Funcția afină (M2, științe ale naturii)

Pe o fișă de calibrare, indicațiile unui aparat sunt reprezentate printr-un segment de dreaptă. Ce spune acest desen despre legătura dintre mărimea măsurată și indicație? În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), recunoaștem și citim grafic funcția afină. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția de gradul I; modelul oficial M_șt-nat 2026 folosește două funcții afine la Subiectul I, cerința 2.

Pornim de la domeniul și valorile unei funcții la M2 și de la citirea graficului unei funcții la M2. Scopul este să legăm o reprezentare de o formulă, fără să pierdem domeniul. Pentru localizarea punctelor poți revedea coordonatele în reper din clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști forma afină, inclusiv cazul unei funcții constante.
• Vei ști să citești dintr-un grafic valori și informații despre cei doi coeficienți.
• Vei ști să deosebești graficul pe un interval de dreapta completă care îl conține.
• Vei ști să verifici dacă o formulă afină este compatibilă cu datele citite.
• Vei ști să separi un model declarat afin de câteva observații care doar sugerează acest model.
• Vei ști să interpretezi o calibrare simplă, cu domeniul și unitățile precizate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce numim funcție afină?

O funcție afină este o funcție de forma $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde coeficienții $a$ și $b$ sunt numere reale fixate. Pentru fiecare argument, înmulțim cu același coeficient și adunăm același termen. Coeficienții rămân neschimbați când alegem alt argument; altfel am descrie o altă regulă.

În aplicații folosim frecvent aceeași formulă numai pe un domeniu $D\subseteq \mathbb{R}$. Vorbim atunci despre restricția funcției afine la acel domeniu sau despre un model afin definit pe el. De exemplu, un aparat poate fi calibrat numai într-un anumit interval. Formula are sens și în alte numere, dar modelul nu ne autorizează să le folosim.

Dacă $a\ne 0$, funcția este de gradul întâi. Dacă $a=0$, obținem funcția constantă. Și aceasta este afină: forma cerută nu obligă coeficientul argumentului să fie nenul. Când și termenul liber este zero, toate valorile sunt zero.

Recunoașterea cere să privești formula după simplificările permise și să păstrezi domeniul inițial. Împărțirea unei expresii afine la un număr nenul păstrează forma. O formulă asemănătoare, dar cu o condiție suplimentară asupra argumentului, trebuie descrisă împreună cu acea condiție.

2. Ce ne arată forma graficului?

Pentru domeniul real complet, relația dintre coordonate este $y=ax+b$, deci graficul este o dreaptă neverticală. Când restrângem domeniul la un interval, păstrăm numai punctele dreptei ale căror abscise sunt în acel interval. Un segment oblic poate reprezenta astfel întregul grafic al funcției din problemă.

Graficul ilustrativ de mai jos aparține funcției $p(x)=3x/5+1$, definită pe $\mathbb{R}$. Punctele marcate au coordonatele $A(0;1)$ și $B(5;4)$. Ele oferă repere exacte; porțiunea vizibilă este limitată numai de fereastra desenului. Domeniul declarat rămâne mulțimea numerelor reale.

O dreaptă verticală completă nu poate fi graficul unei funcții reale de argumentul $x$: pentru aceeași abscisă ar apărea mai multe ordonate. În schimb, o dreaptă orizontală este permisă, deoarece fiecare abscisă primește aceeași valoare, una singură.

Trebuie să distingem și dreapta de o linie frântă. Două segmente cu direcții diferite pot alcătui graficul unei funcții, dar acea funcție nu are aceeași formulă afină pe întregul domeniu. Aspectul fiecărei bucăți nu este suficient pentru a numi întreaga regulă afină.

3. Cum citim informația de la axa verticală?

Dacă zero aparține domeniului, punctul graficului de pe axa $Oy$ este $(0;b)$. Acesta ne permite să citim termenul liber fără calcul suplimentar. Relația se verifică în formulă: înlocuirea argumentului cu zero elimină produsul și lasă termenul independent de argument.

Citirea se face după gradațiile axei, nu după numărul de pătrățele fără etichete. Pe un grafic experimental, un interval desenat poate reprezenta mai multe unități ale mărimii. Numele axei și unitatea fac parte din datele problemei, chiar dacă nu intră în forma simbolică a formulei.

Dacă zero nu aparține domeniului, graficul funcției restrânse nu are punct pe $Oy$. Coeficientul $b$ există în formula afină, dar nu reprezintă o valoare efectivă a funcției în afara domeniului. Îl putem interpreta pe dreapta care prelungește graficul, cu această precizare.

Într-un model practic, termenul liber nu este automat o măsurătoare inițială realizată. Poate fi un reper teoretic al formulei, dacă observațiile încep mai târziu sau aparatul nu lucrează la argumentul zero. Mai întâi citim domeniul, apoi atribuim coeficientului o semnificație în context.

4. Cum citim coeficientul de variație?

Alegem două puncte exacte ale graficului, cu abscise diferite. Dacă deplasarea orizontală este $\Delta x$, iar schimbarea ordonatei este $\Delta y$, coeficientul este raportul $a=\Delta y/\Delta x$, adică panta dreptei, pe care ai calculat-o deja în lecția M2 despre pantă. Numărătorul și numitorul se calculează în aceeași ordine a punctelor. Un raport de coordonate nu este un raport de lungimi măsurate direct pe ecran.

În graficul ilustrativ, de la abscisa zero până la abscisa cinci, ordonata se schimbă de la unu la patru. Creșterea ei este trei pentru un pas orizontal de cinci, deci raportul este trei cincimi. Nu citim valoarea trei drept coeficient, deoarece argumentul nu a crescut cu o singură unitate.

Pentru o funcție afină, același raport se obține din oricare două argumente distincte. Într-adevăr, scăderea valorilor elimină termenul liber: $f(v)-f(u)=a(v-u)$. Cum argumentele sunt distincte, împărțirea la diferența lor este permisă. Relația explică de ce o singură pereche exactă poate identifica coeficientul.

Raportul se calculează din coordonatele etichetate, nu din aspectul desenului; de ce aspectul poate înșela ai văzut la lectura grafică. Lectura sensului de variație va fi dezvoltată separat în lecția despre monotonie.

5. Când termină domeniul graficul?

Un capăt plin indică includerea punctului, iar un capăt gol indică excluderea lui. Aceste convenții sunt importante când dreapta este reprezentată numai pe un interval. Forma formulei nu poate transforma singură un capăt exclus într-o valoare admisă.

Pentru un domeniu finit, graficul este format din puncte izolate, după convenția din lecția despre noțiunea de funcție. Ce aduce în plus funcția afină este alinierea: pe un domeniu finit, o regulă este restricția unei funcții afine exact atunci când punctele graficului ei stau pe o dreaptă neverticală.

Dacă enunțul declară un interval, capetele marcate trebuie respectate chiar dacă dreapta ar putea fi continuată cu rigla. Figurile cu domeniul $\mathbb{R}$ din această lecție arată doar o porțiune a dreptei; domeniul se ia din enunț.

Pentru a răspunde dacă un punct aparține graficului, controlăm două lucruri: abscisa lui este admisă și ordonata este valoarea formulei în acea abscisă. O pereche poate satisface ecuația dreptei, dar poate să nu aparțină graficului restrâns. Formularea completă previne această confuzie.

6. Cum controlăm o formulă propusă?

O formulă propusă se verifică pe coordonatele punctelor date. Înlocuim abscisa și comparăm rezultatul cu ordonata, păstrând ambele coordonate ale aceluiași punct. Dacă una dintre egalități nu se verifică, formula nu descrie acel grafic exact.

Când știm că graficul este al unei funcții afine, două puncte cu abscise distincte determină coeficienții. Putem folosi raportul variațiilor, apoi o condiție pentru termenul liber, adică metoda din ecuația dreptei prin două puncte, scrisă cu notația funcției. Al treilea punct, dacă este dat, devine un control al coerenței datelor. Nu avem libertatea să ignorăm punctul care nu se potrivește.

Pe un grafic fără coordonate exacte marcate, citirea poate fi aproximativă. Un punct care pare la o anumită înălțime nu justifică automat o fracție exactă. Folosim etichetele sau ipotezele enunțului pentru precizie; desenul ajută la localizare și la controlul rezultatului.

Dacă domeniul are un singur element, nu putem determina unic cei doi coeficienți numai din valoarea funcției acolo. Mai multe formule afine pot da același rezultat în acel argument. De aceea condiția absciselor distincte din metoda cu două puncte are conținut real și nu este un detaliu de redactare.

7. Ce putem afirma dintr-un tabel de date?

Un tabel cu valori exacte poate respinge un model afin: ajunge ca raporturile variațiilor dintre două perechi să fie diferite. El poate arăta și că există o formulă afină compatibilă cu toate rândurile sale. Aceste concluzii privesc informația efectiv furnizată.

Câteva rânduri compatibile nu demonstrează singure că un fenomen necunoscut urmează aceeași regulă între observații și în afara lor. Dacă problema declară modelul afin, folosim această ipoteză pentru a calcula și alte valori din domeniu. Dacă nu o declară, prezentăm formula ca model posibil, fără certitudine suplimentară.

Într-o calibrare idealizată, coeficientul de variație poate avea o unitate compusă. Dacă argumentul este o lungime, iar valoarea este o tensiune electrică, raportul se exprimă în unități de tensiune pe unitate de lungime. Termenul liber are aceeași unitate ca valoarea funcției.

La date măsurate, egalitățile pot fi afectate de rotunjire. Nu schimbăm o observație numai pentru a obține o dreaptă perfectă. Precizăm dacă lucrăm cu date exacte ale unui exercițiu sau cu un model aproximativ al observațiilor. Aceasta este o parte a interpretării matematice a datelor, nu o schimbare a definiției.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Din grafic spre formulă

Graficul dat este al unei funcții afine pe $\mathbb{R}$. Punctele marcate exact sunt $P(-3;0)$ și $Q(1;2)$. Citește termenul liber, determină coeficientul de variație și află valoarea în argumentul cinci.

Între punctele marcate, schimbarea ordonatei este doi, iar cea a abscisei este patru, deci coeficientul este o jumătate. Pornind de la $Q$, coborâm o unitate pe orizontală și o jumătate pe verticală, așa că dreapta taie axa verticală la înălțimea trei jumătăți; figura arată această tăietură între gradațiile unu și doi. Formula rezultată este $f(x)=x/2+3/2$.

Pentru argumentul cerut calculăm $5/2+3/2=4$. Punctul cu abscisa cinci trebuie să fie la înălțimea patru, în acord cu dreapta. Calculul confirmă lectura, iar coordonatele exacte ale punctelor justifică fracțiile folosite. Nu am măsurat înclinarea cu raportorul și nu am presupus că un pătrățel are aceeași semnificație pe orice desen.

Exemplul 2. Un segment orizontal este admis

O funcție este dată pe intervalul $[-2,4]$ prin segmentul orizontal din figură, situat la ordonata $-7/2$. Identifică formula, coeficienții și valoarea în argumentul trei. Poate fi numită funcție de gradul întâi?

Orice argument din interval primește valoarea $-7/2$, deci $g(x)=-7/2$. În forma afină, coeficientul argumentului este zero, iar termenul liber este minus șapte jumătăți. În particular, valoarea cerută rămâne aceeași.

Modelul este afin și constant, dar nu este de gradul întâi, deoarece lipsește coeficientul nenul al argumentului. Domeniul rămâne intervalul dat. Capetele pline ne permit să folosim și cele două extremități, fără a prelungi graficul în afara lor. O variație nulă este un caz al aceleiași familii de modele, nu un motiv de excludere.

Exemplul 3. Formula permite zero, domeniul îl exclude

Graficul lui $h(x)=-3x/2+6$ este dat pe domeniul $(0,4]$. Ce spun cele două capete? Aparține punctul $A(0;6)$ graficului? Care este valoarea în argumentul patru?

Capătul de la abscisa zero este gol: argumentul nu aparține domeniului. Deși coordonatele lui $A$ satisfac ecuația dreptei, punctul nu aparține graficului acestei funcții restrânse. Nu scriem o valoare a funcției în zero.

Capătul de la abscisa patru este plin și are ordonata zero. Calculul $-3\cdot 4/2+6=0$ confirmă citirea. Termenul liber șase caracterizează formula, însă punctul de pe axa verticală aparține numai prelungirii dreptei. Diferența dintre ecuație și domeniu explică de ce două întrebări aparent asemănătoare primesc răspunsuri diferite.

Exemplul 4. Două puncte se potrivesc, al treilea nu

O fișă pretinde că punctele $A(0;2)$, $B(3;4)$ și $C(6;7)$ provin din aceeași funcție afină. Un elev alege formula $u(x)=2x/3+2$ folosind primele două puncte. Poate accepta întreaga fișă?

Primele două perechi verifică formula. Pentru a treia abscisă, însă, obținem $2\cdot 6/3+2=6$, diferit de ordonata șapte. Formula nu trece controlul tuturor datelor. Cum primele două puncte determină deja unica dreaptă posibilă, nicio altă funcție afină nu poate include simultan toate cele trei perechi.

Nu alegem punctele convenabile și nu declarăm punctul rămas o eroare de măsurare: enunțul prezintă date exacte. Verdictul este că fișa nu este compatibilă cu un singur model afin. Pentru a discuta observații aproximative ar fi necesare informații suplimentare despre precizie.

Exemplul 5. O calibrare cu unități diferite pe axe

Într-un model ideal de calibrare, deplasarea $x$ a unei piese, în milimetri, este asociată unei indicații electrice $U$, în milivolți. Modelul este declarat afin pe $[0,8]$. Datele sunt $U(0)=5/2$ și $U(4)=15/2$. Determină formula și indicația pentru șase milimetri.

Creșterea indicației este cinci milivolți pentru patru milimetri, deci coeficientul este $5/4$ mV/mm. Indicația în zero fixează termenul liber: $U(x)=5x/4+5/2$. Pentru șase milimetri, rezultatul este $5\cdot 6/4+5/2=10$ mV.

Cele două axe descriu mărimi diferite; nu folosim distanța dintre puncte ca lungime pe teren. Citim o dependență funcțională. Domeniul declarat permite această calculare, deoarece șase aparține intervalului de calibrare. Pentru o deplasare mai mare decât opt, aceeași formulă ar necesita o justificare nouă a modelului.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Se dau funcțiile pe $\mathbb{R}$, $f(x)=9-4x$ și $g(x)=5x-22$. Determină numărul real $t$ pentru care $f(t)=2t+g(5)$.

Calculăm mai întâi valoarea cu argument cunoscut: $5\cdot 5-22=3$. Condiția devine $9-4t=2t+3$, de unde $6=6t$ și $t=1$. Verificăm în expresiile inițiale: membrul stâng are valoarea cinci, iar cel drept are tot valoarea cinci.

Nu tratăm notația cu funcții drept o operație nouă: ea cere înlocuirea argumentelor în regulile date. Exercițiul este construit pentru antrenament, cu date proprii. Modelul oficial M_șt-nat 2026 folosește la Subiectul I o relație cu două funcții afine, dar această constatare nu stabilește frecvența sau forma obligatorie a viitoarelor cerințe.

Să exersăm

Datele și punctele marcate sunt exacte. În cerințele grafice, citește domeniul și gradațiile înainte de a calcula. O formulă afină propusă trebuie verificată pe toate datele cerute.

1. Graficul dat este un segment de dreaptă cu capetele $A(-3;-3)$ și $B(6;3)$, ambele incluse. Citește valorile corespunzătoare absciselor zero și trei.

2. Pentru funcția pe $\mathbb{R}$, $f(x)=(5-2x)/7$, identifică cei doi coeficienți din forma afină.

3. Se dă $f(x)=-5x/4+11$ pe $[0,4]$. Verifică dacă punctele $P(4;6)$ și $Q(5;19/4)$ aparțin graficului.

4. O funcție afină pe $\mathbb{R}$ satisface $h(-3)=8$ și $h(5)=-10$. Determină formula și valoarea în argumentul unu.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Graficul funcției afine $f(x)=ax-9$, definită pe $\mathbb{R}$, trece prin punctul $(4;-9)$ numai dacă $f$ este constantă.

6. Graficul dat este orizontala de ordonată $5/4$, iar domeniul este $\mathbb{R}$. Precizează mulțimea valorilor și dacă regula poate fi de gradul întâi.

7. Scrie funcția afină $f$, definită pe $\mathbb{R}$, al cărei grafic trece prin $P(3;-2)$ și care are același coeficient al argumentului ca $g(x)=5x/6-4$.

8. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-9}{3x+9}$. Este $f$ restricția unei funcții afine? Descrie graficul ei.

9. Datele $A(1;6)$, $B(3;11)$ și $C(7;21)$ descriu trei perechi argument–valoare. Există o formulă afină compatibilă cu ele? Dacă da, determin-o.

10. Repetă verificarea compatibilității cu un model afin pentru $A(-4;9)$, $B(2;0)$ și $C(6;-7)$.

11. Se dă $f(x)=5x/2-4$ numai pentru $x\in \{-2,2,6\}$. Scrie cele trei puncte ale graficului, apoi dă un exemplu de funcție $g$, definită pe aceeași mulțime, care are aceleași valori ca $f$ în minus doi și în șase, dar nu este restricția niciunei funcții afine.

12. Graficul este segmentul de dreaptă dintre $P(-1;3)$, inclus, și $Q(5;0)$, exclus. Citește domeniul și mulțimea valorilor.

13. Funcția $f(x)=-5x/7+3$ este definită pe $[0,7]$. Care dintre segmentele închise cu capetele $(0;3)$ și $(7;-2)$, $(0;-3)$ și $(7;2)$, respectiv $(0;3)$ și $(7;8)$ poate fi graficul ei? Justifică prin calculul capetelor.

14. (Problemă aplicată.) Un indicator folosește modelul $V(x)=4x/5+7/10$, cu $x$ în milimetri și $V$ în milivolți, pentru $x\in [0,12]$. Pentru ce deplasare indicația este $87/10$ mV? Este această deplasare în intervalul modelului?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5-8x$. Arată că $f(x)+f(-x)=10$ pentru orice număr real $x$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se dau pe $\mathbb{R}$ funcțiile $f(x)=7x-12$ și $g(x)=b-5x$, unde $b$ este un număr real. Determină $b$ pentru care $f(2)=g(5)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+9$, cu $a$ real. Determină $a$ pentru care $f(1)+f(2)+f(3)=f(9)$.

18. (Provocare.) Pentru ce număr real $m$ funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(m^2-4)x+m$, este constantă și are valori pozitive?

Răspunsuri și explicații

1. Valorile sunt $-1$ și $1$. De la primul capăt la al doilea, ordonata crește cu șase la o creștere a abscisei cu nouă. Formula de control este $f(x)=2x/3-1$, compatibilă cu punctele marcate.

2. Coeficienții sunt $a=-2/7$ și $b=5/7$. Împărțirea la șapte se aplică ambilor termeni ai numărătorului. Numitorul este o constantă nenulă, deci nu exclude niciun argument real.

3. Numai $P$ aparține graficului. Ambele perechi satisfac formula, dar abscisa lui $Q$ nu este în domeniul $[0,4]$. Apartenența la dreapta care prelungește graficul nu înlocuiește condiția asupra argumentului.

4. Formula este $h(x)=-9x/4+5/4$, iar $h(1)=-1$. Raportul variațiilor este $(-10-8)/(5-(-3))=-9/4$. Din prima condiție, termenul liber este $8-27/4=5/4$; a doua condiție îl confirmă, fiindcă $-45/4+5/4=-10$.

5. Adevărat. Apartenența punctului cere $4a-9=-9$, adică $4a=0$, deci $a=0$. Atunci $f$ ia valoarea minus nouă în orice argument: este constantă, afină, dar nu de gradul întâi. Reciproc, funcția constantă minus nouă trece prin acest punct.

6. Mulțimea valorilor este $\{5/4\}$. Funcția este constantă și afină, dar nu de gradul întâi. Mulțimea valorilor conține un singur număr, chiar dacă domeniul conține infinit de multe argumente.

7. Obținem $f(x)=5x/6-9/2$. Coeficientul preluat de la $g$ este $5/6$, deci $f(x)=5x/6+b$, iar condiția de trecere prin $P$ dă $5/2+b=-2$, de unde $b=-9/2$. Termenii liberi diferă, deci graficele sunt drepte diferite, cu același coeficient al argumentului.

8. Da. Pentru $x\ne -3$ simplificăm cu $x+3$: $\frac{(x-3)(x+3)}{3(x+3)}=\frac{x-3}{3}$, deci pe domeniu $f$ are aceleași valori ca funcția afină $x/3-1$. Graficul este dreapta $y=x/3-1$ fără punctul $(-3;-2)$, marcat cu un cerculeț gol: minus trei rămâne exclus din domeniu, oricât de simplă ar deveni formula.

9. Da: $h(x)=5x/2+7/2$. Raporturile variațiilor sunt $5/2$ și $10/4$, deci coincid. Formula găsită verifică toate cele trei perechi; aceasta justifică existența modelului compatibil cu datele.

10. Nu. Primele două perechi fixează $h(x)=-3x/2+3$. La argumentul șase, formula ar cere valoarea minus șase, diferită de minus șapte. O funcție afină nu poate păstra primele două perechi și modifica independent a treia valoare.

11. Punctele sunt $A(-2;-9)$, $B(2;1)$ și $C(6;11)$. Un exemplu este funcția dată prin $-2\mapsto -9$, $2\mapsto 0$, $6\mapsto 11$: raportul variațiilor este $9/4$ de la minus doi la doi și $11/4$ de la doi la șase, deci punctele nu sunt aliniate. Orice valoare în doi diferită de unu dă un exemplu corect.

12. Domeniul este $[-1,5)$, iar mulțimea valorilor este $(0,3]$. Capătul de ordonată trei este inclus; cel de ordonată zero este exclus. Orice valoare strict cuprinsă între ele apare pe segment.

13. Numai primul. Capetele graficului au ordonatele $f(0)=3$ și $f(7)=-5+3=-2$. Al doilea segment are raportul variațiilor $5/7$ și termenul liber minus trei, iar al treilea are raportul $5/7$ și termenul liber trei; niciunul nu are coeficientul $-5/7$ al lui $f$.

14. Deplasarea este $10$ mm. Din $4x/5+7/10=87/10$ rezultă $4x/5=8$, deci $x=10$; control: $V(10)=8+7/10=87/10$. Zece aparține intervalului de calibrare $[0,12]$, așa că modelul poate fi folosit; o indicație care ar cere o deplasare de peste doisprezece milimetri nu ar fi acoperită de model.

15. Înlocuind argumentul cu opusul lui, obținem $5+8x$. Suma este $5-8x+5+8x=10$: termenii cu argumentul se anulează și rămâne de două ori termenul liber, de aceea rezultatul nu depinde de $x$. De exemplu, $f(1)+f(-1)=-3+13=10$.

16. Obținem $b=27$. Avem $f(2)=14-12=2$, iar valoarea lui $g$ în cinci este $b-25$; egalitatea $b-25=2$ dă rezultatul. Necunoscuta este aici termenul liber al lui $g$, nu un argument; după determinarea ei, $g(x)=27-5x$.

17. Obținem $a=6$. Membrul stâng este $(a+9)+(2a+9)+(3a+9)=6a+27$, iar membrul drept este $9a+9$; egalitatea $6a+27=9a+9$ dă $3a=18$. Control cu formula $6x+9$: suma valorilor în unu, doi și trei este $15+21+27=63$, iar valoarea în nouă este $54+9=63$.

18. Pentru $m=2$. Funcția este constantă exact când coeficientul argumentului este zero: $m^2-4=0$, deci $m=2$ sau $m=-2$. Atunci valoarea constantă este chiar $m$: pentru $m=2$ obținem constanta doi, pozitivă, iar pentru $m=-2$ constanta minus doi, negativă.

De reținut

• Un model afin folosește doi coeficienți fixați și admite cazul constant.
• Punctele unui grafic se citesc împreună cu domeniul, gradațiile și precizia datelor.
• Două abscise distincte permit calcularea raportului variațiilor și determinarea formulei afine.
• Pentru un domeniu restrâns, graficul poate fi un segment, o parte de dreaptă sau o mulțime de puncte.
• Compatibilitatea unui tabel cu o formulă nu demonstrează singură comportamentul unui fenomen necunoscut.

Greșeli frecvente

• Citești termenul liber ca ordonată a primului punct desenat. Termenul liber este ordonata punctului cu abscisa zero; primul punct al unei figuri poate avea altă abscisă, iar atunci ordonata lui nu îl dă direct pe $b$.
• Atribui valoarea termenului liber într-un zero exclus din domeniu. Coeficientul aparține formulei, dar o valoare a funcției există numai pentru un argument admis.
• Dai termenului liber unitatea coeficientului. Într-un model cu mărimi, termenul liber are unitatea valorii, de exemplu mV, iar coeficientul are unitatea valorii pe unitatea argumentului, de exemplu mV/mm. Scrie unitatea lângă fiecare coeficient.
• Transformi câteva observații potrivite în certitudine pentru orice argument. Precizează ipoteza modelului și intervalul în care îl folosești.
• Respingi funcția constantă din familia afină. Definiția permite coeficient zero; numai denumirea de gradul întâi cere coeficient nenul.

Aplică acasă

1. Aceeași regulă, domenii diferite. Alege o formulă afină și reprezint-o întâi pe trei argumente, apoi pe intervalul care le cuprinde. Marchează separat punctele care apar numai în al doilea grafic. Explică de ce formula comună nu face graficele identice.
2. Un tabel care nu hotărăște totul. Construiește trei perechi compatibile cu o dreaptă. Adaugă două variante pentru un al patrulea rând: una care păstrează modelul și una care îl respinge. Cere unui coleg să distingă informația inițială de ipoteza adăugată.
3. Calibrarea unui termometru de bucătărie. Citește indicația termometrului în apă cu gheață și în apă care fierbe și construiește formula afină care transformă indicația în temperatură. Verifică formula pe o a treia citire, făcută în paralel cu un termometru de referință, și notează abaterea găsită.

Pentru părinți și profesori

Cereți elevului să pornească de la datele figurii: domeniu, capete, etichete și puncte exacte. Un răspuns bun separă formula dreptei de graficul restrâns. Pentru datele experimentale, elevul trebuie să spună ce este presupus și ce este efectiv observat. Nu solicitați demonstrații suplimentare de studiu al funcției înainte ca aceste distincții să fie clare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: la IX.6, proprietățile funcțiilor se observă pe grafice furnizate sau obținute digital, iar funcția afină este primul model studiat. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie; pentru elevii care încep liceul în 2026, programa probei MAT_P2 (Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) include tema în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă cuprinde funcția de gradul I și lecturile grafice. Modelul oficial 2026, Subiectul I, cerința 2, folosește două funcții afine într-o relație numerică; exemplele de aici au date proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția afină organizează altfel construcția algebrică. Lecția M2 este autonomă și folosește graficele ca date. Continuarea este monotonia funcției afine la M2, iar verificarea unității se face prin testul M2 despre funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Ce schimbă lecția M2 față de funcția afină din varianta M1?

Accentul cade pe citirea unor grafice date, pe domeniul folosit și pe legătura dintre date și model. Formulele de bază sunt aceleași, dar exemplele și verificările urmăresc interpretarea reprezentării. Lecția este completă pentru acest parcurs; nu trebuie să selectezi singur fragmente din materialul destinat profilului mate-info.

Cum mă pregătește această lecție pentru bacalaureatul M2?

Exersezi înlocuirea argumentelor, recunoașterea unei reguli afine și verificarea condițiilor asupra valorilor. Modelul oficial M_șt-nat 2026 folosește două funcții afine la Subiectul I, cerința a doua. Tema este în programele M2 2027–2029 și MAT_P2 2030, fără ca un singur model să garanteze aceeași cerință la o sesiune viitoare.

Un capăt gol al segmentului permite totuși folosirea formulei acolo?

Formula poate avea sens numeric, dar punctul nu aparține graficului funcției cu acel domeniu. Capătul gol indică excluderea argumentului. Poți calcula valoarea prelungirii afine dacă problema o cere explicit, însă trebuie să deosebești această prelungire de funcția dată. Convenția grafică nu se anulează printr-un calcul algebric posibil.

Cum interpretez termenul liber când observațiile nu includ argumentul zero?

El rămâne un coeficient al formulei și arată unde dreapta prelungită ar întâlni axa verticală. Nu reprezintă automat o observație efectuată sau o valoare admisă a modelului restrâns. Verifică domeniul și sensul practic al argumentului zero înainte să îl numești valoare inițială a fenomenului studiat.

Trei măsurători aliniate dovedesc că fenomenul este afin peste tot?

Ele susțin compatibilitatea datelor respective cu un model afin, în limitele preciziei lor. Nu stabilesc singure comportamentul între măsurători sau în afara intervalului observat. Într-un exercițiu, ipoteza că modelul este afin autorizează alte calcule în domeniul dat. În interpretarea unui experiment, această ipoteză trebuie formulată și verificată separat.

De ce aceeași formulă poate avea grafice diferite?

Graficul depinde și de domeniu. Pe toate numerele reale ai o dreaptă completă; pe un interval păstrezi o porțiune, iar pe o mulțime finită păstrezi numai punctele corespunzătoare. Valorile în argumentele comune rămân aceleași, însă mulțimile de puncte ale graficelor pot fi diferite. De aceea formula nu este singura dată a funcției.