Teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un laborator, orice măsurătoare se împarte în două: partea care se explică prin model și partea care rămâne — abaterea. Împărțirea polinoamelor face exact același lucru cu o expresie algebrică: o desface într-o parte care „se cuprinde" exact în împărțitor și un rest care nu mai încape. Lecția de față, din suplimentul de clasa a XII-a pentru profilul științe ale naturii (M2), duce această operație acolo unde coeficienții nu mai sunt numere reale, ci elemente ale unui corp oarecare — și arată că tot algoritmul se sprijină pe o singură proprietate a corpului. Tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureatul M2 2027–2029: împărțirea polinoamelor peste un corp comutativ e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), pe când programa nouă a clasei a XII-a nu o mai cuprinde. Amândouă uneltele lecției — împărțirea cu rest a polinoamelor și schema lui Horner — au fost construite la clasa a IX-a, cu coeficienți reali. Aici nu le construim din nou — le reluăm peste un corp și cheltuim cuvintele pe singurul lucru care se schimbă: coeficientul dominant al împărțitorului nu se mai împarte, ci se inversează.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți complet teorema împărțirii cu rest, cu toate condițiile ei, și să explici de ce gradul restului e mărginit de gradul împărțitorului.
Vei ști să arăți unde anume se sprijină algoritmul pe ipoteza că $K$ e corp.
Vei ști să duci la capăt o împărțire efectivă în $K [X]$ , chiar și cu împărțitor nemonic.
Vei ști să faci aceeași împărțire în $Z_{3} [X]$ , reducând fiecare coeficient pe măsură ce îl obții.
Vei ști să folosești schema lui Horner peste un corp și să citești din ea câtul, restul și valoarea $f (a)$ .
Vei ști să faci proba oricărei împărțiri, înmulțind înapoi: $f = g q + r$ .

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune teorema împărțirii cu rest peste un corp?

Împărțirea cu rest în $K [X]$ este operația prin care, din deîmpărțitul $f$ și din împărțitorul $g$ nenul, amândouă cu coeficienți în corpul comutativ $K$ , se obțin două polinoame unice — câtul $q$ și restul $r$ —, legate prin $f = g q + r$ , cu restul nul sau de grad strict mai mic decât al împărțitorului. Enunțul e cel din clasa a IX-a, cu o singură schimbare: în loc de „coeficienți reali" se spune „coeficienți în corpul $K$ ".

Teorema împărțirii cu rest. Fie $f$ și $g$ două polinoame cu coeficienți în corpul comutativ $K$ , cu $g$ nenul. Atunci există și sunt unice polinoamele $q$ și $r$ din $K [X]$ astfel încât $f = g q + r$ , unde fie $r$ este polinomul nul, fie $grad r < grad g$ .

Condiția asupra gradului restului nu e un amănunt de redactare, ci chiar inima teoremei: fără ea, egalitatea $f = g q + r$ ar putea fi scrisă în nenumărate feluri și cuvintele „cât" și „rest" n-ar mai desemna nimic anume. Ia oricare pereche care merge și înlocuiește $q$ cu $q + g$ , iar $r$ cu $r - g^{2}$ : egalitatea se păstrează, dar noul „rest" are gradul mult prea mare.

Cuvântul unice merită și el o clipă de atenție, pentru că pe el se sprijină toate cerințele de la examen care cer „restul împărțirii". Dacă restul n-ar fi unic, întrebarea „care este restul?" n-ar avea un răspuns, ci o listă.

2. Unde intervine faptul că $K$ este corp?

Într-un singur loc, dar decisiv. Uită-te la ce faci la fiecare rundă a împărțirii în coloană: cauți cu ce anume trebuie înmulțit împărțitorul ca să dispară termenul dominant al restului parțial — adică împarți cei doi coeficienți dominanți. Într-un corp, „a împărți la $b$ " înseamnă „a înmulți cu inversul lui $b$ ", iar inversul există pentru orice element nenul — exact ce garantează definiția corpului.

Nimic altceva din algoritm nu cere ceva special: scăderile și înmulțirile merg în orice inel. Reține deci concluzia sub forma ei cea mai utilă: împărțirea cu rest se poate face ori de câte ori coeficientul dominant al împărțitorului are invers. Când $K$ este corp, condiția e îndeplinită automat, indiferent cu ce împărțim.

Pentru $Z_{3}$ tabelul inverselor se învață dintr-o privire, fiindcă fiecare clasă nenulă e propria ei inversă:

$a$	$\hat{1}$	$\hat{2}$
$a^{- 1}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$

Într-adevăr, $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4} = \hat{1}$ . În $Z_{2}$ tabelul e și mai scurt: singurul element nenul este $\hat{1}$ , care e propriul invers, deci acolo orice împărțitor nenul de gradul întâi se comportă ca unul monic.

⚠️ Aici, în unitatea de polinoame, notația $x^{- 1}$ înseamnă inversul unui element al corpului, adică elementul cu care înmulțit dă $1$ . Nu are nicio legătură cu vreo altă notație cu exponent negativ întâlnită la analiză.

3. Cum arată împărțirea în coloană, pas cu pas?

Procedeul e cel știut: la fiecare rundă se elimină termenul dominant al restului parțial, iar gradul scade strict, deci după un număr finit de pași coborâm sub gradul împărțitorului și ne oprim.

Îl urmărim pe $f = 3 X^{3} - 4 X^{2} + 9 X - 7$ împărțit la $g = X^{2} + 7$ , în $Q [X]$ .

Runda 1. Împărțim termenii dominanți: $3 X^{3} : X^{2} = 3 X$ . Înmulțim înapoi, $3 X (X^{2} + 7) = 3 X^{3} + 21 X$ , și scădem din $f$ . Rămâne $- 4 X^{2} - 12 X - 7$ .

Runda 2. $- 4 X^{2} : X^{2} = - 4$ . Înmulțim, $- 4 (X^{2} + 7) = - 4 X^{2} - 28$ , și scădem. Rămâne $- 12 X + 21$ , de gradul întâi, deci mai mic decât gradul $2$ al împărțitorului: ne oprim.

$3 X^{3} - 4 X^{2} + 9 X - 7 = (X^{2} + 7) (3 X - 4) + (- 12 X + 21) .$

Observă că restul este un polinom de gradul întâi, nu un număr — lucru absolut normal când împărțitorul are gradul al doilea. Numărul de runde se poate prevedea dinainte: e diferența gradelor plus unu, adică aici $3 - 2 + 1 = 2$ .

4. Cum se împarte când împărțitorul nu este monic?

Aici se vede la lucru secțiunea 2. Luăm $f = X^{3} + \hat{2} X^{2} + \hat{1}$ și $g = \hat{2} X + \hat{2}$ , în $Z_{3} [X]$ . Coeficientul dominant al împărțitorului este $\hat{2}$ , iar inversul lui este tot $\hat{2}$ .

Runda 1. Coeficientul dominant al câtului este $\hat{1} \cdot \hat{2}^{- 1} = \hat{1} \cdot \hat{2} = \hat{2}$ , deci primul termen al câtului este $\hat{2} X^{2}$ . Înmulțim înapoi: $\hat{2} X^{2} (\hat{2} X + \hat{2}) = \hat{4} X^{3} + \hat{4} X^{2} = X^{3} + X^{2}$ . Scădem din $f$ și rămâne $(\hat{2} - \hat{1}) X^{2} + \hat{1} = X^{2} + \hat{1}$ .

Runda 2. $\hat{1} \cdot \hat{2} = \hat{2}$ , deci următorul termen al câtului este $\hat{2} X$ . Înmulțim: $\hat{2} X (\hat{2} X + \hat{2}) = X^{2} + X$ . Scădem și rămâne $- X + \hat{1} = \hat{2} X + \hat{1}$ .

Runda 3. $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{1}$ , deci ultimul termen al câtului este $\hat{1}$ . Înmulțim: $\hat{1} (\hat{2} X + \hat{2}) = \hat{2} X + \hat{2}$ . Scădem și rămâne $\hat{1} - \hat{2} = \hat{2}$ , de gradul zero, deci mai mic decât gradul întâi al împărțitorului.

$X^{3} + \hat{2} X^{2} + \hat{1} = (\hat{2} X + \hat{2}) (\hat{2} X^{2} + \hat{2} X + \hat{1}) + \hat{2} .$

Compară cu runda din secțiunea 3: singura deosebire e că, în loc să împărțim numere, am înmulțit cu inversul. Restul mecanismului — înmulțește, scade, coboară — e identic.

5. Împărțirea la $X - a$ : schema lui Horner, reluată

Când împărțitorul este $X - a$ , împărțirea în coloană se strânge într-un tabel cu două rânduri. Regula nu se redemonstrează aici: ea a fost obținută la clasa a IX-a, identificând coeficienții în egalitatea $f = (X - a) q + r$ , iar demonstrația și construcția tabelului sunt acolo, la schema lui Horner. O reluăm ca unealtă, pe scurt:

pe primul rând stau toți coeficienții lui $f$ , de la puterea cea mai mare spre cea mai mică, inclusiv zerourile; pe al doilea, prima celulă repetă coeficientul dominant, iar fiecare celulă nouă se obține adăugând, la coeficientul de deasupra, produsul dintre $a$ și vecina din stânga. Ultima celulă dă restul, celelalte dau coeficienții câtului.

Ce e nou la clasa a XII-a e că regula funcționează neschimbată în orice $K [X]$ , pentru că folosește doar adunarea și înmulțirea din $K$ — nicio împărțire, deci nici inversul din secțiunea 2. Consecința practică: la $X - a$ se poate împărți oriunde, chiar și acolo unde teorema generală n-ar avea ce garanta.

Rămâne valabilă și teorema restului: împărțitorul $X - a$ are gradul întâi, deci restul este o constantă $r$ ; înlocuind $X$ cu $a$ în $f = (X - a) q + r$ obținem $f (a) = 0 \cdot q (a) + r = r$ . Așadar ultima celulă a tabelului este chiar valoarea polinomului în $a$ , iar asta îți dă un control gratuit al întregii scheme.

6. Ce se schimbă la Horner peste $Z_{p}$ ?

Două lucruri, amândouă mici și amândouă surse de puncte pierdute.

Primul: fiecare celulă se reduce. Nu se lasă $\hat{4}$ sau $\hat{6}$ pe rând, pentru că valoarea greșită se propagă până la capăt.

Al doilea: numărul $a$ se citește din forma $X - a$ , iar opusul se calculează în corp. La împărțirea cu $X + \hat{2}$ în $Z_{3} [X]$ se lucrează cu $a = - \hat{2} = \hat{1}$ , nu cu $\hat{2}$ și nici cu $- 2$ . Regula practică: rescrie întâi împărțitorul sub forma $X - a$ , cu $a$ deja redus, și abia apoi începe tabelul.

Îl aplicăm lui $f = \hat{2} X^{3} + X + \hat{1}$ în $Z_{3} [X]$ , împărțit la $X + \hat{2}$ , adică $a = \hat{1}$ . Coeficienții sunt $\hat{2}, \hat{0}, \hat{1}, \hat{1}$ — patru numere, cu $\hat{0}$ pe locul lui $X^{2}$ , care lipsește.

coeficienții lui $f$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{1}$
$a = \hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$
ce reprezintă	coef. lui $X^{2}$	coef. lui $X$	termen liber	restul

Celulele, una câte una: $\hat{2}$ coborât; $\hat{0} + \hat{1} \cdot \hat{2} = \hat{2}$ ; $\hat{1} + \hat{1} \cdot \hat{2} = \hat{3} = \hat{0}$ ; $\hat{1} + \hat{1} \cdot \hat{0} = \hat{1}$ . Citim: $q = \hat{2} X^{2} + \hat{2} X$ și $r = \hat{1}$ .

7. Proba: se înmulțește înapoi

Orice împărțire se încheie cu aceeași mișcare, scurtă și mecanică: înmulțești câtul cu împărțitorul, aduni restul și trebuie să obții deîmpărțitul, coeficient cu coeficient.

Pentru împărțirea din secțiunea 6: $(X + \hat{2}) (\hat{2} X^{2} + \hat{2} X) = \hat{2} X^{3} + \hat{2} X^{2} + \hat{4} X^{2} + \hat{4} X$ . Reducem: $\hat{4} = \hat{1}$ , deci avem $\hat{2} X^{3} + (\hat{2} + \hat{1}) X^{2} + X = \hat{2} X^{3} + X$ , fiindcă $\hat{2} + \hat{1} = \hat{0}$ . Adunăm restul $\hat{1}$ și obținem exact $f$ .

Când împărțitorul este $X - a$ ai chiar două controale, nu unul: proba de mai sus și teorema restului. Pentru exemplul de mai sus, $f (\hat{1}) = \hat{2} + \hat{1} + \hat{1} = \hat{4} = \hat{1}$ , adică exact ultima celulă a tabelului. Dacă cele două nu coincid, greșeala e pe rând și se găsește refăcând celulele de la stânga la dreapta.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, în capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", rândul „Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu $X - a$ , schema lui Horner". Sunt exact cele trei unelte ale lecției de față, iar corpurile de coeficienți numite acolo sunt $Q$ , $R$ , $C$ și $Z_{p}$ cu $p$ prim.

Despre locul din probă, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii. Acolo, Subiectul al II-lea are două probleme de câte trei cerințe: una de calcul cu matrice, cealaltă despre un polinom; structurile algebrice vin din programa de examen din 2014, nu din model. În acel model, cerința despre polinoame pornește de la un polinom dat și cere restul unei împărțiri — gest care este chiar conținutul secțiunilor 5 și 7 din lecție. Cerințele din lecție sunt construite pe rândul de programă de mai sus, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Pentru generația care intră pe programa nouă, teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner se studiază la clasa a IX-a, cu coeficienți reali, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) ele sunt în domeniul Algebră.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Împărțire cu rest de gradul întâi, peste $Q$

Determină câtul și restul împărțirii lui $f = 4 X^{3} - 7 X + 30$ la $g = X^{2} + 6$ , în $Q [X]$ .

Rezolvare. Scriem toți coeficienții lui $f$ : $4, 0, - 7, 30$ — termenul de gradul al doilea lipsește.

Runda 1. $4 X^{3} : X^{2} = 4 X$ . Înmulțim: $4 X (X^{2} + 6) = 4 X^{3} + 24 X$ . Scădem: rămâne $- 31 X + 30$ .

Gradul restului parțial este $1 < 2$ , deci ne oprim după o singură rundă: $q = 4 X$ și $r = - 31 X + 30$ .

Proba: $(X^{2} + 6) \cdot 4 X + (- 31 X + 30) = 4 X^{3} + 24 X - 31 X + 30 = 4 X^{3} - 7 X + 30$ ✓.

Exemplul 2 — Un cât cu coeficienți fracționari

În $Q [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $f = 2 X^{3} + X^{2} - 13 X + 6$ la $g = 2 X - 3$ .

Rezolvare. Împărțitorul nu este monic: coeficientul lui dominant este $2$ , cu inversul $\frac{1}{2}$ .

Runda 1. $2 X^{3} : 2 X = X^{2}$ . Înmulțim: $X^{2} (2 X - 3) = 2 X^{3} - 3 X^{2}$ . Scădem: rămâne $4 X^{2} - 13 X + 6$ .

Runda 2. $4 X^{2} : 2 X = 2 X$ . Înmulțim: $2 X (2 X - 3) = 4 X^{2} - 6 X$ . Scădem: rămâne $- 7 X + 6$ .

Runda 3. $- 7 X : 2 X = - \frac{7}{2}$ . Înmulțim: $- \frac{7}{2} (2 X - 3) = - 7 X + \frac{21}{2}$ . Scădem: rămâne $6 - \frac{21}{2} = - \frac{9}{2}$ .

Deci $q = X^{2} + 2 X - \frac{7}{2}$ și $r = - \frac{9}{2}$ . Observă că, deși deîmpărțitul și împărțitorul aveau coeficienți întregi, câtul și restul au numitori: peste $Q$ nu e nicio problemă, pentru că $Q$ este corp și $2$ are invers acolo.

Exemplul 3 — Împărțire în $Z_{3} [X]$ cu împărțitor nemonic

În $Z_{3} [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $f = X^{3} + X^{2} + \hat{2} X + \hat{1}$ la $g = \hat{2} X + \hat{1}$ .

Rezolvare. Inversul coeficientului dominant al împărțitorului: $\hat{2}^{- 1} = \hat{2}$ .

Runda 1. $\hat{1} \cdot \hat{2} = \hat{2}$ , deci primul termen al câtului este $\hat{2} X^{2}$ ; înmulțim, $\hat{2} X^{2} (\hat{2} X + \hat{1}) = X^{3} + \hat{2} X^{2}$ , și scădem: rămâne $(\hat{1} - \hat{2}) X^{2} + \hat{2} X + \hat{1} = \hat{2} X^{2} + \hat{2} X + \hat{1}$ .

Runda 2. $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{1}$ , deci urmează $X$ ; înmulțim, $X (\hat{2} X + \hat{1}) = \hat{2} X^{2} + X$ , și scădem: rămâne $X + \hat{1}$ .

Runda 3. $\hat{1} \cdot \hat{2} = \hat{2}$ , deci urmează $\hat{2}$ ; înmulțim, $\hat{2} (\hat{2} X + \hat{1}) = X + \hat{2}$ , și scădem: rămâne $\hat{1} - \hat{2} = \hat{2}$ .

Deci $q = \hat{2} X^{2} + X + \hat{2}$ și $r = \hat{2}$ . Proba: $(\hat{2} X + \hat{1}) (\hat{2} X^{2} + X + \hat{2}) = X^{3} + \hat{2} X^{2} + X + \hat{2} X^{2} + X + \hat{2}$ ; grupăm și reducem: $X^{3} + (\hat{2} + \hat{2}) X^{2} + (\hat{1} + \hat{1}) X + \hat{2} = X^{3} + X^{2} + \hat{2} X + \hat{2}$ . Adunând restul $\hat{2}$ obținem $X^{3} + X^{2} + \hat{2} X + \hat{1}$ ✓, fiindcă $\hat{2} + \hat{2} = \hat{1}$ .

Exemplul 4 — Horner în $Z_{3} [X]$ , cu coeficient lipsă

În $Z_{3} [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $f = \hat{2} X^{3} + X^{2} + \hat{2} X + \hat{1}$ la $X - \hat{1}$ .

Rezolvare. Coeficienții sunt $\hat{2}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{1}$ , iar $a = \hat{1}$ .

coeficienții lui $f$	$\hat{2}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{1}$
$a = \hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$

Celulele: se coboară $\hat{2}$ ; apoi $\hat{1} + \hat{1} \cdot \hat{2} = \hat{3} = \hat{0}$ ; apoi $\hat{2} + \hat{1} \cdot \hat{0} = \hat{2}$ ; apoi $\hat{1} + \hat{1} \cdot \hat{2} = \hat{0}$ .

Câtul este $q = \hat{2} X^{2} + \hat{2}$ , iar restul $\hat{0}$ : împărțirea este exactă. Control prin teorema restului: $f (\hat{1}) = \hat{2} + \hat{1} + \hat{2} + \hat{1} = \hat{6} = \hat{0}$ ✓.

Exemplul 5 — Găsește greșeala într-un tabel

Un elev a împărțit $f = 6 X^{2} - 11 X + 24$ la $X - 8$ și a scris rândul lui Horner astfel: $6$ , $37$ , $24$ . A greșit undeva. Găsește celula greșită și scrie tabelul corect.

Rezolvare. Prima celulă e bună: coeficientul dominant se coboară. A doua e și ea corectă: $- 11 + 8 \cdot 6 = - 11 + 48 = 37$ . A treia e greșită: ea trebuie să fie $24 + 8 \cdot 37 = 24 + 296 = 320$ , nu $24$ . Elevul a recopiat coeficientul de deasupra în loc să adune produsul.

coeficienții lui $f$	$6$	$- 11$	$24$
$a = 8$	$6$	$37$	$320$

Deci $q = 6 X + 37$ și $r = 320$ . Controlul care l-ar fi salvat: $f (8) = 6 \cdot 64 - 88 + 24 = 384 - 64 = 320$ . Reține tiparul greșelii: ultima celulă e cea mai des copiată în loc să fie calculată, pentru că acolo atenția scade.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + \hat{2} X^{2} + \hat{1}$ din $Z_{3} [X]$ .

a) Determină restul împărțirii lui $f$ la $X - \hat{2}$ .

b) Determină câtul aceleiași împărțiri, folosind schema lui Horner.

c) Verifică rezultatul de la punctul b) înmulțind înapoi.

Rezolvare. a) Din teorema restului, restul este $f (\hat{2}) = \hat{8} + \hat{2} \cdot \hat{4} + \hat{1}$ . Reducem pe măsură ce calculăm: $\hat{8} = \hat{2}$ și $\hat{4} = \hat{1}$ , deci $f (\hat{2}) = \hat{2} + \hat{2} \cdot \hat{1} + \hat{1} = \hat{2} + \hat{2} + \hat{1} = \hat{5} = \hat{2}$ . Restul este $\hat{2}$ .

b) Coeficienții lui $f$ sunt $\hat{1}, \hat{2}, \hat{0}, \hat{1}$ — patru numere, cu $\hat{0}$ pe locul lui $X$ .

coeficienții lui $f$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$
$a = \hat{2}$	$\hat{1}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{2}$

Celulele: se coboară $\hat{1}$ ; apoi $\hat{2} + \hat{2} \cdot \hat{1} = \hat{4} = \hat{1}$ ; apoi $\hat{0} + \hat{2} \cdot \hat{1} = \hat{2}$ ; apoi $\hat{1} + \hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{5} = \hat{2}$ . Ultima celulă confirmă punctul a). Câtul este $q = X^{2} + X + \hat{2}$ .

c) $(X - \hat{2}) (X^{2} + X + \hat{2}) = X^{3} + X^{2} + \hat{2} X - \hat{2} X^{2} - \hat{2} X - \hat{4}$ . Grupăm: $X^{3} + (\hat{1} - \hat{2}) X^{2} + (\hat{2} - \hat{2}) X - \hat{1}$ , adică $X^{3} + \hat{2} X^{2} + \hat{2}$ . Adunând restul $\hat{2}$ obținem $X^{3} + \hat{2} X^{2} + \hat{4} = X^{3} + \hat{2} X^{2} + \hat{1}$ ✓.

Să exersăm

Înainte de orice tabel: numără coeficienții (trebuie să fie $grad f + 1$ ), rescrie împărțitorul sub forma $X - a$ cu $a$ redus, iar la final fă proba prin înmulțire înapoi.

1. În $Q [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $3 X^{3} - 26 X + 9$ la $X - 9$ .

2. În $Z_{3} [X]$ , determină restul împărțirii lui $X^{3} + X^{2} + X + \hat{1}$ la $X - \hat{2}$ , folosind teorema restului.

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În $Q [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $5 X^{3} + 8 X^{2} - 3$ la $X + 2$ , cu schema lui Horner.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Restul împărțirii unui polinom la un împărțitor de gradul al doilea este întotdeauna un număr."

5. În $Q [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $X^{3} - 4 X^{2} + 9 X - 7$ la $X^{2} + 7$ .

6. În $Z_{3} [X]$ , scrie inversul fiecărui element nenul și explică, într-un rând, de ce tabelul are doar două celule.

7. Reducând modulo $3$ coeficienții lui $7 X^{3} + 5 X^{2} + 4 X$ se obține un polinom din $Z_{3} [X]$ . Scrie-l, apoi determină câtul și restul împărțirii lui la $X - \hat{2}$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În $Z_{3} [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $\hat{2} X^{3} + X^{2} + \hat{2} X + \hat{1}$ la $\hat{2} X + \hat{2}$ .

9. În $Q [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $6 X^{2} - 11 X + 24$ la $X + 5$ .

10. (Problemă aplicată.) Volumul de gaz degajat într-o reacție, în mililitri, este aproximat de $V (t) = 4 t^{3} - 7 t + 30$ , cu $t$ timpul în minute, $t \in [0, 4]$ . Calculează, cu schema lui Horner, volumul la $t = 3$ minute și precizează unitatea de măsură.

11. În $Z_{2} [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $X^{3} + X^{2} + X + \hat{1}$ la $X + \hat{1}$ .

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În $Z_{3} [X]$ , restul împărțirii lui $f$ la $X + \hat{1}$ este $f (\hat{1})$ ."

13. În $Z_{3} [X]$ , determină $m \in Z_{3}$ astfel încât restul împărțirii lui $X^{3} + m X + \hat{1}$ la $X - \hat{1}$ să fie $\hat{0}$ .

14. Explică, în două-trei fraze, de ce schema lui Horner funcționează la fel peste $Q$ și peste $Z_{3}$ , deși împărțirea în coloană cere acolo un pas în plus.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = 7 X^{3} - 4 X^{2} + 9$ din $Q [X]$ . a) Calculează $f (2)$ . b) Determină câtul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ . c) Fă proba înmulțind înapoi.

16. La împărțirea unui polinom $f$ din $Z_{3} [X]$ la $X - \hat{1}$ , rândul de jos al schemei lui Horner a fost $\hat{2}$ , $\hat{2}$ , $\hat{0}$ , $\hat{1}$ . Determină restul și câtul, apoi reconstituie polinomul $f$ .

17. În $Q [X]$ , determină câtul și restul împărțirii lui $9 X^{2} - 4 X + 11$ la $3 X + 2$ și explică de ce restul nu putea avea gradul întâi.

18. (Provocare.) În $Z_{3} [X]$ , determină $m$ și $n$ din $Z_{3}$ astfel încât restul împărțirii lui $f = X^{3} + m X^{2} + n X + \hat{1}$ la $X - \hat{1}$ să fie $\hat{0}$ , iar restul împărțirii aceluiași $f$ la $X + \hat{1}$ să fie $\hat{2}$ .

Răspunsuri și explicații

1. Coeficienții sunt $3, 0, - 26, 9$ , iar $a = 9$ . Rândul lui Horner: $3$ ; $0 + 27 = 27$ ; $- 26 + 243 = 217$ ; $9 + 1953 = 1962$ . Deci $q = 3 X^{2} + 27 X + 217$ și $r = 1962$ . Control: $3 \cdot 729 - 234 + 9 = 2187 - 225 = 1962$ ✓.

2. Restul este $f (\hat{2}) = \hat{8} + \hat{4} + \hat{2} + \hat{1}$ ; reducem: $\hat{2} + \hat{1} + \hat{2} + \hat{1} = \hat{6} = \hat{0}$ . Restul este $\hat{0}$ , deci împărțirea este exactă.

3. Coeficienții sunt $5, 8, 0, - 3$ , iar $a = - 2$ . Rândul: $5$ ; $8 - 10 = - 2$ ; $0 + 4 = 4$ ; $- 3 - 8 = - 11$ . Deci $q = 5 X^{2} - 2 X + 4$ și $r = - 11$ . Control: $5 \cdot (- 8) + 8 \cdot 4 - 3 = - 40 + 29 = - 11$ ✓.

4. Fals. Restul are gradul strict mai mic decât împărțitorul, deci la un împărțitor de gradul al doilea el poate fi și de gradul întâi — ca la exercițiul 5, unde restul este $2 X + 21$ . Afirmația e adevărată numai pentru împărțitori de gradul întâi.

5. Runda 1: $X^{3} : X^{2} = X$ , iar $X (X^{2} + 7) = X^{3} + 7 X$ ; rămâne $- 4 X^{2} + 2 X - 7$ . Runda 2: $- 4$ , iar $- 4 (X^{2} + 7) = - 4 X^{2} - 28$ ; rămâne $2 X + 21$ . Deci $q = X - 4$ și $r = 2 X + 21$ . Proba: $(X^{2} + 7) (X - 4) + 2 X + 21 = X^{3} - 4 X^{2} + 7 X - 28 + 2 X + 21 = X^{3} - 4 X^{2} + 9 X - 7$ ✓.

6. Inversele sunt $\hat{1}^{- 1} = \hat{1}$ și $\hat{2}^{- 1} = \hat{2}$ , pentru că $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4} = \hat{1}$ . Tabelul are două celule fiindcă $Z_{3}$ are trei elemente, iar $\hat{0}$ nu are invers: doar elementele nenule se inversează.

7. Reducerea dă $\hat{7} = \hat{1}$ , $\hat{5} = \hat{2}$ și $\hat{4} = \hat{1}$ , deci polinomul este $X^{3} + \hat{2} X^{2} + X$ . Coeficienții sunt $\hat{1}, \hat{2}, \hat{1}, \hat{0}$ — patru numere, cu $\hat{0}$ pe locul termenului liber — iar $a = \hat{2}$ . Rândul: $\hat{1}$ ; $\hat{2} + \hat{2} = \hat{4} = \hat{1}$ ; $\hat{1} + \hat{2} = \hat{3} = \hat{0}$ ; $\hat{0} + \hat{0} = \hat{0}$ . Deci $q = X^{2} + X$ și $r = \hat{0}$ : împărțirea este exactă.

8. Inversul lui $\hat{2}$ este $\hat{2}$ . Runda 1: $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{1}$ , deci $X^{2}$ ; $X^{2} (\hat{2} X + \hat{2}) = \hat{2} X^{3} + \hat{2} X^{2}$ ; rămâne $(\hat{1} - \hat{2}) X^{2} + \hat{2} X + \hat{1} = \hat{2} X^{2} + \hat{2} X + \hat{1}$ . Runda 2: $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{1}$ , deci $X$ ; $X (\hat{2} X + \hat{2}) = \hat{2} X^{2} + \hat{2} X$ ; rămâne $\hat{1}$ . Cum $grad \hat{1} = 0 < 1$ , ne oprim: $q = X^{2} + X$ și $r = \hat{1}$ .

9. Împărțitorul este $X - (- 5)$ , deci $a = - 5$ . Rândul: $6$ ; $- 11 - 30 = - 41$ ; $24 + 205 = 229$ . Deci $q = 6 X - 41$ și $r = 229$ . Control: $6 \cdot 25 + 55 + 24 = 150 + 79 = 229$ ✓.

10. Coeficienții sunt $4, 0, - 7, 30$ , iar $a = 3$ . Rândul: $4$ ; $0 + 12 = 12$ ; $- 7 + 36 = 29$ ; $30 + 87 = 117$ . Volumul este de $117$ mililitri. Control direct: $4 \cdot 27 - 21 + 30 = 108 + 9 = 117$ ✓. Valoarea e pozitivă, cum se cuvine unui volum, iar modelul e valabil doar pe $[0, 4]$ .

11. În $Z_{2}$ avem $- \hat{1} = \hat{1}$ , deci împărțitorul $X + \hat{1}$ este chiar $X - \hat{1}$ și $a = \hat{1}$ . Rândul, pe coeficienții $\hat{1}, \hat{1}, \hat{1}, \hat{1}$ : $\hat{1}$ ; $\hat{1} + \hat{1} = \hat{0}$ ; $\hat{1} + \hat{0} = \hat{1}$ ; $\hat{1} + \hat{1} = \hat{0}$ . Deci $q = X^{2} + \hat{1}$ și $r = \hat{0}$ .

12. Fals. Împărțitorul este $X + \hat{1} = X - \hat{2}$ , pentru că $- \hat{1} = \hat{2}$ în $Z_{3}$ . Restul este așadar $f (\hat{2})$ , nu $f (\hat{1})$ . Capcana e aceeași ca peste numerele reale, cu neatenția în plus că opusul se calculează în corp.

13. Restul este $f (\hat{1}) = \hat{1} + m + \hat{1} = m + \hat{2}$ . Condiția $m + \hat{2} = \hat{0}$ dă $m = \hat{1}$ . Verificare: pentru $m = \hat{1}$ , $f (\hat{1}) = \hat{1} + \hat{1} + \hat{1} = \hat{3} = \hat{0}$ ✓.

14. Pentru că schema lui Horner folosește numai înmulțiri și adunări — „coboară, înmulțește cu $a$ , adună" —, iar acestea se fac la fel în orice corp. Împărțirea în coloană are nevoie, în plus, să împartă coeficientul dominant al restului parțial la cel al împărțitorului; la $X - a$ acel coeficient este $1$ , deci pasul dispare.

15. a) $f (2) = 7 \cdot 8 - 4 \cdot 4 + 9 = 56 - 16 + 9 = 49$ . b) Coeficienții sunt $7, - 4, 0, 9$ , iar rândul cu $a = 2$ este $7$ ; $- 4 + 14 = 10$ ; $0 + 20 = 20$ ; $9 + 40 = 49$ — ultima celulă confirmă punctul a). Câtul este $7 X^{2} + 10 X + 20$ . c) $(X - 2) (7 X^{2} + 10 X + 20) = 7 X^{3} + 10 X^{2} + 20 X - 14 X^{2} - 20 X - 40 = 7 X^{3} - 4 X^{2} - 40$ ; adunând restul $49$ obținem $7 X^{3} - 4 X^{2} + 9$ ✓.

16. Ultima celulă este restul, deci $r = \hat{1}$ , iar celelalte sunt coeficienții câtului: $q = \hat{2} X^{2} + \hat{2} X$ . Din $f = (X - \hat{1}) q + r$ obținem $f = \hat{2} X^{3} + \hat{2} X^{2} - \hat{2} X^{2} - \hat{2} X + \hat{1} = \hat{2} X^{3} + X + \hat{1}$ , fiindcă $- \hat{2} = \hat{1}$ . Control: $f (\hat{1}) = \hat{2} + \hat{1} + \hat{1} = \hat{4} = \hat{1}$ ✓.

17. Inversul coeficientului dominant al împărțitorului este $\frac{1}{3}$ . Runda 1: $9 X^{2} : 3 X = 3 X$ , iar $3 X (3 X + 2) = 9 X^{2} + 6 X$ ; rămâne $- 10 X + 11$ . Runda 2: $- 10 X : 3 X = - \frac{10}{3}$ , iar $- \frac{10}{3} (3 X + 2) = - 10 X - \frac{20}{3}$ ; rămâne $11 + \frac{20}{3} = \frac{53}{3}$ . Deci $q = 3 X - \frac{10}{3}$ și $r = \frac{53}{3}$ . Restul nu putea avea gradul întâi pentru că împărțitorul are gradul întâi, iar restul are gradul strict mai mic: rămâne doar gradul zero, adică o constantă.

18. Prima condiție: $f (\hat{1}) = \hat{1} + m + n + \hat{1} = m + n + \hat{2} = \hat{0}$ , deci $m + n = \hat{1}$ . A doua: împărțitorul $X + \hat{1}$ este $X - \hat{2}$ , deci $f (\hat{2}) = \hat{2} + m \cdot \hat{1} + n \cdot \hat{2} + \hat{1} = m + \hat{2} n$ , iar condiția dă $m + \hat{2} n = \hat{2}$ . Scăzând prima relație din a doua: $n = \hat{1}$ , apoi $m = \hat{0}$ . Verificare: pentru $f = X^{3} + X + \hat{1}$ avem $f (\hat{1}) = \hat{3} = \hat{0}$ ✓ și $f (\hat{2}) = \hat{2} + \hat{2} + \hat{1} = \hat{2}$ ✓.

De reținut

Teorema împărțirii cu rest în $K [X]$ : pentru $g$ nenul există și sunt unice $q$ și $r$ cu $f = g q + r$ , unde $r$ este nul sau $grad r < grad g$ ; unicitatea e cea care dă sens întrebării „care este restul?".
Algoritmul cere un singur lucru de la corp: inversul coeficientului dominant al împărțitorului. De aceea se poate împărți la orice polinom nenul peste un corp, iar la un împărțitor monic se poate împărți oriunde.
Peste $Z_{p}$ nu se împarte, ci se înmulțește cu inversul; în $Z_{3}$ fiecare element nenul este propriul lui invers, iar în $Z_{2}$ singurul element nenul este $\hat{1}$ .
Schema lui Horner, construită la clasa a IX-a, funcționează neschimbată în orice $K [X]$ , pentru că folosește doar adunări și înmulțiri; ultima celulă este restul, adică $f (a)$ .
Orice împărțire se încheie cu proba: se înmulțește câtul cu împărțitorul, se adună restul și trebuie să iasă deîmpărțitul, coeficient cu coeficient.

Greșeli frecvente

Semnul lui $a$ citit din termenul liber al împărțitorului. La $X + \hat{2}$ în $Z_{3} [X]$ se intră în schemă cu $a = \hat{1}$ , fiindcă $- \hat{2} = \hat{1}$ . Rescrie întâi împărțitorul sub forma $X - a$ , cu $a$ deja redus, și abia apoi începe.
Împărțirea coeficienților în loc de înmulțirea cu inversul. La $\hat{2} X + \hat{1}$ nu „se împarte la doi": se înmulțește cu $\hat{2}^{- 1} = \hat{2}$ . Scrie inversul deoparte, o singură dată, și folosește-l la fiecare rundă.
Coeficienții nuli săriți din rândul de sus. Rândul trebuie să aibă exact $grad f + 1$ celule. La un polinom fără termen de gradul al doilea se scrie $\hat{0}$ pe locul lui; altfel calculezi impecabil, dar pentru alt polinom.
Oprirea împărțirii prea devreme sau prea târziu. Te oprești exact când restul parțial are gradul strict mai mic decât împărțitorul — nu când „arată scurt". La un împărțitor de gradul al doilea, un rest de gradul întâi este un rezultat corect, nu un semn că mai ai de lucru.
Proba sărită. Împărțirea durează minute, proba durează secunde. Când împărțitorul e $X - a$ ai chiar două controale: înmulțirea înapoi și valoarea $f (a)$ ; dacă nu coincid, greșeala e pe rând, nu în enunț.

Aplică acasă

Două drumuri, același rezultat. Alege-ți un polinom de gradul al treilea cu coeficienți întregi și împarte-l la $X - 2$ pe amândouă căile: întâi în coloană, apoi cu tabelul. Așază rezolvările una lângă alta și numără operațiile din fiecare. Vei vedea de ce tabelul a rămas în manuale după două secole.
Tabelul inverselor, făcut cu mâna. Scrie tabla înmulțirii pentru elementele nenule din $Z_{3}$ , apoi citește de pe ea inversul fiecăruia. Repetă pentru $Z_{2}$ . Notează într-un rând ce ai observat despre elementele care sunt propriul lor invers.
Rest zero, căutat pe îndelete. Ia polinomul $X^{3} + \hat{2} X^{2} + \hat{1}$ din $Z_{3} [X]$ și aplică-i schema lui Horner pentru fiecare dintre cele trei valori posibile ale lui $a$ . Notează cele trei resturi obținute și spune, în două rânduri, ce ai aflat despre acest polinom din faptul că niciunul dintre ele nu este $\hat{0}$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția e procedurală, dar sub proceduri stă o idee care merită apăsată: algoritmul împărțirii nu e un dat, ci urmarea faptului că într-un corp orice element nenul se poate inversa. Elevul care înțelege asta nu se mai blochează când împărțitorul nu e monic. Partea a doua, schema lui Horner, nu este materie nouă: a fost construită în clasa a IX-a și e reluată aici ca unealtă, peste alt corp de coeficienți.

De urmărit în caiet: (1) inversul coeficientului dominant e scris explicit înainte de prima rundă; (2) rândul lui Horner are toate cele $grad f + 1$ celule, inclusiv zerourile; (3) la un împărțitor scris $X + c$ în schemă intră opusul lui $c$ , calculat în corp; (4) fiecare împărțire se încheie cu proba prin înmulțire înapoi. Întrebări de control: „De ce restul are gradul mai mic decât împărțitorul?"; „Care e inversul lui $\hat{2}$ în $Z_{3}$ ?"; „Ce se schimbă la Horner când coeficienții sunt clase?"; „Cum verifici o schemă în zece secunde?". Semn că elevul a înțeles: face proba fără să i se ceară și își numără coeficienții înainte de a începe tabelul.

Programa și examenul. Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureat M2 2027–2029: împărțirea polinoamelor peste un corp comutativ e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), la rândul „Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu $X - a$ , schema lui Horner", pe când programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu o mai cuprinde. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea. Pentru generația care intră pe programa nouă, teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner se studiază la clasa a IX-a, cu coeficienți reali, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) ele sunt în domeniul Algebră. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce garantează teorema împărțirii cu rest într-un inel de polinoame peste un corp?

Garantează două lucruri deodată: că perechea cât–rest există și că ea e una singură, pentru orice deîmpărțit și orice împărțitor nenul. Restul e fie nul, fie de grad strict sub gradul împărțitorului, iar fără această margine egalitatea s-ar putea scrie în nenumărate feluri, deci întrebarea „care e restul?" n-ar avea un răspuns.

De ce cere teorema ca inelul coeficienților să fie corp?

Pentru că, la fiecare rundă, trebuie să afli cu cât se înmulțește împărțitorul ca să se anuleze termenul dominant al restului parțial, iar asta înseamnă să folosești inversul unui element al corpului. Într-un corp orice element nenul îl are, deci runda reușește oricare ar fi împărțitorul nenul ales, fără nicio grijă în plus.

Ce se schimbă la algoritmul în coloană când coeficienții sunt clase?

Două lucruri, amândouă mici. Primul: acolo unde peste numere reale ai împărți coeficienții dominanți, aici înmulțești cu inversul celui al împărțitorului, calculat în $Z_{p}$ . Al doilea: fiecare rezultat intermediar se aduce la clasa lui. Proba rămâne obligatorie. În $Z_{3}$ inversele se rețin dintr-o privire: fiecare clasă nenulă e propria ei inversă.

Cum afli restul fără să duci împărțirea la capăt, la un împărțitor de gradul întâi?

Îl evaluezi. Un rest de grad strict sub $1$ nu poate fi decât o constantă, iar înlocuind $X$ cu $a$ în egalitatea împărțirii rămâne chiar acea constantă: $f (a)$ . Aceasta e teorema restului, iar ultima celulă a tabelului lui Horner o dă direct — o pagină de calcul înlocuită cu o singură evaluare.

Se schimbă ceva la schema lui Horner când lucrezi cu clase?

Regula tabelului rămâne aceeași, fiindcă ea folosește numai adunări și înmulțiri. Se schimbă doar două amănunte: fiecare celulă se aduce la clasa ei, iar elementul cu care intri în schemă se citește din forma $X - a$ , cu opusul socotit în corp — la $X + \hat{2}$ în $Z_{3} [X]$ intri cu $\hat{1}$ .

Se dă împărțirea polinoamelor peste un corp și la mate-info (M1)? Ce diferă?

Da, în același supliment pentru sesiunile 2027–2029, dar cu adâncime diferită. La mate-info se demonstrează existența și unicitatea, se dau contraexemple în inele care nu sunt corpuri și se studiază câte rădăcini poate avea un polinom; la științe ale naturii programa cere algoritmul, împărțirea cu $X - a$ și schema lui Horner. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții.

La ce subiect apare împărțirea polinoamelor la bacalaureatul M2?

La Subiectul al II-lea, unde programa de examen din 2014 pune capitolul de polinoame lângă cel de structuri algebrice. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerința de polinoame pornește de la un polinom dat și cere restul unei împărțiri. Continuarea firească a lecției este divizibilitatea și teorema lui Bézout.