$ ; $g (0) = 0$ , fiindcă termenul liber lipsește, deci este $0$ ; $g (2) = 8 - 8 = 0$ .

Toate trei valorile sunt exact zero, deci cele trei numere citite sunt într-adevăr rădăcini reale ale polinomului.

Observă și limita metodei: dacă rădăcinile ar fi fost $2$ și $- 2$ , ochiul ar fi citit „pe la $1, 4$ ", iar înlocuirea lui $1, 4$ nu ar fi dat zero. Graficul spune câte rădăcini sunt și pe unde se află; cifra exactă vine din calcul.

Exemplul 5 — Un model din fizică, evaluat în trei momente

Presiunea gazului dintr-un recipient închis care se răcește, măsurată în kilopascali, este aproximată de $P (t) = \frac{1}{4} t^{2} - 4 t + 80$ , unde $t$ este timpul în minute, $t \in [0, 8]$ . Calculați presiunea la momentele $t = 0$ , $t = 4$ și $t = 8$ și spuneți ce arată rezultatele.

Rezolvare. $P (0) = 80$ , adică termenul liber: recipientul pornește de la $80$ de kilopascali. Pentru $t = 4$ avem $4^{2} = 16$ , deci

$P (4) = 4 - 16 + 80 = 68.$

Pentru $t = 8$ avem $8^{2} = 64$ , deci $P (8) = 16 - 32 + 80 = 64$ .

Rezultatele, cu unitatea de măsură pusă la fiecare: $80$ , $68$ și $64$ de kilopascali. Presiunea scade, dar din ce în ce mai încet — în primele patru minute a coborât cu $12$ kilopascali, iar în următoarele patru doar cu $4$ . Toate valorile calculate sunt pozitive, iar graficul desenat cu un instrument digital nu atinge axa $O x$ pe intervalul studiat: modelul nu prevede niciun moment în care presiunea să ajungă la zero.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 2 X + 4$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că $f (0) = 4$ , pentru orice număr real $m$ . b) Determinați numărul real $m$ pentru care $f (1) = - 2$ . c) Pentru valoarea lui $m$ găsită la punctul b), arătați că $- 1$ este rădăcină a polinomului $f$ .

Rezolvare. a) Înlocuind $X$ cu $0$ , toate puterile se anulează și rămâne termenul liber: $f (0) = 4$ . Parametrul $m$ stă în fața lui $X^{2}$ , iar $0^{2} = 0$ , deci valoarea nu depinde de el.

b) Calculăm păstrând parametrul: $f (1) = 1 + m - 2 + 4 = m + 3$ . Condiția $m + 3 = - 2$ dă $m = - 5$ .

c) Pentru $m = - 5$ polinomul este $f = X^{3} - 5 X^{2} - 2 X + 4$ . Calculăm valoarea în $- 1$ , cu puterile scrise separat: $(- 1)^{3} = - 1$ și $(- 1)^{2} = 1$ , deci

$f (- 1) = - 1 - 5 + 2 + 4 = 0.$

Valoarea fiind zero, numărul $- 1$ este rădăcină a polinomului $f$ .

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul de valoare, scrie pe hârtie puterile numărului pe care îl înlocuiești — toate, de la cea mai mare până la pătrat. Dacă numărul este negativ, pune-l între paranteze de fiecare dată. Iar la capăt, când ai spus că un număr este rădăcină, uită-te încă o dată: rezultatul trebuie să fie exact $0$ .

1. Calculează $f (2)$ și $f (- 1)$ pentru $f = X^{3} - 2 X^{2} + 4 X - 3$ .

2. Calculează $f (0)$ pentru $f = 5 X^{4} - 2 X^{3} + 7 X - 9$ și explică într-un rând de ce rezultatul se citește direct din scriere.

3. Calculează $g (\frac{1}{2})$ pentru $g = 4 X^{2} - 8 X + 3$ și spune ce ai aflat despre numărul $\frac{1}{2}$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă graficul unui polinom trece prin punctul de coordonate $(2, 0)$ , atunci $2$ este rădăcină a polinomului."

5. Completează tabelul de valori al polinomului $f = X^{2} - 9$ pentru numerele întregi de la $- 4$ la $4$ și precizează rădăcinile reale care se citesc din el.

6. Arată prin înlocuire că $- 4$ este rădăcină a polinomului $f = X^{2} + 7 X + 12$ și stabilește, tot prin înlocuire, dacă $- 3$ este rădăcină.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3 X^{2} + m X + 5$ , unde $m$ este număr real. a) Arată că $f (0) = 5$ , pentru orice număr real $m$ . b) Determină $m$ știind că $f (1) = 7$ .

8. Calculează $f (- 3)$ pentru $f = X^{4} - 2 X^{2} + X - 1$ , scriind pe rând fiecare putere a lui $- 3$ .

9. Un polinom are termenul liber egal cu $- 7$ . Cât este valoarea lui în $0$ ? Justifică într-un rând.

10. (Problemă aplicată.) Debitul unui izvor după o ploaie, măsurat în litri pe minut, este aproximat de $Q (t) = - 2 t^{2} + 16 t + 40$ , unde $t$ este timpul în ore de la sfârșitul ploii, $t \in [0, 8]$ . a) Calculează $Q (0)$ , $Q (4)$ și $Q (8)$ . b) Spune ce s-a întâmplat cu debitul între ora a patra și ora a opta.

11. Arată că polinomul $f = X^{4} + 5$ nu are nicio rădăcină reală.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = 2 X^{3} + m X + 9$ , unde $m$ este număr real. Determină $m$ știind că $- 3$ este rădăcină a polinomului $f$ .

13. Desenează cu un instrument digital (GeoGebra sau Desmos) graficul polinomului $f = X^{2} - X - 6$ , citește de pe ecran punctele în care taie axa $O x$ și confirmă prin înlocuire numerele citite.

14. Explică, în două-trei fraze, de ce citirea unei rădăcini de pe grafic nu ține loc de verificare prin înlocuire.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + 2 X^{2} - 4 X + 1$ . a) Calculează $f (- 1)$ . b) Arată că $1$ este rădăcină a polinomului $f$ . c) Calculează $f (2)$ și precizează dacă $2$ este rădăcină.

16. Calculează $f (- \frac{1}{2})$ pentru $f = 8 X^{3} + 4 X^{2} - 2 X + 1$ .

17. Un model din chimie dă masa de substanță rămasă, în grame, prin $m (t) = t^{2} - 10 t + 25$ , unde $t$ este timpul în minute, $t \in [0, 5]$ . Calculează $m (2)$ și $m (5)$ și spune ce înseamnă al doilea rezultat.

18. (Provocare.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} + n X - 12$ , unde $m$ și $n$ sunt numere reale. Determină $m$ și $n$ știind că $f (1) = 0$ și $f (- 2) = 0$ .

Răspunsuri și explicații

1. $f (2) = 8 - 8 + 8 - 3 = 5$ . Pentru $a = - 1$ : $(- 1)^{3} = - 1$ și $(- 1)^{2} = 1$ , deci $f (- 1) = - 1 - 2 - 4 - 3 = - 10$ . Al doilea și al treilea termen sunt amândoi negativi, deși coeficienții au semne diferite.

2. $f (0) = - 9$ . Toate puterile lui $0$ se anulează, deci rămâne doar ultimul termen — termenul liber. Este cea mai rapidă valoare pe care o poate cere un subiect.

3. $g (\frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 + 3 = 0$ . Valoarea fiind zero, numărul $\frac{1}{2}$ este rădăcină a polinomului $g$ — dovadă că rădăcinile nu sunt neapărat numere întregi.

4. Adevărat. Un punct al graficului are pe verticală chiar valoarea polinomului în abscisa punctului. Dacă punctul este $(2, 0)$ , atunci $f (2) = 0$ , adică exact condiția din definiția rădăcinii.

5. Valorile, în ordinea numerelor de la $- 4$ la $4$ , sunt $7$ , $0$ , $- 5$ , $- 8$ , $- 9$ , $- 8$ , $- 5$ , $0$ , $7$ . Se anulează în $- 3$ și în $3$ , deci acestea sunt rădăcinile reale citite din tabel. Se observă și simetria valorilor față de $0$ .

6. $f (- 4) = 16 - 28 + 12 = 0$ , deci $- 4$ este rădăcină. $f (- 3) = 9 - 21 + 12 = 0$ , deci și $- 3$ este rădăcină. Un polinom de gradul al doilea poate avea două rădăcini reale distincte, iar aici le-am găsit pe amândouă.

7. a) Înlocuind cu $0$ , rămâne termenul liber, deci $f (0) = 5$ , indiferent de $m$ . b) $f (1) = 1 - 3 + m + 5 = m + 3$ ; condiția $m + 3 = 7$ dă $m = 4$ . Verificare: pentru $m = 4$ , $f (1) = 1 - 3 + 4 + 5 = 7$ .

8. Puterile: $(- 3)^{4} = 81$ și $(- 3)^{2} = 9$ . Deci $f (- 3) = 81 - 18 - 3 - 1 = 59$ . Termenul $- 2 X^{2}$ dă $- 2 \cdot 9 = - 18$ , iar termenul $X$ dă $- 3$ .

9. Valoarea este $- 7$ . Pentru orice polinom, înlocuirea nedeterminatei cu $0$ anulează toți termenii care conțin puteri ale ei și lasă numai termenul liber.

10. a) $Q (0) = 40$ ; $Q (4) = - 32 + 64 + 40 = 72$ ; $Q (8) = - 128 + 128 + 40 = 40$ . b) Între ora a patra și ora a opta debitul a scăzut de la $72$ la $40$ de litri pe minut, adică s-a întors la valoarea de la sfârșitul ploii. Rezultatele se exprimă în litri pe minut, iar valorile intermediare se pot obține completând tabelul.

11. Fie $a$ un număr real oarecare. Puterea a patra a oricărui număr real este nenegativă, fiind pătratul lui $a^{2}$ , deci $a^{4} \geq 0$ și $f (a) = a^{4} + 5 \geq 5$ . Valoarea nu coboară niciodată sub $5$ , deci nu poate fi $0$ : polinomul nu are rădăcini reale. Graficul lui stă în întregime deasupra axei $O x$ .

12. Condiția „ $- 3$ este rădăcină" înseamnă $f (- 3) = 0$ . Calculăm păstrând parametrul: $(- 3)^{3} = - 27$ , deci $f (- 3) = - 54 - 3 m + 9 = - 3 m - 45$ . Din $- 3 m - 45 = 0$ obținem $m = - 15$ . Verificare: pentru $m = - 15$ , $f (- 3) = - 54 + 45 + 9 = 0$ .

13. Graficul taie axa $O x$ în două puncte, de abscise $- 2$ și $3$ . Confirmăm: $f (- 2) = 4 + 2 - 6 = 0$ și $f (3) = 9 - 3 - 6 = 0$ . Ambele valori sunt exact zero, deci citirea de pe ecran a fost corectă.

14. Pentru că un desen are grosime și o scară limitată: o tăiere care pare la $2$ poate fi, de fapt, la $1, 98$ sau la $2$ , iar ecranul nu le deosebește. Citirea grafică spune câte rădăcini există și în ce zonă se află; singura dovadă că un număr anume este rădăcină rămâne înlocuirea, care trebuie să dea exact zero.

15. a) $f (- 1) = - 1 + 2 + 4 + 1 = 6$ . b) $f (1) = 1 + 2 - 4 + 1 = 0$ , deci $1$ este rădăcină a polinomului $f$ . c) $f (2) = 8 + 8 - 8 + 1 = 9$ ; valoarea nefiind zero, numărul $2$ nu este rădăcină.

16. Puterile: $(- \frac{1}{2})^{3} = - \frac{1}{8}$ și $(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ . Deci $f (- \frac{1}{2}) = - 1 + 1 + 1 + 1 = 2$ . Atenție la al treilea termen: $- 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = 1$ , pozitiv.

17. $m (2) = 4 - 20 + 25 = 9$ grame, iar $m (5) = 25 - 50 + 25 = 0$ grame. Al doilea rezultat înseamnă că la minutul al cincilea nu mai rămâne substanță: numărul $5$ este rădăcină a polinomului, iar în model acesta este momentul în care masa se anulează. Pe tot intervalul dat masa scade, fără să treacă prin valori negative.

18. Cele două condiții se scriu ca valori. Din $f (1) = 1 + m + n - 12 = 0$ rezultă $m + n = 11$ . Din $f (- 2) = - 8 + 4 m - 2 n - 12 = 0$ rezultă $4 m - 2 n = 20$ , adică $2 m - n = 10$ . Adunând cele două relații, $3 m = 21$ , deci $m = 7$ și $n = 4$ . Verificare: pentru $f = X^{3} + 7 X^{2} + 4 X - 12$ avem $f (1) = 1 + 7 + 4 - 12 = 0$ și $f (- 2) = - 8 + 28 - 8 - 12 = 0$ .

De reținut

Valoarea $f (a)$ se obține înlocuind nedeterminata cu numărul $a$ și efectuând calculele; rezultatul este un număr, iar după înlocuire în calcul nu mai rămâne nicio literă.
Valoarea în zero este chiar termenul liber, pentru că toate puterile nedeterminatei se anulează — este cea mai rapidă cerință de rezolvat dintr-o problemă de polinoame.
Tabelul de valori strânge mai multe înlocuiri la un loc, iar perechile lui devin puncte în reperul cartezian; regula prin care fiecărui număr real îi corespunde valoarea lui se numește funcția polinomială asociată polinomului.
O rădăcină reală este un număr real care anulează polinomul; grafic, rădăcinile reale sunt abscisele punctelor în care curba întâlnește axa $O x$ .
Graficul, obținut cu GeoGebra sau cu Desmos, indică unde se află rădăcinile, iar înlocuirea le dovedește; există polinoame cu coeficienți reali fără nicio rădăcină reală, cum este $X^{2} + 4$ .

Greșeli frecvente

Valoarea citită de pe ecran și dată drept exactă. Un grafic care taie axa „pe la $1, 9$ " nu spune că $1, 9$ este rădăcină. Instrumentul digital e bun ca să vezi câte rădăcini sunt și în ce zonă, dar concluzia se scrie abia după înlocuire, iar rezultatul trebuie să fie exact zero, nu „aproape zero".
Înlocuirea făcută doar în primul termen. Se întâlnesc calcule de tipul $f (3) = 27 - 2 X + 5$ , în care nedeterminata a rămas pe undeva prin mijloc. Regula e fără excepție: $X$ se înlocuiește în fiecare termen, inclusiv acolo unde apare fără exponent scris.
Paranteza lipsă la numărul negativ. La $f = - X^{2} + 3$ și $a = - 2$ apar două minusuri cu roluri diferite: unul aparține coeficientului și rămâne în fața puterii, celălalt aparține numărului și trebuie închis în paranteză. Scrierea corectă este $- (- 2)^{2} + 3 = - 4 + 3 = - 1$ ; fără paranteză iese $4 + 3 = 7$ . Verificarea de zece secunde: înainte de a calcula, notează lângă fiecare minus al cui este.
Tabelul completat cu doi pași mari. Un tabel care sare de la $0$ direct la $5$ poate ascunde o coborâre sub axă și o revenire, deci și două rădăcini. Alege pași mici și egali, iar la un model din științe rămâi în intervalul în care mărimea are sens: un timp negativ nu se pune în tabel.
„Polinomul nu are rădăcini" spus după trei încercări. Faptul că $f (1)$ , $f (2)$ și $f (3)$ nu sunt zero nu dovedește nimic — rădăcinile pot fi negative, fracționare sau iraționale. Ca să afirmi că nu există nicio rădăcină reală îți trebuie un argument valabil pentru orice număr, ca la $X^{2} + 4$ , unde orice pătrat este pozitiv sau nul.

Aplică acasă

Modelul din laborator, moment cu moment. Alege din manualul de fizică, de chimie sau de biologie o mărime descrisă printr-un polinom și calculează-i valorile în cinci momente, scriind lângă fiecare rezultat unitatea de măsură. Scrie apoi o singură propoziție despre ce arată șirul obținut: crește, scade, se anulează, urcă și apoi coboară. Dacă modelul are un interval de valabilitate, nu ieși din el.
Trei numere puse la încercare. Scrie un polinom de gradul al treilea cu coeficienți întregi și alege trei numere de probă: unul întreg pozitiv, unul negativ și o fracție. Calculează valorile pe hârtie, cu fiecare putere scrisă pe rând, apoi roagă pe cineva să refacă unul dintre calcule cu un calculator de buzunar. Acolo unde apar diferențe, caută paranteza lipsă — de obicei e la numărul negativ.
Graficul care nu atinge axa. Desenează cu un instrument digital, pe același ecran, graficele polinoamelor $X^{2} - 1$ , $X^{2}$ și $X^{2} + 1$ și notează, pentru fiecare, câte puncte are în comun cu axa $O x$ . Scrie apoi, în două rânduri, ce legătură este între numărul acela și rădăcinile reale ale polinomului, și ce se întâmplă cu desenul când adaugi sau scazi o unitate.

Pentru părinți și profesori

Lecția este puntea dintre algebra capitolului și științele pentru care el a fost pus în programă. Tot ce se învață aici — valoarea într-un număr, tabelul, graficul, rădăcina — revine la fizică și la chimie de fiecare dată când un model trebuie citit la un moment dat. Trei lucruri merită urmărite în caiet. Primul: puterile numărului înlocuit se scriu separat, înaintea înmulțirilor; elevii care sar peste acest pas greșesc tocmai la numerele negative. Al doilea: valoarea în zero se dă instantaneu, fiindcă este termenul liber — o deprindere care economisește timp la examen. Al treilea: concluzia „este rădăcină" se scrie numai după ce rezultatul iese exact zero, nu după ce graficul pare să taie axa în acel loc.

Partea digitală nu e decorativă: programa cere explicit reprezentarea grafică a funcțiilor cu aplicații de tipul GeoGebra sau Desmos, tocmai pentru ca elevul să vadă legătura dintre un șir de numere și o curbă. Un sfert de oră cu trei polinoame pe același ecran lămurește mai mult decât o pagină de explicații.

Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Cât este valoarea unui polinom în zero și de ce?"; „Ce trebuie să obții după înlocuire ca să poți spune că un număr este rădăcină?"; „Ce se vede pe grafic în dreptul unei rădăcini reale?"; „Poate un polinom cu coeficienți reali să nu aibă nicio rădăcină reală?". Semn că elevul a înțeles: înainte de a calcula $f (- 2)$ își scrie singur puterile lui $- 2$ și le pune între paranteze. Semn că trebuie reluat: dă rezultate corecte la numere pozitive și greșește sistematic semnul la cele negative.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; rândul de conținut este „rădăcini reale ale polinoamelor", iar reprezentarea grafică cu instrumente digitale vine din competența specifică IX.CS.3.6. La Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Polinoame cu coeficienți reali". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde polinoamele formează una dintre cele două probleme ale Subiectului al II-lea, la materia clasei a XII-a; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, primul punct al acelei probleme este chiar o valoare a polinomului („arătați că $f (0) = 2$ , pentru orice număr real"), iar punctul următor se referă la rădăcinile lui. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă valorile și rădăcinile unui polinom la M2 față de M1? Prin mulțimea în care se lucrează și prin anul de studiu. La științe ale naturii totul rămâne în numere reale: numerele înlocuite sunt reale, valorile sunt reale, iar rădăcinile căutate sunt reale — de aceea un polinom poate să nu aibă niciuna. La matematică-informatică tema vine în clasa a X-a, cu numere complexe. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: valoarea unui polinom, la clasa a 10-a.

La ce subiect apar valorile și rădăcinile unui polinom la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, în problema de structuri algebrice și polinoame; în sesiunile 2027–2029 tema figurează la materia clasei a XII-a. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, primul punct al problemei cere o valoare a polinomului, iar punctul următor folosește rădăcinile lui. Din 2030, la proba MAT_P2, polinoamele intră în domeniul Algebră.

Ce trebuie să obțin, după înlocuire, ca să pot spune că un număr este rădăcină? Exact zero, nu un număr mic. Înlocuiești numărul în locul nedeterminatei, faci toate calculele și compari rezultatul cu $0$ . Dacă rezultatul este orice altceva, numărul nu este rădăcină, oricât de aproape ar părea de tăierea citită pe grafic. Formularea din rezolvare se scrie ca o egalitate completă, nu ca o observație.

De ce $f (0)$ este chiar termenul liber? Pentru că fiecare termen al polinomului, în afară de ultimul, conține o putere a nedeterminatei cu exponent cel puțin $1$ , iar orice astfel de putere a lui $0$ este $0$ . Rămâne, așadar, numai numărul care nu era însoțit de nicio putere. De aceea cerințele de tipul „arătați că $f (0) = \dots$ " se rezolvă într-un rând, fără niciun calcul intermediar.

Poate un polinom cu coeficienți reali să nu aibă nicio rădăcină reală? Da, și exemplul cel mai simplu este $X^{2} + 4$ : pentru orice număr real pus în locul nedeterminatei, pătratul este pozitiv sau nul, deci valoarea este cel puțin $4$ . Graficul unui astfel de polinom nu atinge axa $O x$ în niciun punct. La profilul științe ale naturii ne oprim aici, în numerele reale, fără să căutăm rădăcini în altă mulțime.

Cum desenez graficul unui polinom în GeoGebra sau în Desmos? Scrii în bara de intrare regula cu literă mică, de exemplu f(x)=x^3-4x, și graficul apare imediat. Poți apropia imaginea în zona în care curba se apropie de axa $O x$ , ca să vezi mai bine tăierile, și poți afișa mai multe polinoame deodată, ca să le compari. Coordonatele afișate de program sunt aproximative, deci se folosesc ca indicație, nu ca răspuns.

Câte valori trebuie să pun într-un tabel ca să văd unde taie graficul axa $O x$ ? Suficiente cât să nu poți sări peste o schimbare. În practică, pași egali de o unitate pe un interval de cinci-șase numere întregi sunt un început bun; dacă între două numere vecine valorile trec de la pozitive la negative, mai adaugi o fracție între ele. La un model din științe, intervalul e dat de problemă — punctele în care graficul întâlnește axele se caută doar acolo unde mărimea are sens.