Înmulțirea polinoamelor. Gradul produsului

Arunci trei zaruri. Care este numărul de moduri în care suma fețelor dă exact $10$? Ai putea să le enumeri pe toate, cu răbdare. Sau ai putea face ceva surprinzător: scrii polinomul $g=X+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6$ — câte un monom pentru fiecare față posibilă —, calculezi $g^3$ și citești coeficientul lui $X^{10}$. Răspunsul, $27$, apare direct din calcul.

De ce funcționează? Pentru că la înmulțirea polinoamelor exponenții se adună, iar coeficientul unui $X^k$ din produs numără exact în câte feluri se poate obține suma $k$ din exponenții factorilor. Înmulțirea polinoamelor nu este, așadar, doar „desfacerea parantezelor": este o mașinărie de numărare, folosită în combinatorică, în probabilități și în teoria codurilor. Lecția de față îți dă regula, formula coeficientului, teorema gradului produsului — cu demonstrație — și tehnica prin care extragi un singur coeficient fără să efectuezi tot calculul.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești două polinoame prin desfacerea completă a produsului și prin tabel de coeficienți.
• Vei ști să folosești formula coeficientului $c_k=a_0{b}_k+a_1{b}_{k-1}+\cdots +a_k{b}_0$.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema gradului produsului: $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$.
• Vei ști de ce în $\mathbb{C}[X]$ un produs de polinoame nenule nu poate fi polinomul nul și la ce folosește acest lucru.
• Vei ști să calculezi un singur coeficient al unui produs, fără să efectuezi înmulțirea întreagă.
• Vei ști să înmulțești polinoame cu coeficienți complecși și să recunoști descompunerile care apar cel mai des la examen.

Hai să descoperim împreună

1. Regula: fiecare cu fiecare

Baza este o singură observație despre monoame:

$$\left(a{X}^i\right)\cdot \left(b{X}^j\right)=(ab)X^{i+j}.$$

Coeficienții se înmulțesc, exponenții se adună. Restul este distributivitate: înmulțim fiecare monom al primului polinom cu fiecare monom al celui de-al doilea și apoi reducem termenii asemenea.

Să calculăm $f\cdot g$ pentru $f=2X^2-3X+1$ și $g=X^2+4X-5$. Desfacem, monom cu monom:

$$2X^2\cdot g=2X^4+8X^3-10X^2,-3X\cdot g=-3X^3-12X^2+15X,1\cdot g=X^2+4X-5.$$

Adunăm cele trei rânduri, pe ranguri:

$$f\cdot g=2X^4+(8-3)X^3+(-10-12+1)X^2+(15+4)X-5=2X^4+5X^3-21X^2+19X-5.$$

Metoda seamănă izbitor cu înmulțirea numerelor în coloană — și nu întâmplător: și acolo înmulțești fiecare cifră cu fiecare și aduni pe poziții. Singura diferență e că la polinoame nu există „transport" de la o poziție la alta.

2. Formula coeficientului

Ce coeficient are $X^k$ în produs? Un monom $X^k$ apare de fiecare dată când înmulțim un $a_i{X}^i$ cu un $b_j{X}^j$ pentru care $i+j=k$. Adunând toate aceste contribuții:

Formula coeficientului produsului. Dacă $f$ are coeficienții $a_0,a_1,\dots$ și $g$ are coeficienții $b_0,b_1,\dots$, atunci coeficientul de rang $k$ al produsului $fg$ este

$$c_k=\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j=a_0{b}_k+a_1{b}_{k-1}+a_2{b}_{k-2}+\cdots +a_k{b}_0.$$

Reține tiparul: indicii merg în sens contrar — primul crește, al doilea scade, iar suma lor rămâne mereu $k$. Coeficienții care nu există (peste gradul polinomului) se consideră nuli.

Două cazuri particulare sunt utile pe loc:

• $c_0=a_0{b}_0$ — termenul liber al produsului este produsul termenilor liberi;
• coeficientul de rang maxim este $a_n{b}_m$ — produsul coeficienților dominanți.

3. Teorema gradului produsului

Al doilea caz particular de mai sus este chiar cheia teoremei centrale a lecției.

Teoremă. Fie $f,g\in \mathbb{C}[X]$ polinoame nenule, cu $\mathrm{grad}f=n$ și $\mathrm{grad}g=m$. Atunci $fg$ este nenul și

$$\mathrm{grad}(f\cdot g)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g=n+m.$$

Demonstrație. Fie $a_n\ne 0$ coeficientul dominant al lui $f$ și $b_m\ne 0$ cel al lui $g$.

Peste rangul $n+m$ nu poate apărea niciun termen: pentru a obține $X^k$ cu $k>n+m$ ar trebui $i+j=k$ cu $i\le n$ și $j\le m$, deci $i+j\le n+m<k$ — imposibil. Așadar toți coeficienții de rang mai mare decât $n+m$ sunt nuli.

La rangul $n+m$, singura pereche de indici cu $i+j=n+m$, $i\le n$ și $j\le m$ este $i=n$, $j=m$. Prin urmare

$$c_{n+m}=a_n{b}_m.$$

Cum $a_n\ne 0$ și $b_m\ne 0$, iar în $\mathbb{C}$ produsul a două numere nenule este nenul, rezultă $c_{n+m}\ne 0$. Deci $fg$ este nenul și are gradul exact $n+m$. $■$

Compară cu situația de la adunare: acolo aveam o inegalitate, pentru că termenii dominanți se pot anula prin adunare. La înmulțire avem egalitate, pentru că doi coeficienți nenuli nu se pot anula prin înmulțire. Este o diferență de fond, nu o coincidență.

4. Consecințe: fără divizori ai lui zero, cu simplificare

Din teoremă decurg două proprietăți pe care le vei folosi tot capitolul.

Consecința 1. Dacă $f\cdot g=0$, atunci $f=0$ sau $g=0$.

Într-adevăr: dacă ambele ar fi nenule, produsul ar avea gradul $n+m$, deci ar fi nenul — contradicție. Spunem că $\mathbb{C}[X]$ nu are divizori ai lui zero. Este exact proprietatea care te lasă să scrii, la o ecuație, „produs nul înseamnă un factor nul".

Consecința 2 (regula simplificării). Dacă $f\cdot h=g\cdot h$ și $h\ne 0$, atunci $f=g$.

Într-adevăr, $fh-gh=(f-g)h=0$, iar cum $h\ne 0$, din Consecința 1 rezultă $f-g=0$, adică $f=g$. $■$

Consecința 3 (puteri). Pentru $f$ nenul și $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $\mathrm{grad}(f^k)=k\cdot \mathrm{grad}f$. Se obține aplicând teorema de $k-1$ ori.

5. Proprietățile înmulțirii

Pentru orice $f,g,h\in \mathbb{C}[X]$:

1. Comutativitatea: $fg=gf$.
2. Asociativitatea: $(fg)h=f(gh)$.
3. Element neutru: $f\cdot 1=f$, unde $1$ este polinomul constant $1$.
4. Distributivitatea față de adunare: $f(g+h)=fg+fh$.

Comutativitatea se vede direct din formula coeficientului: $c_k={\sum }_{i+j=k}{a}_i{b}_j$ este o sumă simetrică în cele două liste, iar înmulțirea numerelor complexe este comutativă. Celelalte se demonstrează la fel, comparând coeficient cu coeficient.

Împreună cu proprietățile adunării, acestea spun că $\mathbb{C}[X]$ este un inel comutativ — denumirea o vei studia riguros în clasa a XII-a. Ce contează acum este consecința practică: cu polinoamele poți calcula exact ca și cu numerele, cu o singură excepție majoră — împărțirea nu dă întotdeauna un polinom, motiv pentru care ea are nevoie de o teoremă proprie, cu cât și rest.

6. Formule de calcul prescurtat și binomul lui Newton

Formulele din gimnaziu funcționează identic pentru polinoame:

$$(f+g{)}^2=f^2+2fg+g^2,(f-g)(f+g)=f^2-g^2,(f\pm g{)}^3=f^3\pm 3f^{2}g+3f{g}^2\pm g^3.$$

Pentru puteri mai mari se folosește binomul lui Newton, cu coeficienții $C_n^k$. De exemplu

$$(2X-1{)}^3=C_3^0(2X{)}^3-C_3^1(2X{)}^2+C_3^2(2X)-C_3^3=8X^3-12X^2+6X-1.$$

Merită memorate și trei descompuneri care apar an de an la Bacalaureatul M1:

$$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1),X^3+1=(X+1)(X^2-X+1),X^2+1=(X-i)(X+i).$$

Ultima este specifică lucrului în $\mathbb{C}[X]$: în $\mathbb{R}[X]$ polinomul $X^2+1$ nu se poate descompune în factori de gradul întâi.

7. Extragerea unui singur coeficient

Iată tehnica de examen: când ți se cere un singur coeficient al unui produs, nu efectua tot calculul — folosește formula lui $c_k$.

Care este coeficientul lui $X^3$ în $(2X^2-X+3)(X^3+4X^2-2X+1)$?

Scriem coeficienții în ordine crescătoare a rangului:

$$f:a_0=3,a_1=-1,a_2=2;g:b_0=1,b_1=-2,b_2=4,b_3=1.$$

Aplicăm formula pentru $k=3$, perechile de indici cu suma $3$:

$$c_3=a_0{b}_3+a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_0=3\cdot 1+(-1)\cdot 4+2\cdot (-2)+0\cdot 1=3-4-4=-5.$$

Patru înmulțiri și trei adunări, în loc de douăsprezece înmulțiri și o reducere completă. (Pentru control, produsul întreg este $2X^5+7X^4-5X^3+16X^2-7X+3$ — coeficientul lui $X^3$ este într-adevăr $-5$.)

8. Coeficienți complecși

Regula nu se schimbă; se schimbă doar aritmetica din interiorul parantezelor, cea studiată la înmulțirea numerelor complexe. Fie $f=(1+i)X-2$ și $g=(1-i)X+i$. Calculăm pe ranguri:

• rang $2$: $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$;
• rang $1$: $(1+i)\cdot i+(-2)(1-i)=(i+i^2)+(-2+2i)=(-1+i)+(-2+2i)=-3+3i$;
• rang $0$: $(-2)\cdot i=-2i$.

Deci $fg=2X^2+(-3+3i)X-2i$. Gradul este $1+1=2$, exact cât prevede teorema.

Control prin evaluare în $x=1$: $f(1)=(1+i)-2=-1+i$ și $g(1)=(1-i)+i=1$, deci produsul valorilor este $-1+i$; iar $(fg)(1)=2+(-3+3i)-2i=-1+i$ ✓. Proprietatea folosită aici, $(fg)(x)=f(x)\cdot g(x)$, se demonstrează în lecția Valoarea unui polinom. Funcția polinomială și este cel mai bun detector de erori pe care îl ai.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Produs desfășurat complet

Calculați $f\cdot g$ pentru $f=2X^2-3X+1$ și $g=X^2+4X-5$ și verificați rezultatul.

Rezolvare. Desfacem monom cu monom și reducem:

$$fg=2X^4+5X^3-21X^2+19X-5.$$

Gradul este $2+2=4$ ✓, iar coeficientul dominant este $2\cdot 1=2$ ✓, ca în teoremă.

Control prin evaluare în $x=2$: $f(2)=8-6+1=3$, $g(2)=4+8-5=7$, produsul $21$; iar $(fg)(2)=32+40-84+38-5=21$ ✓. Control în $x=-1$: $f(-1)=6$, $g(-1)=-8$, produsul $-48$; iar $(fg)(-1)=2-5-21-19-5=-48$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Produs cu coeficienți complecși

Calculați $f\cdot g$ pentru $f=(1+i)X-2$ și $g=(1-i)X+i$.

Rezolvare. Pe ranguri: $(1+i)(1-i)=2$; $(1+i)i-2(1-i)=(-1+i)+(-2+2i)=-3+3i$; $(-2)i=-2i$. Deci

$$fg=2X^2+(-3+3i)X-2i,\mathrm{grad}(fg)=2.$$

Control în $x=i$: $f(i)=(1+i)i-2=-1+i-2=-3+i$; $g(i)=(1-i)i+i=i+1+i=1+2i$; produsul $(-3+i)(1+2i)=-3-6i+i-2=-5-5i$. Iar $(fg)(i)=2i^2+(-3+3i)i-2i=-2-3i-3-2i=-5-5i$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Produse care „curăță" partea imaginară

Calculați $(X+i)(X-i)$ și $(X-(1+i))(X-(1-i))$.

Rezolvare. Primul este o diferență de pătrate: $(X+i)(X-i)=X^2-i^2=X^2+1$.

La al doilea, grupăm folosind suma și produsul celor două numere: suma este $(1+i)+(1-i)=2$, iar produsul este $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$. Atunci

$$(X-(1+i))(X-(1-i))=X^2-2X+2.$$

Observă tiparul: produsul a doi factori corespunzători unor numere conjugate are coeficienți reali. Este exact fenomenul care stă în spatele relațiilor lui Viète și care va reveni la descompunerea polinoamelor cu coeficienți reali. $■$

Exemplul 4 — Un singur coeficient

Determinați coeficientul lui $X^3$ din produsul $(2X^2-X+3)(X^3+4X^2-2X+1)$, fără a efectua înmulțirea completă.

Rezolvare. Coeficienții, în ordine crescătoare: $f:3,-1,2$ și $g:1,-2,4,1$. Perechile de indici cu suma $3$ dau

$$c_3=3\cdot 1+(-1)\cdot 4+2\cdot (-2)=3-4-4=-5.$$

Răspuns: coeficientul lui $X^3$ este $-5$. $■$

Exemplul 5 — Puteri și grade

a) Calculați $(2X-1{)}^3$. b) Dacă $\mathrm{grad}f=4$ și $\mathrm{grad}g=3$, ce grad are $f^2\cdot g$?

Rezolvare. a) Cu binomul lui Newton, cu coeficienții $C_3^0=1$, $C_3^1=3$, $C_3^2=3$, $C_3^3=1$:

$$(2X-1{)}^3=8X^3-3\cdot 4X^2+3\cdot 2X-1=8X^3-12X^2+6X-1.$$

Control în $x=1$: $(2-1{)}^3=1$, iar $8-12+6-1=1$ ✓.

b) $\mathrm{grad}(f^{2}g)=2\cdot \mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g=2\cdot 4+3=11$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinoamele $f=X^2-X+1$ și $g=X+1$. a) Calculați $f\cdot g$. b) Determinați gradul polinomului $f\cdot g^2$.

Rezolvare. a) Desfacem:

$$(X^2-X+1)(X+1)=X^3+X^2-X^2-X+X+1=X^3+1.$$

Se reduc atât termenii de rang $2$, cât și cei de rang $1$ — de aici forma neașteptat de simplă a rezultatului. Control în $x=2$: $f(2)=3$, $g(2)=3$, produsul $9$; iar $2^3+1=9$ ✓.

b) Aplicăm teorema gradului produsului de două ori:

$$\mathrm{grad}(f\cdot g^2)=\mathrm{grad}f+2\cdot \mathrm{grad}g=2+2\cdot 1=4.$$

Observă că răspunsul la b) se dă fără niciun calcul: teorema gradului îți spune rezultatul direct din gradele factorilor. Aceasta este utilitatea ei principală la examen. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare produs, verifică gradul cu teorema (suma gradelor) și fă un control prin evaluare în $x=1$: valoarea produsului trebuie să fie produsul valorilor.

1. Calculează $(X+3)(X-2)$.

2. Calculează $(2X-1)(X^2+X+3)$.

3. Calculează $(X^2-2X+3)(X^2+2X-1)$.

4. Calculează $(X+2i)(X-2i)$.

5. Calculează $(1+i)X\cdot (1-i)X^2$.

6. Calculează $((2-i)X+1)(X+i)$.

7. Dacă $\mathrm{grad}f=7$ și $\mathrm{grad}g=5$, ce grad are $f\cdot g$? Justifică.

8. Dacă $\mathrm{grad}f=3$, ce grad are $f^4$?

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există polinoame nenule $f$ și $g$ din $\mathbb{C}[X]$ cu $f\cdot g=0$."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\mathrm{grad}(f\cdot g)=\mathrm{grad}f\cdot \mathrm{grad}g$."

11. Determină coeficientul lui $X^2$ din $(X^3-2X+5)(2X^2+X-3)$, fără a efectua tot produsul.

12. Determină coeficientul lui $X^4$ din $(X^2+X+1)(X^3-X+2)$, fără a efectua tot produsul.

13. Determină $a\in \mathbb{C}$ astfel încât $(X+a)(X+3)=X^2+7X+12$.

14. (Problemă aplicată.) O grădină dreptunghiulară are laturile $X+5$ metri și $2X+3$ metri. a) Scrie polinomul ariei. b) Ce grad are? c) Calculează aria pentru $X=4$, în două moduri.

15. Calculează $(X-1)(X^2+X+1)$ și $(X+1)(X^2-X+1)$. Ce formule ai obținut?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f=X^2+1$ și $g=X^2-2X+2$. a) Calculează $f\cdot g$. b) Determină gradul polinomului $f^2\cdot g$.

17. Determină polinomul $f$ de gradul întâi, monic, astfel încât $f\cdot (X-3)=X^2-X-6$.

18. (Provocare.) Fie $g=X+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6$, polinomul „unui zar". Explică de ce coeficientul lui $X^{10}$ din $g^3$ este numărul de moduri în care suma fețelor la trei zaruri dă $10$, apoi calculează-l. Cât este suma tuturor coeficienților lui $g^3$ și ce semnificație are?

Răspunsuri și explicații

1. $(X+3)(X-2)=X^2-2X+3X-6=X^2+X-6$. Grad $1+1=2$ ✓.

2. $2X^3+2X^2+6X-X^2-X-3=2X^3+X^2+5X-3$. Control în $x=1$: $1\cdot 5=5$ și $2+1+5-3=5$ ✓.

3. Pe ranguri: $c_0=3\cdot (-1)=-3$; $c_1=3\cdot 2+(-2)(-1)=8$; $c_2=3\cdot 1+(-2)\cdot 2+1\cdot (-1)=-2$; $c_3=(-2)\cdot 1+1\cdot 2=0$; $c_4=1$. Deci produsul este $X^4-2X^2+8X-3$. Control în $x=-1$: $6\cdot (-2)=-12$ și $1-2-8-3=-12$ ✓.

4. $(X+2i)(X-2i)=X^2-(2i{)}^2=X^2+4$.

5. $(1+i)(1-i)\cdot X\cdot X^2=2X^3$. (Coeficienții se înmulțesc, exponenții se adună.)

6. Rang $2$: $2-i$; rang $1$: $(2-i)i+1=2i+1+1=2+2i$; rang $0$: $i$. Deci produsul este $(2-i)X^2+(2+2i)X+i$. Control în $x=1$: $(3-i)(1+i)=4+2i$, iar $(2-i)+(2+2i)+i=4+2i$ ✓.

7. $\mathrm{grad}(fg)=7+5=12$, conform teoremei: coeficientul de rang $12$ este produsul coeficienților dominanți, nenul pentru că în $\mathbb{C}$ produsul a două numere nenule este nenul.

8. $\mathrm{grad}(f^4)=4\cdot 3=12$.

9. Fals. Dacă ambele ar fi nenule, produsul ar avea gradul $\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$, deci ar fi nenul. În $\mathbb{C}[X]$ nu există divizori ai lui zero.

10. Fals. Gradele se adună, nu se înmulțesc: $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$. Contraexemplu imediat: $f=g=X$ dau $fg=X^2$, cu gradul $2=1+1$, nu $1\cdot 1=1$.

11. Coeficienții crescător: $f:5,-2,0,1$ și $g:-3,1,2$. Perechile cu suma indicilor $2$: $c_2=5\cdot 2+(-2)\cdot 1+0\cdot (-3)=10-2=8$.

12. Coeficienții crescător: $f:1,1,1$ și $g:2,-1,0,1$. Perechile cu suma indicilor $4$ (ținând cont că $f$ nu are coeficienți peste rangul $2$): $c_4=a_1{b}_3+a_2{b}_2=1\cdot 1+1\cdot 0=1$.

13. $(X+a)(X+3)=X^2+(a+3)X+3a$. Identificând: $a+3=7$ și $3a=12$, ambele dau $a=4$ ✓.

14. a) $(X+5)(2X+3)=2X^2+3X+10X+15=2X^2+13X+15$. b) Gradul este $1+1=2$. c) Direct: $2\cdot 16+52+15=99$ metri pătrați; pe laturi: $(4+5)(8+3)=9\cdot 11=99$ ✓.

15. $(X-1)(X^2+X+1)=X^3-1$ și $(X+1)(X^2-X+1)=X^3+1$ — în ambele cazuri se reduc termenii de rang $2$ și de rang $1$. Sunt descompunerile diferenței și sumei de cuburi, de memorat pentru examen.

16. a) Pe ranguri: $c_0=1\cdot 2=2$; $c_1=1\cdot (-2)+0\cdot 2=-2$; $c_2=1\cdot 1+0\cdot (-2)+1\cdot 2=3$; $c_3=0\cdot 1+1\cdot (-2)=-2$; $c_4=1$. Deci $fg=X^4-2X^3+3X^2-2X+2$. Control în $x=i$: $f(i)=0$, deci produsul trebuie să fie $0$; într-adevăr $1+2i-3-2i+2=0$ ✓. b) $\mathrm{grad}(f^{2}g)=2\cdot 2+2=6$.

17. Fie $f=X+a$ (monic, de gradul întâi). Atunci $(X+a)(X-3)=X^2+(a-3)X-3a$. Identificând cu $X^2-X-6$: $a-3=-1$ și $-3a=-6$, ambele dau $a=2$. Deci $f=X+2$ ✓.

18. Fiecare factor $g$ reprezintă un zar: monomul $X^j$ înseamnă „zarul a arătat fața $j$". La înmulțirea a trei astfel de polinoame, un termen din produs se obține alegând câte un monom din fiecare factor, iar exponenții se adună — deci fiecare rezultat posibil al aruncării $(j_1,j_2,j_3)$ contribuie cu un $1$ la coeficientul lui $X^{j_1+j_2+j_3}$. Prin urmare coeficientul lui $X^{10}$ numără exact tripletele cu suma $10$.

Calculul dă $g^3=X^3+3X^4+6X^5+10X^6+15X^7+21X^8+25X^9+27X^{10}+27X^{11}+25X^{12}+21X^{13}+15X^{14}+10X^{15}+6X^{16}+3X^{17}+X^{18}$, deci coeficientul lui $X^{10}$ este $27$.

Suma tuturor coeficienților este $6^3=216$ (se obține înlocuind nedeterminata cu $1$: $g(1)=6$, deci $g^3$ evaluat în $1$ dă $216$) — adică numărul total de rezultate posibile la aruncarea a trei zaruri. Coeficientul $27$ arată, așadar, că probabilitatea sumei $10$ este $\frac{27}{216}=\frac{1}{8}$.

De reținut

• Înmulțirea monoamelor: coeficienții se înmulțesc, exponenții se adună — $(a{X}^i)(b{X}^j)=ab{X}^{i+j}$. Restul este distributivitate: fiecare monom cu fiecare, apoi reducere.
• Formula coeficientului: $c_k=a_0{b}_k+a_1{b}_{k-1}+\cdots +a_k{b}_0$, cu indici care merg în sens contrar. În particular, termenul liber al produsului este produsul termenilor liberi.
• Teorema gradului: pentru $f$ și $g$ nenule, $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$ — egalitate, spre deosebire de adunare, pentru că produsul coeficienților dominanți nu se poate anula în $\mathbb{C}$.
• Consecințe: un produs de polinoame nenule este nenul ($\mathbb{C}[X]$ nu are divizori ai lui zero) și se poate simplifica: din $fh=gh$ cu $h\ne 0$ rezultă $f=g$. Pentru puteri, $\mathrm{grad}(f^k)=k\mathrm{grad}f$.
• Descompuneri de memorat: $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$, $X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$, $X^2+1=(X-i)(X+i)$.

Greșeli frecvente

• Înmulțirea exponenților. $(a{X}^i)(b{X}^j)$ dă $X^{i+j}$, nu $X^{ij}$. Aceeași greșeală apare și la grade: gradele produsului se adună.
• Produse parțiale uitate. La desfacere trebuie făcute toate cele $(n+1)(m+1)$ produse de monoame. Cel mai des se pierd cele care implică termenul liber sau rangurile lipsă.
• Formula coeficientului aplicată greșit. În $c_k$, suma indicilor trebuie să fie exact $k$; dacă un indice depășește gradul polinomului, coeficientul respectiv este $0$ și termenul dispare.
• Confuzia dintre regula gradului la sumă și la produs. La sumă: cel mult maximul, cu posibilă scădere. La produs: exact suma, fără excepții (pentru polinoame nenule).
• Concluzia „produs nul, deci factorii pot fi orice". În $\mathbb{C}[X]$, dacă produsul e polinomul nul, atunci unul dintre factori este polinomul nul — nu există alte posibilități.

Aplică acasă

1. Camera ta ca produs. Măsoară lungimea și lățimea camerei tale și scrie-le sub forma $X+p$ și $X+q$, alegând $X$ ca o dimensiune de referință (de exemplu $2$ metri). Calculează polinomul ariei, apoi verifică valoarea obținută pentru dimensiunile reale, înmulțind direct.

2. Zarurile și polinomul. Aruncă două zaruri de $36$ de ori și notează de câte ori a apărut fiecare sumă. Compară frecvențele obținute cu coeficienții lui $g^2$, unde $g=X+X^2+\cdots +X^6$ (calculează-i: sunt $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ pentru sumele de la $2$ la $12$). Explică de ce suma $7$ este cea mai frecventă.

3. Fabrica de descompuneri. Alege trei perechi de numere complexe conjugate (de exemplu $2\pm i$) și calculează, pentru fiecare, produsul $(X-(a+bi))(X-(a-bi))$. Verifică de fiecare dată că rezultatul are coeficienți reali și găsește regula care leagă coeficienții de $a$ și $b$.

Pentru părinți și profesori

Lecția are două straturi. Stratul de calcul (desfacerea produsului) este accesibil, dar cere ordine: cele mai multe greșeli vin din produse parțiale omise. Stratul teoretic — teorema gradului produsului și consecințele ei — este cel care contează pentru capitolul întreg: el garantează că algoritmul împărțirii se oprește, că descompunerile în factori sunt bine definite și că „produs nul înseamnă factor nul".

Verifică: (1) elevul adună exponenții și nu îi înmulțește; (2) enunță teorema gradului cu ipoteza „polinoame nenule"; (3) poate calcula un singur coeficient cu formula, fără să desfacă tot produsul. Întrebări bune de control: „Ce grad are $f^3$ dacă $f$ are gradul $5$?" ($15$); „Poate produsul a două polinoame de gradul $2$ să aibă gradul $3$?" (nu, niciodată); „Care e termenul liber al produsului?" (produsul termenilor liberi).

La Bacalaureat M1, calculul unui produs apare frecvent ca prim subpunct al problemei de polinoame, iar teorema gradului apare ca justificare cerută explicit („arătați că…"). Tehnica extragerii unui singur coeficient economisește minute prețioase la subiectul al treilea și merită exersată separat.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc două polinoame? Se înmulțește fiecare monom al primului polinom cu fiecare monom al celui de-al doilea — coeficienții se înmulțesc, exponenții se adună — apoi se reduc termenii asemenea. Procedeul este identic cu înmulțirea numerelor în coloană, doar că nu există transport între poziții.

Ce grad are produsul a două polinoame? Suma gradelor: $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$, pentru polinoame nenule. Motivul este că respectivul coeficient de rang maxim este produsul coeficienților dominanți, iar în $\mathbb{C}$ produsul a două numere nenule nu poate fi zero.

De ce la sumă avem inegalitate, iar la produs egalitate? Pentru că doi coeficienți nenuli se pot anula prin adunare ($3$ și $-3$), dar nu se pot anula prin înmulțire. La sumă, termenii dominanți se pot reduce și gradul scade; la produs, coeficientul de rang maxim rămâne sigur nenul.

Cum aflu un singur coeficient al unui produs, fără să-l calculez tot? Folosești formula $c_k=a_0{b}_k+a_1{b}_{k-1}+\cdots +a_k{b}_0$: aduni toate produsele de coeficienți ai căror indici au suma $k$. Coeficienții inexistenți (peste gradul polinomului) se iau $0$. Metoda cere doar câteva înmulțiri, în loc de desfacerea completă.

Poate produsul a două polinoame nenule să fie polinomul nul? Nu, în $\mathbb{C}[X]$. Dacă ambele sunt nenule, produsul are gradul egal cu suma gradelor, deci este nenul. Spunem că $\mathbb{C}[X]$ nu are divizori ai lui zero — proprietate care justifică raționamentul „produs nul înseamnă un factor nul".

Se pot simplifica polinoamele într-o egalitate? Da, cu condiția ca factorul simplificat să fie nenul: dacă $fh=gh$ și $h\ne 0$, atunci $f=g$. Demonstrația trece prin $(f-g)h=0$ și prin absența divizorilor lui zero.

Ce descompuneri merită învățate pe de rost? $X^2-a^2=(X-a)(X+a)$, $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$, $X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$ și, specific lucrului în $\mathbb{C}[X]$, $X^2+1=(X-i)(X+i)$. Ele apar în majoritatea problemelor de descompunere din subiectele de examen.

La ce folosește înmulțirea polinoamelor în afara algebrei? La numărare. Coeficientul lui $X^k$ dintr-un produs numără în câte moduri se poate obține „suma $k$" alegând câte un termen din fiecare factor — de aceea polinoamele apar în probleme cu zaruri, cu monede sau cu partiții, precum și în codurile corectoare de erori folosite de telefoane și de discurile optice.