Cum simplific fracția (8x³+1)/(2x+1) folosind suma de cuburi?

Observi că 8x³=(2x)³ și 1=1³, deci numărătorul devine (2x+1)(4x²-2x+1). Pentru x≠ - 1/2 se simplifică factorul 2x+1 și rămâne 4x²-2x+1. Condiția de existență se scrie înainte de simplificare, altfel se pierde valoarea interzisă.

Cum se descompune o sumă de cuburi?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Cuburi: dezvoltare și descompunere

O sumă de cuburi se scrie ca produs de doi factori: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ . Primul factor păstrează plusul dintre cuburi; în al doilea, termenul din mijloc are semnul minus și coeficientul $1$ . Exemplu: $x^{3} + 64 = (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$ , fiindcă $64 = 4^{3}$ . Probă cu o valoare: la $x = 1$ , stânga dă $65$ , iar dreapta $5 \cdot 13 = 65$ . Formula cere ca ambii termeni să fie cuburi exacte.

Ridicarea la cub nu se rupe peste o sumă: $(a + b)^{3}$ are patru termeni. Dezvoltarea completă este $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ , iar la diferență semnele alternează de la un termen la altul, pornind de la plus: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ . Ai un control care nu dă greș: aduni exponenții lui $a$ și pe ai lui $b$ din fiecare termen și trebuie să obții de fiecare dată $3$ .

Descompunerile merg în sens invers: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , respectiv $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ . Regula semnelor are două etaje — paranteza scurtă preia semnul dintre cuburi, iar mijlocul parantezei lungi îl preia pe cel opus. Expresia $a^{2} \pm ab + b^{2}$ seamănă cu un pătrat perfect, dar nu este: termenul median are coeficientul $1$ , nu $2$ .

Două controale înainte de a scrie răspunsul. Întâi, numerele trebuie să fie chiar cuburi: $x^{3} - 5$ și $x^{3} + 12$ rămân pe loc, fiindcă nici $5$ , nici $12$ nu stau în tabelul cuburilor. Apoi, coeficientul urcă la putere împreună cu litera, adică $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ și nicidecum $(8 x)^{3}$ . Iar egalitatea $(x + y)^{3} = x^{3} + y^{3}$ , cea mai des scrisă dintre greșeli, se dărâmă cu un singur test: $x = y = 1$ .

De reținut

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ și $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
în paranteza lungă termenul din mijloc are coeficientul $1$ și semnul opus celui dintre cuburi
formula se aplică doar când ambii termeni sunt cuburi: $64 = 4^{3}$ , $8 x^{3} = (2 x)^{3}$
$a^{3} + b^{3}$ nu este $(a + b)^{3}$ : diferența dintre ele este $3 ab (a + b)$

Greșeala tipică

Se scrie $x^{3} + 64 = (x + 4)^{3}$ , ca și cum suma de cuburi ar fi cubul sumei; la $x = 1$ stânga dă $65$ , iar $(x + 4)^{3}$ dă $125$ , deci corect este $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este forma desfășurată a lui $(x + 2)^{3}$ ?
- a) $x^{3} + 8$
- b) $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$
- c) $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8$
- d) $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

Aplici $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ cu $a = x$ și $b = 2$ : $x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ . Varianta a) rupe puterea peste sumă, ceea ce nu se poate: la $x = 1$ membrul stâng dă $27$ , iar $x^{3} + 8$ dă $9$ .
Descompune în factori $x^{3} - 27$ .
- a) $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$
- b) $(x - 3) (x^{2} - 3 x + 9)$
- c) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$
- d) $(x - 3)^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

$27 = 3^{3}$ , deci folosești $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ cu $a = x$ , $b = 3$ . Semnul din paranteza mică este invers celui dintre cuburi: minus afară, plus la mijloc. Varianta b) e greșeala clasică de semn, iar c) descompune o sumă de cuburi, nu o diferență.
Care dintre expresii se poate descompune cu formula sumei de cuburi?
- a) $x^{3} + 12$
- b) $8 x^{3} + 27$
- c) $x^{3} + 5$
- d) $x^{3} + 10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8 x^{3} + 27$

Amândoi termenii trebuie să fie cuburi perfecte: $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ și $27 = 3^{3}$ , deci $8 x^{3} + 27 = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$ . Numerele $12$ , $5$ și $10$ nu sunt cuburi perfecte, așa că acolo formula nu are ce căuta.

Întrebări conexe

Cum se descompune o diferență de cuburi în factori?

Se folosește $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ : primul factor are minusul dintre cuburi, iar la mijlocul celui de-al doilea stă plus. De exemplu, $x^{3} - 125 = (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ , pentru că $125 = 5^{3}$ . Probă la $x = 6$ : $216 - 125 = 91$ și $1 \cdot (36 + 30 + 25) = 91$ .

Se mai poate descompune paranteza $x^{2} - 4 x + 16$ din suma de cuburi?

Nu, cu coeficienți reali. Completând pătratul, $x^{2} - 4 x + 16 = (x - 2)^{2} + 12$ , iar această expresie este cel puțin $12$ pentru orice $x$ real. Nu se anulează niciodată, deci nu are un factor de forma $x - c$ . De aceea descompunerea sumei de cuburi se oprește la doi factori.

Cum rezolv ecuația $x^{3} + 64 = 0$ cu ajutorul sumei de cuburi?

Scrii ecuația ca produs: $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ . Un produs e zero doar dacă un factor e zero. Paranteza a doua nu se anulează pe numere reale, fiindcă e egală cu $(x - 2)^{2} + 12$ . Rămâne $x + 4 = 0$ , adică $x = - 4$ ; verificare: $(- 4)^{3} + 64 = - 64 + 64 = 0$ .

Cum simplific fracția $\frac{8 x ^{3} + 1}{2 x + 1}$ folosind suma de cuburi?

Observi că $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ și $1 = 1^{3}$ , deci numărătorul devine $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$ . Pentru $x \neq = - \frac{1}{2}$ se simplifică factorul $2 x + 1$ și rămâne $4 x^{2} - 2 x + 1$ . Condiția de existență se scrie înainte de simplificare, altfel se pierde valoarea interzisă.

Ce latură are un cub modelat din două cuburi mai mici?

Volumele se adună, laturile nu. Două cuburi de plastilină cu laturile de $3$ cm și $2$ cm au împreună $27 + 8 = 35$ cm³, iar un singur cub cu acest volum are latura $335 \approx 3, 27$ cm, nu $5$ cm. Un cub cu latura de $5$ cm ar avea $125$ cm³, cu $90$ mai mult.

Cum arăt că $7^{3} + 3^{3}$ se divide cu $10$ fără să-l calculez?

Aplici suma de cuburi cu $a = 7$ și $b = 3$ : $7^{3} + 3^{3} = (7 + 3) (49 - 21 + 9) = 10 \cdot 37$ . Numărul este un produs în care un factor este $10$ , deci se divide cu $10$ . Calculul direct confirmă: $343 + 27 = 370$ . Cerințe de acest fel pot apărea la Subiectul I din bacalaureatul M2.

Oamenii mai întreabă și: descompunerea sumei de cuburi · formula sumei de cuburi · cum descompun a la a treia plus b la a treia · x la a treia plus 64 în factori · suma de cuburi scrisă ca produs

Cum se descompune o sumă de cuburi?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum se descompune o diferență de cuburi în factori?

Se mai poate descompune paranteza x2−4x+16 din suma de cuburi?

Cum rezolv ecuația x3+64=0 cu ajutorul sumei de cuburi?

Cum simplific fracția 2x+18x3+1​ folosind suma de cuburi?

Ce latură are un cub modelat din două cuburi mai mici?

Cum arăt că 73+33 se divide cu 10 fără să-l calculez?

Continuă cu

Se mai poate descompune paranteza $x^{2} - 4 x + 16$ din suma de cuburi?

Cum rezolv ecuația $x^{3} + 64 = 0$ cu ajutorul sumei de cuburi?

Cum simplific fracția $\frac{8 x ^{3} + 1}{2 x + 1}$ folosind suma de cuburi?

Cum arăt că $7^{3} + 3^{3}$ se divide cu $10$ fără să-l calculez?