Cum aduc formula f(x)= (3x-6)/2 la forma ax+b?

Împarți fiecare termen al numărătorului la numitor: 3x/2- 6/2= 3/2x-3. Acum coeficienții se citesc direct: a= 3/2 și b=-3. Fără această despărțire se greșește ușor, luând de exemplu a=3 sau b=-6, adică valori de două ori mai mari decât cele reale.

Cât face f(1)+f(2)+…+f(10) pentru funcția afină f(x)=2x+1?

Grupezi termenii: suma este 2(1+2+…+10)+10·1. Cum 1+2+…+10=55, rezultatul este 110+10=120. Același calcul se face observând că valorile 3,5,7,…,21 formează o progresie aritmetică: ((3+21)·10)/2=120. În modelul oficial M2 din 2026, Subiectul I are o cerință cu două funcții afine, în care se calculează valori.

Cum aflu formula unei funcții afine din grafic?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția afină

Alegi pe grafic două puncte cu coordonate exacte și abscise diferite. Coeficientul lui $x$ este raportul variațiilor, $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , iar termenul liber rezultă înlocuind un punct în $y = a x + b$ . Exemplu: prin $(1, 5)$ și $(3, 11)$ avem $a = \frac{6}{2} = 3$ , apoi $5 = 3 + b$ , deci $b = 2$ și $f (x) = 3 x + 2$ . Proba se face cu un al treilea punct citit, de pildă $(- 1, - 1)$ , care trebuie să verifice formula.

O funcție afină are forma $f (x) = a x + b$ , cu doi coeficienți reali fixați. Cazul $a = 0$ nu iese din familie: el dă o funcție constantă, afină, dar nu de gradul I. Pe tot domeniul real graficul este o dreaptă neverticală; când enunțul restrânge domeniul, păstrezi doar porțiunea permisă, adică un segment, o semidreaptă sau câteva puncte izolate.

Pe un grafic dat, citești întâi domeniul, capetele și gradațiile. Un cerculeț gol exclude argumentul, chiar dacă numerele lui verifică formula. Termenul liber este ordonata punctului de pe axa verticală numai dacă zero este admis; altfel rămâne un coeficient al formulei, nu o valoare a funcției.

Coeficientul argumentului se obține ca raport între schimbarea ordonatei și schimbarea abscisei, calculate din două puncte exacte cu abscise distincte. Dacă formula e scrisă ca fracție, împarte fiecare termen la numitor înainte să numești coeficienții. După ce afli formula, o controlezi pe toate datele: al treilea punct al unui tabel poate confirma sau poate respinge modelul.

În aplicații, precizează unitățile: coeficientul are unitatea valorii împărțită la unitatea argumentului, iar termenul liber are unitatea valorii. Folosește formula numai în intervalul declarat al modelului.

De reținut

$a = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ , pentru orice două argumente distincte
$b = f (0)$ doar când $0$ aparține domeniului
pe $R$ graficul este o dreaptă neverticală; pe un interval, o porțiune din ea

Greșeala tipică

Se împarte variația absciselor la variația ordonatelor și se obține inversul coeficientului; corect, $a$ este variația lui $y$ împărțită la variația lui $x$ .

Exerciții din această mini-lecție

Graficul unei funcții afine definite pe $R$ trece prin punctele exacte $A (0; - 3)$ și $B (4; 3)$ . Care este formula funcției?
- a) $f (x) = 3 x /2 - 3$
- b) $f (x) = 2 x /3 - 3$
- c) $f (x) = 3 x /2 + 3$
- d) $f (x) = 6 x - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f (x) = 3 x /2 - 3$

Punctul de pe axa verticală dă termenul liber $- 3$ . Raportul variațiilor este $(3 - (- 3)) / (4 - 0) = 3/2$ .
Care dintre funcțiile următoare, definite pe $R$ , este afină, dar nu este de gradul I?
- a) $f (x) = x^{2} - 1$
- b) $f (x) = 7 x /4$
- c) $f (x) = - 11/3$
- d) $f (x) = ∣ x ∣$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = - 11/3$

Funcția constantă are forma $a x + b$ cu $a = 0$ , deci este afină; lipsind coeficientul nenul al argumentului, nu este de gradul I.
Funcția $f (x) = - 3 x /5 + 4$ este definită numai pe $(0, 10]$ . Care punct aparține graficului ei?
- a) $(0; 4)$
- b) $(10; - 2)$
- c) $(- 5; 7)$
- d) $(5; 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(10; - 2)$

Argumentul zece este admis și $- 3 \cdot 10/5 + 4 = - 2$ . Zero este exclus, minus cinci nu este în domeniu, iar în cinci valoarea este unu.

Întrebări conexe

Cum arăt că punctele unui tabel stau pe graficul aceleiași funcții afine?

Calculezi raportul variațiilor între puncte consecutive; pentru o funcție afină el este același peste tot. De exemplu, pentru $(0, 1)$ , $(2, 7)$ , $(5, 16)$ rapoartele sunt $\frac{6}{2} = 3$ și $\frac{9}{3} = 3$ , deci toate stau pe $y = 3 x + 1$ . Dacă un raport diferă, niciun model afin nu le cuprinde pe toate.

Cum aduc formula $f (x) = \frac{3 x - 6}{2}$ la forma $a x + b$ ?

Împarți fiecare termen al numărătorului la numitor: $\frac{3 x}{2} - \frac{6}{2} = \frac{3}{2} x - 3$ . Acum coeficienții se citesc direct: $a = \frac{3}{2}$ și $b = - 3$ . Fără această despărțire se greșește ușor, luând de exemplu $a = 3$ sau $b = - 6$ , adică valori de două ori mai mari decât cele reale.

Cum scriu ca funcție afină încălzirea uniformă a apei într-un vas?

Dacă apa pornește de la $2 0^{\circ}$ C și câștigă $4^{\circ}$ C pe minut, temperatura după $t$ minute este $T (t) = 20 + 4 t$ . Modelul are sens doar până la fierbere: $20 + 4 t = 100$ dă $t = 20$ , deci domeniul este $[0, 20]$ . Rata are unitatea grade pe minut, iar termenul liber este temperatura inițială.

Ce grafic are o funcție afină definită doar pe un interval închis?

Graficul este un segment, nu o dreaptă întreagă. Pentru $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ , capetele sunt $(0, - 1)$ și $(3, 5)$ , ambele desenate cu punct plin, fiindcă $0$ și $3$ aparțin domeniului. Punctul $(4, 7)$ verifică formula, dar nu face parte din grafic, deoarece $4$ nu este în domeniu.

Cât face $f (1) + f (2) + \dots + f (10)$ pentru funcția afină $f (x) = 2 x + 1$ ?

Grupezi termenii: suma este $2 (1 + 2 + \dots + 10) + 10 \cdot 1$ . Cum $1 + 2 + \dots + 10 = 55$ , rezultatul este $110 + 10 = 120$ . Același calcul se face observând că valorile $3, 5, 7, \dots, 21$ formează o progresie aritmetică: $\frac{( 3 + 21 ) \cdot 10}{2} = 120$ . În modelul oficial M2 din 2026, Subiectul I are o cerință cu două funcții afine, în care se calculează valori.

Oamenii mai întreabă și: formula funcției afine din grafic · cum aflu a și b din grafic · ecuația dreptei din două puncte · citirea coeficienților funcției afine · funcția afină care trece prin două puncte