Funcția putere cu exponent real: valori și comportament (M2, științe ale naturii)

Un erbicid ajuns în sol nu rămâne tot în apa dintre particule: o parte se lipește de particulele de argilă și de humus. Chimiștii măsoară cât se reține pe fiecare kilogram de sol, $q$, pentru diferite concentrații $c$ ale erbicidului în apa din sol și obțin, pentru multe substanțe, o lege de forma $q=K\cdot c^n$, cu un exponent $n$ mai mic decât unu, cum ar fi $0,8$. Legea se numește izoterma lui Freundlich, iar exponentul ei nu e un număr întreg. Ca să citești o asemenea lege, ai nevoie de funcția în care variabila stă la bază, iar exponentul e un număr real fixat. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), lecția studiază această funcție pe numere pozitive: cum îi calculezi exact valorile, ce semn au ele, când sunt mai mari decât unu și ce se întâmplă cu ele când argumentul se înmulțește cu un număr. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: calculul cu puteri cu exponent real e cerut de programa de examen (OMEN 4430/2014), care numește dintre funcțiile putere doar pe cea cu exponent natural; programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28) nu conține funcția putere cu exponent real, iar funcția putere cu exponent întreg apare acolo la clasa a IX-a. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 are funcția putere doar pentru exponenți întregi, în domeniul „Algebră”, așa că exponentul real al acestei lecții nu intră acolo. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține puterile cu exponent real; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu funcția putere cu exponent real.

Regulile de calcul pe care se sprijină totul au fost fixate în lecția M2 despre regulile puterilor reale. Pentru exponenți întregi, funcția a fost privită pe grafic în pagina M2 a clasei a IX-a cu puterile întregi, iar exponentul $\frac{1}{2}$ înseamnă radicalul studiat în pagina M2 despre rădăcina pătrată ca funcție. Aici exponentul devine un număr real oarecare.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o funcție putere cu exponent real: variabila e la bază, exponentul e un număr real fixat, iar argumentul e un număr strict pozitiv.
• Vei ști să alegi argumente pentru care valoarea iese exactă, chiar când exponentul e o fracție sau un număr irațional.
• Vei ști să decizi fără calculator dacă o valoare $x^{\alpha }$ este mai mare sau mai mică decât $1$, din poziția lui $x$ față de $1$ și din semnul lui $\alpha$.
• Vei ști să citești un tabel de valori pentru exponenți pozitivi și pentru exponenți negativi și să descrii ce se întâmplă lângă zero și pentru argumente mari.
• Vei ști că înmulțirea argumentului cu $k$ înmulțește valoarea cu $k^{\alpha }$ și să folosești proprietatea ca să recunoști o lege de putere într-un tabel de măsurători.
• Vei ști să lucrezi cu un model din chimia solului, cu unități, respectând intervalul de concentrații al măsurătorilor.

Hai să descoperim împreună

1. Baza variabilă, exponentul fixat

Funcția putere cu exponent real $\alpha$ este funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{\alpha }$, în care exponentul $\alpha$ este un număr real fixat, iar variabila $x$ ia valori strict pozitive. Pentru fiecare exponent obții o altă funcție: $x^{0,8}$, $x^{-1,2}$ sau $x^{\sqrt{3}}$ sunt trei funcții diferite din aceeași familie.

Rolul literelor e opus celui din funcția exponențială, unde baza e fixă și variabila urcă în exponent. Diferența nu e de notație: la exponențială un pas adăugat argumentului înmulțește valoarea, aici o înmulțire a argumentului înmulțește valoarea, după cum vei vedea în secțiunea 7.

Drumul de calcul, pe un obiect care nu mai apare în lecție: pentru $f(x)=x^{1/4}$, valoarea în $625$ este rădăcina de ordinul patru a lui $625$, adică $625^{1/4}=5$, pentru că $5^4=625$.

2. De ce rămânem pe numere pozitive?

O putere cu exponent irațional a fost definită numai pentru baze strict pozitive, prin aproximări raționale ale exponentului. Printre aproximările raționale apar fracții cu numitor par, iar un radical de ordin par dintr-un număr negativ nu e număr real. De aceea domeniul funcției, când exponentul e un număr real oarecare, este intervalul $(0,+\infty )$.

Pentru unii exponenți formula are sens și pe mai multe numere. Cu exponent natural, $x^{\alpha }$ se calculează pentru orice $x$ real, iar cu exponent întreg negativ pentru orice $x$ nenul; aceste cazuri sunt cele din lecția de clasa a IX-a. Programa de examen nu cere o clasificare a domeniilor după tipul exponentului, iar lecția nu o face: pentru noi funcția putere cu exponent real trăiește pe numerele strict pozitive.

3. Cum obții o valoare exactă?

Pentru un exponent rațional $\frac{p}{q}$, valoarea iese exactă când argumentul e o putere de ordinul $q$ a unui număr cunoscut. Dacă $x=t^q$, cu $t>0$, atunci $x^{p/q}=t^p$. De pildă, cu exponentul $\frac{5}{7}$ alegi argumentul $128=2^7$ și obții $128^{5/7}=2^5=32$.

Pentru un exponent irațional, ideea e aceeași, dar argumentul se alege tot ca putere cu exponent irațional. Cu $f(x)=x^{\pi }$ și argumentul $2^{1/\pi }$, regula puterii unei puteri dă ${\left(2^{1/\pi }\right)}^{\pi }=2^1=2$. Pentru argumentele obișnuite, ca $x=5$, valoarea $5^{\pi }$ nu se poate scrie exact altfel decât ca putere; calculatorul îi dă o aproximare, care se scrie cu semnul $\approx$ și se rotunjește corect.

4. Semnul valorilor și poziția lor față de 1

Toate valorile funcției sunt strict pozitive: o putere cu bază strict pozitivă nu e niciodată zero sau negativă. În plus, $1^{\alpha }=1$ pentru orice exponent, deci graficul fiecărei funcții din familie conține punctul $(1;1)$.

Mai util în calcul este să știi de ce parte a lui $1$ se află o valoare. Decid două lucruri: poziția argumentului față de $1$ și semnul exponentului. Poziția valorii față de 1 se citește astfel: dacă $x$ și $\alpha$ sunt „de aceeași parte”, adică $x>1$ cu $\alpha >0$ sau $x<1$ cu $\alpha <0$, atunci $x^{\alpha }>1$; dacă sunt „de părți opuse”, atunci $x^{\alpha }<1$; pentru $\alpha =0$ sau $x=1$ valoarea este exact $1$.

Primul caz vine direct din lecția despre regulile puterilor: cu bază supraunitară și exponent pozitiv, puterea depășește unu. Celelalte se reduc la el. Pentru $0<x<1$ scrii $x^{\alpha }={\left(\frac{1}{x}\right)}^{-\alpha }$, unde $\frac{1}{x}>1$; semnul exponentului se schimbă, deci și concluzia. Așa se explică de ce $0,5^{2,3}<1$, iar $3^{-0,2}<1$: în ambele, argumentul și exponentul sunt de părți opuse.

5. Ce spune un tabel de valori pentru α > 0?

Ia $f(x)=x^{5/2}$. Argumentele potrivite sunt pătrate perfecte, pentru că $x^{5/2}={\left(\sqrt{x}\right)}^5$.

Lângă zero valorile sunt foarte mici: la $x=\frac{1}{4}$ ai deja doar $\frac{1}{32}$. Dincolo de $1$ valorile devin repede mari, iar orice prag e depășit dacă argumentul e destul de mare: pragul de o sută de mii e atins chiar la $x=100$. Toate observațiile se potrivesc cu regula din secțiunea 4: pentru $x<1$ valorile sunt sub $1$, pentru $x>1$ sunt peste.

Merită observat și cum a fost construit tabelul. Argumentele nu sunt alese la întâmplare, ci astfel încât fiecare valoare să iasă exactă: pătrate perfecte și inversele lor. Un tabel cu argumentele $2$, $3$ și $5$ ar fi fost la fel de corect, dar ar fi conținut numai aproximări, iar comparațiile dintre ele ar fi cerut calculatorul la fiecare pas. Când ai de ales, pornește de la exponent și caută argumentele potrivite lui; abia apoi, dacă problema o cere, completează tabelul cu valori aproximative, rotunjite la aceeași zecimală.

6. Și pentru α < 0?

Ia acum $g(x)=x^{-2/5}$. Argumentele potrivite sunt puteri ale lui $10$ cu exponenți multipli de cinci: $10^5$ și $10^{10}$, cu inversele lor.

Imaginea s-a inversat. Lângă zero valorile sunt mari, iar pentru argumente mari sunt mici, dar niciodată zero: o putere cu bază pozitivă rămâne pozitivă. Felul în care un asemenea grafic se apropie de axe fără să le atingă este descris în lecția M2 despre comportamentul asimptotic. Figura B pune pe un reper, fără să le unească, trei valori ale aceleiași funcții, în $x=\frac{1}{4}$, $x=1$ și $x=4$, calculate cu calculatorul; forma curbei și ordinea tuturor valorilor sunt tema lecției următoare.

7. Cum recunoști o lege de putere într-un tabel?

Din regula puterii unui produs rezultă proprietatea care deosebește funcția putere: pentru orice $k>0$ și orice $x>0$,

$$f(kx)=(kx{)}^{\alpha }=k^{\alpha }\cdot x^{\alpha }=k^{\alpha }\cdot f(x).$$

Proprietatea de scalare este aceasta: când argumentul se înmulțește cu $k$, valoarea capătă factorul $k^{\alpha }$, indiferent de unde pornești. Ai folosit deja raportul acesta când ai citit o lege de putere în lecția despre puterile cu exponent rațional; aici el devine o proprietate a întregii funcții, cu care recunoști legea într-un tabel. La funcția exponențială se întâmplă altceva: acolo valoarea se înmulțește cu același factor când argumentului i se adună același număr.

Ia $h(x)=x^{0,85}$. Calculatorul dă $h(2)\approx 1,8025$ și $h(20)\approx 12,7607$, apoi $h(3)\approx 2,5442$ și $h(30)\approx 18,0116$. Rapoartele $\frac{h(20)}{h(2)}$ și $\frac{h(30)}{h(3)}$ ies amândouă aproximativ $7,079$, adică $10^{0,85}$. Într-un tabel de măsurători, raportul constant la înmulțirea argumentului cu același număr este semnul unei legi de putere, iar raportul însuși îți arată exponentul.

8. Ce cazuri cunoști deja?

Familia conține funcții pe care le-ai întâlnit. Pentru $\alpha =1$ obții funcția identică, pentru $\alpha =0$ funcția constantă $1$. Pentru $\alpha =\frac{1}{2}$ obții funcția radical de ordin $2$, pe numerele pozitive, iar pentru $\alpha =\frac{1}{3}$ radicalul de ordin $3$, tot pe numerele pozitive; radicalul ca funcție e studiat în pagina M2 a clasei a IX-a despre rădăcina cubică privită ca funcție. Pentru exponenți întregi, valorile pe numerele pozitive sunt aceleași cu cele din lecția despre funcția putere cu exponent întreg.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Argumente alese pentru valori exacte

a) Pentru $f(x)=x^{0,6}$ calculați $f(32)$ și $f\left(\frac{1}{243}\right)$. b) Pentru $g(x)=x^{\sqrt{3}}$ calculați $g\left(10^{\sqrt{27}}\right)$.

Rezolvare. a) Scriem exponentul ca fracție: $0,6=\frac{3}{5}$. Argumentele sunt puteri de ordinul cinci: $32=2^5$ și $\frac{1}{243}={\left(\frac{1}{3}\right)}^5$. Atunci $f(32)=2^3=8$ și $f\left(\frac{1}{243}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$.

b) Folosim regula puterii unei puteri, cu $\sqrt{27}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{81}=9$: $g\left(10^{\sqrt{27}}\right)={\left(10^{\sqrt{27}}\right)}^{\sqrt{3}}=10^9$. Exponentul irațional nu împiedică un rezultat natural, cu condiția ca argumentul să fie ales în acord cu el.

Exemplul 2 — Peste sau sub 1, fără calculator

Pentru $h(x)=x^{-0,7}$, stabiliți dacă valorile $h(0,2)$, $h(3)$, $h(1)$ și $h\left(\frac{5}{7}\right)$ sunt mai mari, mai mici sau egale cu $1$. Aceeași întrebare pentru $0,9^{1,1}$.

Rezolvare. Exponentul $-0,7$ este negativ. Pentru $x=0,2$ și $x=\frac{5}{7}$, argumentul e sub $1$, deci argumentul și exponentul sunt de aceeași parte: $h(0,2)>1$ și $h\left(\frac{5}{7}\right)>1$. Pentru $x=3$ sunt de părți opuse: $h(3)<1$. Iar $h(1)=1$.

La $0,9^{1,1}$ argumentul e sub $1$, iar exponentul e pozitiv: părți opuse, deci $0,9^{1,1}<1$. Calculatorul confirmă: $h(0,2)\approx 3,085$, $h(3)\approx 0,463$, $h\left(\frac{5}{7}\right)\approx 1,266$ și $0,9^{1,1}\approx 0,891$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: coeficientul intrat sub putere

Pentru $f(x)=2x^{5/3}$, un elev calculează „$f(27)=54^{5/3}$” și, cu calculatorul, obține aproximativ $771$. Unde greșește? Calculați corect.

Rezolvare. În $2x^{5/3}$ exponentul se aplică numai lui $x$, nu și coeficientului $2$. Elevul a ridicat la putere produsul $2\cdot 27$. Corect se calculează întâi puterea, apoi se înmulțește:

$$f(27)=2\cdot 27^{5/3}=2\cdot 3^5=2\cdot 243=486.$$

Diferența nu e mică: $54^{5/3}$ e de $2^{5/3}\approx 3,17$ ori mai mare decât $27^{5/3}$, nu de două ori. Dacă funcția ar fi fost $(2x{)}^{5/3}$, calculul elevului ar fi fost bun; parantezele decid.

Exemplul 4 — Citește tabelul și găsește exponentul

Un tabel de măsurători dă perechile $(1;3)$, $(16;96)$ și $(256;3072)$ pentru o mărime $y$ ca funcție de $x$. Știind că legea are forma $y=3\cdot x^{\alpha }$, arătați care dintre exponenții $1,2$; $1,25$ și $1,5$ se potrivește.

Rezolvare. Argumentul se înmulțește de fiecare dată cu $16$, iar valoarea cu $\frac{96}{3}=32$ și cu $\frac{3072}{96}=32$. Raportul constant spune că legea e de putere, iar factorul trebuie să fie $16^{\alpha }$.

Încercăm candidații: $16^{1,25}={\left(2^4\right)}^{5/4}=2^5=32$, pe când $16^{1,5}=64$ și $16^{1,2}=2^{4,8}\approx 27,86$. Se potrivește $\alpha =1,25$. Controlul pe ultimul punct: $3\cdot 256^{1,25}=3\cdot 2^{10}=3072$. Am lucrat numai cu calcule directe, fără să rezolvăm vreo ecuație.

Exemplul 5 — Erbicidul reținut de sol

Pentru un erbicid și un anumit tip de sol, cantitatea reținută pe kilogramul de sol, $q$, în mg/kg, depinde de concentrația din apa solului, $c$, în mg/L, prin $q(c)=2\cdot c^{0,8}$; legea a fost măsurată pentru $c$ între $1$ și $250$ mg/L. a) Calculați $q(1)$, $q(32)$ și $q(243)$. b) Cu ce factor se înmulțește cantitatea reținută dacă apa din sol devine de $32$ de ori mai concentrată? c) Ce arată rezultatul despre sol?

Rezolvare. a) Scriem $0,8=\frac{4}{5}$ și alegem argumente care sunt puteri de ordinul cinci: $q(1)=2$ mg/kg, $q(32)=2\cdot 2^4=32$ mg/kg și $q(243)=2\cdot 3^4=162$ mg/kg.

b) Proprietatea de scalare dă factorul $32^{0,8}=2^4=16$, oricare ar fi concentrația de pornire, cât timp ambele concentrații rămân în intervalul de măsurare. Se vede și pe valorile de la a): de la $c=1$ la $c=32$ cantitatea trece de la $2$ la $32$ mg/kg.

c) Concentrația a crescut de $32$ de ori, dar cantitatea reținută numai de $16$ ori. Cu cât apa e mai încărcată, cu atât fiecare miligram în plus se reține mai greu, pentru că locurile de pe particule se ocupă treptat. Exponentul subunitar exprimă chiar acest lucru. Pentru agronom, concluzia practică este că o doză dublă de erbicid nu dublează cantitatea reținută de sol: o parte mai mare rămâne în apa din sol, unde poate fi spălată de ploi. Figura A arată curba pe intervalul de valabilitate, cu cele trei puncte calculate.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $8^{\frac{7}{3}}-729^{\frac{2}{3}}=47$. b) Arătați că numărul $0,9^{-\sqrt{6}}$ este mai mare decât $1$.

Rezolvare. a) Baza $8$ este cubul lui $2$, deci $8^{\frac{7}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^7=2^7=128$. Baza $729$ este cubul lui $9$, deci $729^{\frac{2}{3}}=9^2=81$. Diferența este $128-81=47$.

b) Baza $0,9$ este sub $1$, iar exponentul $-\sqrt{6}$ este negativ: sunt de aceeași parte, deci puterea este mai mare decât $1$. Altfel scris, $0,9^{-\sqrt{6}}={\left(\frac{10}{9}\right)}^{\sqrt{6}}$, o bază supraunitară cu exponent pozitiv. Cerințele sunt compuse pentru exersare, în forma calculelor scurte cu puteri; nu sunt preluate dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

La fiecare valoare, scrie întâi ce putere a unui număr cunoscut este argumentul. La întrebările despre poziția față de $1$, spune ce decide: argumentul și semnul exponentului.

1. Pentru $f(x)=x^{0,2}$ calculați $f\left(\frac{1}{32}\right)$ și $f(100000)$.

2. Pentru $g(x)=x^{-7/2}$ calculați $g(4)$ și $g\left(\frac{1}{9}\right)$.

3. Pentru $h(x)=x^{\sqrt{2}}$ calculați $h\left(7^{\sqrt{8}}\right)$ și $h\left(6^{-\sqrt{8}}\right)$.

4. Fără calculator, stabiliți pentru care dintre numerele $0,7$; $1,3$; $1$ și $\frac{1}{4}$ valoarea funcției $x\mapsto x^{0,3}$ este mai mare decât $1$.

5. Fără calculator, stabiliți pentru care dintre numerele $2$; $0,5$; $1$ și $\frac{9}{10}$ valoarea funcției $x\mapsto x^{-\sqrt{5}}$ este mai mică decât $1$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Valoarea funcției $x\mapsto x^{\sqrt{5}}$ în punctul $\sqrt{5}$ este egală cu $5$.

7. De câte ori se micșorează valoarea funcției $x\mapsto x^{-1/2}$ când argumentul crește de $100$ de ori?

8. Completați tabelul funcției $f(x)=x^{-6/5}$ pentru $x\in \left\{\frac{1}{32};1;32;243\right\}$.

9. Un coleg afirmă că, pentru $f(x)=x^{1,3}$, are loc „$f(10x)=10\cdot f(x)$” pentru orice $x>0$. Găsiți greșeala și scrieți factorul corect, cu două zecimale.

10. Pentru $f(x)=x^{\sqrt{6}}$ arătați că $f(9)={\left(f(3)\right)}^2$.

11. (Problemă aplicată.) Timpul de fierbere al unui ou, până se întărește gălbenușul, depinde de masa oului aproximativ prin $t(m)=k\cdot m^{2/3}$, unde $k$ este o constantă pentru apa care fierbe la presiunea obișnuită; legea se folosește pentru ouă între $40$ și $90$ de grame. Un ou de $50$ g are nevoie de $6$ minute. Câte minute îi trebuie unui ou de $86,4$ g, pus în aceeași apă?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $2744^{\frac{2}{3}}-2197^{\frac{2}{3}}=27$.

13. Pentru care dintre exponenții $0,5$; $-2$ și $1,5$ funcția $x\mapsto x^{\alpha }$ ia în $4$ o valoare mai mică decât în $1$?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\left(0,5^{\sqrt{5}-1}\right)}^{\sqrt{5}+1}=\frac{1}{16}$.

15. Arătați că punctul $\left(\frac{1}{27};243\right)$ se află pe graficul funcției $x\mapsto x^{-5/3}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Comparați numărul $1,25^{-\sqrt{7}}$ cu $1$.

17. O funcție $f(x)=x^{\alpha }$, cu $\alpha <0$, verifică $f(9)=\frac{1}{3}$. Calculați $f(81)$ fără să aflați exponentul.

18. (Provocare.) Arătați că nu există niciun exponent real $\alpha$ pentru care graficul funcției $x\mapsto x^{\alpha }$ să conțină atât punctul $(4;2)$, cât și punctul $(9;4)$.

Răspunsuri și explicații

1. $0,2=\frac{1}{5}$. Atunci $f\left(\frac{1}{32}\right)=\frac{1}{2}$, pentru că ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$, și $f(100000)=10$, pentru că $10^5=100000$.

2. $g(4)={\left(\sqrt{4}\right)}^{-7}=2^{-7}=\frac{1}{128}$ și $g\left(\frac{1}{9}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-7}=3^7=2187$.

3. $h\left(7^{\sqrt{8}}\right)=7^{\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}}=7^4=2401$ și $h\left(6^{-\sqrt{8}}\right)=6^{-\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}}=6^{-4}=\frac{1}{1296}$.

4. Exponentul $0,3$ e pozitiv, deci valoarea depășește $1$ exact când argumentul depășește $1$: numai pentru $1,3$. Pentru $0,7$ și $\frac{1}{4}$ valorile sunt sub $1$, iar pentru $1$ valoarea este $1$.

5. Exponentul $-\sqrt{5}$ e negativ, deci valoarea e sub $1$ exact când argumentul e peste $1$: numai pentru $2$. Pentru $0,5$ și $\frac{9}{10}$ valorile sunt peste $1$, iar pentru $1$ valoarea este $1$.

6. Fals. Valoarea este ${\left(\sqrt{5}\right)}^{\sqrt{5}}={\left(5^{1/2}\right)}^{\sqrt{5}}=5^{\sqrt{5}/2}$. Exponentul $\frac{\sqrt{5}}{2}$ e mai mare decât $1$, fiindcă $\sqrt{5}>2$, iar baza $5$ e supraunitară, deci $5^{\sqrt{5}/2}>5^1=5$. Calculatorul dă ${\left(\sqrt{5}\right)}^{\sqrt{5}}\approx 6,05$. Pe de altă parte, valoarea în $5$ este $5^{\sqrt{5}}$, iar confuzia vine din schimbarea rolurilor bazei și exponentului.

7. Factorul este $100^{-1/2}=\frac{1}{10}$, deci valoarea se micșorează de $10$ ori, oricare ar fi argumentul de pornire.

8. $f\left(\frac{1}{32}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-6}=64$, $f(1)=1$, $f(32)=2^{-6}=\frac{1}{64}$ și $f(243)=3^{-6}=\frac{1}{729}$.

9. Scalarea dă $f(10x)=10^{1,3}\cdot f(x)$, iar $10^{1,3}\approx 19,95$, nu $10$. Colegul a tratat legea de putere ca pe o proporționalitate directă, care are exponentul $1$.

10. $f(9)=9^{\sqrt{6}}={\left(3^2\right)}^{\sqrt{6}}=3^{2\sqrt{6}}={\left(3^{\sqrt{6}}\right)}^2={\left(f(3)\right)}^2$.

11. Masa crește de $\frac{86,4}{50}=1,728$ ori, iar $1,728=1,2^3$. Factorul timpului este $1,728^{2/3}=1,2^2=1,44$, deci oul mare are nevoie de $6\cdot 1,44=8,64$ minute, adică de aproximativ $8$ minute și $38$ de secunde. Constanta $k$ nu a trebuit aflată.

12. $2744=14^3$ și $2197=13^3$, deci $2744^{\frac{2}{3}}=14^2=196$ și $2197^{\frac{2}{3}}=13^2=169$, iar $196-169=27$.

13. În $1$ valoarea este $1$ pentru orice exponent. În $4$, argumentul e peste $1$, deci valoarea e sub $1$ numai pentru exponentul negativ: $4^{-2}=\frac{1}{16}$. Pentru ceilalți doi, $4^{0,5}=2$ și $4^{1,5}=8$. Răspunsul: numai $\alpha =-2$.

14. La puterea unei puteri exponenții se înmulțesc: $\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)=5-1=4$, deci ${\left(0,5^{\sqrt{5}-1}\right)}^{\sqrt{5}+1}=0,5^4=\frac{1}{16}$.

15. ${\left(\frac{1}{27}\right)}^{-5/3}=27^{5/3}=3^5=243$, deci punctul se află pe grafic.

16. Baza $1,25$ e peste $1$, iar exponentul $-\sqrt{7}$ e negativ: sunt de părți opuse, deci $1,25^{-\sqrt{7}}<1$. Calculatorul dă $1,25^{-\sqrt{7}}\approx 0,554$.

17. $81=9^2$, deci $f(81)={\left(9^2\right)}^{\alpha }={\left(9^{\alpha }\right)}^2={\left(f(9)\right)}^2=\frac{1}{9}$.

18. Presupunem că există un asemenea exponent. Primul punct cere $4^{\alpha }=2$. Al doilea cere $9^{\alpha }=4$; cum $4=2^2={\left(4^{\alpha }\right)}^2=16^{\alpha }$, rezultă $9^{\alpha }=16^{\alpha }$. Bazele $9$ și $16$ sunt diferite, iar puterile lor la un exponent comun coincid numai când exponentul e $0$. Dar atunci $4^0=1$, nu $2$: contradicție. Deci un asemenea exponent nu există.

De reținut

• Funcția putere cu exponent real $\alpha$ este $x\mapsto x^{\alpha }$ pe $(0,+\infty )$: baza variază, exponentul e un număr real fixat, iar toate valorile sunt strict pozitive.
• O valoare iese exactă când argumentul e o putere potrivită exponentului: pentru $\frac{p}{q}$, argumentul $t^q$ dă $t^p$; pentru un exponent irațional, argumentul se alege ca putere cu exponent potrivit, altfel rezultatul se aproximează la final.
• Graficul oricărei funcții din familie conține punctul $(1;1)$, iar $x^{\alpha }>1$ exact când $x$ și $\alpha$ sunt de aceeași parte, adică $x>1$ cu $\alpha >0$ sau $x<1$ cu $\alpha <0$.
• Înmulțirea argumentului cu $k$ înmulțește valoarea cu $k^{\alpha }$, de oriunde ai porni; raportul constant într-un tabel e semnul unei legi de putere.
• Cazurile $\alpha =1$, $\alpha =0$, $\alpha =\frac{1}{2}$ și $\alpha =\frac{1}{3}$ dau, pe numerele pozitive, funcția identică, constanta $1$ și radicalii de ordin $2$ și $3$.

Greșeli frecvente

• Folosești legea în afara intervalului de măsurare. Din $q(c)=2\cdot c^{0,8}$ se poate calcula formal $q(3125)=2\cdot 3125^{0,8}=2\cdot 5^4=1250$ mg/kg, dar concentrația de $3125$ mg/L iese din intervalul $1$–$250$ al măsurătorilor, iar rezultatul nu mai spune nimic despre sol.
• Inversezi rolurile numitorului și numărătorului. $x^{3/5}$ înseamnă radicalul de ordinul cinci ridicat la puterea a treia, nu radicalul de ordinul trei ridicat la a cincea.
• Pui argumentul zero într-o lege cu exponent negativ. $0^{-0,7}$ nu există, fiindcă ar însemna o împărțire la zero; o lege ca $x^{-0,7}$ se aplică numai argumentelor strict pozitive, iar lângă zero valorile doar cresc foarte mult.
• Crezi că doar argumentele naturale dau valori exacte. Și argumentele zecimale pot fi puteri potrivite: $0,001=0,1^3$, deci $0,001^{2/3}=0,1^2=0,01$, un rezultat exact.
• Confunzi înmulțirea argumentului cu adunarea la argument. La o lege de putere factorul $k^{\alpha }$ apare când argumentul se înmulțește cu $k$; dacă îi aduni un număr, raportul valorilor depinde de punctul de pornire.

Aplică acasă

1. Scalarea, pe foaia de calcul. Într-o foaie de calcul pune în prima coloană numerele de la $1$ la $10$, în a doua de zece ori mai mari, apoi calculează în două coloane $x^{0,7}$ pentru fiecare. Împarte coloanele între ele și observă că raportul e același pe toate rândurile. Repetă cu $0,7^x$ în locul puterii și explică de ce raportul nu mai e constant.
2. Joc cu zaruri: peste sau sub 1? Aruncă două zaruri: primul dă argumentul (fața împărțită la trei), al doilea exponentul (fața minus trei și jumătate). Înainte de calcul spune dacă $x^{\alpha }$ va fi peste sau sub $1$, apoi verifică pe calculator. După zece aruncări, notează câte prognoze au fost corecte și de ce le-ai greșit pe celelalte.
3. Aria unui lac pe două hărți. Găsește același lac pe două hărți cu scări diferite, de exemplu 1:50 000 și 1:100 000, și numără pătrățelele de hârtie milimetrică acoperite de el pe fiecare. Lungimile pe hartă sunt în raportul $2$, iar ariile ar trebui să fie în raportul $2^2=4$. Explică de ce aria urmează o lege de putere cu exponentul $2$ față de scară și ce ar fi urmat un volum.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează funcția putere cu exponent real ca pe un instrument de calcul cu puteri, nu ca pe un capitol de analiză: valori exacte, semn, poziția față de $1$ și scalarea. Accentul pe scalare este ales pentru profilul de științe, unde legile de putere apar în chimie, biologie și fizică, iar elevul trebuie să recunoască una într-un tabel de date. Clasificarea domeniilor după tipul exponentului, domeniile funcțiilor compuse și paritatea nu fac parte din lecție, pentru că programa de examen nu le cere.

De urmărit în caiet: elevul scrie argumentul ca putere potrivită înainte de a calcula; la întrebările despre poziția față de $1$ numește cele două lucruri care decid; la tabele calculează rapoarte, nu diferențe. Întrebări bune de control: „Ce argument alegi ca să iasă exact?”; „De ce parte a lui $1$ e rezultatul și de ce?”; „Ce se întâmplă cu valoarea dacă argumentul se triplează?”. Semnul că tema e stăpânită: elevul poate spune, doar privind un tabel, dacă legea e de putere sau exponențială.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Programa de examen (OMEN 4430/2014) cere la clasa a X-a „proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul”, iar la capitolul de funcții numește funcția putere cu exponent natural și funcția radical; funcția putere cu exponent real nu este numită ca funcție separată. De aceea marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)” stă numai pe exercițiile care cer calcule cu puteri reale, nu pe cele despre funcție în general. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință cu această funcție; enunțurile marcate sunt compuse pentru antrenament. Programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) are funcția putere numai cu exponent întreg, la clasa a IX-a, cu lectura grafică a proprietăților. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 conține funcția putere cu exponent întreg, în domeniul „Algebră”, dar nu și exponentul real. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: x la puterea α cu domeniile pe cazuri, mate-info (M1). Lecția următoare a suplimentului este graficul funcției putere și monotonia citită, la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 care adună puterile reale și bijectivitatea.

Întrebări frecvente

Ce are în plus lecția de mate-info (M1) despre funcția putere? Lecția M1 a site-ului studiază complet funcția putere cu exponent real: domeniul maxim pe cazuri, domenii ale funcțiilor compuse, paritate, bijectivitate. Programa de examen 2014 numește doar calculul cu puteri reale și funcția putere cu exponent natural, la fel pentru ambele profiluri, așa că lecția M2 lucrează doar pe numere pozitive și se ocupă de valori, de poziția lor față de $1$ și de scalare.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea tema? Programa de examen 2014 conține puterile cu exponent real la „Mulțimi de numere”, iar dintre funcțiile putere numește doar pe cea cu exponent natural. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu funcția putere cu exponent real. Calculul unei valori, ca $x^{7/3}$ într-un punct potrivit, este un calcul cu puteri, adică exact partea cerută de programă.

Ce valoare are $x^{\alpha }$ când $x$ e între 0 și 1? Depinde de semnul exponentului. Pentru $\alpha >0$ valoarea e între $0$ și $1$, de exemplu $0,25^{0,5}=0,5$. Pentru $\alpha <0$ valoarea e mai mare decât $1$, de exemplu $0,25^{-0,5}=2$. Pentru $\alpha =0$ valoarea este $1$. Regula pe scurt: argumentul și exponentul „de aceeași parte” dau o valoare peste $1$.

Pot calcula exact $x^{\sqrt{2}}$ pentru orice $x$? Nu. Valoarea exactă se poate scrie ca număr obișnuit doar pentru argumente speciale, ca $x=7^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$, unde regula puterii unei puteri dă $7^1=7$. Pentru argumente ca $3$ sau $10$, rezultatul exact rămâne scris ca putere, iar calculatorul îi dă o aproximare, care se rotunjește și se scrie cu semnul $\approx$.

Cum deosebesc, într-un tabel, scalarea de o simplă proporționalitate? La proporționalitate, dacă argumentul se dublează, valoarea se dublează: exponentul este $1$. La o lege de putere cu alt exponent, dublarea argumentului înmulțește valoarea cu $2^{\alpha }$, de exemplu cu aproximativ $1,74$ pentru $\alpha =0,8$. Calculezi deci raportul valorilor pentru un raport cunoscut al argumentelor și îl compari cu raportul argumentelor.

Ce legătură are funcția putere cu radicalul din clasa a IX-a? Radicalul de ordin $2$ este funcția putere cu exponentul $\frac{1}{2}$, iar cel de ordin $3$ este funcția cu exponentul $\frac{1}{3}$, pe numerele pozitive. Pe aceste numere valorile coincid: $\sqrt{49}=49^{1/2}=7$. Graficele celor doi radicali au fost citite în paginile de clasa a IX-a; aici ele devin două cazuri ale aceleiași familii, pe care o compari cu celelalte curbe din lecția următoare.