Rădăcinile raționale ale unei ecuații algebrice (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O ecuație de gradul al treilea sau al patrulea nu se rezolvă prin formulă, cum se întâmplă la gradul al doilea. Ai putea încerca numere la întâmplare, dar ele sunt infinit de multe. Vestea bună este că, atunci când coeficienții sunt numere întregi, mulțimea în care merită să cauți se strânge, dintr-o singură lovitură, la o listă de câteva zeci de fracții — uneori la patru. Aici, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), regula care face strângerea se numește teorema rădăcinilor raționale, iar tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Capitolul de polinoame face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2: el stă în programa de examen din 2014, valabilă pentru promoțiile examinate în 2027, 2028 și 2029, dar a fost scos din programa de clasa a XII-a aprobată prin OMEC 6930/2025. În clasa a IX-a ai rezolvat deja ecuații polinomiale căutând printre divizorii termenului liber — vezi Rădăcini reale și ecuații polinomiale. Lecția de față arată ce se întâmplă când coeficientul din fața puterii celei mai mari nu este $1$ , adică tocmai cazul pe care metoda din clasa a IX-a nu-l acoperă.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți teorema rădăcinilor raționale, cu toate ipotezele ei, și să spui ce rol au numerele $p$ și $q$ .
Vei ști să scrii lista completă a candidaților pentru o ecuație cu coeficienți întregi, fără să sari vreo fracție.
Vei ști să recunoști cazul particular în care coeficientul dominant este $1$ și lista se reduce la divizorii întregi ai termenului liber.
Vei ști să testezi un candidat cu schema lui Horner și să cobori gradul ecuației după fiecare rădăcină găsită.
Vei ști să încheii corect o rezolvare în care lista se epuizează fără nicio potrivire.
Vei ști să spui ce nu garantează teorema: ea nu promite că există rădăcini și nu vede rădăcinile care nu sunt raționale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune teorema rădăcinilor raționale?

Teorema rădăcinilor raționale afirmă următoarele: dacă polinomul $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ are toți coeficienții numere întregi, cu $a_{n} \neq = 0$ și $a_{0} \neq = 0$ , iar fracția $\frac{p}{q}$ — scrisă cu $p$ și $q$ numere întregi prime între ele și $q \neq = 0$ — este rădăcină a lui $f$ , atunci $p$ divide termenul liber $a_{0}$ și $q$ divide coeficientul dominant $a_{n}$ .

Citește cu atenție cele două concluzii, fiindcă se încurcă ușor: numărătorul se uită în jos, la termenul liber, iar numitorul se uită în sus, la coeficientul puterii celei mai mari. Condiția ca $p$ și $q$ să fie prime între ele nu e decorativă: fără ea, orice fracție s-ar putea amplifica până ce numărătorul ei să dividă orice.

Teorema nu spune că fracțiile de forma aceasta sunt rădăcini. Spune doar că numai ele pot fi. E o teoremă care restrânge căutarea, nu una care dă soluții.

2. De ce este adevărată?

Demonstrația încape în șase rânduri și merită urmărită, fiindcă explică de unde vine fiecare dintre cele două concluzii.

Presupune că $\frac{p}{q}$ este rădăcină, cu $p$ și $q$ prime între ele. Înlocuiești în ecuație și înmulțești totul cu $q^{n}$ :

$a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} q + \dots + a_{1} p q^{n - 1} + a_{0} q^{n} = 0.$

Acum citește egalitatea de două ori. Prima dată, treci ultimul termen în dreapta: în stânga rămâne o sumă în care fiecare termen conține pe $p$ , deci $p$ divide $a_{0} q^{n}$ . Cum $p$ și $q$ nu au divizori comuni, nici $p$ și $q^{n}$ nu au, așa că $p$ trebuie să dividă chiar pe $a_{0}$ .

A doua oară, treci primul termen în dreapta: în stânga rămâne o sumă în care fiecare termen conține pe $q$ , deci $q$ divide $a_{n} p^{n}$ ; același argument dă $q ∣ a_{n}$ . Asta e tot.

3. Cum se scrie lista candidaților?

Rețeta are trei pași. Iei divizorii întregi ai lui $a_{0}$ — aceștia vor fi valorile posibile ale lui $p$ . Iei divizorii pozitivi ai lui $a_{n}$ — aceștia vor fi valorile posibile ale lui $q$ . Formezi toate fracțiile $\pm \frac{p}{q}$ și le simplifici, păstrând o singură dată fiecare valoare.

Ia ecuația $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30 = 0$ (ecuația aceasta rămâne a secțiunii de față; în exemple și în exerciții vei lucra cu altele). Aici $a_{0} = 30$ și $a_{n} = 2$ , deci $p \in {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}$ și $q \in {1, 2}$ . Lista, ordonată, are douăzeci și patru de valori:

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 6, \pm 10, \pm \frac{15}{2}, \pm 15, \pm 30.$

Douăzeci și patru pare mult, dar compară cu alternativa: infinitatea numerelor raționale. Iar în practică nu le încerci pe toate — te oprești la prima potrivire și cobori gradul. Aici, $x = - 3$ verifică ecuația, iar schema lui Horner dă câtul $2 x^{2} - 9 x + 10$ , cu $Δ = 81 - 80 = 1$ și rădăcinile $\frac{9 \pm 1}{4}$ , adică $\frac{5}{2}$ și $2$ . Soluțiile sunt, prin urmare, $- 3$ , $2$ și $\frac{5}{2}$ .

4. Ce se schimbă dacă $a_{n} = 1$ ?

Se simplifică totul. Singurii divizori ai lui $1$ sunt $- 1$ și $1$ , deci numitorul nu are ce valori să ia în afara lor, iar raportul $\frac{p}{q}$ nu poate fi decât o valoare întreagă. Lista candidaților se reduce, prin urmare, la divizorii termenului liber, luați cu ambele semne.

Recunoști aici exact metoda din clasa a IX-a, unde toate ecuațiile pe care le-ai rezolvat aveau coeficientul dominant $1$ . Enunțul de atunci — „o rădăcină întreagă divide termenul liber" — este cazul particular $a_{n} = 1$ al teoremei de acum. Ce aduce nou clasa a XII-a este numitorul: de îndată ce $a_{n} \neq = 1$ , ecuația poate avea rădăcini fracționare, iar dacă le cauți numai printre numere întregi, le pierzi.

Un exemplu de mărimea unei propoziții: ecuația $2 x - 1 = 0$ are rădăcina $\frac{1}{2}$ și niciun divizor al lui $- 1$ nu o găsește. La gradul al treilea, pierderea e mai greu de observat, dar la fel de reală.

5. Cum testez repede un candidat?

Cu schema lui Horner, pe care o știi din clasa a IX-a — vezi Schema lui Horner. Avantajul ei față de înlocuirea directă e dublu: îți spune dacă numărul e rădăcină și, când este, îți dă pe loc câtul împărțirii la $x - a$ , adică ecuația rămasă.

Așezi coeficienții pe primul rând, în ordine descrescătoare a puterilor, punând $0$ unde lipsește un termen. Cobori primul coeficient neschimbat. Apoi, pentru fiecare poziție, înmulțești ultima valoare obținută cu candidatul și aduni coeficientul de deasupra. Ultimul număr al rândului este valoarea polinomului în candidatul testat: dacă iese $0$ , ai o rădăcină, iar numerele dinaintea lui sunt coeficienții câtului.

Ordinea în care încerci candidații contează pentru timp, nu pentru rezultat. Începe cu $\pm 1$ , fiindcă acolo calculul e o simplă adunare de coeficienți, apoi cu divizorii mici. Aplică regula la exercițiul 1: scrie lista, pornește de la $1$ și oprește-te la prima valoare care anulează ecuația.

6. Ce fac după ce am găsit prima rădăcină?

Cobori gradul și continui cu ecuația rămasă. Dacă $a$ este rădăcină a lui $f$ de gradul $n$ , atunci $f = (x - a) \cdot c$ , unde $c$ are gradul $n - 1$ și coeficienții lui sunt tocmai numerele din rândul lui Horner.

De aici drumul e scurt. Dacă ecuația rămasă are gradul $2$ , o rezolvi cu discriminantul și te-ai oprit. Dacă are gradul $3$ , reiei căutarea — dar pe o listă nouă, cea a coeficienților lui $c$ , care e de obicei mult mai scurtă. Scrie soluțiile abia la final, toate deodată, și verifică-le numărul: o ecuație de gradul $n$ are cel mult $n$ soluții.

Un control ieftin, care prinde greșelile de semn: după ce ai toate rădăcinile, adună-le și compară suma cu $- \frac{a _{n - 1}}{a _{n}}$ , folosind relațiile lui Viète. Dacă cele două numere nu coincid, ai greșit undeva.

7. Ce NU spune teorema?

Trei lucruri, și toate trei se rătăcesc des.

Nu spune că există rădăcini raționale. Ia ecuația $2 x^{3} + x^{2} - 4 x + 3 = 0$ . Lista candidaților are opt valori: $\pm 1$ , $\pm 3$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm \frac{3}{2}$ . Le încerci pe toate — de pildă $1$ dă $2 + 1 - 4 + 3 = 2$ , iar $- 3$ dă $- 54 + 9 + 12 + 3 = - 30$ — și niciuna nu anulează ecuația. Concluzia corectă este „ecuația nu are rădăcini raționale", nu „ecuația nu are rădăcini".

Nu vede rădăcinile iraționale. Ecuația de mai sus are, fiind de grad impar cu coeficienți reali, cel puțin o soluție reală; ea există, dar nu se scrie ca raport de numere întregi.

Nu se aplică dacă vreun coeficient nu e întreg. Dacă ecuația are coeficienți fracționari, o înmulțești întâi cu numitorul comun; soluțiile nu se schimbă, iar teorema devine aplicabilă. Cât despre rădăcinile care nu sunt reale, ele vin în perechi și se tratează în lecția despre rădăcini conjugate; aici rămânem la cele raționale.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Pentru bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, în capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", rândul „Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $Z$ , $Q$ , $R$ , $C$ ". Rândul acesta e împărțit între două lecții: aici se rezolvă partea rațională — lista candidaților, testarea, coborârea gradului —, iar perechile de rădăcini conjugate și reconstituirea unei ecuații pornind de la ele se fac la lecția următoare.

Merită spus și cum arată proba, din sursa cea mai apropiată: modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte, iar materia de algebră a clasei a XII-a stă la Subiectul al II-lea, cu două probleme a câte trei cerințe legate. Formatul se potrivește temei: un punct pentru o valoare a polinomului, unul pentru o rădăcină, unul pentru rezolvarea completă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație cu coeficientul dominant $2$

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6 = 0$ .

Rezolvare. Avem $a_{0} = 6$ și $a_{n} = 2$ , deci $p \in {1, 2, 3, 6}$ și $q \in {1, 2}$ . Lista candidaților:

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6.$

Încercăm $1$ : $2 - 9 + 7 + 6 = 6 \neq = 0$ . Încercăm $2$ : $16 - 36 + 14 + 6 = 0$ , deci $2$ este rădăcină. Schema lui Horner cu $a = 2$ dă rândul $2, - 5, - 3, 0$ , adică $2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6 = (x - 2) (2 x^{2} - 5 x - 3)$ .

Rezolvăm $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ : $Δ = 25 + 24 = 49$ , deci $x = \frac{5 \pm 7}{4}$ , adică $3$ și $- \frac{1}{2}$ . Soluțiile ecuației sunt ${- \frac{1}{2}, 2, 3}$ .

Exemplul 2 — Ecuație cu coeficientul dominant $3$

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $3 x^{3} - 14 x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .

Rezolvare. Aici $a_{0} = 10$ și $a_{n} = 3$ , deci $p \in {1, 2, 5, 10}$ și $q \in {1, 3}$ , iar lista are șaisprezece valori: $\pm 1$ , $\pm \frac{1}{3}$ , $\pm 2$ , $\pm \frac{2}{3}$ , $\pm 5$ , $\pm \frac{5}{3}$ , $\pm 10$ , $\pm \frac{10}{3}$ .

Încercăm $1$ : $3 - 14 - 7 + 10 = - 8 \neq = 0$ . Încercăm $- 1$ : $- 3 - 14 + 7 + 10 = 0$ , deci $- 1$ este rădăcină. Horner cu $a = - 1$ pe $3, - 14, - 7, 10$ dă rândul $3, - 17, 10, 0$ , adică factorizarea $(x + 1) (3 x^{2} - 17 x + 10)$ .

Din $3 x^{2} - 17 x + 10 = 0$ : $Δ = 289 - 120 = 169$ , deci $x = \frac{17 \pm 13}{6}$ , adică $5$ și $\frac{2}{3}$ . Soluțiile sunt ${- 1, \frac{2}{3}, 5}$ .

Exemplul 3 — Gradul al patrulea, cu două coborâri

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $3 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} - 46 x + 24 = 0$ .

Rezolvare. Suma coeficienților este $3 + 16 + 3 - 46 + 24 = 0$ , deci $x = 1$ este rădăcină — un control care merită făcut întotdeauna primul. Horner cu $a = 1$ dă rândul $3, 19, 22, - 24, 0$ , adică

$3 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} - 46 x + 24 = (x - 1) (3 x^{3} + 19 x^{2} + 22 x - 24) .$

Continuăm cu ecuația de gradul al treilea. Acum $a_{0} = - 24$ și $a_{n} = 3$ ; încercăm $- 4$ și obținem $- 192 + 304 - 88 - 24 = 0$ , deci $- 4$ este rădăcină. Horner cu $a = - 4$ pe coeficienții $3, 19, 22, - 24$ dă rândul $3, 7, - 6, 0$ , deci rămâne $3 x^{2} + 7 x - 6 = 0$ .

Discriminantul este $49 + 72 = 121$ , deci $x = \frac{- 7 \pm 11}{6}$ , adică $\frac{2}{3}$ și $- 3$ . Soluțiile ecuației sunt ${- 4, - 3, \frac{2}{3}, 1}$ — patru la număr, cât gradul.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie, pentru ecuația $2 x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 24 = 0$ : „Termenul liber este $24$ , deci candidații sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ , $\pm 8$ , $\pm 12$ , $\pm 24$ . Găsesc rădăcinile $- 2$ și $4$ ; a treia nu se află printre candidați, deci ecuația are doar două soluții." Găsește greșeala.

Rezolvare. Lista e incompletă. Coeficientul dominant este $2$ , nu $1$ , deci $q$ poate fi și $2$ : la listă se adaugă $\pm \frac{1}{2}$ și $\pm \frac{3}{2}$ . (Fracțiile $\pm \frac{2}{2}$ , $\pm \frac{4}{2}$ și celelalte se simplifică la numere deja scrise.)

Într-adevăr, Horner cu $a = - 2$ pe coeficienții $2, - 7, - 10, 24$ dă rândul $2, - 11, 12, 0$ , deci rămâne $2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$ , cu $Δ = 121 - 96 = 25$ și rădăcinile $\frac{11 \pm 5}{4}$ , adică $4$ și $\frac{3}{2}$ . A treia soluție este $\frac{3}{2}$ , iar mulțimea soluțiilor este ${- 2, \frac{3}{2}, 4}$ . Concluzia „doar două soluții" era o consecință directă a listei greșite.

Exemplul 5 — Trei momente într-un model din chimie

Cantitatea de substanță dintr-un vas, măsurată față de o valoare de referință, este $q (t) = 2 t^{3} - 3 t^{2} - 11 t + 6$ grame, unde $t$ este timpul în ore, $t \in [0; 4]$ . Determină momentele din interval în care cantitatea este egală cu valoarea de referință.

Rezolvare. Cerința înseamnă $q (t) = 0$ . Coeficienții fiind întregi, aplicăm teorema: $a_{0} = 6$ , $a_{n} = 2$ , deci candidații sunt $\pm 1$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm \frac{3}{2}$ , $\pm 6$ .

Încercăm $3$ : $54 - 27 - 33 + 6 = 0$ , deci $t = 3$ este soluție. Horner cu $a = 3$ dă rândul $2, 3, - 2, 0$ , deci rămâne $2 t^{2} + 3 t - 2 = 0$ , cu $Δ = 9 + 16 = 25$ și soluțiile $\frac{- 3 \pm 5}{4}$ , adică $\frac{1}{2}$ și $- 2$ .

Dintre cele trei valori, $t = - 2$ ore nu are sens fizic și nici nu aparține intervalului. Rămân $t = \frac{1}{2}$ ore (adică $30$ de minute) și $t = 3$ ore, amândouă în $[0; 4]$ . Control: $q (0) = 6$ grame, deci la început cantitatea era peste referință, ceea ce se potrivește cu existența unui moment ulterior de egalitate.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = 4 X^{3} - 17 X^{2} - 16 X + 5$ .

a) Calculează $f (1)$ . b) Arată că $5$ este rădăcină a lui $f$ și determină câtul împărțirii lui $f$ la $X - 5$ . c) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ .

Rezolvare. a) $f (1) = 4 - 17 - 16 + 5 = - 24$ .

b) $f (5) = 500 - 425 - 80 + 5 = 0$ , deci $5$ este rădăcină. Horner cu $a = 5$ pe coeficienții $4, - 17, - 16, 5$ dă rândul $4, 3, - 1, 0$ , deci câtul este $4 X^{2} + 3 X - 1$ .

c) Rezolvăm $4 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ : $Δ = 9 + 16 = 25$ , deci $x = \frac{- 3 \pm 5}{8}$ , adică $\frac{1}{4}$ și $- 1$ . Soluțiile ecuației sunt ${- 1, \frac{1}{4}, 5}$ .

Să exersăm

1. Scrie lista candidaților pentru ecuația $3 x^{3} - 13 x^{2} - 32 x + 12 = 0$ și precizează câți sunt.

2. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $3 x^{3} - 13 x^{2} - 32 x + 12 = 0$ .

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o ecuație cu coeficienți întregi are coeficientul dominant $3$ , atunci niciuna dintre soluțiile ei nu poate fi un număr întreg."

4. Pentru ecuația $2 x^{3} + x^{2} - 23 x + 20 = 0$ , arată că $1$ este soluție și scrie câtul împărțirii la $x - 1$ .

5. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $2 x^{3} + x^{2} - 23 x + 20 = 0$ .

6. Explică, în două-trei fraze, de ce condiția „ $p$ și $q$ prime între ele" este necesară în enunțul teoremei.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = 3 X^{3} - 17 X^{2} - 27 X - 7$ . a) Calculează $f (- 1)$ . b) Arată că $7$ este rădăcină a lui $f$ . c) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ .

8. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $3 x^{3} - 17 x^{2} - 27 x - 7 = 0$ și verifică suma soluțiilor cu relația lui Viète.

9. Câți candidați are ecuația $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7 = 0$ ? Scrie-i pe toți.

10. Arată că ecuația $3 x^{3} + x^{2} + 2 x - 7 = 0$ nu are soluții raționale.

11. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{7}{4} x^{2} - \frac{5}{4} x + 1 = 0$ , aducând-o mai întâi la coeficienți întregi.

12. (Problemă aplicată.) Abaterea temperaturii dintr-un cuptor față de valoarea prescrisă este $θ (t) = 2 t^{3} - 13 t^{2} + 22 t - 8$ grade Celsius, unde $t$ este timpul în ore, $t \in [0; 5]$ . Determină momentele din interval în care temperatura atinge exact valoarea prescrisă și precizează dacă la pornire cuptorul era mai cald sau mai rece decât aceasta.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = 3 X^{4} + 5 X^{3} - 49 X^{2} + 11 X + 30$ . a) Calculează $f (1)$ . b) Arată că $- 5$ este rădăcină a lui $f$ și scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X + 5$ . c) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ .

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $x^{3} + 7 x^{2} - 2 x - 15 = 0$ are soluția $\frac{3}{5}$ ."

15. Determină numărul întreg $m$ pentru care $x = 2$ este soluție a ecuației $3 x^{3} + m x^{2} - 4 x - 8 = 0$ , apoi rezolvă ecuația complet.

16. Explică de ce, la o ecuație cu $a_{n} = 1$ și $a_{0} = - 12$ , lista candidaților are exact douăsprezece valori.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = 2 X^{4} + 9 X^{3} - 21 X^{2} - 16 X + 12$ . a) Arată că $2$ este rădăcină a lui $f$ . b) Determină câtul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ . c) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ .

18. (Provocare.) Fie ecuația $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ , cu coeficienți întregi și $a \neq = 0$ , $d \neq = 0$ . a) Arată că, dacă $a + b + c + d = 0$ , atunci $1$ este soluție. b) Formulează și demonstrează un criteriu asemănător pentru soluția $- 1$ . c) Aplică ambele criterii ecuației $2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 14 = 0$ și rezolv-o complet.

Răspunsuri și explicații

1. $a_{0} = 12$ dă $p \in {1, 2, 3, 4, 6, 12}$ , iar $a_{n} = 3$ dă $q \in {1, 3}$ . După simplificări rămân optsprezece valori: $\pm 1$ , $\pm \frac{1}{3}$ , $\pm 2$ , $\pm \frac{2}{3}$ , $\pm 3$ , $\pm \frac{4}{3}$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ , $\pm 12$ .

2. Încercăm $- 2$ : $- 24 - 52 + 64 + 12 = 0$ , deci $- 2$ este soluție. Horner cu $a = - 2$ pe $3, - 13, - 32, 12$ dă rândul $3, - 19, 6, 0$ , deci rămâne $3 x^{2} - 19 x + 6 = 0$ , cu $Δ = 361 - 72 = 289$ și $x = \frac{19 \pm 17}{6}$ , adică $6$ și $\frac{1}{3}$ . Soluții: ${- 2, \frac{1}{3}, 6}$ .

3. Fals. Teorema cere doar ca numitorul $q$ să dividă pe $3$ , iar $q = 1$ este permis. Contraexemplu construit în două rânduri: $3 x - 6 = 0$ are coeficientul dominant $3$ și soluția întreagă $2$ ; la gradul al treilea, $3 (x - 1) (x - 2) (x - 4) = 3 x^{3} - 21 x^{2} + 42 x - 24$ are toate cele trei soluții întregi. Coeficientul dominant diferit de $1$ permite soluții fracționare, nu le impune.

4. $2 + 1 - 23 + 20 = 0$ , deci $1$ este soluție. Horner cu $a = 1$ pe $2, 1, - 23, 20$ dă rândul $2, 3, - 20, 0$ , deci câtul este $2 x^{2} + 3 x - 20$ .

5. Din $2 x^{2} + 3 x - 20 = 0$ : $Δ = 9 + 160 = 169$ , deci $x = \frac{- 3 \pm 13}{4}$ , adică $\frac{5}{2}$ și $- 4$ . Soluții: ${- 4, 1, \frac{5}{2}}$ .

6. Fără ea, aceeași rădăcină ar avea o infinitate de scrieri, iar concluzia și-ar pierde puterea: $\frac{1}{2}$ se scrie și $\frac{2}{4}$ , și $\frac{3}{6}$ , deci „numărătorul divide termenul liber" ar putea fi adevărat sau fals după cum alegi scrierea. Cerând fracția în forma cea mai simplă, numărătorul și numitorul devin unic determinate (până la semn), iar afirmația capătă conținut.

7. a) $f (- 1) = - 3 - 17 + 27 - 7 = 0$ . b) $f (7) = 1029 - 833 - 189 - 7 = 0$ , deci $7$ este rădăcină. c) Horner cu $a = 7$ pe $3, - 17, - 27, - 7$ dă rândul $3, 4, 1, 0$ , deci rămâne $3 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ , cu $Δ = 16 - 12 = 4$ și $x = \frac{- 4 \pm 2}{6}$ , adică $- \frac{1}{3}$ și $- 1$ . Soluții: ${- 1, - \frac{1}{3}, 7}$ .

8. Soluțiile sunt cele de la exercițiul 7: $- 1$ , $- \frac{1}{3}$ și $7$ . Suma lor este $- 1 - \frac{1}{3} + 7 = \frac{17}{3}$ , iar relația lui Viète dă $S_{1} = - \frac{- 17}{3} = \frac{17}{3}$ ✓.

9. $a_{0} = 7$ dă $p \in {1, 7}$ , iar $a_{n} = 2$ dă $q \in {1, 2}$ : opt valori, anume $\pm 1$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm 7$ , $\pm \frac{7}{2}$ .

10. $a_{0} = - 7$ și $a_{n} = 3$ , deci candidații sunt $\pm 1$ , $\pm 7$ , $\pm \frac{1}{3}$ , $\pm \frac{7}{3}$ — opt valori. Le încercăm: $f (1) = - 1$ , $f (- 1) = - 11$ , $f (7) = 1085$ , $f (- 7) = - 1001$ , $f (\frac{1}{3}) = - \frac{55}{9}$ , $f (- \frac{1}{3}) = - \frac{23}{3}$ , $f (\frac{7}{3}) = \frac{371}{9}$ , $f (- \frac{7}{3}) = - \frac{133}{3}$ . Niciuna nu este nulă, deci ecuația nu are soluții raționale.

11. Înmulțim cu $4$ și obținem $2 x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , cu aceleași soluții. Candidații: $\pm 1$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ . Încercăm $4$ : $128 - 112 - 20 + 4 = 0$ , deci $4$ este soluție; Horner cu $a = 4$ pe $2, - 7, - 5, 4$ dă rândul $2, 1, - 1, 0$ , deci rămâne $2 x^{2} + x - 1 = 0$ , cu $Δ = 1 + 8 = 9$ și $x = \frac{- 1 \pm 3}{4}$ , adică $\frac{1}{2}$ și $- 1$ . Soluții: ${- 1, \frac{1}{2}, 4}$ .

12. Rezolvăm $2 t^{3} - 13 t^{2} + 22 t - 8 = 0$ . Candidații: $\pm 1$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ . Încercăm $2$ : $16 - 52 + 44 - 8 = 0$ , deci $t = 2$ este soluție; Horner cu $a = 2$ pe $2, - 13, 22, - 8$ dă rândul $2, - 9, 4, 0$ , deci rămâne $2 t^{2} - 9 t + 4 = 0$ , cu $Δ = 81 - 32 = 49$ și $t = \frac{9 \pm 7}{4}$ , adică $4$ și $\frac{1}{2}$ . Toate trei momentele — $\frac{1}{2}$ ore (adică $30$ de minute), $2$ ore și $4$ ore — se află în intervalul $[0; 5]$ . La pornire, $θ (0) = - 8$ grade Celsius, deci cuptorul era mai rece decât valoarea prescrisă.

13. a) $f (1) = 3 + 5 - 49 + 11 + 30 = 0$ . b) $f (- 5) = 1875 - 625 - 1225 - 55 + 30 = 0$ , deci $- 5$ este rădăcină; Horner cu $a = - 5$ pe $3, 5, - 49, 11, 30$ dă rândul $3, - 10, 1, 6, 0$ , deci câtul este $3 X^{3} - 10 X^{2} + X + 6$ . c) În câtul obținut, $1$ este rădăcină ( $3 - 10 + 1 + 6 = 0$ ); Horner cu $a = 1$ dă rândul $3, - 7, - 6, 0$ , deci rămâne $3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$ , cu $Δ = 49 + 72 = 121$ și $x = \frac{7 \pm 11}{6}$ , adică $3$ și $- \frac{2}{3}$ . Soluții: ${- 5, - \frac{2}{3}, 1, 3}$ .

14. Fals, și se decide fără niciun calcul. Coeficientul dominant este $1$ , deci numitorul unei soluții raționale ar trebui să dividă pe $1$ : singurele valori posibile pentru el sunt $- 1$ și $1$ , iar $5$ nu e printre ele. La o ecuație monică cu coeficienți întregi, orice soluție rațională este de fapt un număr întreg, deci $\frac{3}{5}$ nici nu intră în lista candidaților.

15. $x = 2$ soluție înseamnă $24 + 4 m - 8 - 8 = 0$ , deci $4 m = - 8$ și $m = - 2$ . Ecuația devine $3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$ ; Horner cu $a = 2$ pe $3, - 2, - 4, - 8$ dă rândul $3, 4, 4, 0$ , deci rămâne $3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ , cu $Δ = 16 - 48 = - 32 < 0$ : nicio soluție reală în plus. Ecuația are o singură soluție reală, $x = 2$ .

16. Divizorii întregi ai lui $- 12$ sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ , $\pm 12$ — șase valori absolute, fiecare cu două semne, deci douăsprezece. Cum $a_{n} = 1$ , numitorul $q$ divide pe $1$ , deci nu adaugă nicio fracție.

17. a) $f (2) = 32 + 72 - 84 - 32 + 12 = 0$ . b) Horner cu $a = 2$ pe $2, 9, - 21, - 16, 12$ dă rândul $2, 13, 5, - 6, 0$ , deci câtul este $2 X^{3} + 13 X^{2} + 5 X - 6$ . c) În cât, $- 1$ este rădăcină ( $- 2 + 13 - 5 - 6 = 0$ ); Horner cu $a = - 1$ dă rândul $2, 11, - 6, 0$ , deci rămâne $2 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ , cu $Δ = 121 + 48 = 169$ și $x = \frac{- 11 \pm 13}{4}$ , adică $\frac{1}{2}$ și $- 6$ . Soluții: ${- 6, - 1, \frac{1}{2}, 2}$ .

18. a) Valoarea polinomului în $1$ este chiar suma coeficienților, $a + b + c + d$ ; dacă ea e nulă, $1$ este soluție. b) Valoarea în $- 1$ este $- a + b - c + d$ , deci criteriul este: $- 1$ este soluție exact atunci când $b + d = a + c$ , adică atunci când suma coeficienților de pe pozițiile pare este egală cu suma celor de pe pozițiile impare. c) Pentru $2 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x - 14 = 0$ : suma coeficienților este $2 + 9 + 3 - 14 = 0$ , deci $1$ este soluție; în schimb $b + d = 9 - 14 = - 5$ și $a + c = 2 + 3 = 5$ , deci $- 1$ nu este. Horner cu $a = 1$ pe $2, 9, 3, - 14$ dă rândul $2, 11, 14, 0$ , deci rămâne $2 x^{2} + 11 x + 14 = 0$ , cu $Δ = 121 - 112 = 9$ și $x = \frac{- 11 \pm 3}{4}$ , adică $- 2$ și $- \frac{7}{2}$ . Soluții: ${- \frac{7}{2}, - 2, 1}$ .

De reținut

Teorema se aplică numai ecuațiilor cu toți coeficienții întregi; dacă apar fracții, înmulțești întâi cu numitorul comun.
Dacă $\frac{p}{q}$ este soluție și fracția e scrisă cu numărător și numitor prime între ele, atunci $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ — numărătorul privește în jos, numitorul în sus.
Lista candidaților se scrie completă, cu ambele semne și cu toate fracțiile simplificate o singură dată.
Când coeficientul dominant este $1$ , candidații sunt exact divizorii întregi ai termenului liber.
Teorema restrânge căutarea, dar nu garantează nimic: o listă epuizată fără potriviri înseamnă „fără soluții raționale", nu „fără soluții".

Greșeli frecvente

Se uită numitorul. Cu $a_{n} = 2$ sau $3$ , lista trebuie să conțină și fracții. Cine caută numai printre numere întregi găsește, de obicei, două soluții din trei și declară ecuația rezolvată.
Se sare peste semnul minus. Candidații vin în perechi, $+ \frac{p}{q}$ și $- \frac{p}{q}$ . O listă cu numai valori pozitive ratează exact jumătate din posibilități.
Se confundă cele două concluzii. „ $p$ divide coeficientul dominant" este forma răsturnată a teoremei și duce la o listă greșită. Controlul: la $a_{n} = 1$ , lista trebuie să conțină numai numere întregi — dacă nu, ai inversat rolurile.
Se scrie „ecuația nu are soluții". După epuizarea listei, singura concluzie corectă privește soluțiile raționale. O ecuație de gradul al treilea cu coeficienți reali are întotdeauna cel puțin o soluție reală.
Se oprește căutarea la prima rădăcină. Rădăcina găsită coboară gradul cu unu; ecuația rămasă trebuie rezolvată mai departe. O ecuație de gradul al patrulea rezolvată cu o singură rădăcină găsită este o rezolvare neterminată.

Aplică acasă

Alege trei numere raționale la alegere, dintre care cel puțin unul cu numitorul $2$ sau $3$ , și construiește ecuația de gradul al treilea cu coeficienți întregi care le are ca soluții. Verifică apoi că numărătorii aleși divid termenul liber și numitorii divid coeficientul dominant.
Ia din culegere cinci ecuații de gradul al treilea cu coeficienți întregi și scrie, pentru fiecare, doar lista candidaților — fără să le rezolvi. Notează cât durează scrierea listei și compară cu timpul pe care l-ai pierde încercând numere la întâmplare.
Într-un tabel cu trei coloane, notează timp de o săptămână: ecuația, numărul de candidați, numărul de încercări până la prima rădăcină. La final, vezi dacă începerea cu $\pm 1$ ți-a scurtat într-adevăr munca.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei deprinderi. Prima, generarea completă a unei liste: divizorii termenului liber, divizorii coeficientului dominant, ambele semne, fără dubluri. A doua, execuția schemei lui Horner, inclusiv coborârea gradului după fiecare rădăcină găsită. A treia, cea mai fină, formularea corectă a concluziei: teorema vorbește despre soluții raționale, nu despre soluții în general.

Întrebări de control: „De unde vine numitorul candidaților?", „Ce faci dacă ecuația are coeficienți fracționari?", „Ce ai voie să spui după ce ai încercat toți candidații fără succes?". Semne că a înțeles: scrie lista înainte de orice încercare; începe cu $\pm 1$ ; după prima rădăcină coboară gradul în loc să reia lista de la capăt; folosește suma soluțiilor ca verificare finală.

Programa și examenul. Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureat M2 2027–2029: rezolvarea ecuațiilor algebrice cu coeficienți întregi este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), la rândul „Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $Z$ , $Q$ , $R$ , $C$ ", pe când programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu o mai cuprinde. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea. Pentru generația care intră pe programa nouă, ecuațiile polinomiale se studiază mai devreme în liceu, cu coeficient dominant egal cu $1$ . Rândul citat mai sus nu are corespondent în programa probei MAT_P2 din 2030, unde polinoamele apar numai cu coeficienți reali: pentru acea generație lecția rămâne lectură suplimentară, nu materie de probă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce spune, pe scurt, teorema rădăcinilor raționale? Că soluțiile raționale ale unei ecuații cu coeficienți întregi se găsesc într-o listă scurtă, calculabilă din doi coeficienți: numărătorul fracției divide termenul liber, iar numitorul ei divide coeficientul puterii celei mai mari. Restul numerelor raționale se pot elimina fără nicio încercare.

Cu ce diferă tema aceasta la M2 față de mate-info (M1)? Prin anul de studiu și prin mulțimea în care se lucrează. La științe ale naturii tema intră la clasa a XII-a, ca supliment de examen, și se oprește la soluții reale. La mate-info ea apare în clasa a X-a, la polinoame cu coeficienți complecși. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuații algebrice cu coeficienți întregi.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2? Materia de algebră a clasei a XII-a stă la Subiectul al II-lea. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, acest subiect are două probleme, fiecare cu trei cerințe legate — un format care se potrivește cu tema, fiindcă rezolvarea completă se desface firesc în trei pași: o valoare, o rădăcină, ecuația rămasă.

De ce începem încercările cu $1$ și $- 1$ ? Pentru că acolo calculul e cel mai ieftin: valoarea în $1$ este suma coeficienților, iar valoarea în $- 1$ este aceeași sumă cu semnele alternate. Amândouă se fac din cap, în două secunde, iar dacă una iese zero ai scăpat de toată lista rămasă și ai coborât deja gradul cu unu.

De ce lista trebuie scrisă înainte de orice încercare? Fiindcă altfel nu știi niciodată când să te oprești. Fără listă, o încercare nereușită nu spune nimic; cu lista în față, epuizarea ei devine un rezultat în sine — „ecuația nu are soluții raționale" — pe care îl poți scrie ca răspuns. Lista transformă o căutare fără capăt într-un calcul cu număr cunoscut de pași.

Lista poate fi foarte lungă. Nu e mai simplu să caut altfel? Uneori, da: dacă polinomul se descompune prin grupare, factorii se văd imediat — vezi c.m.m.d.c. și descompunerea în factori. Încearcă întâi gruparea și suma coeficienților; dacă niciuna nu dă nimic, lista rămâne metoda sigură, iar în practică prima potrivire apare după două-trei încercări.

Ce înseamnă că o soluție „nu e rațională"? Că nu se poate scrie ca raport de două numere întregi. Ea poate fi totuși un număr real perfect respectabil, de pildă $32$ . Faptul că nu apare în listă nu o face inexistentă, ci doar inaccesibilă metodei de față; pentru astfel de soluții există alte drumuri, tratate în lecțiile următoare ale capitolului.