Funcția radical de ordin 2 (M2, științe ale naturii)

O piatră aruncată într-un bazin puțin adânc produce valuri care se lățesc spre margini. Într-o zonă cu apa de patruzeci de centimetri ele merg încet, într-una de zece metri mult mai repede, dar nu de douăzeci și cinci de ori mai repede. Legătura dintre adâncime și viteză trece printr-un radical, iar forma ei se vede cel mai bine pe un grafic. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), funcția radical de ordin 2 se studiază prin lectura graficului: de unde pornește, cum crește, ce valori ia, unde se întâlnește cu alte grafice. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția radical la materia clasei a X-a.

Familia puterilor cu exponent întreg este descrisă în lecția M2 despre funcția putere; radicalul face drumul invers față de ridicarea la pătrat pe numerele nenegative, iar această lecție îl privește ca funcție nouă. Ce se întâmplă când sub radical apare o expresie și de unde pornește atunci graficul vei vedea în domeniul funcției cu radical la M2. Pentru felul în care se încadrează un radical între două zecimale, recitește estimarea rădăcinii pătrate din clasa a VII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce înseamnă radicalul unui număr nenegativ și de ce funcția pornește din origine.
• Vei ști să citești pe grafic valori exacte și aproximative, apoi să le confirmi prin ridicare la pătrat.
• Vei ști să descrii monotonia și încetinirea creșterii fără să le confunzi.
• Vei ști să scrii mulțimea valorilor pe tot domeniul și pe un interval.
• Vei ști să rezolvi pe grafic ecuații și inecuații simple cu radical și să găsești punctele comune cu o dreaptă.
• Vei ști să folosești un model din științe cu radical, cu unități și interval de valabilitate.

Hai să descoperim împreună

1. Drumul invers al ridicării la pătrat

Ridicarea la pătrat transformă orice număr într-un număr nenegativ. Drumul invers pornește deci numai de la numere nenegative. Radicalul de ordin 2 al unui număr $x\ge 0$, notat $\sqrt{x}$, este singurul număr nenegativ al cărui pătrat este $x$. Funcția radical de ordin 2 asociază fiecărui număr nenegativ radicalul lui: $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Domeniul ei maxim este deci intervalul numerelor nenegative.

Condiția „nenegativ” alege un singur număr: două numere opuse au același pătrat, dar numai unul dintre ele este mai mare sau egal cu zero. Verificarea oricărei valori se face la fel: ridici la pătrat rezultatul și trebuie să regăsești numărul de sub radical. De pildă, $\sqrt{2,56}=1,6$, fiindcă numărul unu virgulă șase este nenegativ și pătratul lui este doi virgulă cincizeci și șase.

2. Ce formă are curba trasată în aplicație?

Trasează în aplicație $y=\sqrt{x}$. Figura A îl arată pentru abscise de la zero la zece, cu câteva puncte ale căror coordonate sunt numere întregi.

Graficul pornește din origine, cu un punct plin, și merge numai spre dreapta: la stânga axei $Oy$ nu există niciun punct, fiindcă numerele negative nu sunt în domeniu. Curba urcă tot timpul, dar din ce în ce mai încet. Între abscisele zero și unu urcă o unitate întreagă; de la unu la patru urcă tot o unitate, pe un drum de trei ori mai lung; de la patru la nouă mai urcă una, pe un drum de cinci unități.

Aceasta este forma tipică: o curbă care nu se oprește niciodată, dar se culcă spre orizontală. Nu există o înălțime pe care să n-o depășească, oricât de mare ar fi aleasă.

3. Cum citim o valoare care nu e pătrat perfect?

Pe grafic poți citi valoarea radicalului în orice punct al domeniului, nu doar în pătratele perfecte. Ridici o verticală din abscisa dorită până la curbă, apoi o orizontală până la axa $Oy$. Pentru abscisa cinci, orizontala ajunge între $2,2$ și $2,3$.

Citirea se confirmă prin ridicare la pătrat: $2,2^2=4,84$, sub cinci, iar $2,3^2=5,29$, peste cinci. Prin urmare radicalul din cinci se află între cele două zecimale. Graficul dă o aproximare, iar pătratele o garantează. Un număr citit de pe desen nu se scrie niciodată cu semnul egal în locul radicalului, dacă pătratul lui nu dă exact numărul inițial.

4. De ce radicalul păstrează ordinea numerelor?

Pe grafic se vede că, mergând spre dreapta, curba urcă peste tot: funcția este crescătoare pe $[0,+\infty )$. Proprietatea are și o explicație numerică. Dintre două numere nenegative, cel cu pătratul mai mare este chiar cel mai mare. Pentru două intrări nenegative diferite, radicalele lor au ca pătrate chiar aceste intrări, deci radicalul intrării mai mari este mai mare.

Consecința practică este o metodă de comparare fără calculator. Ca să compari un radical cu un număr zecimal pozitiv, ridici zecimalul la pătrat și compari rezultatul cu numărul de sub radical. Nu compari numărul de sub radical direct cu zecimalul: un radical și un număr obișnuit se pun față în față abia după ce vorbesc aceeași limbă, a pătratelor.

5. Ce valori ia funcția radical?

Toate valorile sunt nenegative, iar cea mai mică, zero, se atinge în origine. Orice nivel pozitiv este atins: pentru nivelul $m$, intrarea potrivită este $m^2$. Așadar mulțimea valorilor este $[0,+\infty )$, iar funcția nu are o cea mai mare valoare.

Pe un interval $[a,b]$ cu $a\ge 0$, funcția fiind crescătoare, cea mai mică valoare vine din capătul stâng și cea mai mare din capătul drept. Imaginea restricției este segmentul dintre cele două radicale ale capetelor. Un capăt exclus din domeniu dă un capăt exclus și în imagine, fiindcă fiecare nivel este atins o singură dată.

6. Ce ne spune o orizontală?

Ecuația $\sqrt{x}=m$ are soluție exact când orizontala de nivel $m$ întâlnește graficul, adică pentru $m\ge 0$; atunci soluția este unică, $x=m^2$. Pentru $m<0$ orizontala trece pe sub grafic și nu există soluție.

Inecuațiile se citesc la fel, ca în lecția despre ecuații și inecuații rezolvate grafic. Partea de grafic aflată sub orizontala de nivel pozitiv $m$ corespunde intrărilor dintre zero și $m^2$; partea de deasupra corespunde intrărilor mai mari decât $m^2$. Capătul zero vine din domeniu, nu din orizontală. Pentru o dreaptă oblică, punctele comune se citesc pe desen și se confirmă înlocuind abscisa în ambele formule.

7. Cum se schimbă graficul când adunăm sau înmulțim?

O aplicație digitală permite să suprapunem $\sqrt{x}$ cu $\sqrt{x}+c$, cu $k\sqrt{x}$ sau cu $-\sqrt{x}$. Adunarea constantei mută tot graficul pe verticală, deci și punctul de pornire urcă sau coboară pe axa $Oy$. Înmulțirea cu un număr pozitiv întinde sau strânge curba pe verticală, iar semnul minus o oglindește față de axa $Ox$. Regulile pentru mulțimea valorilor sunt cele din lecția M2 despre mulțimea valorilor.

În toate aceste cazuri domeniul rămâne $[0,+\infty )$: nu am schimbat nimic sub radical. Mutarea punctului de pornire pe orizontală apare abia când modificăm expresia de sub radical, lucru pe care îl facem în lecția următoare.

8. De ce apare radicalul în modelele din științe?

Multe legi din fizică leagă pătratul unei mărimi de o alta: pătratul unei viteze de o adâncime sau de o temperatură, pătratul unei grosimi de un timp. Când vrem mărimea însăși, nu pătratul ei, trecem printr-un radical. Graficul unui asemenea model are forma din figura A, întinsă sau strânsă pe verticală de constanta din fața radicalului.

Un model cu radical se citește ca orice funcție, cu trei precauții. Variabila are o unitate, iar valoarea radicalului primește unitatea mărimii calculate. Intervalul pe care legea descrie fenomenul este de obicei mult mai mic decât domeniul matematic al formulei. Iar forma curbei spune ceva despre fenomen: fiecare creștere egală a rezultatului cere o creștere tot mai mare a variabilei de sub radical.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește soluțiile pe grafic și verifică-le

Figura B reprezintă graficul funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, și orizontalele de nivel $1,7$ și $2,6$. Citește soluțiile ecuațiilor $\sqrt{x}=1,7$ și $\sqrt{x}=2,6$ și confirmă-le. Are soluție ecuația $\sqrt{x}=-1$?

Rezolvare. Orizontala de nivel $1,7$ întâlnește curba o singură dată, în dreptul unei abscise puțin mai mici decât trei. Soluția este pătratul nivelului: $x=2,89$, cu controlul $1,7^2=2,89$, deci $\sqrt{2,89}=1,7$. Orizontala de nivel $2,6$ o întâlnește în dreptul unei abscise între șase și șapte: $x=6,76$, fiindcă $2,6^2=6,76$.

Nivelul minus unu este sub axa $Ox$, iar graficul nu coboară niciodată acolo. Ecuația $\sqrt{x}=-1$ nu are soluție.

Observă cât de puțin precisă ar fi fost citirea fără calcul. Pe desen, a doua intersecție pare la șase virgulă opt sau la șase virgulă șapte; doar pătratul nivelului decide. De aceea, pe o figură, cauți întâi nivelul, care este dat exact, și abia apoi abscisa, pe care o obții prin ridicare la pătrat.

Exemplul 2 — Mulțimea valorilor pe intervale

Scrie mulțimea valorilor restricțiilor $g:[0,64;10,24]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x}$, și $h:(0,01;16]\to \mathbb{R}$, $h(x)=\sqrt{x}$.

Rezolvare. Funcția radical este crescătoare, deci marginile imaginii vin din capete. Pentru $g$: $\sqrt{0,64}=0,8$ și $\sqrt{10,24}=3,2$, deci $\mathrm{Im}g=[0,8;3,2]$.

Pentru $h$, capătul stâng este exclus. Valoarea lui, $\sqrt{0,01}=0,1$, nu mai este atinsă de nicio altă intrare, fiindcă fiecare nivel este atins o singură dată. Capătul drept este inclus: $\sqrt{16}=4$. Prin urmare $\mathrm{Im}h=(0,1;4]$.

Compară lungimile. Intervalul lui $g$ are aproape zece unități pe orizontală, dar imaginea lui are doar două unități și patru zecimi pe verticală. Funcția radical strânge intervalele mari de intrări în intervale mici de valori, iar strângerea e cu atât mai puternică, cu cât intervalul este mai departe de origine.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: zeroul translației

Un elev trasează $g:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x}-3,5$, și scrie: „graficul taie axa $Ox$ în punctul de abscisă $3,5$”. Figura C arată graficul. Unde greșește? Scrie corect punctele de pe axe și mulțimea valorilor.

Rezolvare. În abscisa $3,5$ valoarea este $\sqrt{3,5}-3,5$, un număr negativ, fiindcă radicalul lui trei virgulă cinci este mai mic decât doi. Graficul taie axa $Ox$ acolo unde radicalul este egal cu $3,5$, adică la $x=12,25$, cu controlul $3,5^2=12,25$.

Punctul de pe axa $Oy$ este punctul de pornire, $(0;-3,5)$: scăderea constantei a coborât tot graficul. Mulțimea valorilor este $[-3,5;+\infty )$. Elevul a pus constanta pe axa orizontală, deși ea a mutat graficul pe verticală. Un control rapid al oricărui punct citit: în abscisa patru graficul are ordonata $\sqrt{4}-3,5=-1,5$, sub axă, exact cum arată figura.

Exemplul 4 — Radicalul și o dreaptă

Figura D arată graficele funcțiilor $f(x)=\sqrt{x}$ și $g(x)=\frac{x}{3}$, pentru $x\ge 0$. Determină punctele comune și intervalul pe care graficul radicalului stă deasupra dreptei.

Rezolvare. Pe desen, cele două grafice pornesc amândouă din origine, apoi radicalul urcă mai repede, iar dreapta îl ajunge din urmă în dreptul abscisei nouă. Confirmăm: în zero ambele valori sunt zero, iar în nouă $\sqrt{9}=3$ și $\frac{9}{3}=3$. Punctele comune sunt $(0;0)$ și $(9;3)$.

Între ele radicalul stă deasupra: de exemplu, în patru, $\sqrt{4}=2$, iar $\frac{4}{3}$ este mai mic decât doi. După nouă dreapta trece deasupra și rămâne acolo, fiindcă ea crește cu aceeași rată, iar radicalul încetinește. Graficul radicalului este deasupra dreptei pe intervalul $(0,9)$.

Exemplul 5 — Viteza valurilor în apă puțin adâncă

Când adâncimea apei este mică față de lungimea valului, viteza valului depinde numai de adâncime: $v(h)=\sqrt{10h}$, cu $v$ în metri pe secundă și adâncimea $h$ în metri, pentru $h\in [0,4;10]$ (figura E). Între ce valori se află viteza? La ce adâncime valul merge cu $7$ m/s? Ce adâncimi corespund vitezelor între $3$ m/s și $5$ m/s?

Rezolvare. Funcția este crescătoare, deci vitezele extreme vin din capete: $\sqrt{10\cdot 0,4}=\sqrt{4}=2$ m/s și $\sqrt{10\cdot 10}=10$ m/s. Viteza parcurge intervalul $[2;10]$ m/s.

Pentru $7$ m/s avem nevoie de $10h=49$, deci $h=4,9$ m. Vitezele dintre trei și cinci metri pe secundă cer $10h$ între nouă și douăzeci și cinci, adică adâncimi între $0,9$ m și $2,5$ m. Modelul folosește accelerația gravitațională rotunjită la $10$ m/s² și nu mai este valabil în apă adâncă, unde viteza depinde de lungimea valului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2\sqrt{x}-1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=8$. Arătați că $f(x)\ge -1$ pentru orice $x\in [0,+\infty )$.

Rezolvare. Condiția $2\sqrt{a}-1=8$ înseamnă $\sqrt{a}=4,5$, de unde $a=20,25$. Controlul: $2\cdot 4,5-1=8$. Pentru a doua cerință, radicalul este nenegativ, deci $2\sqrt{x}\ge 0$ și $f(x)=2\sqrt{x}-1\ge -1$, cu egalitate în $x=0$. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor de la Subiectul I, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Pentru exercițiile cu figură, citește întâi axele și capetele. Orice valoare citită se confirmă prin ridicare la pătrat.

1. Calculează $\sqrt{3,24}$, $\sqrt{0,04}$, $\sqrt{196}$ și $\sqrt{12,96}$ și verifică fiecare rezultat.

2. Care dintre punctele $P(0,16;0,4)$, $Q(6,4;2,53)$, $R(30,25;5,5)$ și $S(5,76;2,4)$ aparțin graficului funcției $f(x)=\sqrt{x}$?

3. Figura F arată graficul lui $\sqrt{x}$, verticala $x=11$ și două orizontale punctate, apropiate, ale căror niveluri nu sunt scrise. Estimează nivelurile lor citind gradațiile, spune între ce zecimale consecutive se află $\sqrt{11}$ și confirmă prin calcul.

4. Compară fără calculator $\sqrt{23}$ cu $4,8$ și $\sqrt{0,2}$ cu $0,4$.

5. Un elev estimează $\sqrt{20,5}$ prin media numerelor $\sqrt{16}$ și $\sqrt{25}$, adică $4,5$. Este estimarea prea mare sau prea mică? Explică pe forma graficului și confirmă prin ridicare la pătrat.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Între abscisele $4$ și $6$ graficul radicalului urcă mai mult decât între abscisele $9$ și $12$.

7. Ecuația $\sqrt{x}=m$ are soluția $x=7$. Fără să calculezi $m$, scrie soluția ecuației $\sqrt{x}=10m$ și pe cea a ecuației $\sqrt{x}=\frac{m}{2}$.

8. Pe ce interval de intrări valorile radicalului sunt cuprinse între $0,9$ și $2,2$, inclusiv capetele?

9. Pentru $k:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $k(x)=4-2\sqrt{x}$, spune dacă funcția crește sau scade, determină punctul de pe axa $Ox$ și mulțimea valorilor.

10. Trasează digital $y=\sqrt{x}$ și $y=2\sqrt{x}$. În ce abscisă a doua funcție ia valoarea $3$? Ce puncte cu coordonate întregi are al doilea grafic pentru abscisele patru și nouă?

11. (Problemă aplicată.) Viteza pătratică medie a moleculelor de azot dintr-un gaz depinde de temperatura absolută: $w(T)=30\sqrt{T}$ metri pe secundă, cu $T$ în kelvini, $T\in [225,400]$. Între ce valori se află viteza? La ce temperatură viteza este de $540$ m/s?

12. Trasează digital $y=\sqrt{x}$ și dreapta $y=6-x$. Câte puncte comune au? Determină-le și confirmă prin calcul.

13. Ordonează crescător, fără calculator, numerele $2,6$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{7,1}$ și $2,7$.

14. Într-o iarnă cu ger constant, grosimea stratului de gheață de pe un lac crește aproximativ după legea $g(t)=3\sqrt{t}$ centimetri, cu $t$ în zile de la înghețare, pentru $t\in [0,49]$. Ce grosime are gheața după $4$ zile? După câte zile ajunge la $15$ cm?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Calculați $f(5,29)-f(1,96)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=f(1,44)+f(0,49)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Arătați că $f(0,25)\cdot f(64)=f(16)$.

18. (Provocare.) Găsește un interval $[a,b]$ de lungime cinci pe care funcția radical crește exact cu o unitate. Explică de ce un asemenea interval nu poate începe în zero.

Răspunsuri și explicații

1. Rezultatele sunt $\sqrt{3,24}=1,8$, $\sqrt{0,04}=0,2$, $\sqrt{196}=14$ și $\sqrt{12,96}=3,6$. Controlul: $1,8^2=3,24$, $0,2^2=0,04$, $14^2=196$, $3,6^2=12,96$, iar toate rezultatele sunt nenegative.

2. Aparțin graficului $P$, $R$ și $S$: $0,4^2=0,16$, $5,5^2=30,25$ și $2,4^2=5,76$. Punctul $Q$ nu aparține: $2,53^2=6,4009$, nu $6,4$, deci $2,53$ este doar o aproximare a lui $\sqrt{6,4}$, iar punctul exact al graficului are ordonata puțin mai mică.

3. Radicalul din unsprezece se află între $3,3$ și $3,4$. Controlul: $3,3^2=10,89$, sub unsprezece, iar $3,4^2=11,56$, peste.

4. $\sqrt{23}<4,8$, fiindcă $4,8^2=23,04$, mai mare decât douăzeci și trei. $\sqrt{0,2}>0,4$, fiindcă $0,4^2=0,16$, mai mic decât zero virgulă doi.

5. Prea mică. Media valorilor corespunde punctului din mijlocul segmentului care unește $(16;4)$ cu $(25;5)$, iar curba radicalului, care urcă tot mai încet, stă deasupra acestui segment. Controlul: $4,5^2=20,25$, mai mic decât $20,5$, deci $\sqrt{20,5}>4,5$.

6. Fals. Pe primul interval creșterea este $\sqrt{6}-2$, cu $\sqrt{6}$ între $2,44$ și $2,45$, deci sub $0,45$. Pe al doilea este $\sqrt{12}-3$, cu $\sqrt{12}$ între $3,46$ și $3,47$, deci peste $0,46$. Controlul: $2,45^2=6,0025$ și $3,46^2=11,9716$. Încetinirea nu decide singură, fiindcă al doilea interval e mai lung.

7. Soluția ecuației $\sqrt{x}=m$ este $m^2=7$. Pentru nivelul $10m$ soluția este $(10m{)}^2=100m^2=700$, iar pentru $\frac{m}{2}$ este $\frac{m^2}{4}=1,75$: când nivelul se înmulțește cu un număr, soluția se înmulțește cu pătratul lui.

8. Pe $[0,81;4,84]$. Funcția este crescătoare, deci porțiunea de grafic dintre cele două orizontale corespunde intrărilor dintre pătratele nivelurilor: $0,9^2=0,81$ și $2,2^2=4,84$. Capetele sunt incluse, fiindcă nivelurile sunt atinse.

9. Funcția scade: radicalul crește, iar înmulțirea cu minus doi îl oglindește și îl întinde. Graficul taie axa $Ox$ când $2\sqrt{x}=4$, adică la $x=4$, în punctul $(4;0)$. Punctul de pornire este $(0;4)$, iar mulțimea valorilor este $(-\infty ;4]$.

10. Valoarea trei se atinge când $\sqrt{x}=1,5$, adică la $x=2,25$, cu controlul $2\cdot 1,5=3$. Al doilea grafic trece prin $(4;4)$ și $(9;6)$, fiindcă $2\sqrt{4}=4$ și $2\sqrt{9}=6$. El are aceleași abscise ca primul, cu ordonatele dublate.

11. Funcția crește cu temperatura, deci vitezele sunt între $30\sqrt{225}=450$ m/s și $30\sqrt{400}=600$ m/s. Pentru $540$ m/s trebuie $\sqrt{T}=18$, adică $T=324$ K, aproximativ $51$ °C, o valoare din intervalul modelului.

12. Un singur punct comun, $(4;2)$. Radicalul urcă, dreapta coboară, deci se pot întâlni cel mult o dată. Controlul: $\sqrt{4}=2$ și $6-4=2$.

13. Ordinea este $2,6<\sqrt{7}<\sqrt{7,1}<2,7$. Pătratele zecimalelor sunt $2,6^2=6,76$ și $2,7^2=7,29$, iar numerele de sub radical, șapte și șapte virgulă unu, se află între ele, în această ordine.

14. După patru zile grosimea este $3\sqrt{4}=6$ cm. Grosimea de cincisprezece centimetri cere $\sqrt{t}=5$, deci $t=25$ de zile. Stratul crește tot mai încet, fiindcă gheața deja formată izolează apa de aerul rece.

15. Rezultatul este $0,9$: $\sqrt{5,29}=2,3$ și $\sqrt{1,96}=1,4$, iar diferența este $2,3-1,4=0,9$.

16. $a=3,61$. Avem $f(1,44)=1,2$ și $f(0,49)=0,7$, deci $\sqrt{a}=1,9$ și $a=1,9^2=3,61$; controlul: $\sqrt{3,61}=1,9$.

17. Avem $f(0,25)=0,5$, fiindcă $0,5^2=0,25$, și $f(64)=8$, deci produsul este $0,5\cdot 8=4$. Pe de altă parte, $f(16)=4$, deci egalitatea este adevărată.

18. Un interval potrivit este $[4,9]$: $\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$, iar lungimea este $9-4=5$. Un interval care începe în zero ar trebui să se termine în unu pentru o creștere de o unitate, deci ar avea lungimea unu, nu cinci.

De reținut

• Radicalul lui $x\ge 0$ este singurul număr nenegativ al cărui pătrat este $x$; orice valoare se confirmă prin ridicare la pătrat.
• Graficul pornește din origine, merge numai spre dreapta și urcă tot timpul, din ce în ce mai încet.
• Mulțimea valorilor este $[0,+\infty )$; pe un interval, marginile imaginii vin din capete.
• O orizontală de nivel $m\ge 0$ întâlnește graficul o singură dată, în abscisa $m^2$; pentru $m<0$ nu îl întâlnește.
• Adunarea unei constante sau înmulțirea cu un număr schimbă imaginea, nu domeniul; într-un model, radicalul primește unități și interval de valabilitate.

Greșeli frecvente

• Scrii o valoare citită pe grafic ca pe una exactă. Pe desen radicalul din cinci pare doi virgulă doi, dar pătratul acestui număr este patru virgulă optzeci și patru. Scrie încadrarea și confirm-o prin pătrate.
• Compari numărul de sub radical cu un număr zecimal. Ca să compari un radical cu un zecimal, ridici zecimalul la pătrat. A pune față în față douăzeci și trei cu patru virgulă opt nu spune nimic.
• Spui că funcția începe să scadă acolo unde curba se culcă. Încetinirea creșterii nu este descreștere. Alege două abscise în zona plată și compară valorile: cea din dreapta este tot mai mare.
• Muți pe orizontală punctul de pornire când aduni o constantă. Pentru $\sqrt{x}+c$, domeniul rămâne cel al radicalului, iar punctul de pornire urcă sau coboară pe axa $Oy$. Mutarea orizontală cere o schimbare sub radical.
• Scrii radicalul unei sume ca sumă de radicali. Radicalul lui nouă plus șaisprezece este cinci, nu trei plus patru. Radicalul se aplică rezultatului adunării, nu fiecărui termen.

Aplică acasă

1. Umple o tavă de copt cu apă de un centimetru, lovește ușor una dintre margini și cronometrează cu telefonul, filmând, cât îi trebuie valului să ajungă la marginea opusă. Repetă cu apă de patru centimetri. Calculează vitezele și compară raportul lor cu raportul radicalelor adâncimilor.
2. Pune un șervețel de hârtie pe o farfurie și picură în același loc, cu un pai, o picătură de apă colorată, apoi încă trei, apoi încă cinci, ca să ai pe rând una, patru și nouă picături. După fiecare serie, măsoară diametrul petei. Aria petei crește aproximativ cât numărul de picături, deci diametrul ar trebui să crească aproximativ ca radicalul acestui număr: verifică dacă diametrele sunt cam în raportul $1:2:3$.
3. Pe hârtie milimetrică, desenează cu grijă graficul radicalului pe intervalul de la zero la șaisprezece. Citește pe desen radicalele lui doi, trei, șapte și zece, cu o zecimală, și verifică fiecare citire prin ridicare la pătrat. Notează la care numere desenul a greșit și cu cât.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește funcția radical din două gesturi: citirea pe grafic și confirmarea prin ridicare la pătrat. Întrebarea de control potrivită este „de unde știi că valoarea citită e bună?”. Un elev care răspunde prin pătratul numărului citit, și nu prin „așa arată desenul”, a înțeles legătura dintre radical și pătrat fără să aibă nevoie de o teorie a funcțiilor inverse.

Recomandăm ca elevii să traseze digital cel puțin o dată radicalul împreună cu o dreaptă și să citească punctele comune înaintea oricărui calcul. Un exercițiu scurt de clasă: fiecare elev alege un număr între zero și douăzeci, citește radicalul lui pe un grafic proiectat și scrie încadrarea între două zecimale; colegul de bancă o verifică prin pătrate. Tot aici merită discutată diferența dintre „crește încet” și „scade”, o confuzie frecventă când graficul pare aproape orizontal. Proprietățile algebrice ale radicalilor și ecuațiile cu radicali nu fac parte din această lecție.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: unitatea de funcții numește funcția radical de ordin 2, iar nota ei cere evidențierea grafică a monotoniei, a mulțimii valorilor și a soluțiilor ecuațiilor $f(x)=m$ și $f(x)=g(x)$. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția radical și ecuațiile cu radicali la materia clasei a X-a. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință cu două funcții de gradul I, nu una cu funcția radical; un radical apare acolo abia la Subiectul al III-lea, într-o funcție de analiză. Exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția radical de ordin 2. Pentru încadrarea unui radical între zecimale, revedeți estimarea rădăcinii pătrate din clasa a VII-a. Lecția anterioară este funcția putere cu exponent întreg la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre funcția radical?

Varianta M2 pornește de la graficul trasat digital și confirmă fiecare valoare citită prin ridicare la pătrat. Nu demonstrează monotonia prin reducere la absurd și nu construiește simetria cu parabola. În schimb, lucrează cu valori aproximative citite pe desen, cu translații și dilatări verticale, cu puncte comune cu drepte oblice și cu modele din științe cu unități.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 apare funcția radical?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția radical și ecuațiile cu radicali la materia clasei a X-a. În modelul publicat pentru 2026, cele șase cerințe de la Subiectul I nu conțin radicali; un radical apare abia la Subiectul al III-lea, în funcția studiată cu instrumentele analizei. Pentru proba MAT_P2 din 2030, funcția radical de ordin 2 este în domeniul „Algebră”.

De ce creșterea radicalului încetinește, deși funcția crește mereu?

Ca să urci cu o unitate pe verticală, de la nivelul $n$ la nivelul $n+1$, intrarea trebuie să treacă de la $n^2$ la $(n+1{)}^2$. Diferența dintre aceste pătrate crește odată cu $n$, deci drumul orizontal necesar pentru același câștig este tot mai lung. Funcția nu scade niciodată; doar câștigă tot mai puțin pe aceeași distanță.

Cum verific o valoare citită pe graficul radicalului?

Ridică la pătrat numărul citit și compară-l cu numărul de sub radical. Dacă pătratul iese exact, valoarea este exactă. Dacă iese puțin sub sau peste, încadrează radicalul între două zecimale ale căror pătrate stau de o parte și de alta a numărului. Desenul îți spune unde să cauți, iar pătratul îți spune dacă ai găsit.

Ce se întâmplă cu graficul dacă înmulțesc radicalul cu un număr?

Înmulțirea cu un număr pozitiv întinde sau strânge curba pe verticală: fiecare ordonată se înmulțește cu acel număr, iar abscisele rămân pe loc. Graficul pornește tot din origine și are același domeniu. Un număr negativ oglindește în plus curba față de axa $Ox$, iar funcția devine descrescătoare.

De ce apare radicalul atât de des în științele naturii?

Ori de câte ori pătratul unei mărimi este proporțional cu alta, drumul invers trece printr-un radical. Pătratul vitezei valurilor în apă puțin adâncă este proporțional cu adâncimea, pătratul vitezei pătratice medii a moleculelor unui gaz cu temperatura absolută, iar pătratul grosimii gheții de pe un lac cu timpul de îngheț. Forma graficului spune imediat că efectul crește, dar tot mai greu.