Cum aflu latura unui cub cu volumul dat?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Radicalul de ordin 3 pe grafic

Latura este radicalul de ordinul trei din volum: $l = 3 V$ , fiindcă $V = l^{3}$ . Dacă $V = 343$ cm³, atunci $l = 7$ cm, deoarece $7^{3} = 343$ . Când volumul nu este un cub exact, încadrezi rezultatul: pentru $V = 100$ cm³, $4, 6 4^{3} \approx 99, 9$ și $4, 6 5^{3} \approx 100, 5$ , deci $l \approx 4, 64$ cm. Unitatea laturii se obține din cea a volumului: din cm³ rezultă cm.

Rădăcina cubică a unui număr real $a$ este acel număr unic care, ridicat la puterea a treia, redă exact pe $a$ . Pentru că ridicarea la cub nu schimbă semnul, radicalul există și pentru numerele negative: rezultatul are întotdeauna semnul numărului de sub radical.

Funcția $f (x) = 3 x$ are ca domeniu și ca mulțime a valorilor toată axa reală. Graficul trece prin origine, singurul lui punct aflat pe axe, urcă de la stânga la dreapta și are forma unui S culcat: foarte abrupt lângă origine, tot mai culcat departe de ea, dar fără vreun nivel pe care să nu-l depășească.

Graficul este simetric față de origine, deci odată cu un punct $(a; b)$ conține și punctul $(- a; - b)$ . O formulă de tipul $3 x - p + q$ mută curba cu $p$ unități pe orizontală și cu $q$ pe verticală, iar centrul de simetrie ajunge în $(p; q)$ .

Pe un domeniu restrâns, numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ se citește cu o orizontală: pe toată axa există mereu exact o soluție, dar pe un interval doar nivelurile dintre valorile de la capete sunt atinse. Citirile de pe grafic se confirmă ridicând la cub nivelul citit. În științe, radicalul de ordinul trei apare când o lungime se obține dintr-o mărime proporțională cu un volum.

De reținut

$3 a = b ⟺ b^{3} = a$ , pentru orice $a$ real
$3 - a = - 3 a$
volum de $k$ ori mai mare înseamnă latură de $3 k$ ori mai mare

Greșeala tipică

Se împarte volumul la $3$ în loc de a extrage radicalul de ordinul trei; pentru $343$ cm³ latura este $7$ cm, nu aproximativ $114$ cm.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $3 - \frac{1000}{27}$ ?
- a) $\frac{10}{3}$
- b) $- \frac{10}{3}$
- c) Nu există în $R$ .
- d) $- \frac{10}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{10}{3}$

Cubul lui $- \frac{10}{3}$ este $- \frac{1000}{27}$ , iar radicalul de ordinul trei păstrează semnul.
Care dintre punctele următoare se află pe graficul funcției $f (x) = 3 x$ ?
- a) $(- 512; 8)$
- b) $(512; - 8)$
- c) $(- 512; - 8)$
- d) $(- 256; - 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(- 512; - 8)$

Cubul lui $- 8$ este $- 512$ , deci $3 - 512 = - 8$ : radicalul de ordinul trei păstrează semnul numărului.
Care este centrul de simetrie al graficului funcției $g (x) = 3 x - 5 + 3$ ?
- a) $(- 5; 3)$
- b) $(3; 5)$
- c) $(5; - 3)$
- d) $(5; 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(5; 3)$

Expresia de sub radical se anulează pentru $x = 5$ , iar constanta adunată este $3$ , deci centrul este $(5; 3)$ .

Întrebări conexe

Cum crește raza unui nucleu atomic cu numărul de masă?

Raza se estimează prin $R = R_{0} 3 A$ , cu $R_{0} \approx 1, 2$ fm. Pentru $A = 27$ obții $R \approx 1, 2 \cdot 3 = 3, 6$ fm, iar pentru $A = 216$ , $R \approx 1, 2 \cdot 6 = 7, 2$ fm. Numărul de masă a crescut de opt ori, dar raza doar de două ori.

Câte soluții are ecuația $3 x = m$ pe $R$ ?

Exact una, pentru orice număr real $m$ : soluția este $x = m^{3}$ . De exemplu, $3 x = - 1, 5$ dă $x = - 3, 375$ . Funcția radical de ordinul trei este strict crescătoare și ia toate valorile reale, deci orice orizontală îi taie graficul o singură dată.

Cum rezolv ecuația $3 2 x - 1 = 3$ ?

Ridici ambii membri la puterea a treia: $2 x - 1 = 27$ , deci $x = 14$ . Nu e nevoie de condiții de existență, pentru că radicalul de ordinul trei este definit pentru orice număr real. Proba: $3 28 - 1 = 327 = 3$ .

De ce $3 - 27$ există, dar $- 27$ nu?

Cubul unui număr negativ este negativ: $(- 3)^{3} = - 27$ , deci $3 - 27 = - 3$ . Pătratul oricărui număr real este însă nenegativ, așa că niciun număr real ridicat la pătrat nu dă $- 27$ . De aceea radicalul de ordinul trei acceptă orice argument, iar cel de ordinul doi doar argumente nenegative.

Ce distanță medie de Soare are un corp cu perioada de $8$ ani?

Cu perioada în ani și distanța în unități astronomice, a treia lege a lui Kepler se scrie $T^{2} = a^{3}$ , deci $a = 3 T^{2}$ . Pentru $T = 8$ ani, $T^{2} = 64$ și $a = 364 = 4$ UA. Verificare: $a^{3} = 64 = T^{2}$ . Un corp de patru ori mai depărtat decât Pământul are perioada de opt ori mai mare.

Oamenii mai întreabă și: latura cubului din volum · radical de ordinul 3 din volum · cât are latura unui cub de 343 cm cubi · cum aflu muchia cubului

Cum aflu latura unui cub cu volumul dat?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum crește raza unui nucleu atomic cu numărul de masă?

Câte soluții are ecuația 3x​=m pe R?

Cum rezolv ecuația 32x−1​=3?

De ce 3−27​ există, dar −27​ nu?

Ce distanță medie de Soare are un corp cu perioada de 8 ani?

Continuă cu

Câte soluții are ecuația $3 x = m$ pe $R$ ?

Cum rezolv ecuația $3 2 x - 1 = 3$ ?

De ce $3 - 27$ există, dar $- 27$ nu?

Ce distanță medie de Soare are un corp cu perioada de $8$ ani?