Egalitatea a două polinoame: pe scurt

Două polinoame sunt egale exact atunci când au aceiași coeficienți, rang cu rang (rangurile lipsă se consideră $0$). În particular, un polinom este nul dacă și numai dacă toți coeficienții lui sunt nuli — de aici se nasc sisteme de ecuații în probleme cu parametri, care trebuie satisfăcute simultan.

Metoda identificării coeficienților, în patru pași: aduci ambii membri la forma algebrică, egalezi coeficienții de același rang, rezolvi sistemul obținut, verifici prin înlocuire. Este unealta cea mai folosită din tot capitolul.

Deosebire esențială: o identitate polinomială (egalitate între polinoame, sau valabilă „pentru orice $X$”) se rezolvă prin identificare; o ecuație (valabilă doar pentru anumite valori) se rezolvă căutând acele valori — cele două tehnici nu se amestecă niciodată.

Când coeficienții sunt complecși, dar necunoscutele sunt reale, identificarea are două etaje: întâi rang cu rang, apoi (pe fiecare egalitate rezultată) parte reală cu parte reală și parte imaginară cu parte imaginară. Metoda se aplică și la rescrierea unui polinom după puterile lui $X-a$, tehnică ce revine la schema lui Horner și la rădăcinile multiple.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați $a,b,c\in \mathbb{C}$ din $a{X}^2+(b-3)X+c=4X^2+5X-2$.

   • a) $a=4,b=8,c=-2$
   • b) $a=4,b=5,c=-2$
   • c) $a=4,b=8,c=2$
   • d) $a=-4,b=8,c=-2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $a=4,b=8,c=-2$

   Rang $2$: $a=4$. Rang $1$: $b-3=5\Rightarrow b=8$. Rang $0$: $c=-2$.

2. Pentru ce $m\in \mathbb{C}$ este nul polinomul $f=(m^2-9)X^2+(m-3)X$?

   • a) $-3$
   • b) $3$
   • c) $3$ sau $-3$
   • d) nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $3$

   Cerem simultan $m^2-9=0$ (deci $m\in \{-3,3\}$) și $m-3=0$ (deci $m=3$). Singura valoare comună este $m=3$.

3. Determinați $x,y\in \mathbb{R}$ din $(x+y)X+(x-y)=7X+3$.

   • a) $x=7,y=3$
   • b) $x=2,y=5$
   • c) $x=5,y=2$
   • d) $x=3,y=7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x=5,y=2$

   Din $x+y=7$ și $x-y=3$, adunând obținem $2x=10$, deci $x=5$ și $y=2$.