Graficul și lectura grafică (M2, științe ale naturii)

Un grafic poate arăta o evoluție, dar o captură mică nu spune întotdeauna unde se termină domeniul, ce valori sunt atinse exact sau ce unități folosesc axele. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), învățăm să citim informația oferită și să formulăm concluzii pe măsura ei. Lectura grafică este centrală în noua programă. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține graficul unei funcții și lecturile grafice.

Pornim de la domeniul, codomeniul și valorile unei funcții la M2. Pentru poziția unui punct, poți reveni la reprezentarea punctelor în reper din clasa a VII-a. Aici citim grafice date; în lecția M2 despre funcția afină și în cele despre alte familii vom lega această lectură de formulele potrivite.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești coordonate și valori, ținând cont de scară și de unități.
• Vei ști să identifici argumentele pentru care este atins un nivel dat.
• Vei ști să interpretezi capete incluse, capete excluse și goluri ale domeniului.
• Vei ști să deosebești graficul complet de porțiunea afișată într-o fereastră.
• Vei ști să precizezi dacă o concluzie este exactă, aproximativă sau insuficient justificată.

Hai să descoperim împreună

1. Ce obiect citim pe desen?

Pentru $f:D\to \mathbb{R}$, cu $D\subseteq \mathbb{R}$, graficul funcției este mulțimea tuturor punctelor $(x;f(x))$, unde $x$ parcurge domeniul. Reprezentarea desenată ne ajută să vedem acest obiect. Prima coordonată indică argumentul, iar a doua indică valoarea corespunzătoare. Dacă un punct este declarat parte a graficului, coordonatele lui transmit o egalitate despre funcție.

Un punct $P(a;b)$ aparține graficului exact atunci când $a$ este în domeniu și $f(a)=b$. Ambele condiții contează. Dacă avem o formulă calculabilă în afara domeniului declarat, punctele obținute astfel aparțin unei posibile extinderi, nu funcției inițiale. Dacă avem numai imaginea, nu inventăm o formulă înainte să folosim informațiile înscrise pe ea.

Într-o reprezentare abstractă, axele pot fi notate cu literele obișnuite. Într-un model, ele primesc și sens: timp, masă, lungime, concentrație ori altă mărime. Perechea rămâne ordonată, iar rezultatul se exprimă în unitatea valorilor. O coordonată fără unitate poate fi suficientă într-o problemă abstractă și incompletă într-o interpretare experimentală.

2. Legenda și scara se citesc înaintea curbei

Identifică originea, sensurile pozitive, gradațiile și unitățile. Distanțe egale pe aceeași axă corespund diferențelor numerice stabilite prin scară. Pe cele două axe pot fi folosite scări diferite. Un centimetru pe foaie nu reprezintă obligatoriu o unitate numerică și nici aceeași mărime pe orizontală și verticală.

De exemplu, între gradațiile zero și opt pot exista patru intervale egale. Un interval reprezintă atunci două unități numerice, deoarece $8/4=2$. Pentru cealaltă axă trebuie verificată propria gradație. Numărarea pătrățelelor fără consultarea numerelor poate produce un răspuns coerent ca desen, dar greșit ca valoare.

Aspectul mai abrupt al unei linii depinde și de modul de afișare. Dacă lățim imaginea fără să schimbăm etichetele coordonatelor, graficul aceleiași funcții pare mai puțin înclinat. Valorile citite corect rămân aceleași. În această lecție descriem informațiile numerice; compararea riguroasă a variațiilor va folosi datele axelor, nu impresia produsă de unghiul de pe ecran.

3. Două sensuri de lectură, două tipuri de răspuns

Pentru o întrebare de forma „cât este valoarea la argumentul dat?”, alegem abscisa, ajungem pe grafic urmând verticala și citim ordonata. Dacă argumentul este în domeniu, trebuie să existe o singură valoare. Dacă verticala întâlnește două puncte distincte ale obiectului desenat, acesta nu poate reprezenta o funcție cu acea abscisă drept intrare.

Pentru o întrebare de forma „când este atins acest nivel?”, fixăm ordonata și urmărim toate punctele comune cu orizontala respectivă. Răspunsul constă în abscise. Pot exista mai multe abscise, niciuna sau un întreg interval, dacă o porțiune a graficului coincide cu orizontala. Această situație este compatibilă cu existența unei singure valori pentru fiecare argument.

La întâlnirea a două segmente ale aceleiași linii frânte, vârful comun este un singur punct. Dacă orizontala trece prin acel vârf, nu îl numărăm de două ori doar pentru că putem ajunge la el pe ambele segmente. Numărăm soluțiile distincte și păstrăm intervalele întregi atunci când există o porțiune orizontală.

4. Marcajele de capăt schimbă răspunsul

În figurile acestei lecții, un punct plin aparține graficului, iar un cerculeț gol marchează o poziție exclusă. Când citim domeniul, includerea sau excluderea capătului trebuie să apară și în paranteza intervalului. O valoare desenată la marginea unui segment nu este neapărat atinsă: verificăm marcajul înainte să afirmăm apartenența.

Un cerculeț gol la o anumită abscisă nu exclude automat abscisa din domeniu. Ar putea exista, la aceeași abscisă și la altă înălțime, un punct plin care dă valoarea funcției. Contează toate marcajele relevante. În schimb, două puncte pline la aceeași abscisă și la ordonate diferite ar încălca unicitatea.

Domeniul poate avea și porțiuni separate. Dacă graficul complet are un gol între două segmente, nu completăm intervalul lipsă printr-o linie imaginară. Pentru fiecare abscisă cerută verificăm existența unui punct efectiv. Aceeași grijă va fi necesară când interpretăm ecuații sau modele valabile numai în anumite intervale.

5. Grafic complet sau numai o fereastră?

Într-o aplicație digitală, putem deplasa și mări zona afișată. Marginea dreptunghiului vizibil nu devine astfel o margine a domeniului. Dacă o curbă iese din imagine, avem informații despre ceea ce se vede, iar restul poate continua în afara cadrului. Pentru o concluzie despre întreaga funcție trebuie să cunoaștem domeniul și caracterul complet al reprezentării.

Un vârf vizibil poate fi cel mai înalt punct din captură, fără să fie cel mai înalt punct al graficului complet. Similar, absența unei intersecții din fereastra aleasă nu demonstrează că ea nu există în altă parte. Uneori un domeniu explicit și o formulă permit un control suplimentar; alteori concluzia corectă este că datele sunt insuficiente.

Nu confundăm această limită cu imposibilitatea de a spune ceva. Putem afirma că un anumit punct vizibil aparține graficului, că două valori marcate coincid sau că, pe intervalul complet reprezentat, curba are o anumită așezare. Precizăm însă intervalul concluziei. O afirmație locală bine delimitată este mai utilă decât una generală dedusă dintr-o captură parțială.

6. Când citirea este exactă

Coordonatele scrise lângă puncte și datele exacte din enunț permit răspunsuri exacte. Dacă graficul este declarat format din segmente, pozițiile intermediare se pot verifica folosind variația uniformă pe fiecare segment. Acest control se bazează pe informația „segment”, nu pe ideea că orice curbă ar fi dreaptă între două puncte observate.

Pe o schiță grosieră, o intersecție aparent apropiată de o gradație oferă adesea numai o aproximație. Grosimea liniei și rezoluția ecranului limitează citirea. Nu transformăm o aproximare într-o egalitate exactă numai fiindcă răspunsul ar deveni mai comod. Dacă problema cere o valoare exactă, folosim coordonatele, scara ori formula furnizată; dacă acestea lipsesc, semnalăm limita informației.

În exemple, desenele sunt însoțite de coordonate exacte și de precizarea porțiunilor care fac parte din grafic. Poți citi întâi rezultatul, apoi verifica numeric unde este necesar. Această ordine păstrează lectura grafică drept activitate principală și folosește calculul pentru control, fără să transforme fiecare figură într-un pretext pentru un studiu algebric complet.

7. Cum comparăm și interpretăm graficele

La compararea a două funcții, privim aceeași abscisă din domeniul lor comun. Graficul aflat mai sus are valoarea mai mare la acea intrare. Un punct comun indică aceeași valoare pentru același argument. Dacă un grafic lipsește la abscisa aleasă, comparația respectivă nu este definită, chiar dacă o prelungire imaginară ar putea fi trasată.

În aplicații, rezultatul se traduce în mărimile problemei. Un segment orizontal al masei cumulate înseamnă că totalul înregistrat rămâne constant în acel interval. Aceeași formă pe un grafic al vitezei ar însemna altceva. Desenul nu poate fi interpretat independent de etichetele axelor și de sensul funcției.

Pentru redactare, indică valoarea sau mulțimea argumentelor, unitatea când există și condițiile de includere. Dacă informația este incompletă, explică ce anume poate fi afirmat și ce date ar mai fi necesare. Studiul sistematic al semnului, monotoniei și extremelor pentru familii particulare va continua în lecțiile următoare ale traseului M2.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea a două valori dintr-un grafic complet

Graficul este linia frântă prin $A(-4;2)$, $B(-1;5)$, $C(2;-1)$ și $D(6;3)$, cu toate segmentele și capetele incluse. Citește $f(0)$ și $f(4)$.

Rezolvare. Verticala prin zero întâlnește segmentul descendent la înălțimea trei, deci $f(0)=3$. Verticala prin patru întâlnește ultimul segment la înălțimea unu, deci $f(4)=1$.

Coordonatele exacte permit controlul citirii. De la $B$ la $C$, ordonata scade cu șase în trei unități orizontale: $6/3=2$. Până la abscisa zero parcurgem o unitate, așadar $5-2=3$. Pe ultimul segment, creșterea este de o unitate pentru fiecare unitate orizontală; de la abscisa doi la patru obținem $-1+2=1$. Am verificat citirea fără să construim un studiu complet al funcției.

Exemplul 2 — Domeniu cu un gol și capete excluse

Graficul complet conține segmentul dintre $A(-3;-2)$, exclus, și $B(1;2)$, inclus, precum și segmentul dintre $C(4;-1)$, inclus, și $D(7;-1)$, exclus. Citește domeniul și discută valorile la zero, doi și șapte.

Rezolvare. Domeniul este $(-3,1]\cup [4,7)$. La abscisa zero, primul segment are ordonata unu, deci $f(0)=1$. Controlul pe acest segment dă $-2+3=1$, deoarece coordonatele cresc cu aceeași diferență.

La doi nu există niciun punct al graficului: abscisa se află în golul dintre porțiuni. La șapte apare numai un cerculeț gol, fără un alt punct plin la aceeași abscisă, deci nici acea valoare nu este definită. Linia orizontală se apropie de poziția desenată, însă marcajul ei de capăt exclude punctul. Nu înlocuim reuniunea de intervale cu intervalul dintre marginile extreme.

Exemplul 3 — Un nivel atins pe un interval

Graficul complet este linia frântă prin $P(-5;1)$, $Q(-2;4)$, $R(1;4)$ și $S(3;0)$, cu puncte și segmente incluse. Determină toate argumentele pentru care valoarea este patru.

Rezolvare. Orizontala de nivel patru coincide cu întregul segment $QR$. Prin urmare, mulțimea soluțiilor este $[-2,1]$. Nu răspundem numai cu abscisele capetelor: fiecare punct dintre ele aparține și el graficului.

Celelalte două segmente ajung la nivelul cerut numai în capetele $Q$, respectiv $R$, deja cuprinse în interval. Nu apar soluții suplimentare prin numărarea acestor vârfuri încă o dată. Un interval de argumente poate produce aceeași valoare, deoarece funcția cere unicitatea rezultatului pentru fiecare argument, fără să interzică un rezultat comun pentru argumente diferite.

Exemplul 4 — Limita ferestrei nu este limita funcției

O funcție este definită pe $\mathbb{R}$. Pe ecran se vede numai fereastra cu abscise între minus doi și doi și ordonate între minus unu și trei. În această fereastră, graficul urmează segmentul din imagine și ajunge la marginea superioară. Putem declara că domeniul se termină la doi și că valoarea maximă este trei?

Rezolvare. Nu. Domeniul este deja declarat real; dreptunghiul afișat nu îl restrânge. În plus, partea nevizibilă a graficului ar putea atinge valori mai mari. Desenul oferă informații despre porțiunea prezentată, fără să determine întreaga continuare.

Putem afirma că, în această fereastră, sunt vizibile valori până la trei. Pentru un maxim global ar trebui să cunoaștem întregul comportament relevant. Nici prelungirea aceleiași drepte în afara ecranului nu este obligatorie în lipsa unei formule sau a unei precizări suplimentare despre funcție.

Exemplul 5 — Unitățile dau sens citirii

Masa cumulată de substanță colectată este reprezentată în grame, în funcție de timpul în minute. Graficul modelului conține segmentele prin $P(0;0)$, $Q(2;3)$, $R(5;3)$ și $S(7;6)$, toate incluse. Citește masa la minutul patru și explică porțiunea dintre minutele doi și cinci.

Rezolvare. La minutul patru, graficul are ordonata trei: masa cumulată este de trei grame. Pe intervalul dintre minutele doi și cinci, totalul rămâne constant; creșterea masei colectate este $3-3=0$ grame.

Această lectură nu spune că substanța existentă dispare ori că timpul se oprește. Spune numai că totalul înregistrat de model nu crește în acea perioadă. Graficul este folosit pe intervalul declarat al observației; el nu stabilește evoluția după minutul șapte. Sensul practic vine din faptul că ordonata reprezintă o masă cumulată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Graficul complet al unei funcții este segmentul cu capetele incluse $T(-6;5)$ și $U(2;1)$. Citește $f(0)$ și $f(-2)$, apoi calculează suma lor. Verifică dacă punctul $P(-2;3)$ aparține graficului.

Rezolvare. Citim $f(0)=2$ și $f(-2)=3$, deci suma este $2+3=5$. Punctul propus aparține graficului, deoarece abscisa este admisă și ordonata coincide cu valoarea citită.

Pentru control, segmentul coboară cu patru unități în opt unități orizontale: $4/8=1/2$. De la abscisa minus șase până la minus doi, scăderea este $4/2=2$, astfel că $5-2=3$. Exercițiul este un antrenament propriu pentru lectura și folosirea valorilor funcțiilor la Bacalaureatul M2; nu este prezentat drept reproducerea unui subiect oficial.

Să exersăm

Coordonatele și segmentele indicate sunt exacte. Când enunțul spune „grafic complet”, sunt prezente numai porțiunile descrise. Poți reproduce figurile pe caiet înainte să citești rezultatele.

1. Graficul complet unește prin segmente punctele $A(-5;-2)$, $B(-2;4)$ și $C(1;1)$, cu capetele incluse. Citește $f(-3)$.

2. Graficul este segmentul închis cu capetele $A(-1;7)$ și $B(5;-5)$. Citește $f(2)$ și controlează citirea folosind poziția de mijloc a abscisei.

3. Graficul complet unește prin segmente $A(-3;0)$, $B(0;6)$ și $C(4;-2)$, cu capetele incluse. Un coleg a trecut într-un tabel, în dreptul argumentelor $-2$, $2$ și $3$, valorile $2$, $3$, respectiv $0$. Care rânduri sunt corecte? Corectează rândul greșit.

4. Graficul complet este segmentul închis dintre $A(2;-4)$ și $B(6;4)$. Citește zeroul funcției și decide dacă graficul intersectează axa ordonatelor.

5. Graficul complet este segmentul dintre $A(-2;3)$, exclus, și $B(3;8)$, inclus. Scrie domeniul și discută valoarea la capătul stâng.

6. Graficul complet este alcătuit din segmentele închise $AB$ și $CD$, unde $A(-4;1)$, $B(-1;4)$, $C(2;-2)$ și $D(5;1)$. Scrie domeniul și discută valoarea la zero.

7. Graficul complet unește prin segmente $A(-5;1)$, $B(-3;5)$, $C(-1;3)$, $D(2;3)$ și $E(4;6)$, cu toate capetele incluse. Pentru ce argumente funcția are valoarea $3$?

8. Un desen conține numai punctele $A(-2;1)$, $B(0;-3)$ și $C(0;4)$. Poate fi graficul unei funcții numerice, cu prima coordonată drept argument?

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pe un desen, o gradație orizontală reprezintă $2$ unități, iar una verticală $3$ unități. Un segment al graficului urcă două gradații verticale în timp ce avansează trei gradații orizontale. Atunci, pe acel segment, valoarea funcției crește cu o unitate pentru fiecare unitate a argumentului.

10. Pe un desen gradat, abscisa punctului se află la mijloc între gradațiile $4$ și $8$. Ordonata este la a doua subdiviziune de câte $3$ unități deasupra originii. Scrie coordonatele punctului.

11. (Problemă aplicată.) Masa cumulată $m$, în grame, este reprezentată în funcție de timpul în minute prin segmentele închise care unesc $A(0;0)$, $B(3;6)$ și $C(9;9)$. Cu câte grame crește masa colectată între minutele $2$ și $7$?

12. Graficul complet este linia frântă prin $(-4;1)$, $(0;-3)$ și $(3;2)$, cu toate punctele incluse. Citește domeniul și mulțimea valorilor funcției.

13. Graficul complet este segmentul dintre $A(-1;-2)$, exclus, și $B(3;4)$, inclus. Este valoarea minus doi atinsă de funcție? Justifică prin marcaj și prin poziția celorlalte puncte.

14. Primul grafic este segmentul închis dintre $P(0;1)$ și $Q(4;5)$, iar al doilea este segmentul închis dintre $U(0;4)$ și $V(4;4)$. Citește punctul comun și intervalul pe care primul grafic se află strict deasupra celui de-al doilea.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x-17$. Verifică apartenența la grafic pentru $A(3;7)$ și $B(-1;-24)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9-7x$, iar graficul complet al funcției $g$ este segmentul închis cu capetele $A(-3;-5)$ și $B(5;9)$. Determină numărul $a\in [-3,5]$ pentru care $g(a)=f(1)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x-21$. Punctul $M(m;2m+7)$ aparține graficului funcției. Determină numărul real $m$ și coordonatele punctului.

18. (Provocare.) Descrie un grafic complet format din două segmente, cu domeniul $[-2,5]$ și mulțimea valorilor $[1,4]$, care atinge valoarea patru într-un singur argument. Justifică fiecare cerință pe graficul propus.

Răspunsuri și explicații

1. Valoarea este $2$. Pe primul segment, ordonata crește cu două unități pentru fiecare unitate orizontală. De la abscisa minus cinci până la minus trei, creșterea este de patru: $-2+4=2$.

2. Valoarea este $1$. Abscisa doi este la mijlocul intervalului dintre minus unu și cinci. Pentru un segment, ordonata corespunzătoare este media ordonatelor capetelor: $(7-5)/2=1$. Argumentul este în domeniul reprezentat.

3. Primul și al treilea rând sunt corecte, al doilea nu. Pe segmentul $AB$ ordonata crește cu două unități la fiecare unitate orizontală, deci la minus doi valoarea este $0+2=2$. Pe segmentul $BC$ ordonata scade cu două unități la fiecare unitate, deci $6-2\cdot 2=2$ la abscisa doi și $6-2\cdot 3=0$ la abscisa trei. Rândul corect este $f(2)=2$; pe segmentul $BC$, ordonata trei corespunde abscisei $3/2$, nu abscisei doi.

4. Zeroul este $4$. Punctul de la mijlocul segmentului are ordonata $(-4+4)/2=0$. Graficul nu intersectează axa ordonatelor, fiindcă domeniul începe la doi și nu conține zero; o prelungire ar descrie alt grafic.

5. Domeniul este $(-2,3]$. Valoarea la minus doi nu este definită: acolo este numai capătul exclus, iar graficul complet nu conține un alt punct cu aceeași abscisă. Capătul drept este admis.

6. Domeniul este $[-4,-1]\cup [2,5]$. Valoarea la zero nu este definită, deoarece între cele două porțiuni există un gol. Faptul că zero se află între marginile extreme nu este suficient pentru apartenența la domeniu.

7. Mulțimea argumentelor este $\{-4\}\cup [-1,2]$. Pe primul segment ordonata crește cu două unități la fiecare unitate orizontală, deci nivelul trei este atins o dată, la abscisa minus patru: $1+2=3$. Segmentul $CD$ coincide cu orizontala nivelului trei, iar capetele lui sunt incluse. Vârfurile $C$ și $D$ aparțin deja intervalului, deci nu se numără separat.

8. Desenul nu este graficul unei funcții cu prima coordonată drept argument. Abscisa zero ar avea două valori distincte, minus trei și patru. Orice altă parte a desenului lasă această contradicție nerezolvată.

9. Adevărat. Pe verticală segmentul urcă $2\cdot 3=6$ unități, iar pe orizontală avansează $3\cdot 2=6$ unități, deci creșterea este $6/6=1$ pe unitatea argumentului. Numărarea gradațiilor fără scară ar fi dat raportul două treimi, un număr care descrie desenul, nu funcția.

10. Punctul este $P(6;6)$. Abscisa rezultă din $(4+8)/2=6$, iar ordonata din $2\cdot 3=6$. Fiecare axă se citește cu propria scară; numărul subdiviziunilor nu este automat coordonata numerică.

11. Masa crește cu $4$ grame. Pe primul segment masa crește cu două grame pe minut, deci $m(2)=4$ grame. Pe al doilea segment crește cu o jumătate de gram pe minut, deci $m(7)=6+2=8$ grame. Intervalul trece peste vârful $B$, așa că fiecare valoare se citește pe segmentul ei: $8-4=4$ grame.

12. Domeniul este $[-4,3]$, citit pe axa orizontală, iar mulțimea valorilor este $[-3,2]$, citită pe axa verticală. Cea mai mică ordonată, minus trei, este în vârful din mijloc; cea mai mare, doi, este în capătul drept, nu în cel stâng, unde ordonata este unu. Fiecare număr dintre minus trei și doi este atins, pentru că segmentele nu au goluri.

13. Nu. Poziția cu ordonata minus doi este exclusă, iar toate celelalte puncte ale segmentului au ordonate mai mari. Funcția se apropie de acea valoare pe grafic, însă aceasta nu este atinsă în reprezentarea completă dată.

14. Punctul comun este $(3;4)$. Primul grafic se află strict mai sus pentru abscisele din $(3,4]$. Egalitatea de la trei exclude acel capăt, iar patru rămâne admis; controlul la punctul comun este $3+1=4$.

15. A aparține graficului, deoarece $8\cdot 3-17=7$. B nu aparține graficului: $8\cdot (-1)-17=-25$, diferit de ordonata propusă. Ambele abscise sunt admise, deci decizia se face prin comparația ordonatelor.

16. Numărul este $a=1$. Din formulă, $f(1)=9-7=2$. Pe segment, ordonata crește cu $14/8=7/4$ pe unitatea orizontală, deci nivelul doi este atins după o creștere de șapte față de capătul $A$, adică după patru unități orizontale: $-3+4=1$. Abscisa unu aparține intervalului, iar controlul este $-5+(7/4)\cdot 4=2$.

17. Obținem $m=4$ și punctul $M(4;15)$. Apartenența cere ca ordonata să fie valoarea funcției în abscisă: $9m-21=2m+7$, deci $7m=28$. Control: $9\cdot 4-21=15$ și $2\cdot 4+7=15$.

18. Un exemplu este linia frântă prin $(-2;1)$, $(1;4)$ și $(5;2)$, cu toate punctele incluse. Abscisele acoperă $[-2,5]$ fără gol; ordonatele urcă de la unu la patru, apoi coboară la doi, deci mulțimea valorilor este $[1,4]$. Nivelul patru este atins numai în vârful de abscisă unu. Sunt corecte și alte grafice care respectă cele trei cerințe.

De reținut

• O citire începe cu domeniul, scara, legenda și caracterul complet al imaginii.
• Valoarea la o intrare și argumentele unui nivel se citesc în sensuri diferite.
• Un cerculeț gol exclude poziția marcată, un punct plin o include, iar golurile domeniului se păstrează.
• Marginea ferestrei de afișare nu stabilește singură o limită a funcției.
• O intersecție comună mai multor segmente se numără o singură dată.

Greșeli frecvente

• Ignori cerculețul gol de la capăt. Verifică dacă poziția este inclusă și caută eventuale alte marcaje la aceeași abscisă. Forma segmentului nu anulează convenția de capăt folosită în figură.
• Transformi marginea capturii în margine a domeniului. Citește domeniul anunțat și află dacă reprezentarea este completă. O aplicație poate ascunde prin încadrare puncte care aparțin funcției.
• Declari exactă o valoare estimată din grosimea liniei. Folosește coordonatele declarate sau scara pentru o citire justificată. Dacă imaginea oferă numai o aproximație, păstrează această precizare în răspuns.
• Compari înclinările din imagini cu proporții diferite. Verifică scările axelor înainte să interpretezi diferența de aspect. Aceleași valori pot fi afișate printr-o curbă care pare mai abruptă sau mai plată.
• Numeri de două ori un vârf comun. Două segmente pot atinge orizontala în același punct. Numără perechile distincte și recunoaște separat cazul unui segment întreg situat la nivelul cerut.

Aplică acasă

1. Desenează un grafic complet alcătuit din segmente, apoi acoperă o parte a foii cu un dreptunghi decupat. Notează două afirmații justificate numai de porțiunea vizibilă și o întrebare care nu poate fi rezolvată din ea. Descoperă foaia și verifică ce informații noi permit răspunsul.
2. Reprezintă aceleași puncte și segmente pe două repere: la al doilea, dublează spațiul folosit pe verticală pentru fiecare unitate numerică. Păstrează etichetele coordonatelor. Compară aspectul desenelor și scrie trei citiri numerice care trebuie să coincidă în cele două reprezentări.
3. Desenează un segment, apoi pregătește două versiuni care diferă numai prin marcajul unui capăt. Scrie domeniul fiecărei funcții și o întrebare despre valoarea din acel capăt. Explică de ce aproape întregul desen poate coincide, în timp ce răspunsul la întrebare se schimbă.

Pentru părinți și profesori

O probă de înțelegere utilă schimbă un singur detaliu al imaginii: marcajul unui capăt, scara unei axe sau dimensiunea ferestrei. Elevul trebuie să distingă schimbarea funcției de schimbarea reprezentării. Cereți răspunsuri care includ intervalele și unitățile necesare, nu numai un număr desprins de întrebare. Pentru o imagine neclară, acceptați o estimare declarată și discutați ce date ar permite exactitatea.

Graficele digitale sunt potrivite pentru deplasarea ferestrei și schimbarea scărilor, dar citirea automată a coordonatelor nu înlocuiește interpretarea. Elevul poate anticipa unde trebuie să caute rezultatul, apoi să folosească aplicația pentru control. La o linie frântă, trebuie precizat că segmentele aparțin modelului; simpla unire automată a unor măsurători nu demonstrează variația liniară a fenomenului dintre observații.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care cere observarea și descrierea proprietăților funcțiilor pe reprezentări grafice, inclusiv cu aplicații digitale. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie; pentru elevii intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 (Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) include tema în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care include graficul unei funcții și lecturile grafice. Cerințele de antrenament de aici nu sunt etichetate drept subiecte oficiale.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: graficul unei funcții și lectura grafică. Lecția M2 insistă asupra lecturii justificate: ce parte este reprezentată, ce poziții sunt admise și câtă precizie permit datele. Exercițiile se rezolvă autonom din explicațiile acestui material.

Întrebări frecvente

Ce accent are lecția M2 față de varianta M1?

Accentul cade pe folosirea graficului dat ca sursă de informații și pe limitele concluziilor extrase din el. Verificăm capetele, golurile domeniului, scările și diferența dintre o captură și o reprezentare completă. Calculele controlează citirile exacte, fără să impună de fiecare dată reconstruirea unei formule. Datele și sarcinile sunt proprii traseului de științe.

Cum folosesc lectura grafică la bacalaureatul M2?

Identifici sensul întrebării, citești valoarea ori argumentele cerute și verifici domeniul și marcajele relevante. Dacă primești și o formulă, poți controla rezultatul prin calcul. Studiul funcțiilor este inclus în programele aplicabile celor două generații. Exemplele marcate sunt antrenamente proprii, nu reproduceri ale unor subiecte. Le poți relua în testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Un cerculeț gol înseamnă întotdeauna că abscisa nu este admisă?

El exclude punctul marcat, dar poate exista un punct plin la aceeași abscisă și la altă ordonată. În acel caz, funcția are valoarea indicată de punctul plin. Ca să decizi apartenența abscisei la domeniu, citește toate marcajele corespunzătoare, nu doar un capăt de segment. Convenția trebuie precizată în legendă sau în enunț.

Pot citi domeniul întreg din orice captură a unui grafic?

Numai dacă ai informații că reprezentarea arată complet toate porțiunile relevante. O fereastră digitală poate ascunde atât capete, cât și continuări ale curbei. Domeniul explicit din enunț rămâne valabil indiferent de încadrare. Dintr-o captură parțială poți descrie ce este vizibil, însă o concluzie globală poate necesita alte date sau schimbarea ferestrei.

De ce același grafic poate părea mai abrupt în altă imagine?

Aspectul depinde de raportul dintre scările folosite pe cele două axe și de proporțiile imaginii. O întindere verticală păstrează valorile dacă etichetele coordonatelor sunt păstrate corespunzător, dar modifică unghiul aparent. Pentru comparații matematice folosește diferențele numerice și unitățile, nu doar impresia vizuală produsă de două imagini cu încadrări diferite.

De ce un vârf comun nu dă două soluții la același nivel?

O soluție este o abscisă pentru care valoarea funcției coincide cu nivelul cerut. Dacă două segmente se întâlnesc în același vârf, ele au acolo aceeași abscisă și aceeași ordonată. Punctul comun rămâne unul singur, indiferent din ce segment îl privești. Numărarea soluțiilor urmărește pozițiile distincte, nu numărul porțiunilor care ajung la ele.