Funcția radical de ordin 3 (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un nucleu de aluminiu are $27$ de nucleoni, iar unul de telur are $125$ . Fizicienii au observat că volumul unui nucleu crește proporțional cu numărul de nucleoni, așa că raza lui crește mult mai încet: formula folosită este $R = 1, 2 3 A$ femtometri, unde $A$ este numărul de masă. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), funcția radical de ordin 3 se studiază exact așa, prin graficul ei și prin ce se poate citi de pe el. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția radical de ordin 3 la conținuturile clasei a X-a; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu acest radical.

Funcția putere $x^{3}$ , cu graficul ei pe toată axa, este descrisă în lecția M2 despre funcția putere cu exponent întreg, iar radicalul de ordin 2, definit numai pentru numere nenegative, în lecția M2 despre funcția radical de ordin 2. Aici punem cele două idei împreună: un radical care acceptă orice număr real. Dacă vrei să-ți amintești cum se calculează volumul unui cub sau al unei sfere, revezi volumul sferei din clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

Vei ști să explici de ce radicalul de ordinul trei există pentru orice număr real, inclusiv pentru numerele negative.
Vei ști să construiești tabelul de valori al funcției $f (x) = 3 x$ din cuburi perfecte și să recunoști forma graficului.
Vei ști să citești pe grafic domeniul, mulțimea valorilor, punctul comun cu axele și sensul în care urcă graficul.
Vei ști să observi simetria față de origine și să găsești centrul de simetrie al unui grafic mutat prin translație.
Vei ști să citești soluțiile unei ecuații de forma $f (x) = m$ sau $f (x) = g (x)$ și să le confirmi prin ridicare la cub.
Vei ști să folosești funcția în modele din fizică și astronomie, cu unitățile de măsură și domeniul potrivit.

Hai să descoperim împreună

1. Ce număr, ridicat la cub, dă un număr negativ?

Radicalul de ordinul trei al unui număr real $a$ este singurul număr real $b$ care, ridicat la cub, dă $a$ ; îl notăm $3 a$ . Altfel spus, $3 a = b$ înseamnă exact $b^{3} = a$ . Definiția nu pune nicio condiție asupra lui $a$ , iar motivul se vede imediat: ridicarea la cub păstrează semnul numărului.

Să luăm numărul $- 0, 512$ . Căutăm un număr care, înmulțit de trei ori cu el însuși, să dea $- 0, 512$ . Un număr pozitiv nu merge, pentru că produsul a trei numere pozitive e pozitiv. Un număr negativ, în schimb, dă un cub negativ. Încercăm $- 0, 8$ : produsul $(- 0, 8) \cdot (- 0, 8)$ este pozitiv, iar înmulțit încă o dată cu $- 0, 8$ devine negativ. Obținem $3 - 0, 512 = - 0, 8$ .

De ce există mereu un astfel de număr și de ce e unul singur? Privește graficul funcției cub din lecția despre funcția putere. Orice orizontală, fie deasupra axei $O x$ , fie dedesubt, taie curba $y = x^{3}$ exact o dată. Punctul de intersecție are ca abscisă numărul căutat. La radicalul de ordin 2 lucrurile stăteau altfel: parabola $y = x^{2}$ nu coboară sub axă, iar o orizontală de deasupra axei o taie de două ori. De aici veneau restricția de domeniu și alegerea valorii nenegative. La cub nu avem nevoie de niciuna.

2. Funcția și domeniul ei

Funcția radical de ordin 3 este $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x$ . Domeniul ei este toată axa reală, fără nicio excepție. Nu trebuie să cauți unde are sens expresia, cum faci la funcțiile cu radical de ordin 2 din lecția M2 despre domeniul funcției cu radical; aici întrebarea „pentru ce valori există?” are mereu același răspuns.

Semnul valorii copiază semnul intrării. Un număr pozitiv are radicalul de ordinul trei pozitiv, un număr negativ îl are negativ, iar zero rămâne zero. Consecința grafică este simplă: graficul trece prin cadranul întâi și prin cadranul al treilea, iar singurul lui punct aflat pe o axă este originea. Nu există alt punct pe axa $O x$ , pentru că valoarea zero apare numai pentru intrarea zero.

3. Cum arată graficul?

Pentru un tabel de valori comod alegem ca intrări cuburi perfecte, astfel încât rezultatele să fie numere simple. Pentru jumătăți, cubul este o optime.

$x$	$- 8$	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$	$8$
$3 x$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$

Reprezentăm punctele și le unim printr-o curbă netedă. Figura D arată porțiunea graficului cu abscise între minus nouă și nouă; este o fereastră, iar curba continuă în ambele sensuri dincolo de marginile ei.

Citit de la stânga la dreapta, graficul urcă tot timpul: funcția este strict crescătoare pe $R$ . La clasa a IX-a această proprietate se observă pe grafic și se confirmă pe valori; demonstrația cu inegalități vine mai târziu. Mai observi că forma curbei seamănă cu litera S culcată: aproape verticală lângă origine și tot mai culcată spre capete.

4. Ce simetrie observăm pe grafic?

Compară punctele $(8; 2)$ și $(- 8; - 2)$ din tabel. Ele sunt la aceeași distanță de origine, dar în părți opuse, iar originea este mijlocul segmentului care le unește. La fel se întâmplă cu $(\frac{1}{8}; \frac{1}{2})$ și $(- \frac{1}{8}; - \frac{1}{2})$ . Regula se păstrează pentru orice punct al graficului: odată cu un punct $(a; b)$ , graficul îl conține și pe $(- a; - b)$ .

Spunem că graficul este simetric față de origine. Practic, dacă rotești jumătatea din dreapta cu o jumătate de tură în jurul originii, ea se suprapune exact peste jumătatea din stânga. Este aceeași simetrie pe care ai observat-o la graficul funcției cub. Radicalul de ordin 2 nu o poate avea, fiindcă nu există nicio parte a graficului la stânga originii. Studiul sistematic al simetriei față de un punct vine în clasa a X-a; acum ne ajunge să o vedem și să o folosim.

5. De ce se aplatizează graficul, dar nu se oprește?

Lângă origine, curba urcă foarte repede. Pentru $x = 0, 001$ valoarea este deja $3 0, 001 = 0, 1$ , de o sută de ori mai mare decât intrarea. Departe de origine se petrece opusul: ca să urci de la nivelul patru la nivelul cinci trebuie să mergi de la $64$ la $125$ , deci șaizeci și una de unități spre dreapta pentru un singur pas în sus.

Totuși graficul nu are un plafon. Oricât de sus ai alege un nivel $m$ , curba îl atinge în punctul de abscisă $m^{3}$ . Nivelul o sută, de exemplu, este atins la $x = 1000000$ , deoarece $10 0^{3} = 1000000$ . O curbă care se culcă nu este neapărat o curbă care se apropie de o dreaptă orizontală; diferența dintre cele două comportamente se discută în lecția M2 despre comportamentul asimptotic citit pe grafic. Aici, mulțimea valorilor este toată axa reală, exact ca domeniul.

6. Cum se mută graficul când schimbăm formula?

Programa cere să suprapui grafice într-o aplicație și să observi translațiile. Graficul funcției $x \mapsto 3 x - 3 + 1$ este graficul lui $3 x$ mutat cu trei unități spre dreapta și cu o unitate în sus. Scăderea lui trei sub radical împinge curba spre dreapta, pentru că valoarea pe care $3 x$ o avea în zero apare acum abia la intrarea trei. Adunarea lui unu în afara radicalului ridică fiecare punct cu o unitate.

Odată cu curba se mută și centrul de simetrie: din origine ajunge în punctul $(3; 1)$ . Punctele simetrice față de acest centru sunt perechi de forma $(3 + u; 1 + v)$ și $(3 - u; 1 - v)$ . Regula de lucru este deci: citești din formulă deplasarea orizontală și pe cea verticală, muți centrul și apoi desenezi aceeași curbă în jurul noului centru.

7. Ce verificăm când desenăm cu o aplicație?

În GeoGebra sau în Desmos, rădăcina cubică are o funcție proprie, numită de obicei cbrt, iar desenul corect trece prin cadranul al treilea. Unele foi de calcul refuză însă să calculeze rădăcina cubică a unui număr negativ dacă o scrii ca putere cu exponent fracționar și afișează o eroare. Graficul produs astfel se oprește în origine, ca unul de radical de ordin 2, și te poate păcăli.

De aceea, după orice desen digital, caută un punct-test din partea negativă. Punctul $(- 8; - 2)$ trebuie să apară pe curbă. Dacă lipsește, schimbă funcția folosită sau calculează radicalul valorii absolute și pune apoi semnul minus. Un al doilea control util este mărirea zonei din jurul originii: curba trebuie să treacă prin origine aproape vertical, nu cu un colț.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul și confirmă prin cub

În figura E1 sunt desenate graficul lui $f (x) = 3 x$ și orizontalele $y = 1, 7$ și $y = - 1, 3$ . Citește abscisele punctelor de intersecție, apoi confirmă-le prin calcul.

Rezolvare. Orizontala $y = 1, 7$ taie curba puțin înainte de gradația cinci; pe desen citim o abscisă de aproximativ $4, 9$ . Orizontala $y = - 1, 3$ taie curba între gradațiile minus trei și minus doi, în apropierea lui $- 2, 2$ .

Confirmarea folosește definiția: căutăm numărul al cărui radical de ordinul trei este nivelul dat, adică ridicăm nivelul la cub. Obținem $1, 7^{3} = 4, 913$ și $(- 1, 3)^{3} = - 2, 197$ . Deci punctele exacte sunt $(4, 913; 1, 7)$ și $(- 2, 197; - 1, 3)$ . Citirea de pe desen a fost bună la o zecime, iar calculul dă valoarea exactă. Observă că al doilea punct se află în cadranul al treilea, unde un radical de ordin 2 nu ar avea niciun punct.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev desenează funcția $f (x) = 3 x$ într-o foaie de calcul, scriind radicalul ca putere cu exponent fracționar. Pe ecran apare doar ramura din dreapta originii, iar elevul notează: „Domeniul funcției este $[0, + \infty)$ .” Unde greșește și cum își verifică desenul?

Rezolvare. Elevul a luat o limită a programului drept o proprietate a funcției. Foaia de calcul refuză să ridice un număr negativ la o putere cu exponent fracționar și lasă goale celulele cu intrări negative, deci desenul lui este trunchiat. Radicalul de ordinul trei există însă pentru orice număr real, iar domeniul funcției este $R$ .

Verificarea se face cu un punct-test din partea negativă. De exemplu, $3 - 1000 = - 10$ , pentru că $(- 10)^{3} = - 1000$ , deci punctul $(- 1000; - 10)$ trebuie să apară pe grafic. Ca să-l obțină, elevul poate calcula radicalul valorii absolute și pune apoi semnul minus sau poate folosi funcția cbrt. Desenul corect trece și prin cadranul al treilea, simetric față de origine cu ramura pe care o avea deja.

Exemplul 3 — Graficul suprapus și centrul de simetrie

Figura E3 arată, suprapuse, graficul lui $3 x$ (punctat) și graficul funcției $h : R \to R$ , $h (x) = 3 x + 1 - 2$ . Precizează centrul de simetrie al graficului lui $h$ , apoi citește pe figură două perechi de puncte simetrice față de el și verifică-le prin calcul.

Rezolvare. Adunarea lui unu sub radical mută curba cu o unitate spre stânga, iar scăderea lui doi o coboară cu două unități. Centrul de simetrie ajunge din origine în punctul $(- 1; - 2)$ .

Pe figură sunt marcate punctele $(7; 0)$ și $(- 9; - 4)$ . Mijlocul segmentului care le unește are coordonatele $(\frac{7 - 9}{2}; \frac{0 - 4}{2}) = (- 1; - 2)$ , adică exact centrul, deci ele formează o pereche simetrică. Calculul confirmă că ambele sunt pe grafic: $h (7) = 38 - 2 = 0$ și $h (- 9) = 3 - 8 - 2 = - 4$ .

A doua pereche pornește de la punctul $(0; - 1)$ , marcat pe axa $O y$ , unde $h (0) = 31 - 2 = - 1$ . Simetricul lui față de $(- 1; - 2)$ este $(- 2; - 3)$ , iar $h (- 2) = 3 - 1 - 2 = - 3$ , deci și acesta aparține graficului. Regula folosită este cea din descoperire: dacă un punct se află cu $u$ unități la dreapta centrului și cu $v$ unități deasupra lui, simetricul se află cu $u$ unități la stânga și cu $v$ unități dedesubt.

Exemplul 4 — Raza nucleului, pe puncte izolate

În fizica nucleară, raza unui nucleu cu numărul de masă $A$ este aproximată prin $R (A) = 1, 2 3 A$ , în femtometri ( $1$ fm $= 1 0^{- 15}$ m). Modelul se folosește pentru nuclee cu cel puțin câteva zeci de nucleoni. Calculează razele pentru $A \in {27, 64, 125, 216}$ și explică ce se întâmplă cu raza când numărul de masă crește de opt ori.

Rezolvare. Numerele alese sunt cuburi perfecte, deci radicalii sunt întregi: $R (27) = 1, 2 \cdot 3 = 3, 6$ fm pentru aluminiu-27, $R (64) = 1, 2 \cdot 4 = 4, 8$ fm pentru zinc-64, $R (125) = 1, 2 \cdot 5 = 6$ fm pentru telur-125 și $R (216) = 1, 2 \cdot 6 = 7, 2$ fm pentru un nucleu greu cu $216$ nucleoni.

De la $27$ la $216$ numărul de masă se înmulțește cu opt, iar raza trece de la $3, 6$ fm la $7, 2$ fm, adică doar se dublează. Motivul este radicalul de ordinul trei: un factor opt sub radical devine un factor doi în afara lui. Graficul din figura E4 are puncte izolate, pentru că numărul de nucleoni este natural; curba punctată arată doar forma funcției, nu valori ale modelului. Faptul că volumul, proporțional cu $R^{3}$ , crește proporțional cu $A$ înseamnă că toate nucleele au aproximativ aceeași densitate.

Exemplul 5 — Unde se întâlnesc curba și o dreaptă?

În figura E5 sunt desenate graficul lui $f (x) = 3 x$ și dreapta $y = \frac{x + 6}{7}$ . Citește punctele comune, verifică-le și precizează pe ce intervale curba este deasupra dreptei.

Rezolvare. Pe figură se văd trei puncte comune, în dreptul absciselor minus douăzeci și șapte, unu și opt. Verificăm prin înlocuire: $3 - 27 = - 3$ și $\frac{- 27 + 6}{7} = - 3$ ; apoi $31 = 1$ și $\frac{1 + 6}{7} = 1$ ; în fine, $38 = 2$ și $\frac{8 + 6}{7} = 2$ . Punctele comune sunt $(- 27; - 3)$ , $(1; 1)$ și $(8; 2)$ . Spre deosebire de o dreaptă care trece prin origine, aceasta nu păstrează simetria graficului, așa că punctele comune nu sunt perechi simetrice.

Între punctele comune, pozițiile alternează. Pentru $x < - 27$ curba este deasupra dreptei: în $x = - 125$ avem $3 - 125 = - 5 > \frac{- 119}{7}$ . Între minus douăzeci și șapte și unu dreapta este deasupra; în zero, dreapta e la $\frac{6}{7}$ , iar curba la zero. Între unu și opt curba trece din nou deasupra, iar după opt dreapta, care urcă uniform, depășește definitiv curba care se culcă: în $x = 27$ avem $327 = 3 < \frac{33}{7}$ . Curba este deci deasupra dreptei pe intervalele $(- \infty, - 27)$ și $(1, 8)$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 2 - 1$ . a) Arătați că punctul $A (- 10; - 3)$ aparține graficului funcției $f$ . b) Arătați că $f (6) - f (- 10) = 4$ .

Rezolvare. a) Calculăm $f (- 10) = 3 - 8 - 1 = - 2 - 1 = - 3$ , deci ordonata punctului de abscisă minus zece este chiar minus trei, iar $A$ aparține graficului.

b) Calculăm $f (6) = 38 - 1 = 2 - 1 = 1$ . Folosind valoarea de la punctul a), obținem $f (6) - f (- 10) = 1 - (- 3) = 4$ . Ambele cerințe se rezolvă prin calcul de valori, fără nicio ecuație. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Unde ai o figură, citește întâi domeniul și capetele, apoi confirmă prin calcul ce ai citit.

1. Calculează $3 - 6859$ , $3 - 0, 000008$ , $3 \frac{27}{64}$ și $3 - \frac{1}{125}$ .

2. Figura X2 arată graficul funcției $f : [- 8, 27] \to R$ , $f (x) = 3 x$ , cu ambele capete incluse. Precizează domeniul, mulțimea valorilor, punctul comun cu axele, cea mai mică și cea mai mare valoare.

3. Se consideră $f : [- 1, 64] \to R$ , $f (x) = 3 x$ . Câte soluții are ecuația $f (x) = m$ pentru $m = - 2$ , $m = - 1$ , $m = 3$ și $m = 5$ ?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctul $(- 0, 0343; - 0, 7)$ aparține graficului funcției $f (x) = 3 x$ .

5. Compară, fără calculator: $3 - 9$ cu $- 2$ ; $365$ cu $4$ ; $3 0, 2$ cu $0, 2$ .

6. Pentru $g (x) = 3 x + 2$ și $k (x) = 3 x - 8$ , spune cum se obține fiecare grafic din graficul lui $3 x$ și unde ajunge centrul de simetrie. Au cele două grafice vreun punct comun? Justifică folosind monotonia.

7. Figura X7 arată graficul unei funcții obținute din $3 x$ printr-o translație. Centrul de simetrie este marcat, iar graficul trece prin punctele $(24; 5)$ și $(- 30; - 1)$ . Scrie formula funcției și verifică cele două puncte.

8. (Problemă aplicată.) Pentru planetele și cometele care se rotesc în jurul Soarelui, legea a treia a lui Kepler, scrisă în unități solare, dă distanța medie $a = 3 T^{2}$ , în unități astronomice (UA), unde $T$ este perioada de revoluție, în ani. a) Ce distanță medie au corpurile cu perioadele de $8$ ani și de $27$ de ani? b) Jupiter are perioada de aproximativ $11, 86$ ani; aproximează distanța lui medie la două zecimale. c) Ce perioadă are un corp aflat la $5$ UA?

9. O bucată de grindină aproape sferică are volumul $V$ , în centimetri cubi, iar raza ei este $r = 3 \frac{3 V}{4 π}$ . Aproximează raza, la două zecimale, pentru $V = 33, 5$ cm³ și pentru $V = 100$ cm³.

10. Câte puncte comune au graficele funcțiilor $f (x) = 3 x$ și $g (x) = - x$ ? Justifică prin semnul valorilor pe cele două semiaxe.

11. Punctul $(6; 1, 82)$ se află, aproximativ, pe graficul lui $3 x$ . a) Ce punct îi corespunde pe graficul funcției $g (x) = 3 x - 7 + 2$ ? b) Scrie simetricul acestui punct față de centrul de simetrie al graficului lui $g$ și verifică, cu un calculator, că și el se află, aproximativ, pe graficul lui $g$ .

12. De la ce abscisă încolo este adevărată inegalitatea $3 x > 20$ , adică graficul lui $3 x$ se află deasupra dreptei $y = 20$ ?

13. Între ce numere întregi consecutive se află $350$ ? Aproximează apoi numărul la două zecimale.

14. Pe curba punctată din figura E4, citește între ce numere de masă marcate se află un nucleu cu raza de $5, 4$ fm. Calculează apoi numărul de masă din model și rotunjește-l la cel mai apropiat număr natural.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 11$ . Determinați punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $O x$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 125$ . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $O y$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 19$ . Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A (a; - 2)$ aparține graficului funcției $f$ .

18. (Provocare.) Graficul funcției $h (x) = 3 x + b$ trece prin punctul $(1000; 16)$ . Determină $b$ , apoi calculează $h (- 27)$ și $h (- 8)$ .

Răspunsuri și explicații

1. Rezultatele sunt $3 - 6859 = - 19$ , $3 - 0, 000008 = - 0, 02$ , $3 \frac{27}{64} = \frac{3}{4}$ și $3 - \frac{1}{125} = - \frac{1}{5}$ . Fiecare se confirmă ridicând rezultatul la cub: de exemplu, $(- 0, 02)^{3} = - 0, 000008$ .

2. Domeniul este $[- 8, 27]$ , iar mulțimea valorilor este $[- 2, 3]$ , citită pe axa verticală între capete: $3 - 8 = - 2$ și $327 = 3$ . Singurul punct comun cu axele este originea. Cea mai mică valoare, minus doi, se atinge în capătul stâng, iar cea mai mare, trei, în capătul drept, fiindcă funcția urcă pe tot intervalul.

3. Pentru $m = - 2$ nu există soluție: cea mai mică valoare pe domeniu este $3 - 1 = - 1$ . Pentru $m = - 1$ există o soluție, $x = - 1$ , chiar în capătul inclus. Pentru $m = 3$ există o soluție, $x = 27$ , deoarece $327 = 3$ . Pentru $m = 5$ nu există soluție, pentru că $5^{3} = 125$ depășește capătul $64$ , iar cea mai mare valoare este $364 = 4$ .

4. Fals. Punctul graficului care are ordonata $- 0, 7$ are abscisa $(- 0, 7)^{3} = - 0, 343$ , nu $- 0, 0343$ : o virgulă mutată schimbă abscisa de zece ori. Calculatorul dă $3 - 0, 0343 \approx - 0, 325$ , deci punctul graficului cu abscisa din enunț este mai aproape de axa $O x$ .

5. Scriem $- 2 = 3 - 8$ ; cum $- 9 < - 8$ și funcția urcă, $3 - 9 < - 2$ . Apoi $4 = 364 < 365$ . În fine, $0, 2 = 3 0, 008$ , iar $0, 008 < 0, 2$ , deci $3 0, 2 > 0, 2$ : între zero și unu radicalul de ordinul trei este mai mare decât numărul.

6. Graficul lui $g$ este graficul lui $3 x$ ridicat cu două unități, cu centrul în $(0; 2)$ ; graficul lui $k$ este mutat cu opt unități spre dreapta, cu centrul în $(8; 0)$ . Graficele nu au niciun punct comun. Pentru orice $x$ avem $x - 8 < x$ , iar funcția radical de ordinul trei urcă, deci $3 x - 8 < 3 x < 3 x + 2$ , adică $k (x) < g (x)$ . De exemplu, $k (0) = - 2$ și $g (0) = 2$ , iar $k (8) = 0$ și $g (8) = 4$ .

7. Centrul marcat este $(- 3; 2)$ , deci funcția este $h (x) = 3 x + 3 + 2$ . Verificăm: $h (24) = 327 + 2 = 5$ și $h (- 30) = 3 - 27 + 2 = - 1$ . Cele două puncte sunt simetrice față de centru, fiindcă mijlocul segmentului care le unește este $(\frac{24 - 30}{2}; \frac{5 - 1}{2}) = (- 3; 2)$ . Aici punctele sunt la $27$ de unități de centru pe orizontală, deci la trei unități pe verticală.

8. a) Pentru $T = 8$ avem $a = 364 = 4$ UA, iar pentru $T = 27$ avem $a = 3729 = 9$ UA. b) Pentru Jupiter, $a = 3 11, 8 6^{2} \approx 5, 20$ UA. c) Relația cere $T^{2} = a^{3} = 125$ , deci $T = 125 \approx 11, 18$ ani: o distanță de cinci ori mai mare decât a Pământului dă o perioadă de peste unsprezece ori mai mare. Modelul ignoră masa planetei, neglijabilă față de cea a Soarelui.

9. Pentru $V = 33, 5$ cm³ obținem $r = 3 \frac{100 , 5}{4 π} \approx 2, 00$ cm. Pentru $V = 100$ cm³ obținem $r = 3 \frac{300}{4 π} \approx 2, 88$ cm. Un volum de trei ori mai mare dă o rază mai mare cu mai puțin de o jumătate, tot din cauza radicalului de ordinul trei.

10. Un singur punct comun, originea. Pentru $x > 0$ avem $3 x > 0$ și $- x < 0$ , iar pentru $x < 0$ avem $3 x < 0$ și $- x > 0$ , deci valorile au semne opuse și nu pot fi egale. În zero, ambele funcții valorează zero.

11. a) Translația mută fiecare punct cu șapte unități spre dreapta și cu două în sus, deci punctul corespunzător este $(13; 3, 82)$ ; într-adevăr, $g (13) = 36 + 2$ , iar calculatorul dă $36 \approx 1, 82$ . b) Centrul graficului lui $g$ este $(7; 2)$ . Punctul $(13; 3, 82)$ se află cu șase unități la dreapta centrului și cu $1, 82$ deasupra lui, deci simetricul este cu șase unități la stânga și cu $1, 82$ dedesubt: $(1; 0, 18)$ . Calculatorul confirmă: $g (1) = 3 - 6 + 2 \approx 0, 18$ .

12. Graficul este deasupra nivelului douăzeci pentru $x > 8000$ . Punctul de pe nivelul douăzeci are abscisa $2 0^{3} = 8000$ , deoarece $38000 = 20$ , iar funcția fiind strict crescătoare, intrările mai mari dau valori mai mari.

13. Avem $27 < 50 < 64$ , deci $3 < 350 < 4$ . Calculatorul dă $350 \approx 3, 68$ .

14. Nivelul de $5, 4$ fm se află între razele de $4, 8$ fm și $6$ fm, deci numărul de masă este între $64$ și $125$ . Din $1, 2 3 A = 5, 4$ rezultă că radicalul valorează $4, 5$ , deci $A = 4, 5^{3} = 91, 125$ , adică aproximativ $91$ de nucleoni, cât are izotopul zirconiu-91. Citirea de pe curbă dă doar intervalul; valoarea vine din ridicarea la cub.

15. Punctul este $(1331; 0)$ . Graficul taie axa $O x$ acolo unde valoarea este zero, adică unde radicalul de ordinul trei este unsprezece; cum $1 1^{3} = 1331$ , verificăm $f (1331) = 11 - 11 = 0$ . Funcția fiind strict crescătoare, nu mai există alt punct pe axă.

16. Punctul este $(0; - 5)$ , deoarece $f (0) = 3 - 125 = - 5$ .

17. $a = 11$ . Ordonata $- 2$ cere ca radicalul de ordinul trei al lui $a - 19$ să fie $- 2$ , adică $a - 19 = (- 2)^{3} = - 8$ . Verificare: $f (11) = 3 - 8 = - 2$ . Funcția fiind strict crescătoare, graficul nu mai are alt punct cu ordonata $- 2$ .

18. Din $h (1000) = 10 + b = 16$ rezultă $b = 6$ . Atunci $h (- 27) = - 3 + 6 = 3$ și $h (- 8) = - 2 + 6 = 4$ . Ambele valori sunt sub $6$ , pentru că intrările negative dau radicali negativi.

De reținut

Radicalul de ordinul trei al lui $a$ este singurul număr real $b$ cu $b^{3} = a$ ; există pentru orice număr real și are semnul acestuia.
Funcția $f (x) = 3 x$ are domeniul $R$ și mulțimea valorilor $R$ ; graficul atinge axele numai în origine.
Graficul urcă pe toată axa, e aproape vertical lângă origine și se culcă spre capete, fără să aibă un plafon.
Graficul este simetric față de origine; după o translație, centrul de simetrie se mută odată cu curba.
O citire de pe grafic se confirmă prin ridicarea la cub a nivelului citit, iar orice orizontală taie graficul complet exact o dată.

Greșeli frecvente

Confunzi forma lui $3 x$ cu forma lui $x^{3}$ . Lângă origine, graficul radicalului e aproape vertical, iar cel al cubului e aproape orizontal. Verifică într-un punct: pentru $x = 0, 001$ radicalul dă $0, 1$ , iar cubul dă un număr minuscul.
Crezi că un grafic care se culcă are un plafon. Aplatizarea nu înseamnă apropierea de o orizontală. Pentru orice nivel $m$ calculează $m^{3}$ : acolo curba ajunge la nivelul ales.
Iei centrul de simetrie drept punctul în care graficul taie axa $O x$ . Pentru $3 x - 3 + 1$ centrul este $(3; 1)$ , dar graficul taie axa $O x$ acolo unde radicalul valorează minus unu, adică la $x = 2$ . Caută tăietura cu axa separat, după ce ai găsit centrul.
Împarți la trei în loc să extragi radicalul. Radicalul de ordinul trei al lui $27$ este $3$ , nu $9$ , iar cel al lui $12$ nu este $4$ , pentru că $4^{3} = 64$ . Verifică orice rezultat ridicându-l la cub.
Schimbi semnul unei singure coordonate la simetria față de origine. Punctul $(8; 2)$ nu are simetricul $(- 8; 2)$ , care reflectă doar față de axa verticală. Schimbă semnul ambelor coordonate.

Aplică acasă

Umple o seringă gradată de $5$ mL cu apă și numără picăturile care cad din ea până se golește; repetă de trei ori și fă media. Împarte volumul la numărul de picături, transformă rezultatul în milimetri cubi și calculează raza unei picături cu $r = 3 \frac{3 V}{4 π}$ . Compară raza obținută cu cea a unei picături de ulei sau de sirop, numărate la fel.
Într-o aplicație de grafice, desenează $3 x$ împreună cu dreptele $y = \frac{x}{9}$ , $y = x$ și $y = 4 x$ . Pentru fiecare dreaptă, citește punctele comune cu graficul și verifică-le prin calcul. Notează ce au în comun punctele găsite pentru toate cele trei drepte și de ce apar în perechi simetrice față de origine.
Caută într-un atlas sau pe site-ul unei agenții spațiale perioadele de revoluție ale planetelor Mercur, Venus, Saturn și Neptun. Calculează pentru fiecare $3 T^{2}$ și compară rezultatul cu distanța medie față de Soare, în unități astronomice, dată în aceeași sursă.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește funcția radical de ordin 3 pornind de la graficul funcției cub și cere elevului să citească pe desen domeniul, mulțimea valorilor, monotonia și simetria față de origine, apoi să le confirme pe valori. Demonstrațiile algebrice ale monotoniei, legătura formală dintre radical și funcția cub și rezolvarea algebrică a ecuațiilor cu radicali de ordinul trei rămân pentru clasa a X-a. O întrebare bună de control este „ce abscisă are punctul de pe grafic aflat la nivelul minus trei?”: răspunsul corect, minus douăzeci și șapte, arată că elevul folosește ridicarea la cub ca verificare și nu mai confundă ordinul trei cu ordinul 2.

Recomandăm cel puțin o activitate digitală în care elevul suprapune graficul cu drepte prin origine și citește punctele comune, precum și un control al punctului-test $(- 8; - 2)$ , care separă un desen corect de unul trunchiat de aplicație. Contextele din fizică și astronomie arată de ce radicalul de ordinul trei apare natural oriunde o mărime crește proporțional cu un volum.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: unitatea de funcții numește funcția radical de ordin 2 și ordin 3 și cere observarea proprietăților pe grafice furnizate sau desenate digital. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția radical de ordin 2 și 3 și ecuațiile cu radicali de ordinul 2 sau 3 la conținuturile clasei a X-a. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu radical de ordinul trei; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția radical de ordinul 3. Pentru legătura cu clasa a VIII-a, revedeți volumul cubului și al paralelipipedului. Continuarea firească este funcția exponențială la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre radicalul de ordinul 3?

Varianta M2 pornește de la grafic și de la citirea proprietăților pe el, cu verificare prin ridicare la cub. Nu demonstrează monotonia cu inegalități, nu tratează legătura formală cu funcția cub și nu rezolvă algebric ecuații cu radicali. În schimb, lucrează cu translații în aplicații, cu restricții ale domeniului și cu modele din fizică și astronomie.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea funcția radical de ordinul 3?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția radical de ordin 2 și 3 și ecuațiile cu astfel de radicali, la conținuturile clasei a X-a. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu radical de ordinul trei. Pentru MAT_P2 din 2030, tema face parte din domeniul „Algebră”, la funcțiile studiate prin lecturi grafice.

Cum găsesc centrul de simetrie al unui grafic mutat prin translație?

Caută intrarea care face zero expresia de sub radical: ea dă abscisa centrului. Constanta adunată sau scăzută în afara radicalului dă ordonata centrului. Pentru $3 x + 5 - 3$ , centrul este $(- 5; - 3)$ . Poți verifica alegând două intrări egal depărtate de abscisa centrului: valorile lor trebuie să fie egal depărtate de ordonata centrului.

Are graficul funcției $3 x$ o asimptotă orizontală?

Nu. Graficul se culcă tot mai mult spre dreapta, dar nu se apropie de nicio dreaptă orizontală, pentru că depășește orice nivel ales. Nivelul cincizeci, de exemplu, este atins la abscisa $125000$ . O asimptotă orizontală ar însemna un nivel de care curba se apropie fără să-l depășească, lucru care nu se întâmplă aici.

Cum aproximez un radical de ordinul trei fără tasta dedicată?

Prin încercări și ridicare la cub. Pentru $320$ observi întâi că $2^{3} = 8$ și $3^{3} = 27$ , deci rezultatul este între doi și trei. Încerci $2, 7$ : cubul lui este $19, 683$ , puțin sub douăzeci; $2, 8$ dă $21, 952$ , prea mult. Așadar $320$ este între $2, 7$ și $2, 8$ , mai aproape de $2, 7$ . Fiecare rundă de încercări adaugă o zecimală sigură.

Unde apare radicalul de ordinul 3 în științe?

Oriunde o mărime este proporțională cu un volum și vrei să afli o lungime. Raza unui nucleu atomic se obține din numărul de nucleoni, raza unei picături sau a unei bucăți de grindină din volumul ei, iar în astronomie distanța medie a unei planete față de Soare se obține din perioada de revoluție, prin legea a treia a lui Kepler.