Acasă · Lecții · clasa a X-a · Egalitatea a două polinoame. Identificarea coeficienților

Egalitatea a două polinoame. Identificarea coeficienților

Doi elevi calculează aria aceleiași grădini dreptunghiulare. Primul scrie $(X + 3) (X + 5)$ , al doilea scrie $X^{2} + 8 X + 15$ . Cine are dreptate? Amândoi — cele două scrieri sunt același polinom, îmbrăcat diferit. Dar dacă al doilea ar fi scris $X^{2} + 8 X + 14$ ? Atunci cele două expresii ar da aceeași valoare pentru... niciun număr, sau poate pentru câteva. Cum decidem, fără să încercăm o infinitate de valori?

Aici intervine cea mai simplă și, totodată, cea mai folosită definiție din tot capitolul: două polinoame sunt egale exact atunci când au aceiași coeficienți. Din ea se naște o unealtă de o eficiență surprinzătoare, numită metoda identificării coeficienților, cu care vei determina parametri necunoscuți, vei verifica descompuneri și vei rescrie polinoame în forme mai convenabile. Este unealta pe care o vei folosi, aproape în fiecare problemă, până la sfârșitul capitolului.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți definiția egalității a două polinoame și să explici de ce ea se referă la coeficienți, nu la valori.
Vei ști să recunoști polinomul nul printr-o condiție pe coeficienți și să folosești acest lucru în probleme.
Vei ști să aplici metoda identificării coeficienților ca să determini parametri necunoscuți.
Vei ști să identifici coeficienți complecși, inclusiv separând partea reală de partea imaginară.
Vei ști să rescrii un polinom după puterile lui $X - a$ , o tehnică folosită des mai târziu.
Vei ști să deosebești o identitate polinomială de o ecuație și să nu aplici identificarea acolo unde nu are ce căuta.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția egalității

Am văzut în lecția Ce este un polinom. Forma algebrică și gradul că un polinom este determinat complet de lista coeficienților lui. E firesc, atunci, ca egalitatea să însemne egalitatea listelor.

Definiție. Fie $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ și $g = b_{m} X^{m} + \dots + b_{1} X + b_{0}$ două polinoame din $C [X]$ . Spunem că $f = g$ dacă $a_{k} = b_{k}$ pentru orice rang $k$ , unde coeficienții care lipsesc se consideră egali cu $0$ .

Cu alte cuvinte: completăm lista mai scurtă cu zerouri până ajunge la lungimea celeilalte și comparăm coeficient cu coeficient. Consecință imediată:

Două polinoame egale și nenule au același grad și același coeficient dominant.

De ce? Pentru că gradul este determinat de lista coeficienților: dacă listele coincid, atunci și ultimul rang nenul coincide.

✏️Ilustrație: două rafturi cu sertare numerotate de la 0 la 4, așezate unul lângă altul; sertarele de același rang sunt legate prin săgeți duble cu semnul egal; deasupra scrie „egale ⟺ toate perechile coincid"

2. Polinomul nul — criteriul cel mai folosit din capitol

Cazul particular $g = 0$ merită enunțat separat, pentru că apare în jumătate dintre problemele de identificare:

Un polinom este polinomul nul dacă și numai dacă toți coeficienții lui sunt egali cu $0$ .

Pare o banalitate. În realitate este un generator de sisteme de ecuații: dacă un polinom care depinde de parametri trebuie să fie nul, obții câte o ecuație pentru fiecare rang, iar toate trebuie să fie satisfăcute simultan. Uneori sistemul are soluție, alteori nu are niciuna — și ambele răspunsuri sunt corecte, dacă sunt justificate.

Exemplu. Pentru ce $m \in C$ este nul polinomul $f = (m^{2} - 1) X^{3} + (m - 1) X^{2} + (m^{2} - m) X$ ?

Cerem ca fiecare coeficient să fie nul:

$m^{2} - 1 = 0, m - 1 = 0, m^{2} - m = 0.$

Prima ecuație dă $m \in {- 1, 1}$ , a doua dă $m = 1$ , a treia dă $m \in {0, 1}$ . Singura valoare care le satisface pe toate trei este $m = 1$ . Verificare: pentru $m = 1$ toți cei trei coeficienți se anulează, deci $f = 0$ ✓.

3. Metoda identificării coeficienților

Metoda identificării coeficienților este procedeul prin care, dintr-o egalitate de polinoame, obținem un sistem de ecuații pentru necunoscutele care apar în coeficienți. Rețeta, în patru pași:

Aduci ambii membri la forma algebrică, ordonată descrescător (desfaci parantezele, reduci termenii asemenea).
Egalezi coeficienții de același rang, rang cu rang, fără să sari niciunul.
Rezolvi sistemul obținut.
Verifici soluția, înlocuind-o în egalitatea inițială.

Pasul 4 nu este decorativ: la identificare se strecoară ușor o greșeală de semn, iar verificarea o prinde în zece secunde.

Un prim exemplu, cât se poate de simplu. Determinăm $a, b, c \in C$ din

$a X^{2} + (b - 1) X + 3 = 5 X^{2} - 2 X + c .$

Rang $2$ : $a = 5$ . Rang $1$ : $b - 1 = - 2$ , deci $b = - 1$ . Rang $0$ : $3 = c$ , deci $c = 3$ . Verificare: membrul stâng devine $5 X^{2} - 2 X + 3$ , identic cu membrul drept ✓.

4. Identitate polinomială sau ecuație? Capcana centrală

Compară două scrieri care arată aproape la fel:

$(A) 2 x + 3 = 7 (B) a X + b = 2 X + 3$

În (A) avem o ecuație: căutăm numărul $x$ pentru care egalitatea e adevărată; răspunsul e $x = 2$ , o singură valoare. În (B) avem o egalitate de polinoame (numită și identitate polinomială): cerem ca cele două liste de coeficienți să coincidă, deci $a = 2$ și $b = 3$ .

Regula de decizie e simplă: dacă egalitatea este cerută „pentru orice valoare a nedeterminatei" (sau este scrisă între polinoame), identifici coeficienții; dacă egalitatea este cerută doar pentru anumite valori, rezolvi o ecuație. Enunțurile de la Bacalaureatul M1 marchează diferența prin formulări: „determinați $a$ și $b$ astfel încât $f = g$ " (identificare) față de „rezolvați ecuația $f (x) = 0$ " (ecuație).

Greșeala inversă e la fel de costisitoare: dacă la o ecuație de gradul al doilea ai „identifica" coeficienții cu zero, ai concluziona că ecuația nu are soluții — ceea ce e absurd.

5. Identificare cu coeficienți complecși — două niveluri

Când coeficienții sunt complecși, identificarea are uneori două etaje. Întâi identifici coeficienții rang cu rang, obținând egalități între numere complexe; apoi, dacă necunoscutele sunt reale, aplici criteriul de egalitate a două numere complexe: părțile reale egale și părțile imaginare egale.

Exemplu. Determinăm $a, b \in R$ astfel încât

$(a + bi) X + (2 a - b) = (3 - 2 i) X + 8.$

Etajul întâi (rang cu rang): $a + bi = 3 - 2 i$ și $2 a - b = 8$ .

Etajul al doilea (părți reale și imaginare, pentru că $a, b \in R$ ): din prima egalitate, $a = 3$ și $b = - 2$ .

Verificarea condiției rămase: $2 a - b = 6 - (- 2) = 8$ ✓. Cele două condiții sunt compatibile, deci $a = 3$ , $b = - 2$ .

Când necunoscutele sunt complexe, al doilea etaj dispare și rezolvi direct sistemul în $C$ . De pildă, din $(a + b) X + (a - b) = 2 i X + 4$ obținem sistemul $a + b = 2 i$ , $a - b = 4$ ; adunând, $2 a = 4 + 2 i$ , deci $a = 2 + i$ , iar $b = a - 4 = - 2 + i$ . Verificare: $a + b = 2 i$ ✓ și $a - b = 4$ ✓.

6. Rescrierea după puterile lui $X - a$

O aplicație elegantă a metodei: să scriem un polinom dat nu după puterile lui $X$ , ci după puterile lui $X - a$ . Tehnica va reveni la schema lui Horner și la studiul rădăcinilor multiple.

Să scriem $X^{2} + X + 1$ sub forma $a (X - 1)^{2} + b (X - 1) + c$ . Desfacem membrul drept:

$a (X^{2} - 2 X + 1) + b (X - 1) + c = a X^{2} + (b - 2 a) X + (a - b + c) .$

Identificăm: rang $2$ dă $a = 1$ ; rang $1$ dă $b - 2 a = 1$ , deci $b = 3$ ; rang $0$ dă $a - b + c = 1$ , adică $1 - 3 + c = 1$ , deci $c = 3$ .

Verificare: $(X - 1)^{2} + 3 (X - 1) + 3 = X^{2} - 2 X + 1 + 3 X - 3 + 3 = X^{2} + X + 1$ ✓.

7. Identificare pe descompuneri

A treia mare utilizare: verificăm sau completăm o descompunere în factori. Fie de determinat $a, b \in C$ din

$X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + a X + b) .$

Desfacem membrul drept:

$(X - 1) (X^{2} + a X + b) = X^{3} + a X^{2} + b X - X^{2} - a X - b = X^{3} + (a - 1) X^{2} + (b - a) X - b .$

Identificăm cu $X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X - 1$ : rang $2$ dă $a - 1 = 0$ , deci $a = 1$ ; rang $1$ dă $b - a = 0$ , deci $b = 1$ ; rang $0$ dă $- b = - 1$ , adică $b = 1$ ✓ — a treia ecuație confirmă, nu contrazice.

Observație de metodă: când sistemul are mai multe ecuații decât necunoscute, ecuațiile suplimentare joacă rolul de verificare automată. Dacă una dintre ele s-ar contrazice cu celelalte, ai ști imediat că descompunerea propusă este falsă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificare directă

Determinați $a, b, c \in C$ astfel încât $a X^{2} + (b - 1) X + 3 = 5 X^{2} - 2 X + c$ .

Rezolvare. Egalăm rang cu rang: $a = 5$ ; $b - 1 = - 2 \Rightarrow b = - 1$ ; $3 = c \Rightarrow c = 3$ .

Verificare: $5 X^{2} + (- 1 - 1) X + 3 = 5 X^{2} - 2 X + 3$ , identic cu membrul drept ✓. $■$

Exemplul 2 — Sistem în $C$

Determinați $a, b \in C$ astfel încât $(a + b) X + (a - b) = 2 i X + 4$ .

Rezolvare. Identificarea dă sistemul $a + b = 2 i$ , $a - b = 4$ . Adunând ecuațiile: $2 a = 4 + 2 i$ , deci $a = 2 + i$ . Scăzându-le: $2 b = 2 i - 4$ , deci $b = - 2 + i$ .

Verificare: $a + b = (2 + i) + (- 2 + i) = 2 i$ ✓; $a - b = (2 + i) - (- 2 + i) = 4$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Scriere după puterile lui $X - 1$

Determinați $a, b, c \in C$ astfel încât $X^{2} + X + 1 = a (X - 1)^{2} + b (X - 1) + c$ .

Rezolvare. Desfacem: $a (X - 1)^{2} + b (X - 1) + c = a X^{2} + (b - 2 a) X + (a - b + c)$ .

Identificăm: $a = 1$ ; $b - 2 = 1 \Rightarrow b = 3$ ; $1 - 3 + c = 1 \Rightarrow c = 3$ .

Verificare prin desfacere: $(X - 1)^{2} + 3 (X - 1) + 3 = X^{2} + X + 1$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Identificare pe un produs

Determinați $a, b \in C$ astfel încât $(X + a) (X + b) = X^{2} - 5 X + 6$ .

Rezolvare. Desfacem: $(X + a) (X + b) = X^{2} + (a + b) X + ab$ . Identificăm: $a + b = - 5$ și $ab = 6$ .

Numerele $a$ și $b$ sunt, așadar, rădăcinile ecuației $t^{2} + 5 t + 6 = 0$ (după relațiile lui Viète), adică $t \in {- 2, - 3}$ . Deci ${a, b} = {- 2, - 3}$ , în orice ordine.

Verificare: $(X - 2) (X - 3) = X^{2} - 5 X + 6$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Când polinomul trebuie să fie nul

Determinați $m \in C$ pentru care $f = (m^{2} - 1) X^{3} + (m - 1) X^{2} + (m^{2} - m) X$ este polinomul nul.

Rezolvare. Cerem simultan $m^{2} - 1 = 0$ , $m - 1 = 0$ , $m^{2} - m = 0$ . Soluțiile fiecărei ecuații: ${- 1, 1}$ , ${1}$ , ${0, 1}$ . Intersecția este ${1}$ .

Pentru $m = 1$ : toți coeficienții devin $0$ , deci $f = 0$ ✓. Răspuns: $m = 1$ .

Atenție la varianta care nu are soluție. Dacă am fi avut $g = (m - 1) X^{2} + (m + 1) X$ , condițiile ar fi fost $m = 1$ și $m = - 1$ — imposibil de îndeplinit simultan, deci nu există $m$ pentru care $g$ să fie polinomul nul. Un sistem fără soluție este un răspuns perfect valid. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 1$ . Determinați $a, b \in R$ astfel încât $f = (X - 1) (X^{2} + a X + b)$ .

Rezolvare. Desfacem membrul drept:

$(X - 1) (X^{2} + a X + b) = X^{3} + (a - 1) X^{2} + (b - a) X - b .$

Scriem membrul stâng cu toți coeficienții: $X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X - 1$ . Identificăm rang cu rang:

$a - 1 = 0, b - a = 0, - b = - 1.$

Din prima, $a = 1$ ; din a doua, $b = a = 1$ ; a treia confirmă $b = 1$ . Deci $a = b = 1$ și

$X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + X + 1) .$

Verificare prin desfacere: $X^{3} + X^{2} + X - X^{2} - X - 1 = X^{3} - 1$ ✓. Această descompunere merită memorată — este una dintre formulele care apar cel mai des la examen. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu de identificare, scrie explicit sistemul obținut (o ecuație pentru fiecare rang) și încheie cu verificarea — exact cum cere baremul.

1. Determină $a, b, c \in C$ din $a X^{2} + b X + c = 3 X^{2} - X + 5$ .

2. Determină $a, b, c \in C$ astfel încât $f = (a - 2) X^{3} + (b + 4) X + (c - 1)$ să fie polinomul nul.

3. Determină $a, b \in C$ din $(a + 1) X^{2} + 3 X = 5 X^{2} + (b - 2) X$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f (2) = g (2)$ , atunci $f = g$ ."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două polinoame egale și nenule au același grad."

6. Determină $a, b \in C$ din $X^{2} - 7 X + 12 = (X + a) (X + b)$ .

7. Determină $x, y \in R$ din $(x + y) X + (x - y) = 5 X + 1$ .

8. Determină $a, b \in C$ din $(a - b) X + (a + b) = 2 i X - 4$ .

9. Determină $a, b \in C$ astfel încât $X^{2} + 4 X + 7 = a (X + 2)^{2} + b$ .

10. Scrie polinomul $2 X^{2} - 3 X + 1$ sub forma $a (X - 1)^{2} + b (X - 1) + c$ .

11. Determină $m \in C$ pentru care $f = (m^{2} - 4) X^{2} + (m - 2) X$ este polinomul nul.

12. Determină $m \in C$ pentru care $f = (m^{2} - 1) X + (m + 1)$ este polinomul nul.

13. (Problemă aplicată.) Doi elevi calculează aria aceleiași grădini dreptunghiulare cu laturile $X + 3$ și $X + 5$ metri. Primul scrie $(X + 3) (X + 5)$ , al doilea scrie $X^{2} + 8 X + 15$ . Arată prin identificarea coeficienților că cele două rezultate sunt același polinom.

14. Determină $a, b \in C$ din $X^{3} + 8 = (X + 2) (X^{2} + a X + b)$ .

15. Determină $a, b, c \in C$ din $X^{3} = (X - 1)^{3} + a (X - 1)^{2} + b (X - 1) + c$ . Ce observi despre numerele obținute?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determină $a, b \in R$ astfel încât $X^{4} - 1 = (X^{2} + 1) (X^{2} + a X + b)$ .

17. Determină $a, b \in R$ astfel încât $(a + bi) X^{2} + (2 a - 3 bi) X = (1 - 2 i) X^{2} + (2 + 6 i) X$ .

18. (Provocare.) Se știe că $(X^{2} + a X + b) (X^{2} - a X + b) = X^{4} + 3 X^{2} + 4$ , unde $a, b$ sunt numere reale pozitive. Determină $a$ și $b$ .

Răspunsuri și explicații

1. $a = 3$ , $b = - 1$ , $c = 5$ — identificare directă, rang cu rang.

2. Toți coeficienții trebuie să fie nuli: $a - 2 = 0$ , $b + 4 = 0$ , $c - 1 = 0$ , deci $a = 2$ , $b = - 4$ , $c = 1$ . (Coeficientul lui $X^{2}$ este deja $0$ în scriere, deci nu impune nicio condiție.)

3. Rang $2$ : $a + 1 = 5 \Rightarrow a = 4$ . Rang $1$ : $3 = b - 2 \Rightarrow b = 5$ . Rang $0$ : $0 = 0$ , adevărat.

4. Fals. Coincidența valorilor într-un singur punct nu spune nimic despre coeficienți. Contraexemplu: $f = X$ și $g = X^{2} - 2$ au $f (2) = 2$ și $g (2) = 2$ , dar sunt polinoame diferite (au chiar grade diferite).

5. Adevărat. Egalitatea înseamnă coincidența tuturor coeficienților; atunci și ultimul rang nenul coincide, deci gradele sunt egale (și coeficienții dominanți la fel).

6. $(X + a) (X + b) = X^{2} + (a + b) X + ab$ , deci $a + b = - 7$ și $ab = 12$ . Numerele sunt rădăcinile ecuației $t^{2} + 7 t + 12 = 0$ , adică ${a, b} = {- 3, - 4}$ . Verificare: $(X - 3) (X - 4) = X^{2} - 7 X + 12$ ✓.

7. $x + y = 5$ și $x - y = 1$ . Adunând: $2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ , apoi $y = 2$ . Verificare: $(3 + 2) X + (3 - 2) = 5 X + 1$ ✓.

8. $a - b = 2 i$ și $a + b = - 4$ . Adunând: $2 a = - 4 + 2 i \Rightarrow a = - 2 + i$ ; apoi $b = - 4 - a = - 2 - i$ . Verificare: $a - b = 2 i$ ✓, $a + b = - 4$ ✓.

9. $a (X + 2)^{2} + b = a X^{2} + 4 a X + (4 a + b)$ . Rang $2$ : $a = 1$ . Rang $1$ : $4 a = 4$ ✓ (confirmă). Rang $0$ : $4 + b = 7 \Rightarrow b = 3$ . Deci $X^{2} + 4 X + 7 = (X + 2)^{2} + 3$ — este chiar forma canonică a trinomului.

10. $a (X - 1)^{2} + b (X - 1) + c = a X^{2} + (b - 2 a) X + (a - b + c)$ . Rang $2$ : $a = 2$ . Rang $1$ : $b - 4 = - 3 \Rightarrow b = 1$ . Rang $0$ : $2 - 1 + c = 1 \Rightarrow c = 0$ . Verificare: $2 (X - 1)^{2} + (X - 1) = 2 X^{2} - 4 X + 2 + X - 1 = 2 X^{2} - 3 X + 1$ ✓.

11. Condițiile: $m^{2} - 4 = 0$ și $m - 2 = 0$ , adică $m \in {- 2, 2}$ și $m = 2$ . Intersecția: $m = 2$ .

12. Condițiile: $m^{2} - 1 = 0$ și $m + 1 = 0$ , adică $m \in {- 1, 1}$ și $m = - 1$ . Intersecția: $m = - 1$ .

13. Desfacem: $(X + 3) (X + 5) = X^{2} + 5 X + 3 X + 15 = X^{2} + 8 X + 15$ . Coeficienții coincid rang cu rang ( $1 = 1$ , $8 = 8$ , $15 = 15$ ), deci polinoamele sunt egale și ambii elevi au dreptate. (Verificare rapidă suplimentară: pentru o latură cu $X = 4$ , aria este $7 \cdot 9 = 63$ , iar $16 + 32 + 15 = 63$ ✓.)

14. $(X + 2) (X^{2} + a X + b) = X^{3} + (a + 2) X^{2} + (b + 2 a) X + 2 b$ . Identificăm cu $X^{3} + 8$ : $a + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2$ ; $b + 2 a = 0 \Rightarrow b = 4$ ; $2 b = 8 \Rightarrow b = 4$ ✓. Deci $X^{3} + 8 = (X + 2) (X^{2} - 2 X + 4)$ .

15. $(X - 1)^{3} = X^{3} - 3 X^{2} + 3 X - 1$ , deci membrul drept este $X^{3} + (a - 3) X^{2} + (3 - 2 a + b) X + (- 1 + a - b + c)$ . Identificăm cu $X^{3}$ : $a = 3$ ; $3 - 6 + b = 0 \Rightarrow b = 3$ ; $- 1 + 3 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 1$ . Am obținut $X^{3} = (X - 1)^{3} + 3 (X - 1)^{2} + 3 (X - 1) + 1$ , adică exact dezvoltarea lui $[(X - 1) + 1]^{3}$ după binomul lui Newton: coeficienții $1, 3, 3, 1$ sunt $C_{3}^{0}, C_{3}^{1}, C_{3}^{2}, C_{3}^{3}$ .

16. $(X^{2} + 1) (X^{2} + a X + b) = X^{4} + a X^{3} + (b + 1) X^{2} + a X + b$ . Identificăm cu $X^{4} - 1$ : rang $3$ dă $a = 0$ ; rang $2$ dă $b + 1 = 0 \Rightarrow b = - 1$ ; rang $1$ dă $a = 0$ ✓; rang $0$ dă $b = - 1$ ✓. Deci $a = 0$ , $b = - 1$ și $X^{4} - 1 = (X^{2} + 1) (X^{2} - 1)$ .

17. Rang $2$ : $a + bi = 1 - 2 i$ , iar $a, b$ fiind reale, $a = 1$ și $b = - 2$ . Rang $1$ : $2 a - 3 bi = 2 - 3 (- 2) i = 2 + 6 i$ ✓, condiția este compatibilă. Răspuns: $a = 1$ , $b = - 2$ .

18. Produsul se calculează comod ca diferență de pătrate: $(X^{2} + b + a X) (X^{2} + b - a X) = (X^{2} + b)^{2} - a^{2} X^{2} = X^{4} + (2 b - a^{2}) X^{2} + b^{2}$ . Observă că termenii de rang $3$ și $1$ se anulează automat. Identificăm cu $X^{4} + 3 X^{2} + 4$ : $b^{2} = 4$ , deci $b = 2$ (pozitiv); apoi $2 b - a^{2} = 3$ , adică $4 - a^{2} = 3$ , deci $a^{2} = 1$ și $a = 1$ . Verificare: $(X^{2} + X + 2) (X^{2} - X + 2) = X^{4} + 3 X^{2} + 4$ ✓.

De reținut

Două polinoame sunt egale dacă și numai dacă au aceiași coeficienți, rang cu rang (coeficienții care lipsesc se consideră $0$ ). Egalitatea nu se decide comparând valori.
Un polinom este nul dacă și numai dacă toți coeficienții lui sunt nuli — de aici se nasc sistemele din problemele cu parametri, iar condițiile trebuie satisfăcute simultan.
Metoda identificării coeficienților, în patru pași: aduci la forma algebrică, egalezi rang cu rang, rezolvi sistemul, verifici prin înlocuire.
Identitate polinomială $\neq =$ ecuație. La identitate identifici coeficienții; la ecuație cauți valorile nedeterminatei. Confuzia dintre ele strică rezolvarea din prima linie.
Când necunoscutele sunt reale, iar coeficienții complecși, identificarea are două etaje: rang cu rang, apoi parte reală și parte imaginară.

Greșeli frecvente

Compararea valorilor în loc de coeficienți. „ $f (1) = g (1)$ , deci $f = g$ " este fals: două polinoame diferite pot coincide în oricâte puncte fixate dinainte.
Sărirea unui rang. Dacă un monom lipsește dintr-un membru, coeficientul lui este $0$ și trebuie egalat cu coeficientul corespunzător din celălalt membru. Rangurile „invizibile" sunt exact cele uitate.
Oprirea la prima ecuație compatibilă. Când sistemul are mai multe ecuații decât necunoscute, toate trebuie verificate; una singură contrazisă înseamnă că egalitatea propusă este falsă.
Concluzia „nu se poate" fără justificare. Dacă sistemul nu are soluție, răspunsul corect este „nu există parametri cu proprietatea cerută", însoțit de arătarea contradicției — nu de abandonarea exercițiului.
Identificarea aplicată unei ecuații. La $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ nu se identifică nimic; acolo se caută valorile lui $x$ . Identificarea se aplică între polinoame, nu între o expresie și un număr.

Aplică acasă

Aceeași arie, două formule. Măsoară o cameră din casă și scrie aria ei ca produs de două expresii de forma $(X + p) (X + q)$ , alegând $X$ ca lungimea unei laturi. Desfă produsul, apoi verifică prin identificare că ai obținut același polinom pornind și de la dimensiunile reale.
Rescrie forma canonică. Ia trei trinoame de gradul al doilea din caietul de clasa a IX-a și scrie fiecare sub forma $a (X + p)^{2} + q$ , prin identificarea coeficienților. Compară rezultatul cu forma canonică obținută atunci prin completarea pătratului — trebuie să coincidă.
Descompuneri de memorat. Verifică prin identificare descompunerile $X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + X + 1)$ și $X^{3} + 1 = (X + 1) (X^{2} - X + 1)$ , apoi încearcă să ghicești și să verifici descompunerea lui $X^{3} - 8$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce instrumentul de lucru cel mai des folosit din tot capitolul de polinoame. Verifică trei lucruri: (1) elevul enunță egalitatea prin coeficienți, nu prin valori; (2) scrie sistemul complet, inclusiv ecuațiile provenite din rangurile cu monoame lipsă; (3) încheie cu verificarea prin înlocuire.

Întrebări bune de control: „Dacă două polinoame iau aceeași valoare în $x = 3$ , sunt egale?" (nu); „Ce condiție pune faptul că un polinom este nul?" (toți coeficienții nuli, simultan); „Care e diferența dintre $a X + b = 2 X + 3$ și $2 x + 3 = 7$ ?". Semne că elevul a înțeles: rezolvă corect un exercițiu în care sistemul nu are soluție și îl justifică prin contradicție, în loc să caute cu orice preț un răspuns numeric.

La Bacalaureat M1, identificarea coeficienților apare atât explicit (determinați $a$ și $b$ astfel încât…), cât și implicit, ca pas intermediar în probleme de împărțire cu rest, de descompunere în factori sau de determinare a unui polinom care satisface condiții date. Este un pas care aduce punctaj sigur, dacă redactarea arată sistemul și verificarea.

Întrebări frecvente

Când sunt egale două polinoame? Exact atunci când au aceiași coeficienți, rang cu rang, completând cu zerouri rangurile care lipsesc. Egalitatea nu se stabilește comparând valori, ci comparând liste de coeficienți. Consecință: două polinoame egale și nenule au același grad.

Ce este metoda identificării coeficienților? Este procedeul prin care dintr-o egalitate de polinoame obții un sistem de ecuații: aduci ambii membri la forma algebrică, egalezi coeficienții de același rang, rezolvi sistemul și verifici soluția prin înlocuire. Este cea mai folosită tehnică din capitolul de polinoame.

Când este un polinom egal cu polinomul nul? Când toți coeficienții lui sunt zero. Dacă polinomul depinde de un parametru, obții câte o ecuație pentru fiecare rang, iar valoarea căutată trebuie să le satisfacă pe toate simultan; e posibil ca o astfel de valoare să nu existe.

Cum deosebesc o identitate polinomială de o ecuație? Identitatea cere ca egalitatea să fie adevărată pentru orice valoare a nedeterminatei (ori este scrisă direct între polinoame) — acolo identifici coeficienții. Ecuația cere să găsești valorile pentru care egalitatea devine adevărată — acolo rezolvi. Enunțul o spune, de regulă, prin verbul folosit: „determinați $a$ și $b$ " față de „rezolvați ecuația".

Ce fac dacă sistemul obținut are mai multe ecuații decât necunoscute? Îl rezolvi folosind câteva ecuații, apoi verifici că soluția le satisface și pe celelalte. Ecuațiile în plus funcționează ca un control automat: dacă una se contrazice, egalitatea din enunț este falsă.

Coeficienții pot fi numere complexe la identificare? Da, iar procedeul nu se schimbă. Dacă necunoscutele sunt complexe, rezolvi sistemul direct în $C$ . Dacă necunoscutele sunt reale și apar în coeficienți complecși, adaugi un al doilea pas: egalezi părțile reale între ele și părțile imaginare între ele.

De ce trebuie să verific la final, dacă am calculat corect? Pentru că la desfacerea parantezelor și la reducerea termenilor asemenea se strecoară foarte ușor o greșeală de semn, iar sistemul rezultat pare perfect rezonabil. Verificarea prin înlocuire durează câteva secunde și prinde aproape toate erorile de acest tip.

Unde apare identificarea coeficienților la Bacalaureat M1? În subiectul al treilea, ca pas în probleme de polinoame: determinarea unui polinom care îndeplinește condiții date, completarea unei descompuneri în factori, aflarea câtului și a restului la o împărțire sau determinarea unui parametru pentru care doi factori se potrivesc.