Dreapta și axele (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O dreaptă desenată într-o fereastră mică poate părea că nu ajunge la o axă. Ecuația permite să decidem exact dacă punctul comun există și unde se află. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), intersecțiile cu axele leagă calculul de citirea reperului. Tema face parte din geometria analitică pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și din domeniul „Geometrie. Trigonometrie” al MAT_P2 din 2030.

Pornim de la o ecuație deja cunoscută, precum cele construite în lecția dreptei prin două puncte. Aici una dintre cele două condiții este mereu o axă: $y = 0$ sau $x = 0$ . Rezolvarea intersecției a două drepte generale are propria lecție. Vom trata și situațiile în care nu există punct comun sau în care dreapta coincide cu axa.

Ce vei învăța

Vei scrie simultan condiția axei și condiția dreptei pentru un punct comun.
Vei interpreta o ecuație cu o soluție, o contradicție și o identitate după substituție.
Vei deosebi axele complete de semiaxele pozitive și de fereastra unui desen.
Vei recunoaște intersecțiile care coincid în origine și coincidența cu o axă întreagă.
Vei folosi punctele de pe axe pentru verificări și calcule geometrice simple.
Vei controla dacă un punct de pe dreapta prelungită aparține și modelului aplicat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce condiții îndeplinește un punct de intersecție?

Intersecția unei drepte cu o axă de coordonate este mulțimea punctelor care aparțin simultan dreptei și axei. Un punct de pe $O x$ are ordonata zero, iar unul de pe $O y$ are abscisa zero. Cealaltă coordonată trebuie să satisfacă ecuația dreptei.

Pentru $d : 5 x + 2 y - 10 = 0$ , pe $O x$ punem $y = 0$ . Rezultă $5 x - 10 = 0$ , deci punctul $A (2, 0)$ . Pe $O y$ punem $x = 0$ și obținem $2 y - 10 = 0$ , deci punctul $B (0, 5)$ .

Putem scrie riguros $d \cap O x = {A}$ și $d \cap O y = {B}$ . Acoladele indică o mulțime cu un singur punct. Într-o formulare verbală, spunem direct că intersecția este punctul respectiv. Important este să nu pierdem niciuna dintre coordonate.

5x + 2y − 10 = 0; A(2, 0), B(0, 5).

La final verificăm punctele în ecuația inițială. Primul dă $10 - 10 = 0$ , iar al doilea tot $10 - 10 = 0$ . În plus, zeroul din coordonata potrivită confirmă apartenența la axă. Sunt două condiții, chiar dacă substituția le face să pară un singur calcul.

2. Cum lucrăm cu o formă generală?

Fie $d : a x + b y + c = 0$ , unde $a$ și $b$ nu sunt simultan zero. Pentru axa orizontală rămâne $a x + c = 0$ . Dacă $a \neq = 0$ , există exact un punct comun: $(- c / a, 0)$ .

Pentru axa verticală rămâne $b y + c = 0$ . Dacă $b \neq = 0$ , există exact un punct comun: $(0, - c / b)$ . Condițiile coeficienților nenuli apar deoarece rezolvarea împarte prin ei. Formula nu se folosește când numitorul este zero.

Aceste expresii sunt utile ca rezultat al metodei, dar substituția este mai sigură decât aplicarea lor fără verificări. Scrie întâi coordonata nulă și privește ecuația rămasă. Ea arată imediat ce coeficient contează pentru axa aleasă.

Un coeficient foarte mic, dar nenul, poate produce o intersecție îndepărtată. Punctul există chiar dacă nu încape în desenul inițial. Ecuația decide existența; limitele imaginii decid numai dacă punctul se vede în acea fereastră.

În forma explicită $y = m x + b$ , intersecția cu $O y$ este întotdeauna $(0, b)$ . Pentru $O x$ se rezolvă $m x + b = 0$ . Când $m = 0$ , acest al doilea calcul cere discuția unei constante, nu împărțirea la pantă. Metoda rămâne aceeași, dar tipul răspunsului se poate schimba.

3. Ce înseamnă o contradicție sau o identitate?

După substituția pentru o axă, poate să nu mai rămână nicio variabilă. Atunci citim egalitatea obținută. O propoziție numerică falsă arată că niciun punct al axei nu poate verifica ecuația dreptei.

De exemplu, pentru orizontala $y = - 7$ , cerința $y = 0$ ar obliga aceeași ordonată să fie simultan zero și minus șapte. Nu există punct comun cu $O x$ . Totuși, cu $O y$ există punctul $(0, - 7)$ . Absența unei intersecții nu înseamnă absența tuturor intersecțiilor.

Dacă după substituție obținem o identitate, coordonata rămasă este liberă. Toate punctele axei satisfac relația. Pentru dreapta $y = 0$ , substituția $y = 0$ nu restrânge abscisa: dreapta coincide cu $O x$ .

O identitate nu înseamnă „nu am găsit nimic”. Ea spune că există infinit de multe soluții pe axa respectivă. O contradicție spune că nu există niciuna. Aceste concluzii opuse trebuie exprimate explicit, deoarece ambele pot apărea după dispariția variabilei din calcul.

Același raționament funcționează pentru o verticală și axa $O y$ . Dacă abscisa constantă este nenulă, nu există punct comun cu $O y$ . Dacă abscisa constantă este zero, dreapta este chiar $O y$ . Cealaltă axă este întâlnită în origine.

4. Câte puncte distincte obținem din cele două axe?

O oblică poate intersecta fiecare axă într-un punct, dar cele două puncte pot coincide. Dacă ecuația ei este $y = m x$ , cu $m \neq = 0$ , ambele substituții conduc la $O (0, 0)$ . Avem două verificări, câte una pentru fiecare axă, dar un singur punct distinct.

Această diferență contează pentru desen. Dacă ai calculat originea de două ori, nu ai două repere distincte pentru trasarea dreptei. Mai alegi o abscisă nenulă și calculezi ordonata corespunzătoare. Nu schimbi ecuația ca să obții artificial două tăieturi diferite.

Pentru o orizontală diferită de $O x$ , există un singur punct comun cu reuniunea axelor, aflat pe $O y$ . Pentru o verticală diferită de $O y$ , punctul comun se află pe $O x$ . Axele însele au infinit de multe puncte comune cu reuniunea axelor.

Dreapta	Cu prima axă	Cu cealaltă axă
Oblică ce nu trece prin origine	Un punct pe $O x$	Alt punct pe $O y$
Oblică prin origine	Originea	Aceeași origine
Orizontală diferită de $O x$	Niciun punct pe $O x$	Un punct pe $O y$
Dreapta egală cu $O x$	Întreaga axă $O x$	Originea pe $O y$

Pentru verticale, situațiile sunt analoge, cu rolurile axelor schimbate. Clasificarea completă după coeficienți va fi organizată în lecția despre poziția dreptei. Aici urmărim ce spune fiecare substituție despre mulțimea punctelor comune.

5. De ce coordonatele negative nu elimină intersecția?

Axele sunt drepte întregi. Axa $O x$ conține puncte cu abscisă pozitivă, nulă sau negativă, iar axa $O y$ conține toate semnele ordonatei. Un punct calculat cu o coordonată negativă este o intersecție perfect admisă cu axa.

O semiaxă este un obiect mai restrâns. Dacă enunțul cere semiaxa pozitivă, trebuie verificat semnul coordonatei libere și convenția privind includerea originii. Dacă spune numai „axa”, nu adăugăm restricția de pozitivitate.

La desen, o intersecție negativă se marchează în sensul negativ al axei corespunzătoare. Nu îi schimbăm semnul pentru a o aduce în primul cadran. Coordonata păstrează poziția, în timp ce o distanță față de origine folosește modulul ei.

O fereastră grafică poate arăta numai o parte din axe. Dacă un punct comun calculat este în afara ferestrei, extindem desenul sau spunem că nu este vizibil acolo. Nu confundăm lipsa lui din imagine cu o intersecție vidă în plan.

Același control previne concluzii greșite în aplicații. O intersecție de timp negativ poate exista pe dreapta matematică, dar poate să nu aparțină modelului cu timp nenegativ. Nu ștergem rezultatul geometric; precizăm separat de ce nu este un moment admis în problemă.

6. Cum folosim punctele de pe axe pentru alte calcule?

Dacă obținem $A (u, 0)$ și $B (0, v)$ , cu $u$ și $v$ nenuli, punctele sunt distincte și determină dreapta. Verificarea lor în ecuație este și o verificare rapidă a unui desen. Nu trebuie ca ambele coordonate să fie pozitive.

Împreună cu originea, ele formează un triunghi dreptunghic. Lungimile catetelor sunt $∣ u ∣$ și $∣ v ∣$ . Prin aria triunghiului dreptunghic, obținem $S = ∣ u ∣∣ v ∣/2$ , iar distanța dintre puncte este $A B = u^{2} + v^{2}$ .

Condițiile $u \neq = 0$ și $v \neq = 0$ garantează un triunghi nedegenerat. Dacă punctele de intersecție coincid în origine, nu există trei vârfuri distincte pentru acel triunghi. Formula cu catete nule nu transformă configurația într-un triunghi obișnuit de arie zero.

Nu extindem aici studiul ariilor sau al perimetrelor la toate figurile în coordonate. Folosim numai consecința imediată a faptului că axele sunt perpendiculare. Primul pas rămâne găsirea corectă a punctelor comune și verificarea că ele pot forma configurația cerută.

În probleme inverse, coordonatele tăieturilor pot controla coeficienți necunoscuți. Dacă dreapta trebuie să treacă printr-un punct dat de pe axă, substituția acelui punct produce o condiție asupra coeficienților. Mai multe condiții trebuie satisfăcute simultan, fără să schimbăm semnul tăieturilor.

Un desen cu intersecții pe părțile negative ale axelor poate părea diferit de triunghiul obișnuit din primul cadran. Metoda nu se schimbă: unghiul din origine este tot drept, iar catetele sunt segmentele dintre origine și tăieturi. Scrie întâi coordonatele cu semn, apoi calculează lungimile pozitive, evitând amestecarea celor două roluri.

Dacă o problemă oferă lungimea unei tăieturi, dar nu precizează semiaxa, poziția poate fi ambiguă. Un segment cu o anumită lungime poate porni din origine în două sensuri pe aceeași axă. Pentru o ecuație unică avem nevoie de puncte determinate, nu numai de modulele coordonatelor lor. Un desen sau o condiție de semn poate furniza informația lipsă.

În schimb, o ordonată cu semn precizat fixează direct punctul de pe axa verticală. Nu mai alegem încă o poziție simetrică, fiindcă am schimba datele. Citește cu atenție dacă enunțul vorbește despre coordonată, distanță sau punct. Aceleași numere pot avea roluri matematice diferite în aceste trei formulări.

7. Când intersecția dreptei nu aparține modelului?

Într-o aplicație, ecuația poate descrie numai o porțiune de dreaptă. Domeniul variabilei este parte din model. După calcularea intersecției pe dreapta prelungită, verificăm dacă abscisa obținută aparține acelui domeniu.

De exemplu, un model de presiune folosit numai între două momente pozitive nu descrie automat valoarea de la momentul zero. Punctul de intersecție cu axa verticală poate exista geometric, fără să fie o observație admisă a modelului. La fel, un moment de anulare dincolo de sfârșitul experimentului nu este o predicție validată.

O mărime pozitivă în tot intervalul de lucru nu are punct cu ordonata zero în porțiunea modelată. Dreapta suport poate avea un asemenea punct mai departe. Răspunsul trebuie să distingă cele două obiecte, altfel un calcul algebric corect poate produce o interpretare falsă.

Punctele de pe axe nu au întotdeauna același sens fizic. Dacă abscisa este temperatura, valoarea zero nu este neapărat începutul unui proces. Dacă ordonata este o diferență de poziții, valoarea zero poate indica egalitatea unor poziții, nu dispariția unui obiect.

Interpretează mai întâi numele și unitatea axelor, apoi spune ce reprezintă zeroul fiecărei coordonate. Expresii ca „momentul inițial” sau „epuizarea stocului” sunt corecte numai în contexte care justifică aceste sensuri. Nu sunt definiții universale ale intersecțiilor.

Contează și includerea capetelor intervalului. Dacă intersecția calculată se află chiar la un capăt, ea aparține porțiunii modelate numai când acel capăt este admis. Un interval închis include momentul de început și pe cel de sfârșit; o limită exclusă nu este transformată în observație prin simpla substituție în ecuația prelungirii.

Pe desen, această diferență poate fi indicată printr-un punct plin sau gol. În calcul, ea apare prin inegalitatea largă sau strictă din domeniu. Cele două reprezentări trebuie să spună același lucru. Păstrează rezultatul geometric exact și verifică separat această ultimă condiție, în loc să îl rotunjești astfel încât să pară interior intervalului.

8. Cum controlăm rezultatul fără un desen perfect?

Un punct de pe $O x$ trebuie să aibă ordonata zero, iar unul de pe $O y$ abscisa zero. După acest control, introducem perechea în ecuația originală. Dacă obținem o egalitate adevărată, am verificat ambele condiții de apartenență.

Verificarea în ecuația originală este preferabilă repetării ultimei linii de calcul. Ea poate descoperi o eroare produsă mai devreme, la mutarea unui termen sau la o împărțire. Nu este nevoie să refacem întreaga rezolvare ca să controlăm un punct.

Pentru o intersecție vidă, explicăm contradicția produsă de condiția axei. Pentru coincidența cu o axă, explicăm de ce cealaltă coordonată rămâne liberă. Aceste justificări sunt echivalentul controlului prin substituție în cazurile fără un punct unic.

O schiță finală ajută la citirea poziției și a semnelor, dar verdictul vine din ecuație și din condițiile axei. Dacă schița nu este la scară, nu îi cerem să confirme o distanță numerică. Dacă reprezintă un model finit, marcăm și capetele domeniului pentru a nu sugera o utilizare nelimitată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două puncte pe sensuri diferite ale axelor

Determină intersecțiile dreptei $7 x - 3 y + 21 = 0$ cu axele.

Rezolvare. Pe $O x$ , relația $7 x + 21 = 0$ dă $A (- 3, 0)$ . Pe $O y$ , relația $- 3 y + 21 = 0$ dă $B (0, 7)$ .

Punctul de pe axa orizontală se află în sensul negativ, ceea ce nu îl exclude. Verificările sunt $- 21 + 21 = 0$ și $- 21 + 21 = 0$ . Intersecțiile sunt două puncte distincte, unul la stânga originii și celălalt deasupra ei.

Exemplul 2 — Nicio soluție sau o axă întreagă

Compară intersecțiile dreptelor $d : y = - 9$ și $e : x = 0$ cu axele de coordonate.

Rezolvare. Dreapta $d$ nu întâlnește $O x$ , deoarece ordonata ei nu poate fi zero. Cu $O y$ are punctul $(0, - 9)$ .

Dreapta $e$ este chiar axa $O y$ , deci are cu aceasta toate punctele comune. Cu $O x$ are numai originea. Ecuația $x = 0$ nu obligă și ordonata să fie zero; aceasta se adaugă numai când cerem simultan apartenența la $O x$ .

Exemplul 3 — Un parametru și numărul punctelor distincte

Pentru $d_{t} : y = 2 x + t$ , când cele două intersecții cu axele coincid?

Rezolvare. Intersecțiile sunt $A (- t /2, 0)$ și $B (0, t)$ . Pentru a coincide, prima coordonată a lui $A$ și a doua a lui $B$ trebuie să fie zero. Rezultă $t = 0$ .

Atunci ambele puncte sunt originea. Pentru orice $t \neq = 0$ , sunt distincte. Panta doi este nenulă în toate cazurile, deci avem mereu o oblică; parametrul mută punctele de pe axe, fără să schimbe această clasificare.

Exemplul 4 — Intersecții dincolo de domeniul experimentului

Suprapresiunea aerului dintr-un pneu cu o scurgere lentă, adică presiunea peste cea atmosferică, este modelată prin $p = 240 - 4 t$ , în kilopascali, numai pentru $2 \leq t \leq 8$ , cu timpul în minute. Ce intersecții are dreapta prelungită cu axele și care aparțin porțiunii modelate?

Rezolvare. Dreapta prelungită întâlnește axa suprapresiunii în $(0, 240)$ și axa timpului în $(60, 0)$ . Nici zero, nici șaizeci nu aparțin intervalului $[2, 8]$ .

Porțiunea modelată nu întâlnește axele. Suprapresiunea scade de la $232$ la $208$ kPa. Nu afirmăm că pneul avea $240$ kPa peste presiunea atmosferică la momentul zero sau că se golește la minutul șaizeci: o scurgere reală încetinește când diferența de presiune scade, iar regula liniară nu este declarată acolo.

Exemplul 5 — Coeficienți controlați prin tăieturi

Dreapta $a x + b y + 18 = 0$ trebuie să taie axele în $A (- 6, 0)$ și $B (0, 9)$ . Determină $a$ și $b$ .

Rezolvare. Primul punct impune $- 6 a + 18 = 0$ , deci $a = 3$ . Al doilea impune $9 b + 18 = 0$ , deci $b = - 2$ .

Obținem $3 x - 2 y + 18 = 0$ . Coeficienții variabilelor nu sunt simultan nuli, iar substituțiile refac cele două puncte. Termenul constant fixat de enunț a stabilit această scriere a ecuației; alte multiplicări nenule ar descrie aceeași dreaptă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru dreapta $5 x + 12 y + 60 = 0$ , află intersecțiile $A$ cu $O x$ și $B$ cu $O y$ , apoi lungimea $A B$ și aria triunghiului $O A B$ .

Rezolvare. Intersecțiile sunt $A (- 12, 0)$ și $B (0, - 5)$ . Catetele triunghiului au lungimile doisprezece și cinci, deși coordonatele tăieturilor sunt negative.

Rezultă $A B = 144 + 25 = 13$ și $S = 12 \cdot 5/2 = 30$ . Triunghiul există fiindcă ambele tăieturi sunt nenule. Unitățile geometrice nu au fost asociate unei lungimi fizice; răspunsul se exprimă în unități ale reperului, respectiv unități pătrate.

Să exersăm

Pentru fiecare axă, scrie mai întâi condiția ei. Dă punctele comune sau explică de ce intersecția este vidă ori este o axă întreagă. La modelele restrânse, controlează și domeniul după calculul geometric.

1. Află intersecțiile dreptei $4 x + 3 y - 36 = 0$ cu axele.

2. Află intersecțiile dreptei $y = - 5 x + 20$ cu axele.

3. Află intersecțiile dreptei $2 x - 7 y + 14 = 0$ cu axele.

4. Pentru ce valoare a lui $c$ orizontala $y = 2 c - 8$ coincide cu $O x$ ? Pentru $c = 1$ , ce puncte comune are ea cu fiecare axă?

5. Precizează intersecțiile verticalei $x = - 8$ cu axele.

6. Pentru ce valori ale lui $b$ dreapta $y = - 3 x + b$ intersectează $O x$ într-un punct cu abscisa mai mare decât $3$ ?

7. Pentru $d_{t} : 3 x + t y - 6 = 0$ , discută intersecția cu $O y$ după parametrul real $t$ . Poate coincide dreapta cu $O y$ ?

8. Pentru ce valoare a lui $k$ dreapta $y = - 4 x + k - 6$ trece prin origine? Câte puncte distincte are atunci cu cele două axe, luate împreună?

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dreapta $3 x - 8 y + 24 = 0$ are ambele tăieturi pe semiaxe negative.

10. Dreapta $y = x /10 - 6$ este desenată numai pentru $- 5 \leq x \leq 5$ . Află punctul ei de pe $O x$ și explică de ce nu se vede în această fereastră.

11. Pentru $d_{t} : y = 3 x + t$ , află $t$ astfel încât intersecția cu $O y$ să fie $(0, - 12)$ . Determină apoi intersecția cu $O x$ .

12. Află $m$ astfel încât $y = m x + 15$ să treacă prin punctul $(5, 0)$ de pe $O x$ .

13. (Problemă aplicată.) Un model $I = 5 T + 10$ este valabil numai pentru $1 \leq T \leq 4$ . Află intersecțiile dreptei prelungite cu axele și decide dacă aparțin porțiunii modelate.

14. Dreapta are intersecțiile $A (10, 0)$ și $B (0, - 3)$ . Află aria triunghiului $O A B$ și explică de ce semnul ordonatei nu este semnul ariei.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină intersecțiile dreptei $6 x - 5 y - 30 = 0$ cu axele.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $9 x + 4 y - 36 = 0$ , află punctele de pe axe și aria triunghiului format cu originea.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Află $c$ astfel încât dreapta $7 x + 2 y + c = 0$ să treacă prin $(0, - 14)$ . Determină și tăietura pe $O x$ .

18. (Provocare.) Dreapta $y = m x + 6$ , cu $m < 0$ , formează împreună cu axele un triunghi de arie $24$ . Află $m$ și punctul în care dreapta taie $O x$ .

Răspunsuri și explicații

1. Pe $O x$ obținem $(9, 0)$ , iar pe $O y$ obținem $(0, 12)$ . Substituțiile produc în ambele cazuri treizeci și șase minus treizeci și șase.

2. Intersecțiile sunt $(4, 0)$ și $(0, 20)$ . Prima rezultă din anularea ordonatei, a doua din anularea abscisei.

3. Punctele sunt $(- 7, 0)$ și $(0, 2)$ . Semnul negativ al primei tăieturi indică poziția la stânga originii, nu absența intersecției.

4. Coincidența cere $2 c - 8 = 0$ , deci $c = 4$ . Pentru $c = 1$ dreapta este $y = - 6$ : cu $O x$ intersecția este vidă, iar cu $O y$ este punctul $(0, - 6)$ .

5. Cu $O x$ există punctul $(- 8, 0)$ , iar cu $O y$ nu există niciun punct comun. Abscisa constantă minus opt diferă de abscisa zero a axei verticale.

6. Pe $O x$ punem $y = 0$ și obținem $x = b /3$ . Condiția $b /3 > 3$ dă $b > 9$ . De exemplu, pentru $b = 12$ tăietura este $(4, 0)$ .

7. Pe $O y$ rămâne $t y - 6 = 0$ . Pentru $t = 0$ , nu există soluție, deci intersecția este vidă. Pentru $t \neq = 0$ , intersecția este ${(0, 6/ t)}$ . Nicio valoare a parametrului nu dă o identitate, deci dreapta nu coincide niciodată cu $O y$ .

8. Originea verifică ecuația dacă $0 = k - 6$ , deci $k = 6$ . Dreapta devine $y = - 4 x$ și întâlnește ambele axe numai în origine: un singur punct distinct.

9. Fals. Pe $O x$ se obține $(- 8, 0)$ , pe semiaxa negativă, dar pe $O y$ se obține $(0, 3)$ , pe semiaxa pozitivă. Semnul se citește separat pentru fiecare tăietură.

10. Anularea ordonatei dă $x = 60$ , deci punctul $(60, 0)$ . Abscisa este în afara intervalului afișat, dar punctul există pe dreapta prelungită.

11. Intersecția cu $O y$ impune $t = - 12$ . Ecuația devine $y = 3 x - 12$ , iar intersecția cu $O x$ este $(4, 0)$ .

12. Condiția $0 = 5 m + 15$ dă $m = - 3$ . Panta este nenulă, iar punctul dat este unica intersecție a acestei drepte cu axa orizontală.

13. Dreapta prelungită are punctele $(0, 10)$ și $(- 2, 0)$ pe axe. Abscisele zero și minus doi sunt în afara lui $[1, 4]$ , deci porțiunea modelată nu conține aceste puncte.

14. Catetele au lungimile zece și trei, deci $S = 10 \cdot 3/2 = 15$ . Coordonata indică sensul față de origine; lungimea folosită la arie este pozitivă.

15. Intersecțiile sunt $(5, 0)$ și $(0, - 6)$ . Verificările în ecuație dau $30 - 30 = 0$ și $30 - 30 = 0$ .

16. Punctele sunt $(4, 0)$ și $(0, 9)$ . Aria este $S = 4 \cdot 9/2 = 18$ , deoarece axele sunt perpendiculare și tăieturile sunt nenule.

17. Substituția punctului de pe $O y$ dă $- 28 + c = 0$ , deci $c = 28$ . Pe $O x$ , $7 x + 28 = 0$ , de unde punctul $(- 4, 0)$ .

18. Tăieturile sunt $(0, 6)$ și $(- 6/ m, 0)$ , iar pentru $m < 0$ abscisa $- 6/ m$ este pozitivă. Aria este $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (- 6/ m) = - 18/ m$ . Din $- 18/ m = 24$ rezultă $m = - 3/4$ , iar tăietura pe $O x$ este $(8, 0)$ ; controlul dă $6 \cdot 8/2 = 24$ .

De reținut

Un punct comun satisface simultan ecuația dreptei și condiția axei. Fiecare substituție rezolvă una dintre aceste cerințe comune.
Ecuația rămasă poate avea o soluție, nicio soluție sau toate valorile coordonatei libere. Interpretează fiecare situație.
Axele includ și coordonate negative. O semiaxă sau o fereastră de desen introduce restricții suplimentare.
Dacă intersecțiile coincid, ai un singur punct distinct. Dacă dreapta coincide cu o axă, ai infinit de multe puncte comune cu acea axă.
Punctul geometric calculat trebuie verificat și în domeniul modelului înainte de interpretarea lui ca moment sau valoare fizică.

Greșeli frecvente

Identitatea interpretată drept lipsă de intersecție. Dacă orice valoare a coordonatei libere verifică relația, dreapta coincide cu axa.
Intersecția negativă respinsă ca inexistentă. Axa este completă; verifică dacă enunțul a cerut într-adevăr numai o semiaxă.
Formula cu un coeficient nul folosită prin împărțire. Citește ecuația rămasă după substituție și decide între identitate și contradicție.
Punctul din afara ferestrei considerat absent din plan. Extinde conceptual dreapta și folosește coordonatele exacte calculate.
Intersecția prelungirii prezentată ca rezultat al experimentului. Controlează domeniul și sensul fizic al celor două axe.

Aplică acasă

Pregătește trei cartonașe cu o intersecție unică, o intersecție vidă și coincidența cu o axă. Cere unui coleg să justifice fiecare situație prin ecuația obținută după substituție.
Desenează numai o fereastră mică a unei drepte care întâlnește o axă departe de origine. Calculează punctul lipsă din imagine și explică în scris diferența dintre „nu se vede” și „nu există”.
Inventează un model liniar valabil pe un interval care exclude ambele intersecții ale dreptei suport cu axele. Marchează doar porțiunea permisă și formulează concluzia fără a atribui sens experimental prelungirilor.

Pentru părinți și profesori

Accentul este pe interpretarea substituției în toate cazurile, nu numai pe două împărțiri reușite. Cereți elevului să explice de ce o identitate dă o axă întreagă și de ce un punct din afara imaginii poate exista geometric. În aplicații, domeniul și numele mărimilor de pe axe decid interpretarea zerourilor.

Programa și examenul. Intersecțiile dreptei cu axele sunt conținut explicit în unitatea IX.5 a programei Științe, OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată clasei a IX-a din 2026–2027. MAT_P2 din 2030 le include în „Geometrie. Trigonometrie”. Ecuațiile dreptelor și calculele geometrice se regăsesc în programa Bacalaureatului M2 M_șt-nat pentru 2027–2029. Modelul oficial 2026 conține geometrie analitică la Subiectul I; exercițiile de aici nu sunt prezentate ca enunțuri oficiale.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: intersecțiile dreptei cu axele rămâne separată. Pentru recapitulare sunt utile coordonatele punctelor în plan și aria triunghiului. Următoarea lecție organizează pozițiile față de axe, fără a confunda această problemă cu intersecția a două drepte generale.

Întrebări frecvente

Cum deosebesc o identitate de o contradicție după substituție?

O identitate este adevărată pentru orice valoare a coordonatei rămase, deci toate punctele acelei axe aparțin dreptei. O contradicție nu poate fi satisfăcută de nicio valoare, deci intersecția este vidă. Dispariția variabilei nu decide singură verdictul; trebuie citită propoziția numerică rămasă și interpretată în condițiile axei alese.

Un punct cu abscisă negativă poate fi intersecție cu axa Ox?

Da, axa include toate abscisele reale, atât timp cât ordonata este zero. Condiția de pozitivitate apare numai dacă se cere o semiaxă sau dacă domeniul unei aplicații o impune. Nu modifica semnul rezultatului pentru a-l aduce în partea pozitivă a desenului; poziția exactă este dată de coordonate.

Dacă punctul comun nu apare în desen, cum verific existența lui?

Rezolvă condițiile algebrice și verifică punctul în ecuația dreptei și pe axă. Apoi compară coordonatele cu limitele ferestrei afișate. Un punct poate fi în afara imaginii și totuși pe dreapta completă. Numai o contradicție matematică justifică lipsa intersecției, nu dimensiunea paginii sau a ecranului.

Intersecția cu axa timpului este întotdeauna un moment real al modelului?

Nu. Momentul calculat trebuie să aparțină intervalului pentru care regula este valabilă. Un rezultat negativ sau ulterior încheierii experimentului poate fi doar o intersecție a prelungirii geometrice. Păstrează calculul și explică limita interpretării. Nu extinde domeniul numai pentru a transforma un punct al dreptei într-o predicție despre fenomen.

Ce tratează diferit lecția M2 față de varianta M1?

Metoda comună este organizată prin tipurile de rezultat ale substituției: punct unic, intersecție vidă sau axă întreagă. Exemplele insistă pe coordonate negative, limitele ferestrei grafice și domeniile modelelor. Toate noțiunile necesare sunt prezentate aici, cu date proprii, astfel încât pagina M1 să rămână o comparație opțională.

Ce justific la Subiectul I al Bacalaureatului M2?

Precizează coordonata anulată, rezolvă relația și scrie punctul complet. Dacă se cere un calcul geometric ulterior, verifică existența configurației și folosește lungimi pozitive. Programa nu fixează aceeași întrebare în fiecare sesiune. Continuă antrenamentul cu testul M2 despre reper și dreaptă, respectând cerințele fiecărui exercițiu.