Domeniul de definiție al funcției cu radical (M2, științe ale naturii)

Un vas cu apă are un orificiu mic aproape de fund. Cât timp nivelul apei este deasupra orificiului, apa țâșnește, cu atât mai repede cu cât nivelul e mai sus. Când nivelul coboară până la orificiu, jetul se oprește, iar sub orificiu formula vitezei nu mai spune nimic. Matematica are pentru această limită o regulă precisă: sub un radical de ordin 2 nu poate sta un număr negativ. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), domeniul unei funcții cu radical se găsește din această condiție și se vede pe grafic, ca locul din care pornește curba. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția radical, cu domeniul ei, la materia clasei a X-a.

Graficul lui $\sqrt{x}$, punctul lui de pornire și mulțimea valorilor sunt descrise în lecția M2 despre funcția radical de ordin 2; aici schimbăm expresia de sub radical și urmărim ce se întâmplă cu domeniul. Inecuațiile de gradul I pe care le cere condiția se rezolvă ca în lecția M2 despre funcția de gradul I. Continuarea firească este funcția radical de ordin 3, definită pe toată axa. Dacă notația intervalelor nu îți mai este familiară, recitește intervalele nemărginite din clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce este domeniul maxim al unei formule și de ce radicalul îl restrânge.
• Vei ști să scrii condiția de existență a unui radical de ordin 2 și să o transformi în interval.
• Vei ști să prevezi pe grafic punctul din care pornește curba și direcția în care merge.
• Vei ști să citești domeniul și mulțimea valorilor pe un grafic dat, proiectând curba pe axe.
• Vei ști să folosești graficul expresiei de sub radical pentru a găsi domeniul.
• Vei ști să recunoști expresiile care nu devin niciodată negative și dau domeniul $\mathbb{R}$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce numere poate primi o formulă?

Uneori o funcție este dată complet, cu domeniul scris înaintea săgeții. Alteori primești numai formula și trebuie să afli singur pe ce numere lucrează. Domeniul maxim de definiție este cea mai mare mulțime de numere reale pe care o formulă le poate primi: numerele $x$ pentru care fiecare operație din ea are sens, iar rezultatul este un număr real. Îl notăm, de obicei, cu $D$.

Adunarea, scăderea, înmulțirea și ridicarea la o putere naturală au sens pentru orice numere. În lecțiile acestei unități apar două operații care pot refuza o intrare: împărțirea, care nu acceptă numitorul zero, și radicalul de ordin 2, care nu acceptă un număr negativ. Formula $\sqrt{x+10}$, de exemplu, lucrează numai cu intrările pentru care $x+10$ nu este negativ, adică cu numerele de la minus zece în sus.

2. Când are sens un radical de ordin 2?

Radicalul unui număr este un număr nenegativ al cărui pătrat dă numărul de sub radical. Orice pătrat este cel puțin zero, deci numărul de sub radical trebuie să fie cel puțin zero. Condiția de existență a radicalului de ordin 2 este: expresia $E(x)$ de sub radical are $\sqrt{E(x)}$ număr real exact atunci când $E(x)\ge 0$.

Zero este permis: radicalul lui zero este zero, un număr cât se poate de real. De aceea condiția are semnul „mai mare sau egal”, iar valoarea care anulează expresia intră în domeniu. Pe grafic, această valoare este chiar punctul în care curba atinge axa $Ox$.

Aflarea domeniului înseamnă, prin urmare, rezolvarea unei inecuații, nu a unei ecuații: cauți toate intrările care fac expresia nenegativă, nu doar pe cea care o anulează.

3. De unde pornește graficul lui $\sqrt{ax+b}$?

Când sub radical stă o expresie afină, condiția $ax+b\ge 0$ este o inecuație de gradul I. Numărul care anulează expresia, $-\frac{b}{a}$, este locul din care pornește graficul, cu un punct plin pe axa $Ox$. Figura A arată două funcții care pornesc din același punct, dar merg în sensuri opuse: $y=\sqrt{2x-14}$ și $y=\sqrt{14-2x}$.

Ambele expresii se anulează în șapte. Pentru prima, expresia crește odată cu intrarea, deci e nenegativă de la șapte spre dreapta; pentru a doua, expresia scade odată cu intrarea, deci e nenegativă de la șapte spre stânga. Graficele sunt oglindite față de verticala $x=7$.

4. De ce semnul coeficientului decide direcția?

Rezolvarea inecuației $ax+b\ge 0$ trece printr-o împărțire la $a$. Dacă $a$ este pozitiv, sensul inegalității rămâne, iar domeniul este semidreapta de la $-\frac{b}{a}$ spre dreapta. Dacă $a$ este negativ, sensul se schimbă, iar domeniul este semidreapta de la $-\frac{b}{a}$ spre stânga.

Pe grafic regula se vede fără calcul: dacă intrarea din stânga punctului de pornire face expresia negativă, curba merge spre dreapta; altfel merge spre stânga. În ambele cazuri capătul este inclus. Monotonia se citește la fel: cu coeficient pozitiv funcția crește pe domeniu, cu coeficient negativ scade, fiindcă radicalul păstrează ordinea valorilor expresiei.

5. Cum se citește domeniul pe un grafic dat?

Domeniul este proiecția graficului pe axa $Ox$: toate abscisele punctelor lui. Mulțimea valorilor este proiecția pe axa $Oy$. Pe un grafic cu radical, proiecția pe $Ox$ este o semidreaptă care începe în abscisa punctului de pornire; proiecția pe $Oy$ începe în ordonata lui.

Ce face un număr adunat în afara radicalului ai văzut în lecția despre funcția radical: se schimbă ordonata punctului de pornire, nu abscisa lui. Aici ne interesează abscisa, adică expresia de sub radical.

6. Ce facem când sub radical stă o expresie dată printr-un grafic?

Condiția de existență rămâne aceeași: expresia trebuie să fie nenegativă. Dacă avem graficul expresiei, răspunsul se citește direct: domeniul este mulțimea absciselor pentru care graficul expresiei se află pe axa $Ox$ sau deasupra ei. Punctele în care graficul expresiei taie axa $Ox$ sunt incluse.

Pentru o expresie de gradul al doilea, graficul este o parabolă, iar citirea semnului ei o cunoști din lecția M2 despre semnul funcției de gradul doi. Nu avem nevoie de un algoritm nou: citim zerourile pe desen, le confirmăm înlocuindu-le în formulă și păstrăm porțiunea în care parabola nu coboară sub axă.

7. Când radicalul nu exclude niciun număr?

Unele expresii nu pot deveni negative, oricare ar fi intrarea. Cel mai simplu caz este un pătrat adunat cu un număr pozitiv, de exemplu $x^2+1,44$. Pătratul este cel puțin zero, deci expresia este cel puțin $1,44$, iar condiția de existență este îndeplinită pentru orice număr real. Domeniul maxim al funcției $\sqrt{x^2+1,44}$ este $\mathbb{R}$.

Pe grafic, o asemenea funcție nu mai are punct de pornire: curba se întinde în ambele sensuri și nu atinge axa $Ox$, iar cel mai jos punct al ei este deasupra originii, în $(0;1,2)$, fiindcă $\sqrt{1,44}=1,2$. La fel se întâmplă când expresia de sub radical este o parabolă cu ramurile în sus, așezată toată deasupra axei. Ca să arăți, invers, că domeniul nu este $\mathbb{R}$, îți ajunge o singură intrare care face expresia negativă.

8. Cum se leagă domeniul de mulțimea valorilor?

Pentru un radical dintr-o expresie afină, domeniul este o semidreaptă, iar expresia de sub radical ia pe ea toate valorile nenegative. De aceea mulțimea valorilor este $[0,+\infty )$, oricare ar fi coeficienții: forma domeniului se schimbă, imaginea nu.

Când expresia de sub radical este o parabolă cu ramurile în jos, domeniul devine un interval mărginit, iar expresia nu depășește ordonata vârfului. Atunci și mulțimea valorilor este mărginită: de la zero, în capete, până la radicalul acelei ordonate. Graficul unei asemenea funcții pornește de pe axă, urcă până deasupra vârfului parabolei și coboară înapoi pe axă. Aceeași figură îți dă deci și domeniul, și marginea de sus a imaginii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește domeniul pe grafic și confirmă-l

Figura B arată graficul funcției $f(x)=\sqrt{x+12}$. Citește domeniul maxim, punctul de pornire și mulțimea valorilor. Confirmă domeniul prin condiția de existență și calculează valorile în $-3$ și în $4$.

Rezolvare. Curba pornește din punctul plin $(-12;0)$ și merge spre dreapta, urcând tot mai încet. Proiecția pe axa $Ox$ începe în minus doisprezece, iar proiecția pe $Oy$ începe în zero, deci $D=[-12,+\infty )$ și $\mathrm{Im}f=[0,+\infty )$.

Condiția de existență este $x+12\ge 0$, adică $x\ge -12$, exact ce arată figura. Valorile sunt $\sqrt{-3+12}=\sqrt{9}=3$ și $\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$, deci graficul trece prin $(-3;3)$ și $(4;4)$.

Observă că domeniul conține numere negative, chiar dacă sub radical nu poate sta un număr negativ. Condiția privește expresia $x+12$, nu intrarea $x$. Intrarea minus trei este negativă, dar expresia de sub radical valorează nouă. Confuzia dintre intrare și expresie este cea mai veche capcană a acestei lecții.

Exemplul 2 — Un coeficient negativ întoarce graficul

Determină domeniul maxim al funcției $g(x)=\sqrt{18-4x}$ și descrie graficul ei, reprezentat în figura C. Calculează valorile în $0,5$ și în $-4,5$.

Rezolvare. Condiția este $18-4x\ge 0$, adică $-4x\ge -18$. Împărțim la minus patru și schimbăm sensul: $x\le \frac{9}{2}$. Domeniul este $D=\left(-\infty ,\frac{9}{2}\right]$.

Graficul pornește din punctul plin $\left(\frac{9}{2};0\right)$ și merge spre stânga, urcând. Funcția scade pe domeniu: cu cât intrarea e mai mare, cu atât expresia de sub radical e mai mică. Valorile cerute sunt $\sqrt{18-2}=\sqrt{16}=4$ și $\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6$.

Figura confirmă și ce nu vedem în formulă: ramura continuă spre stânga fără oprire, deci funcția nu are o cea mai mare valoare, iar mulțimea valorilor este tot $[0,+\infty )$. Un domeniu care conține numere negative nu contrazice condiția de existență: negativă nu are voie să fie expresia de sub radical, nu intrarea.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: domeniul pe axa greșită

Un elev privește graficul funcției $h(x)=\sqrt{x-5}+2$, din figura D, și scrie: „graficul pornește de la înălțimea doi, deci domeniul este $[2,+\infty )$”. Unde greșește? Scrie corect domeniul și mulțimea valorilor.

Rezolvare. Punctul de pornire este $(5;2)$. Elevul a luat ordonata lui, care privește mulțimea valorilor, și a pus-o în locul abscisei. Domeniul se citește pe axa $Ox$ și vine din condiția $x-5\ge 0$: $D=[5,+\infty )$.

Numărul doi, adunat în afara radicalului, a ridicat graficul cu două unități, deci $\mathrm{Im}h=[2,+\infty )$. Controlul pe un punct: în abscisa nouă, $\sqrt{9-5}+2=4$, iar punctul $(9;4)$ este pe figură.

Exemplul 4 — Expresia de sub radical, dată prin grafic

Figura E reprezintă graficul funcției $E(x)=24+10x-x^2$, o parabolă cu ramurile în jos. Folosește figura ca să determini domeniul maxim al funcției $f(x)=\sqrt{24+10x-x^2}$. Calculează cea mai mare valoare a lui $f$ și scrie mulțimea valorilor.

Rezolvare. Parabola taie axa $Ox$ în abscisele minus doi și doisprezece; controlul este $24-20-4=0$ și $24+120-144=0$. Între ele parabola stă deasupra axei, iar în afara lor sub axă. Domeniul funcției $f$ este porțiunea în care parabola nu coboară sub axă: $[-2,12]$.

Pe acest interval expresia de sub radical ia valori de la zero până la vârful parabolei, citit în $(5;49)$: $24+50-25=49$. Cea mai mare valoare a lui $f$ este $\sqrt{49}=7$, atinsă în cinci, iar cea mai mică este zero, în capete. Mulțimea valorilor este $[0,7]$.

Nu a fost nevoie de nicio formulă pentru rădăcinile parabolei: le-am citit pe grafic și le-am confirmat prin înlocuire. Dacă figura ar fi arătat zerourile între două gradații, am fi scris încadrarea lor și am fi lăsat calculul exact pentru clasa a X-a.

Exemplul 5 — Legea lui Torricelli: formula și vasul

Un vas cilindric înalt de $2$ m are un orificiu mic la $0,2$ m de fund. Când nivelul apei, măsurat de la fund, este $x$ metri, apa iese prin orificiu cu viteza $v(x)=\sqrt{20x-4}$, în metri pe secundă (figura F). Care este domeniul maxim al formulei și ce se întâmplă cu jetul în capătul lui? Între ce valori se află viteza cât timp nivelul coboară de la vasul plin până la orificiu?

Rezolvare. Condiția de existență este $20x-4\ge 0$, adică $x\ge 0,2$: $D=[0,2;+\infty )$. Capătul are un sens fizic: la nivelul orificiului, viteza este $\sqrt{0}=0$ și jetul se oprește. Cât timp vasul se golește, nivelul coboară de la $2$ m la $0,2$ m.

Funcția este crescătoare, deci vitezele merg de la zero până la $\sqrt{40-4}=\sqrt{36}=6$ m/s, când vasul este plin. Pe parcurs, la nivelul de un metru viteza este $\sqrt{16}=4$ m/s, iar la $0,65$ m este $\sqrt{13-4}=3$ m/s. Formula vine din legea lui Torricelli, cu accelerația gravitațională rotunjită la zece metri pe secundă pătrat și fără pierderi prin frecare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{2x+11}$, unde $D$ este domeniul maxim de definiție. Determinați $D$. Determinați numărul real $a\in D$ pentru care $f(a)=5$.

Rezolvare. Condiția $2x+11\ge 0$ dă $x\ge -\frac{11}{2}$, deci $D=\left[-\frac{11}{2},+\infty \right)$. Egalitatea $\sqrt{2a+11}=5$ cere $2a+11=25$, de unde $a=7$, care aparține domeniului. Controlul: $\sqrt{2\cdot 7+11}=\sqrt{25}=5$. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor de la Subiectul I, nu un subiect oficial.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi condiția de existență, apoi intervalul. Pe grafice, citește abscisa punctului de pornire și direcția curbei.

1. Determină domeniul maxim al funcției $f(x)=\sqrt{x-8}$.

2. Care dintre funcțiile $a(x)=\sqrt{x^2+2,25}$, $b(x)=\sqrt{x^2-2,25}$, $c(x)=\sqrt{2,25-x^2}$ și $d(x)=\sqrt{(x-1,5{)}^2}$ au domeniul maxim $\mathbb{R}$? Pentru celelalte, dă o intrare care nu este în domeniu.

3. Determină domeniul maxim al funcției $f(x)=\sqrt{17-5x}$ și spune în ce sens merge graficul. Calculează apoi valoarea funcției în $-1,6$.

4. Care dintre numerele $1$, $\frac{5}{3}$, $2$ și $-4$ aparțin domeniului maxim al funcției $f(x)=\sqrt{3x-5}$?

5. Figura G arată graficul funcției $k(x)=\sqrt{6-x}-1$. Citește domeniul, mulțimea valorilor și punctul în care graficul taie axa $Ox$, apoi confirmă prin calcul.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Graficele funcțiilor $f(x)=\sqrt{3x+8}$ și $g(x)=\sqrt{8-3x}$ au exact un punct comun.

7. (Problemă aplicată.) Un corp de $2$ kg primește energia $E$, în jouli, iar $8$ J se pierd prin frecare la pornire. Viteza cu care pleacă este $v(E)=\sqrt{E-8}$ m/s, iar dispozitivul poate da cel mult $108$ J. Care este cea mai mică energie pentru care formula dă o viteză? Ce energie îi trebuie ca să plece cu $6$ m/s? Cu câți jouli în plus trece de la $5$ m/s la $10$ m/s?

8. Poate fi funcția $f(x)=\sqrt{2x+1}$ definită pe tot intervalul $[-3;4]$? Scrie cel mai mare interval inclus în $[-3;4]$ pe care formula are sens și valorile pe care le ia acolo.

9. Trasează digital dreptele $y=x+3$ și $y=5-x$. Citește pe desen porțiunea în care ambele stau de aceeași parte a axei $Ox$ și scrie domeniul maxim al funcției $f(x)=\sqrt{(x+3)(5-x)}$. Confirmă pe o intrare din domeniu și pe una din afara lui.

10. Figura H arată graficul funcției $E(x)=x^2+2x-24$. Folosește-l ca să scrii domeniul maxim al funcției $f(x)=\sqrt{x^2+2x-24}$ și confirmă prin calcul punctele citite.

11. Graficul unei funcții de forma $f(x)=\sqrt{ax+b}$ pornește din punctul $(5;0)$ și trece prin $(7;2)$. Determină $a$ și $b$.

12. Graficul unei funcții cu radical pornește din punctul plin $(-3;2)$ și merge spre stânga, urcând fără limită. Scrie domeniul și mulțimea valorilor.

13. Determină domeniul maxim al funcției $f(x)=\sqrt{1-\frac{x}{4}}$.

14. Scrie o funcție de forma $\sqrt{ax+b}$ cu domeniul maxim $[2,+\infty )$ și una cu domeniul maxim $(-\infty ,2]$, alta decât simpla oglindire a primei. Verifică fiecare răspuns prin condiția de existență.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{7x-21}$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\left[-\frac{1}{8},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{8x+1}$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați cel mai mare număr întreg din domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{23-4x}$.

18. (Provocare.) Câte puncte ale graficului funcției $f(x)=\sqrt{30-3x}$ au ambele coordonate numere naturale? Scrie-le.

Răspunsuri și explicații

1. Condiția $x-8\ge 0$ dă $x\ge 8$, deci $D=[8,+\infty )$. Graficul pornește din $(8;0)$ spre dreapta.

2. Domeniul $\mathbb{R}$ îl au $a$ și $d$: $x^2+2,25\ge 2,25>0$, iar $(x-1,5{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$. Celelalte nu: pentru $b$, intrarea $0$ dă $-2,25$ sub radical; pentru $c$, intrarea $2$ dă $2,25-4=-1,75$.

3. Condiția $17-5x\ge 0$ dă $x\le 3,4$, deci $D=(-\infty ;3,4]$, iar graficul pornește din $(3,4;0)$ spre stânga. Valoarea cerută este $f(-1,6)=\sqrt{17+8}=\sqrt{25}=5$.

4. Condiția $3x-5\ge 0$ înseamnă $x\ge \frac{5}{3}$. Aparțin domeniului $\frac{5}{3}$, unde expresia de sub radical este zero, și $2$, unde este unu. Numerele $1$ și $-4$ dau expresii negative: $3-5=-2$ și $-12-5=-17$.

5. Graficul pornește din punctul plin $(6;-1)$ și merge spre stânga, urcând. Domeniul este $(-\infty ,6]$, iar mulțimea valorilor $[-1,+\infty )$. Graficul taie axa $Ox$ când $\sqrt{6-x}=1$, adică la $x=5$: $\sqrt{1}-1=0$, în punctul $(5;0)$.

6. Adevărat. Domeniile sunt $\left[-\frac{8}{3},+\infty \right)$ și $\left(-\infty ,\frac{8}{3}\right]$, deci graficele se pot întâlni doar pentru $x\in \left[-\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right]$. Valorile sunt egale când expresiile sunt egale: $3x+8=8-3x$ dă $x=0$. Punctul comun este $\left(0;\sqrt{8}\right)$; pentru orice altă intrare din acest interval expresiile diferă, deci și radicalii.

7. Condiția $E-8\ge 0$ dă cea mai mică energie, $8$ J: atunci viteza este $\sqrt{0}=0$, adică toată energia se pierde prin frecare și corpul abia nu pornește. Pentru $6$ m/s trebuie $E-8=36$, deci $E=44$ J. La $5$ m/s energia este $25+8=33$ J, la $10$ m/s este $100+8=108$ J, deci trebuie cu $75$ J în plus: dublarea vitezei cere mult mai mult decât dublarea energiei.

8. Nu: condiția $2x+1\ge 0$ dă $D=[-0,5;+\infty )$, iar intrările din $[-3;-0,5)$ fac expresia negativă, de exemplu $x=-3$ dă $-5$. Cel mai mare interval potrivit este $[-0,5;4]$. Funcția crește, deci valorile merg de la $f(-0,5)=0$ la $f(4)=\sqrt{9}=3$: mulțimea lor este $[0,3]$.

9. Pe desen, dreapta $y=x+3$ stă deasupra axei $Ox$ la dreapta lui $-3$, iar dreapta $y=5-x$ la stânga lui $5$. Între $-3$ și $5$ amândouă sunt deasupra axei, deci produsul este pozitiv, iar în capete este zero; în afara acestui interval o dreaptă este deasupra și cealaltă dedesubt. Prin urmare $D=[-3,5]$. Controlul: $x=0$ dă $\sqrt{3\cdot 5}=\sqrt{15}$, iar $x=6$ dă $9\cdot (-1)=-9$ sub radical.

10. Parabola taie axa $Ox$ în $-6$ și $4$: $36-12-24=0$ și $16+8-24=0$. Ea stă deasupra axei în afara acestor puncte, deci domeniul este $(-\infty ,-6]\cup [4,+\infty )$. Între ele parabola e sub axă, de exemplu $E(0)=-24$, iar acolo radicalul nu are sens.

11. Punctul de pornire dă $5a+b=0$, iar al doilea punct dă $7a+b=4$, fiindcă radicalul lui patru este doi. Scăzând, $2a=4$, deci $a=2$ și $b=-10$: $f(x)=\sqrt{2x-10}$. Controlul: $\sqrt{14-10}=2$.

12. Domeniul este proiecția pe $Ox$: $(-\infty ,-3]$. Mulțimea valorilor este proiecția pe $Oy$: $[2,+\infty )$. Un exemplu de formulă cu acest grafic este $\sqrt{-3-x}+2$.

13. Condiția $1-\frac{x}{4}\ge 0$ dă $\frac{x}{4}\le 1$, adică $x\le 4$. Domeniul este $D=(-\infty ,4]$.

14. Un răspuns posibil: $\sqrt{3x-6}$, cu condiția $3x-6\ge 0$, adică $x\ge 2$, și $\sqrt{4-2x}$, cu condiția $4-2x\ge 0$, adică $x\le 2$. Orice pereche cu expresii care se anulează în doi, cu coeficientul lui $x$ pozitiv, respectiv negativ, este corectă.

15. Punctul este $(3;0)$. Pe axa $Ox$ ordonata e zero, deci $7x-21=0$ și $x=3$, capătul domeniului; controlul este $\sqrt{21-21}=0$. Graficul pornește chiar din acest punct.

16. Punctul este $(0;1)$. Numărul zero aparține domeniului, fiindcă $8\cdot 0+1=1\ge 0$, iar valoarea în zero este $\sqrt{1}=1$.

17. Condiția $23-4x\ge 0$ dă $x\le \frac{23}{4}=5,75$, deci domeniul este $\left(-\infty ;5,75\right]$. Cel mai mare număr întreg din el este $5$: $23-4\cdot 5=3\ge 0$, iar pentru $6$ expresia ar fi $23-24=-1$.

18. Două puncte: $(7;3)$ și $(10;0)$. Domeniul este $(-\infty ,10]$, deci abscisele naturale posibile sunt $0,1,\dots ,10$. Expresia $30-3x$ dă pentru ele multiplii lui trei de la $30$ în jos: $30,27,24,\dots ,3,0$. Dintre aceștia, pătrate perfecte sunt numai $9$, pentru $x=7$, și $0$, pentru $x=10$.

De reținut

• Domeniul maxim al unei formule cuprinde toate numerele pentru care fiecare operație are sens; radicalul de ordin 2 cere expresia de sub el mai mare sau egală cu zero.
• Pentru $\sqrt{ax+b}$, graficul pornește din punctul plin $\left(-\frac{b}{a};0\right)$ și merge spre dreapta dacă $a>0$, spre stânga dacă $a<0$.
• Pe un grafic dat, domeniul este proiecția pe axa $Ox$, iar mulțimea valorilor proiecția pe axa $Oy$.
• Când expresia de sub radical nu poate fi negativă, de exemplu un pătrat adunat cu un număr pozitiv, domeniul maxim este $\mathbb{R}$; o singură intrare care o face negativă arată contrariul.
• Când expresia de sub radical e dată prin grafic, domeniul este porțiunea în care graficul ei nu coboară sub axa $Ox$; punctele în care o atinge sunt incluse.

Greșeli frecvente

• Pui condiția pe intrare, nu pe expresia de sub radical. Scrii $x\ge 0$ pentru orice radical și copiezi domeniul lui $\sqrt{x}$. Pentru $\sqrt{18-4x}$ domeniul este o semidreaptă spre stânga, care conține și numere negative.
• Scrii ca domeniu doar numărul care anulează expresia. Zeroul expresiei este capătul domeniului, nu tot domeniul. Rezolvă inecuația, nu ecuația.
• Citești domeniul pe axa verticală. Ordonata punctului de pornire aparține mulțimii valorilor. Domeniul se citește pe axa $Ox$.
• Crezi că orice funcție cu radical este crescătoare. Când coeficientul lui $x$ este negativ, expresia de sub radical scade, iar funcția scade odată cu ea. Verifică pe două intrări din domeniu înainte să scrii monotonia.
• Păstrezi porțiunea dintre zerouri la orice parabolă de sub radical. Când ramurile urcă, parabola e sub axă tocmai între zerouri, iar domeniul este format din cele două semidrepte exterioare. Privește pe desen unde curba este deasupra axei, nu doar unde o taie.

Aplică acasă

1. Fă o gaură mică într-o sticlă de plastic, la câțiva centimetri de fund, și umple sticla cu apă. Marchează pe sticlă trei niveluri și măsoară cât de departe ajunge jetul pentru fiecare. Observă nivelul la care jetul se oprește și explică legătura lui cu capătul domeniului formulei lui Torricelli.
2. Explică unui membru al familiei, fără să scrii formule, de ce funcția $\sqrt{x+9}$ acceptă intrarea minus patru, deși sub radical nu are voie să stea un număr negativ. Notează întrebările pe care ți le pune și cum le-ai răspuns, apoi scrie în două rânduri ce parte a explicației a fost cea mai greu de înțeles.
3. Cu un coleg, jucați „detectivul domeniului”: unul trasează digital o funcție cu radical și ascunde formula, celălalt citește punctul de pornire și direcția, propune o formulă și o suprapune peste grafic. Schimbați rolurile de trei ori și notați câte încercări a cerut fiecare formulă.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă o regulă algebrică, expresia de sub radical nenegativă, de o imagine: punctul din care pornește graficul și direcția lui. Întrebarea de control potrivită este „de unde pornește graficul și încotro merge?”, pusă înaintea oricărui calcul. Un elev care răspunde corect prin zeroul expresiei și prin semnul coeficientului a înțeles de ce domeniul este o semidreaptă.

La științe ale naturii, lecția se oprește la un singur radical dintr-o expresie afină sau dintr-o expresie al cărei grafic este dat. Sistemele de condiții, radicalii aflați la numitor și rezolvarea algebrică a inecuațiilor de gradul al doilea sub radical se tratează la clasa a X-a, odată cu radicalii și ecuațiile cu radicali. Recomandăm, în schimb, cel puțin o problemă aplicată în care elevii explică ce înseamnă fizic capătul domeniului: nivelul la care jetul se oprește sau energia de la care un corp abia pornește.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: unitatea de funcții numește funcția radical de ordin 2 și funcțiile obținute prin compunere cu funcții afine, iar competența IX.CS.1.6 cere recunoașterea domeniului de definiție pe reprezentări grafice date. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția radical, cu domeniul $[0,+\infty )$ pentru ordinul par, și ecuațiile cu radicali, la materia clasei a X-a. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință cu două funcții de gradul I, nu una cu radical; la Subiectul al III-lea apare o funcție cu radical, cu expresia de sub radical pozitivă pentru orice număr real. Exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: domeniul de definiție al funcției cu radical. Pentru notația intervalelor, revedeți intervalele nemărginite din clasa a VIII-a. Lecția anterioară este funcția radical de ordin 2 la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre domeniul funcției cu radical?

Varianta M2 lucrează cu un singur radical dintr-o expresie afină sau dintr-o expresie dată prin grafic și leagă fiecare domeniu de punctul de pornire al curbei. Nu cuprinde sisteme de condiții, radicali la numitor sau inecuații de gradul al doilea rezolvate algebric. În schimb, citește domeniul și mulțimea valorilor pe grafice și leagă capătul domeniului de sensul lui fizic într-un model.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 îmi folosește domeniul funcției cu radical?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția radical și ecuațiile cu radicali la materia clasei a X-a, iar condiția de existență este primul pas al oricărei asemenea cerințe. În modelul publicat pentru 2026, Subiectul I nu are radicali; o funcție cu radical apare la Subiectul al III-lea, unde e definită pe toată axa. Pentru proba MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

De ce graficul lui $\sqrt{ax+b}$ pornește exact de pe axa $Ox$?

Capătul domeniului este intrarea care anulează expresia de sub radical. Acolo radicalul valorează zero, deci punctul de pornire are ordonata zero și se află pe axa $Ox$. Dacă funcția mai conține un număr adunat în afara radicalului, punctul de pornire urcă sau coboară cu acel număr și nu mai este pe axă.

Cum aflu domeniul dacă am doar graficul funcției?

Proiectează graficul pe axa orizontală: coboară sau urcă din fiecare punct al curbei până la $Ox$ și privește ce porțiune a axei acoperi. Capetele marcate cu punct plin intră în domeniu, cele cu cerc gol nu. Abscisa punctului de pornire este capătul domeniului, iar direcția ramurii arată încotro se întinde el.

Ce legătură are domeniul lui $\sqrt{ax+b}$ cu graficul dreptei $y=ax+b$?

Domeniul este mulțimea absciselor pentru care dreapta se află pe axa $Ox$ sau deasupra ei. Punctul în care dreapta taie axa este capătul domeniului, iar panta arată direcția: o dreaptă care urcă stă deasupra axei la dreapta acestui punct, una care coboară stă deasupra la stânga lui. Graficul radicalului pornește chiar din acel punct.

Ce fac când expresia de sub radical este dată printr-un grafic?

Cauți porțiunile în care graficul expresiei se află pe axa $Ox$ sau deasupra ei și le proiectezi pe axa orizontală. Punctele în care graficul atinge sau taie axa sunt incluse, fiindcă acolo expresia este zero. Confirmă fiecare punct citit înlocuindu-l în formula expresiei.