Formula de recurență a combinărilor (M2, științe ale naturii)

Un laborator de hidrochimie a primit $27$ de probe de apă, iar aparatul de analiză are loc pentru un lot de $5$ probe odată. Una dintre probe vine dintr-un izvor termal și are o compoziție neobișnuită, așa că tehnicianul vrea să știe: câte dintre loturile posibile o conțin și câte nu? Întrebarea pare să ceară două numărători noi, dar ascunde o idee care leagă între ele toate combinările: dacă urmărești un singur element, orice alegere fie îl conține, fie nu, iar fiecare dintre cele două situații se numără ca o alegere dintr-o mulțime cu un element mai puțin. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”, și transformă această idee într-o formulă de calcul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține combinările, fără să numească explicit formula de recurență printre proprietățile lor.

Vii de la combinările complementare, unde ai comparat alegerea cu ce rămâne afară. Aici comparăm alegerile între ele, după soarta unui element fixat.

Ce vei învăța

• Vei ști să împarți alegerile de $k$ elemente în cele care conțin și cele care nu conțin un element fixat și să le numeri separat.
• Vei ști să scrii formula de recurență $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ și condițiile ei, $n\ge 2$ și $1\le k\le n-1$.
• Vei ști să restrângi o sumă de două combinări cu același $n$ și indici de sus vecini într-o singură combinare.
• Vei ști să obții o combinare nouă doar prin adunări, din două combinări cunoscute.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu o sumă sau o diferență de combinări vecine prin produse de numere consecutive.
• Vei ști să citești și să completezi un tabel de combinări generat într-o foaie de calcul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se schimbă dacă urmărești un singur element?

Formula de recurență a combinărilor este egalitatea

$$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k,$$

valabilă pentru orice numere naturale $n$ și $k$ cu $n\ge 2$ și $1\le k\le n-1$. Ea spune că numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente se obține din două numere „de pe rândul de dinainte”, cel al mulțimilor cu $n-1$ elemente.

Ca să vezi de unde vine, ia cinci vitamine, A, C, D, E și B12, și formează suplimente din câte două vitamine. Urmărește vitamina B12. Suplimentele care o conțin sunt determinate de partenerul ei, ales dintre celelalte patru vitamine: sunt $C_4^1=4$. Suplimentele care nu o conțin își aleg ambele vitamine dintre celelalte patru: sunt $C_4^2=6$. Cele două grupe nu au nimic în comun și, împreună, cuprind toate suplimentele, deci numărul total de suplimente este $4+6=10$, adică $C_5^2$.

2. De ce se adună cele două numere?

Raționamentul cu vitaminele funcționează pentru orice mulțime. Fie $M$ o mulțime cu $n$ elemente, $n\ge 2$, și $x$ un element al ei, ales dinainte și ținut fix. Submulțimile lui $M$ cu $k$ elemente se împart în două grupe.

Prima grupă cuprinde submulțimile care îl conțin pe $x$. Una dintre ele e complet descrisă de celelalte $k-1$ elemente ale ei, care vin din cele $n-1$ elemente diferite de $x$; sunt $C_{n-1}^{k-1}$ astfel de submulțimi. În a doua grupă intră submulțimile din care $x$ lipsește; ele își iau toți cei $k$ membri tot din cele $n-1$ elemente rămase, deci sunt $C_{n-1}^k$. O submulțime nu poate fi în ambele grupe și nu poate lipsi din amândouă, așa că, după regula sumei, numerele se adună.

Revino la laboratorul de hidrochimie. Loturile care conțin proba din izvorul termal își aleg celelalte patru probe dintre $26$: sunt $C_{26}^4=14950$. Loturile fără ea sunt $C_{26}^5=65780$. Împreună,

$$C_{27}^5=C_{26}^4+C_{26}^5=14950+65780=80730.$$

Tehnicianul află astfel și partea loturilor care conțin proba „ciudată”: ceva mai puțin de o cincime dintre ele, adică exact $\frac{5}{27}$, fiindcă fiecare probă apare în tot atâtea loturi ca oricare alta.

3. Pentru ce valori are sens formula?

Ambele grupe trebuie să aibă sens. Dacă $k=0$, prima grupă ar cere „$k-1=-1$ elemente”, ceea ce nu înseamnă nimic; dacă $k=n$, a doua grupă ar cere $n$ elemente dintr-o mulțime cu $n-1$ elemente, imposibil. De aceea condiția $1\le k\le n-1$ nu e o formalitate, ci chiar domeniul în care ambele numere există. La capete nici nu ai nevoie de formulă: $C_n^0=C_n^n=1$, după lecția despre combinări.

4. Cum restrângi o sumă de două combinări vecine?

Citită de la dreapta la stânga și cu $n$ înlocuit prin $n+1$ și $k$ prin $k+1$, formula devine

$$C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1},0\le k\le n-1.$$

Trei lucruri trebuie să se potrivească: cele două combinări au același număr de elemente $n$, indicii lor de sus sunt consecutivi, iar rezultatul are $n$ mărit cu $1$, iar ca indice de sus îl păstrează pe maximul celor doi indici. De exemplu, $C_{29}^{11}+C_{29}^{12}=C_{30}^{12}$, fără să fi calculat vreunul dintre cele trei numere, care au opt cifre. Restrângerea e utilă tocmai când numerele sunt mari: ea transformă o sumă pe care nu o poți calcula ușor într-o singură expresie.

5. Cum afli o combinare nouă doar din adunări?

Dacă știi două combinări vecine cu același $n$, formula îți dă combinarea de „sub” ele fără nicio înmulțire. Din $C_{71}^2=2485$ și $C_{71}^3=57155$ rezultă imediat

$$C_{72}^3=2485+57155=59640.$$

Programa recomandă să ilustrezi recurența cu instrumente digitale, iar aici se vede de ce: o foaie de calcul în care fiecare celulă adună două celule de pe rândul de deasupra produce, rând după rând, toate combinările, fără factoriale și fără numere uriașe la numitor. Construcția completă a tabloului, rând cu rând, e subiectul lecției despre triunghiul lui Pascal.

6. Cum verifici formula cu factoriale?

Argumentul prin numărare e cel care explică formula; calculul cu factoriale confirmă, pe o cale independentă, că nu s-a strecurat nicio greșeală. Scriem ambii termeni din dreapta cu numitorul $k!(n-k)!$:

$$C_{n-1}^{k-1}=\frac{(n-1)!\cdot k}{k!(n-k)!},C_{n-1}^k=\frac{(n-1)!\cdot (n-k)}{k!(n-k)!}.$$

Primul a primit factorul $k$ la numărător, fiindcă $k!=k\cdot (k-1)!$; al doilea, factorul $n-k$, fiindcă $(n-k)!=(n-k)(n-k-1)!$. Suma numărătorilor este $(n-1)!\cdot (k+n-k)=(n-1)!\cdot n=n!$, deci suma celor două fracții este chiar $C_n^k$.

7. Cum rezolvi o ecuație cu o sumă de două combinări vecine?

Restrângi întâi, apoi rezolvi. Fie ecuația $C_n^3+C_n^4=20475$, cu $n\ge 4$. Suma se restrânge la $C_{n+1}^4$, deci $\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}=20475$, adică produsul a patru numere naturale consecutive este $491400$. Rădăcina de ordinul patru a lui $491400$ este aproximativ $26,5$, deci cele patru numere se caută în jurul ei: $25\cdot 26\cdot 27\cdot 28=491400$. De aici $n+1=28$ și $n=27$. Nu ai avut nevoie de discriminant: produsul de numere consecutive crește odată cu $n$, deci soluția găsită este singura.

8. Ce spune diferența a două combinări?

Mutând un termen în cealaltă parte, formula devine o regulă pentru diferențe:

$$C_{n+1}^k-C_n^k=C_n^{k-1},1\le k\le n.$$

În cuvinte: dacă la o mulțime cu $n$ elemente adaugi unul nou, submulțimile cu $k$ elemente care apar în plus sunt exact cele care îl conțin pe noul venit, iar ele se numără alegându-i cei $k-1$ „însoțitori” dintre elementele vechi. Regula e utilă în ecuațiile în care apare o diferență, cum vei vedea în exemplul tip bacalaureat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Stația de polen din parc

O rețea de monitorizare a alergenilor are $24$ de stații de colectare a polenului. Pentru raportul săptămânal se analizează probele de la $5$ stații. Stația din parcul central e cea mai veche și e folosită ca referință. Câte seturi de $5$ stații o conțin? Câte nu o conțin? Verificați că suma lor este numărul tuturor seturilor.

Rezolvare. Un set care conține stația de referință își alege celelalte $4$ stații dintre cele $23$ rămase:

$$C_{23}^4=\frac{23\cdot 22\cdot 21\cdot 20}{24}=23\cdot 11\cdot 7\cdot 5=8855.$$

Un set fără ea își alege toate cele $5$ stații dintre cele $23$:

$$C_{23}^5=\frac{23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19}{120}=23\cdot 11\cdot 7\cdot 19=33649.$$

Suma este $8855+33649=42504$, iar direct $C_{24}^5=\frac{24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20}{120}=42504$. Cele două căi dau același rezultat, cum cere formula de recurență.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un program de supraveghere urmărește $45$ de izvoare dintr-un parc național și analizează lunar un lot de $4$ izvoare. Izvorul termal trebuie să fie în fiecare lot. Un elev numără loturile posibile astfel: „izvorul termal e sigur, rămân $3$ locuri, deci $C_{45}^3=14190$ de loturi”. Găsiți greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Elevul a lăsat izvorul termal și în mulțimea din care alege celelalte trei izvoare. Așa, un „lot” ar putea conține de două ori același izvor, iar rezultatul numără alegeri care nu sunt loturi de patru izvoare diferite. După ce izvorul termal e fixat, celelalte trei se aleg dintre cele $44$ rămase:

$$C_{44}^3=\frac{44\cdot 43\cdot 42}{6}=44\cdot 43\cdot 7=13244.$$

Controlul se face chiar cu ideea lecției: loturile fără izvorul termal sunt $C_{44}^4$, iar $C_{44}^3+C_{44}^4$ trebuie să dea $C_{45}^4$, numărul tuturor loturilor. Numărul elevului nu trece acest control.

Exemplul 3 — Citește tabelul din foaia de calcul

O foaie de calcul generează combinări: fiecare celulă adună celula de deasupra ei și celula din stânga acesteia. Pe rândul lui $n=21$ se văd valorile de mai jos. Completați căsuțele goale.

Rezolvare. Fiecare valoare de pe rândul $22$ e suma celor două valori de pe rândul $21$ aflate deasupra ei și în stânga:

$$C_{22}^5=C_{21}^4+C_{21}^5=5985+20349=26334,C_{22}^6=C_{21}^5+C_{21}^6=20349+54264=74613.$$

Apoi, pe rândul $23$:

$$C_{23}^6=C_{22}^5+C_{22}^6=26334+74613=100947.$$

Căsuța de pe rândul $22$, coloana $k=4$, nu se poate completa din acest tabel: i-ar trebui și valoarea din coloana $k=3$ a rândului $21$, care nu e afișată. Tabelul arată și de ce restrângerea cere indici de sus consecutivi: fiecare celulă „vede” doar două celule vecine de pe rândul de dinainte.

Exemplul 4 — Desfacerea pe două niveluri

Scrieți $C_{25}^{10}$ ca sumă de combinări cu $n=23$ și verificați numeric, știind că $C_{23}^8=490314$, $C_{23}^9=817190$ și $C_{23}^{10}=1144066$.

Rezolvare. Aplicăm formula o dată, apoi încă o dată fiecărui termen:

$$C_{25}^{10}=C_{24}^9+C_{24}^{10}=\left(C_{23}^8+C_{23}^9\right)+\left(C_{23}^9+C_{23}^{10}\right)=C_{23}^8+2C_{23}^9+C_{23}^{10}.$$

Termenul din mijloc apare de două ori, fiindcă ambele combinări de pe nivelul intermediar îl folosesc. Numeric: $490314+2\cdot 817190+1144066=3268760$, iar formula cu factoriale dă tot $C_{25}^{10}=3268760$.

Exemplul 5 — O ecuație cu cinci factori consecutivi

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $C_n^4+C_n^5=169911$, unde $n\ge 5$.

Rezolvare. Restrângem: $C_n^4+C_n^5=C_{n+1}^5$. Ecuația devine $\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)}{120}=169911$, adică produsul a cinci numere naturale consecutive este $120\cdot 169911=20389320$.

Rădăcina de ordinul cinci a lui $20389320$ este aproximativ $29$, deci numărul din mijloc e în jur de $29$: $27\cdot 28\cdot 29\cdot 30\cdot 31=20389320$. De aici $n+1=31$, deci $n=30$.

Verificare: $C_{30}^4=27405$ și $C_{30}^5=142506$, iar $27405+142506=169911$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $C_8^7+C_8^8=C_9^8$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 3$, pentru care $C_{n+1}^3-C_n^3=2701$. c) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,33\}$. Determinați câte submulțimi cu $4$ elemente ale lui $A$ îl conțin pe $1$, dar nu îl conțin pe $2$.

Rezolvare. a) Indicii de sus $7$ și $8$ sunt consecutivi, deci suma se restrânge la $C_9^8$. Numeric: $C_8^7=C_8^1=8$, $C_8^8=1$, iar $8+1=9=C_9^8$.

b) După regula diferențelor, $C_{n+1}^3-C_n^3=C_n^2$, deci $\frac{n(n-1)}{2}=2701$, adică $n(n-1)=5402$. Rădăcina pătrată a lui $5402$ este aproximativ $73,5$, iar lângă ea găsim $74\cdot 73=5402$, deci $n=74$.

c) Elementul $1$ e fixat în submulțime, elementul $2$ e scos din joc, iar celelalte trei elemente se aleg dintre cele $31$ rămase: $C_{31}^3=\frac{31\cdot 30\cdot 29}{6}=31\cdot 5\cdot 29=4495$. Este ideea recurenței aplicată de două ori: submulțimile care îl conțin pe $1$ se împart, la rândul lor, după prezența lui $2$.

Exemplul reproduce forma cerințelor scurte de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat 2026, unde cerința de numărare a modelului publicat e formulată ca o probabilitate; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci structura ei nu se poate anticipa.

Să exersăm

Înainte de o restrângere, verifică cele trei potriviri: același $n$, indici de sus consecutivi, rezultatul cu $n+1$ și cu indicele de sus mai mare. La problemele cu un element fixat, spune în cuvinte din ce mulțime alegi.

1. Scrie $C_{33}^6$ ca sumă de două combinări cu $n=32$ și precizează ce numără fiecare, dacă cele $33$ de elemente sunt probe, iar una dintre ele e marcată.

2. Știind că $C_{37}^4=66045$ și $C_{37}^5=435897$, calculează $C_{38}^5$ fără factoriale.

3. Scrie toate alegerile de câte patru planete din mulțimea {Mercur, Venus, Marte, Jupiter, Saturn, Uranus}, grupate în cele care conțin Jupiter și cele care nu îl conțin. Compară numărul fiecărei grupe cu $C_5^3$ și $C_5^4$.

4. Care dintre sumele următoare se pot scrie ca o singură combinare? Scrie combinarea acolo unde se poate: a) $C_{89}^4+C_{89}^5$; b) $C_{89}^4+C_{90}^5$; c) $C_{89}^6+C_{89}^8$; d) $C_{89}^{83}+C_{89}^{84}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$C_{27}^{15}+C_{27}^{16}=C_{28}^{12}$.”

6. Restrânge fiecare sumă într-o singură combinare: a) $C_{50}^{17}+C_{50}^{18}$; b) $C_{33}^{20}+C_{33}^{21}$; c) $C_{n-1}^4+C_{n-1}^5$, pentru $n\ge 6$.

7. Rezolvă în $\mathbb{N}$ ecuația $C_n^5+C_n^6=27132$, unde $n\ge 6$.

8. (Problemă aplicată.) Un parc dendrologic monitorizează $76$ de arbori. Pentru analiza frunzelor în laborator se aleg $3$ arbori. Împarte alegerile după prezența stejarului secular al parcului, numără fiecare grupă și arată că, împreună, grupele dau numărul tuturor alegerilor.

9. Calculează $C_{47}^4-C_{46}^4$ fără să calculezi cele două combinări.

10. Știind că $C_{27}^9=4686825$ și $C_{28}^9=6906900$, află $C_{27}^8$.

11. Pornind de la $C_8^2=28$ și $C_8^3=56$ și folosind numai adunări, completează un tabel cu valorile $C_n^2$ și $C_n^3$ pentru $n=9,10,11,\dots$ și află cel mai mic $n$ pentru care $C_n^3>250$.

12. Folosind formula de recurență și combinările complementare, arată că $C_{2m}^m=2C_{2m-1}^m$, pentru orice număr natural $m\ge 1$. Verifică pentru $m=11$, știind că $C_{21}^{11}=352716$ și $C_{22}^{11}=705432$.

13. Determină numerele naturale $k$, $0\le k\le 15$, pentru care $C_{16}^k+C_{16}^{k+1}=C_{17}^{10}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_7^5-C_6^5=15$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 5$, pentru care $C_n^4+C_n^5=C_{17}^{12}$. c) Dintre cei $85$ de voluntari ai unei tabere de ecologie se aleg $3$ pentru un interviu radio. Știind că $95284$ de grupe nu îl conțin pe voluntarul Vlad, determinați câte grupe îl conțin.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $2C_5^2=C_6^3$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 3$, pentru care $C_n^3-C_{n-1}^2=11480$. c) O echipă de $4$ cercetători se alege dintre $39$. Doi dintre ei lucrează la același aparat, iar în deplasare trebuie să plece exact unul dintre ei. Determinați câte echipe sunt posibile.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_{10}^1+C_{10}^9=20$. b) Arătați că $C_{78}^{75}+C_{78}^{76}=C_{79}^3$ și calculați valoarea comună. c) Dintr-un panel de $n$ gene candidate se aleg câte $3$ pentru secvențiere. Se știe că $3321$ dintre alegeri conțin gena de interes. Determinați $n$.

17. Într-o foaie de calcul care generează combinări apar valorile „$C_{24}^6=134596$”, „$C_{24}^7=346104$” și, pe rândul următor, „$C_{25}^7=480800$”. Una dintre ele a fost copiată greșit. Care, dacă primele două sunt sigur corecte? Corecteaz-o.

18. (Provocare.) Aplicând de două ori regula diferențelor, arată că $C_{n+2}^k-2C_{n+1}^k+C_n^k=C_n^{k-2}$, pentru $2\le k\le n$. Verifică apoi egalitatea pentru $n=5$ și $k=2$.

Răspunsuri și explicații

1. $C_{33}^6=C_{32}^5+C_{32}^6$. Primul termen numără loturile de $6$ probe care conțin proba marcată (celelalte cinci vin din cele $32$ nemarcate), al doilea pe cele care nu o conțin.

2. $C_{38}^5=C_{37}^4+C_{37}^5=66045+435897=501942$.

3. Cu Jupiter sunt zece alegeri, câte una pentru fiecare trei planete alese dintre celelalte cinci: {J, Me, V, Ma}, {J, Me, V, S}, {J, Me, V, U}, {J, Me, Ma, S}, {J, Me, Ma, U}, {J, Me, S, U}, {J, V, Ma, S}, {J, V, Ma, U}, {J, V, S, U}, {J, Ma, S, U}; deci $C_5^3=10$. Fără Jupiter sunt cinci alegeri, câte una pentru fiecare planetă lăsată afară dintre celelalte cinci; deci $C_5^4=5$. În total $10+5=15$, adică $C_6^4$.

4. a) Da: $C_{89}^4+C_{89}^5=C_{90}^5$. b) Nu: cele două combinări au $n$ diferit ($89$ și $90$). c) Nu: indicii de sus, $6$ și $8$, nu sunt consecutivi. d) Da: $C_{89}^{83}+C_{89}^{84}=C_{90}^{84}$.

5. Adevărat. Cele două combinări au același $n=27$ și indicii de sus consecutivi, $15$ și $16$, deci suma se restrânge la $C_{28}^{16}$. Cum $16+12=28$, combinările $C_{28}^{16}$ și $C_{28}^{12}$ sunt complementare, deci egale. Cine se oprește după restrângere și compară doar indicii $16$ și $12$ răspunde greșit „Fals”.

6. a) $C_{51}^{18}$. b) $C_{34}^{21}$. c) $C_n^5$.

7. Restrângem: $C_{n+1}^6=27132$, deci produsul a șase numere consecutive este $720\cdot 27132=19535040$. Rădăcina de ordinul șase a acestui număr este puțin peste $16$, iar $14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19=19535040$. Deci $n+1=19$ și $n=18$.

8. Cu stejarul: se aleg ceilalți $2$ arbori dintre $75$, $C_{75}^2=2775$. Fără stejar: $C_{75}^3=67525$. Suma: $2775+67525=70300$, iar $C_{76}^3=\frac{76\cdot 75\cdot 74}{6}=70300$.

9. După regula diferențelor, $C_{47}^4-C_{46}^4=C_{46}^3=\frac{46\cdot 45\cdot 44}{6}=15180$.

10. Din $C_{28}^9=C_{27}^8+C_{27}^9$ rezultă $C_{27}^8=6906900-4686825=2220075$.

11. La fiecare pas, $C_{n+1}^3=C_n^2+C_n^3$ și $C_{n+1}^2=C_n^1+C_n^2=n+C_n^2$:

Prima valoare mai mare decât $250$ apare pentru $n=13$.

12. $C_{2m}^m=C_{2m-1}^{m-1}+C_{2m-1}^m$, iar $C_{2m-1}^{m-1}=C_{2m-1}^m$, fiindcă $(m-1)+m=2m-1$. Deci $C_{2m}^m=2C_{2m-1}^m$. Pentru $m=11$: $2\cdot 352716=705432$.

13. Suma se restrânge la $C_{17}^{k+1}$, deci ecuația este $C_{17}^{k+1}=C_{17}^{10}$. Prima familie: $k+1=10$, deci $k=9$. A doua: $(k+1)+10=17$, deci $k=6$. Ambele valori respectă condiția, deci $k\in \{6,9\}$.

14. a) $C_7^5-C_6^5=C_6^4=15$; direct, $21-6=15$. b) Suma se restrânge la $C_{n+1}^5$, iar $C_{17}^{12}=C_{17}^5$; cum $C_m^5$ crește strict cu $m$, rezultă $n+1=17$, deci $n=16$. c) Toate grupele sunt $C_{85}^3=\frac{85\cdot 84\cdot 83}{6}=98770$, deci cele care îl conțin pe Vlad sunt $98770-95284=3486$. Verificare: $C_{84}^2=\frac{84\cdot 83}{2}=3486$.

15. a) $2C_5^2=2\cdot 10=20$, iar $C_6^3=C_5^2+C_5^3=10+10=20$. b) Din recurență, $C_n^3-C_{n-1}^2=C_{n-1}^3$, deci $C_{n-1}^3=11480$, adică $(n-1)(n-2)(n-3)=68880$. Rădăcina cubică a lui $68880$ este aproape de $41$, iar $40\cdot 41\cdot 42=68880$. Deci $n-1=42$ și $n=43$. c) Alegem întâi care dintre cei doi pleacă ($2$ variante); el e fixat în echipă, celălalt e scos din joc, iar ceilalți trei membri se aleg dintre cei $37$ rămași: $C_{37}^3=\frac{37\cdot 36\cdot 35}{6}=7770$. În total, $2\cdot 7770=15540$ de echipe.

16. a) $C_{10}^9=C_{10}^1=10$, deci suma este $10+10=20$. b) Indicii de sus $75$ și $76$ sunt consecutivi, deci suma este $C_{79}^{76}=C_{79}^3=\frac{79\cdot 78\cdot 77}{6}=79079$. c) Alegerile care conțin gena de interes își aleg celelalte două gene dintre $n-1$: $C_{n-1}^2=3321$, deci $(n-1)(n-2)=6642=82\cdot 81$. Rezultă $n-1=82$ și $n=83$.

17. Recurența cere $C_{25}^7=C_{24}^6+C_{24}^7=134596+346104=480700$. Valoarea copiată greșit este $480800$; cea corectă este $480700$.

18. Regula diferențelor dă $C_{n+2}^k-C_{n+1}^k=C_{n+1}^{k-1}$ și $C_{n+1}^k-C_n^k=C_n^{k-1}$. Scăzând a doua egalitate din prima: $C_{n+2}^k-2C_{n+1}^k+C_n^k=C_{n+1}^{k-1}-C_n^{k-1}=C_n^{k-2}$, din nou după regula diferențelor. Pentru $n=5$, $k=2$: $C_7^2-2C_6^2+C_5^2=21-30+10=1=C_5^0$.

De reținut

• Fixând un element $x$, alegerile de $k$ elemente se împart în cele cu $x$, $C_{n-1}^{k-1}$, și cele fără $x$, $C_{n-1}^k$; de aici $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$, pentru $1\le k\le n-1$.
• Restrângerea $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ cere același $n$ și indici de sus consecutivi; rezultatul are $n+1$ și indicele mai mare.
• Din două combinări vecine cunoscute obții combinarea de sub ele printr-o singură adunare, fără factoriale.
• Diferența $C_{n+1}^k-C_n^k$ este $C_n^{k-1}$: numără alegerile care îl conțin pe elementul nou.
• La ecuații restrângi întâi, apoi cauți numere consecutive lângă rădăcina potrivită a produsului.

Greșeli frecvente

• Elementul fixat lăsat în mulțimea de alegere. La „lotul trebuie să conțină proba P”, unii scriu $C_n^{k-1}$ în loc de $C_{n-1}^{k-1}$. Proba P e deja în lot; celelalte se aleg dintre cele $n-1$ rămase.
• Înmulțirea celor două grupe. Pentru că „întâi fixezi, apoi alegi” sună a etape, unii înmulțesc $C_{n-1}^{k-1}\cdot C_{n-1}^k$. Grupele sunt cazuri care se exclud, nu etape ale aceleiași alegeri, deci se adună.
• Regula diferențelor scrisă greșit. Din $C_{n+1}^k-C_n^k$ unii obțin $C_n^k$ sau chiar $1$, ca și cum adăugarea unui element nou ar aduce o singură alegere în plus. Alegerile noi sunt toate cele care îl conțin pe noul venit, deci diferența este $C_n^{k-1}$.
• Oprirea înainte de a folosi complementarul. La $C_{16}^k+C_{16}^{k+1}=C_{17}^{10}$, cine scrie doar $k+1=10$ pierde soluția $k=6$, care vine din $C_{17}^{10}=C_{17}^7$.
• Rădăcina greșită la estimare. Pentru un produs de patru numere consecutive se caută rădăcina de ordinul patru, nu rădăcina pătrată. Cine estimează cu rădăcina pătrată a lui $491400$ ajunge în jurul lui $701$, departe de soluție.

Aplică acasă

1. Foaia de calcul cu combinări. Într-un program de calcul tabelar scrie $1$ în celula A1 și pe toată coloana A. În B2 scrie formula care adună celula de deasupra lui B2 cu celula aflată în stânga acesteia, adică =B1+A1, apoi trage formula în jos și la dreapta. Pe rândul lui $n$ și în coloana lui $k$ vei citi $C_n^k$, dacă numeri rândurile și coloanele de la zero. Compară câteva valori obținute cu funcția de combinări a programului.
2. Jurnalul care crește. Notează o listă de $6$ experimente pe care le-ai putea face acasă și numără planurile de câte $3$ experimente. Adaugă un al șaptelea experiment și numără doar planurile noi, cele care îl conțin. Verifică faptul că numărul planurilor noi este $C_6^2$, adică exact regula diferențelor din lecție.
3. Recurențe în jurul tău. Caută o situație din biologie sau din chimie în care o mărime se calculează din valoarea de dinainte (o populație care crește de la o generație la alta, o soluție diluată în pași). Scrie în două rânduri în ce seamănă și în ce diferă de formula lecției.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă un raționament de clasificare („cu elementul fixat sau fără el”) într-o formulă de calcul. Accentul cade pe două lucruri: argumentul prin regula sumei, pe care elevul îl poate reface în orice context, și utilizarea formulei ca instrument, în restrângeri, în tabele și în ecuații. Calculul cu factoriale apare ca verificare, nu ca demonstrație principală. Ecuațiile se rezolvă prin produse de numere consecutive, cu estimarea rădăcinii de ordin potrivit, fără discriminant.

Ce merită urmărit în caiet: dacă elevul spune din ce mulțime alege după ce a fixat un element; dacă verifică cele trei potriviri înainte de o restrângere; dacă, la ecuațiile cu o combinare dată în membrul drept, se gândește și la complementar. Întrebări bune de control: „Ce numără fiecare termen al sumei?”, „De ce se adună și nu se înmulțesc?”, „Ce celule ale tabelului îți trebuie ca să completezi una nouă?”. Semn că a înțeles: explică singur de ce diferența $C_{n+1}^k-C_n^k$ numără alegerile care conțin un element nou.

Programa recomandă explicit instrumentele digitale pentru ilustrarea recurenței combinărilor. O foaie de calcul cu o singură formulă, trasă pe rânduri, este cel mai scurt drum spre triunghiul lui Pascal, lecția următoare. Ideea de a obține un termen din cel dinainte o cunoaște deja din clasa a IX-a, de la progresia aritmetică, unde fiecare termen se obține din precedentul. Testul de metode de numărare verifică formula de recurență împreună cu celelalte proprietăți ale combinărilor. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: formula de recurență a combinărilor.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a, unde programa scrie „triunghiul lui Pascal - formula de recurență a combinărilor”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține combinările la „Metode de numărare”, dar numește printre proprietățile lor doar formula combinărilor complementare și numărul tuturor submulțimilor; formula de recurență nu e trecută explicit, deși e o consecință directă a formulei combinărilor. Exercițiile marcate aici cu Bacalaureat M2 sunt justificate de capitolul combinărilor. În modelul oficial publicat pentru 2026, numărarea apare la Subiectul I într-o cerință de probabilitate. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între formula de recurență la M2 și la mate-info (M1)? Formula este aceeași. La științe ale naturii lecția pornește de la un element fixat într-un context de laborator (o probă, o stație, un izvor), folosește formula în tabele generate de o foaie de calcul, cum recomandă programa, și rezolvă ecuațiile prin produse de numere consecutive, fără discriminant. Verificarea cu factoriale apare ca a doua cale.

La ce subiect apare formula de recurență la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține combinările la „Metode de numărare”, fără să împartă temele pe subiecte; formula de recurență nu e numită explicit, dar poate scurta calculele. În modelul oficial 2026, cerința de numărare a Subiectului I este o probabilitate. Pentru MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Funcționează formula dacă unele obiecte sunt identice? Nu direct. Formula numără submulțimi, adică alegeri de obiecte care se pot deosebi între ele. Dacă dintre cinci eprubete două sunt identice și nemarcate, alegerile care conțin „una dintre ele” nu mai sunt diferite între ele. În laborator probele se etichetează tocmai ca să fie distincte; abia atunci elementul fixat are sens și formula se aplică.

De ce se adună cele două numere, și nu se înmulțesc? Pentru că sunt cazuri care se exclud, nu etape succesive ale aceleiași alegeri. O alegere fie conține elementul fixat, fie nu; nu poate fi în ambele grupe. Regula sumei se aplică exact în această situație, iar regula produsului ar număra perechi de alegeri, care nu au nicio semnificație aici.

Se poate folosi aceeași idee la aranjamente? Da, dar formula se schimbă. Șirurile de $k$ elemente care nu conțin elementul fixat sunt $A_{n-1}^k$, iar cele care îl conțin îl pot avea pe oricare dintre cele $k$ locuri, deci sunt $k\cdot A_{n-1}^{k-1}$. Obții $A_n^k=A_{n-1}^k+k\cdot A_{n-1}^{k-1}$, nu o sumă simplă ca la combinări.

Ce spune regula diferențelor în cuvinte? Dacă la o colecție cu $n$ obiecte adaugi unul nou, alegerile de $k$ obiecte care apar în plus sunt exact cele care conțin obiectul nou. Pentru fiecare dintre ele alegi $k-1$ însoțitori dintre obiectele vechi, deci diferența $C_{n+1}^k-C_n^k$ este $C_n^{k-1}$. Regula ajută în ecuațiile care conțin o diferență.