Validarea logică a unui raționament (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un registru imaginar, orice probă verificată primește un cod, iar orice probă cu cod este trecută în evidență. Proba A este verificată. Poți deduce că apare în evidență, chiar fără să deschizi registrul, dacă regulile și informația despre A sunt adevărate. Dar simpla prezență în evidență nu îți garantează verificarea. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), validarea unui raționament înseamnă tocmai controlul acestor treceri. La Bacalaureatul M2, deprinderea te ajută să justifici calculele și concluziile, nu doar să obții un rezultat.

Folosim implicația logică, echivalența și regulile de negare a propozițiilor cu cuantificatori. Lecția nu cere nume latine memorate. Cere să poți arăta ce informație folosești, de ce este permis fiecare pas și cât de mult spune concluzia. Pentru comparații numerice poți revedea ordonarea numerelor raționale din clasa a VI-a.

Ce vei învăța

Vei ști să separi premisele unui argument de concluzia pe care autorul încearcă să o obțină.
Vei ști să folosești o implicație împreună cu informația care permite aplicarea ei.
Vei ști să respingi un tipar nevalid printr-un caz cu premise adevărate și concluzie falsă.
Vei ști să urmărești domeniul, împărțitorii și sensul inegalităților într-un calcul.
Vei ști să deosebești verificarea unui caz de demonstrarea unei afirmații generale și să repari un pas nejustificat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un raționament este valid?

Raționamentul este un argument în care folosim anumite afirmații, numite premise, pentru a susține o concluzie. Este valid dacă, în orice situație în care toate premisele sunt adevărate, concluzia trebuie să fie adevărată. Întrebarea privește legătura dintre informații, nu doar adevărul unei fraze izolate.

Pentru a controla forma unui argument, încercăm să construim o situație în care premisele se păstrează, însă concluzia nu. Dacă reușim, am găsit un contraexemplu și forma este nevalidă. Dacă demonstrăm că o asemenea situație este imposibilă, argumentul este valid.

Într-o problemă concretă, mai verificăm dacă premisele sunt într-adevăr îndeplinite. O regulă logică bună nu transformă date inventate în informații certe. De exemplu, dacă o listă este declarată completă în enunț, o putem folosi ca atare. Dacă avem doar câteva observații selectate, nu le tratăm drept toate cazurile posibile.

Un calcul care ajunge la o afirmație adevărată poate conține totuși un pas nejustificat. Rezultatul corect nu repară automat argumentul. Invers, un argument nevalid nu obligă concluzia să fie falsă în fiecare situație; înseamnă că premisele folosite nu o garantează. Această deosebire îți permite să spui precis ce trebuie corectat într-o rezolvare.

2. Cum aplicăm o regulă de tipul „dacă… atunci…”?

Să presupunem că avem două premise: $p \Rightarrow q$ este adevărată și $p$ este adevărată. Concluzia $q$ trebuie să fie adevărată. Dacă ar fi falsă, am avea exact perechea care face implicația falsă, contrazicând prima premisă.

Un exemplu numeric: pentru orice număr real $x$ , din $x > 14$ rezultă $x > 8$ . Numărul ales satisface $x > 14$ . Putem deci afirma că satisface și $x > 8$ . Nu am folosit numai regula, ci și condiția necesară pentru aplicarea ei: numărul se află în ipoteza regulii.

Într-o succesiune de reguli, păstrezi acest control la fiecare trecere. Dacă $p \Rightarrow q$ și $q \Rightarrow r$ sunt adevărate, iar $p$ este adevărată, deduci întâi $q$ , apoi $r$ . Informația obținută la primul pas devine premisă pentru al doilea. Nu este nevoie să presupui de la început adevărul lui $r$ .

Poți nota schema pe două rânduri sau o poți explica în cuvinte. Contează să fie vizibil de unde provine fiecare afirmație. Expresia „rezultă imediat” nu înlocuiește verificarea unei condiții atunci când tocmai acea condiție este partea sensibilă a problemei. La început, numește regula și informația care te autorizează să o folosești.

3. Ce putem deduce dacă urmarea este falsă?

Există și o deducție validă care pornește de la concluzia negată. Dacă regula $p \Rightarrow q$ este adevărată și $q$ este falsă, atunci $p$ este falsă. Într-adevăr, dacă $p$ ar fi adevărată, regula ar obliga-o și pe $q$ să fie adevărată.

Într-un regulament imaginar, orice fișă validată este completată integral. O anumită fișă nu este completată integral. Rezultă că ea nu a fost validată, presupunând că regula este respectată. Nu rezultă cine a completat-o, de ce este incompletă sau dacă va fi validată ulterior; asemenea concluzii cer date suplimentare.

Negarea trebuie să privească exact afirmația din regulă. Dacă $q$ spune „numărul este strict pozitiv”, negația este „numărul este negativ sau zero”. Nu poți înlocui negația cu „numărul este strict negativ”, deoarece ai pierde cazul zero. La afirmații despre toate obiectele, negația poate avea forma „există cel puțin unul care nu…”.

Cele două deducții valide nu se confundă cu folosirea automată a reciprocei. Din adevărul lui $q$ nu rezultă adevărul lui $p$ . De asemenea, din falsitatea lui $p$ nu rezultă falsitatea lui $q$ . Regula anunță ce urmează când condiția se îndeplinește; nu descrie neapărat toate modalitățile prin care se poate îndeplini urmarea.

4. Cum construim un contraexemplu pentru un argument?

Considerăm tiparul „ $p \Rightarrow q$ ; $q$ ; deci $p$ ”. Alegem $v (p) = 0$ și $v (q) = 1$ . Implicația este adevărată, a doua premisă este adevărată, însă concluzia este falsă. Acest caz este suficient pentru a respinge tiparul general.

Nu orice rând dintr-un tabel servește drept contraexemplu. Dacă una dintre premise este falsă, rândul nu arată că adevărul premiselor poate duce la o concluzie falsă. De aceea, în loc să cauți întâi o concluzie care îți displace, controlezi toate premisele pentru cazul propus.

$v (p)$	$v (q)$	$v (p \Rightarrow q)$	Premisele $p \Rightarrow q$ și $q$ sunt ambele adevărate?
$1$	$1$	$1$	Da; concluzia $p$ este adevărată
$1$	$0$	$0$	Nu
$0$	$1$	$1$	Da; concluzia $p$ este falsă
$0$	$0$	$1$	Nu

Același control se poate face cu numere sau cu obiecte concrete. Dacă regula este „un număr mai mare decât nouă este mai mare decât trei”, numărul patru verifică urmarea fără să verifice condiția. El arată de ce urmarea nu permite întoarcerea automată la ipoteză. Nu contestă regula inițială, care rămâne adevărată.

5. Ce condiții trebuie păstrate în calcule?

Fiecare operație are un domeniu de aplicare. Împărțirea cere un împărțitor nenul. Radicalul de ordin doi, în numere reale, cere un număr nenegativ sub radical. Înmulțirea unei inegalități cu un număr negativ inversează sensul acesteia. Aceste condiții sunt parte din raționament, nu observații facultative adăugate la sfârșit.

Împărțirea ambilor membri la un număr negativ schimbă sensul inegalității. A păstra sensul după o asemenea împărțire nu este o mică greșeală de prezentare: rezultatul descrie alte numere. Greșeala se poate depista alegând o valoare care verifică inegalitatea inițială, dar nu verifică rezultatul scris, sau invers.

La ecuații, o transformare prin echivalență păstrează exact soluțiile din domeniul precizat. Ridicarea la pătrat a unei egalități produce o consecință corectă, dar poate introduce soluții în plus dacă nu păstrăm și condițiile de semn. Împărțirea la o expresie cu variabilă poate pierde soluțiile la care acea expresie este zero.

Două controale diferite sunt necesare. Înlocuirea valorilor găsite în problema inițială elimină candidații care nu o verifică. Controlul transformărilor arată că nu ai pierdut alte soluții. Primul nu îl poate înlocui pe al doilea: o soluție omisă nu mai apare pe lista pe care o verifici.

6. Când avem o demonstrație și când avem doar verificări?

Pentru o listă cu un număr finit de elemente, declarată completă, verificarea tuturor elementelor poate demonstra o afirmație despre acea listă. Dacă ai patru temperaturi înregistrate și le compari pe toate cu pragul dat, concluzia despre cele patru înregistrări este justificată.

Pentru toate numerele naturale sau reale, câteva verificări reușite nu acoperă domeniul. Enunțul „orice număr natural este mai mic decât zece” funcționează pentru unele valori mici, dar nu pentru zece. Alegerea unor exemple convenabile nu poate transforma o afirmație universală falsă într-una adevărată.

O demonstrație generală folosește o proprietate care acoperă orice element admis. De exemplu, pentru $x > 5$ avem $x + 2 > 7$ prin adunarea aceluiași număr la membrii inegalității. Nu alegem o valoare particulară a lui $x$ ; arătăm de ce toate valorile din ipoteză respectă concluzia.

Există și metode pentru afirmații indexate prin numere naturale, precum inducția. Ele nu înseamnă testarea unui număr mare de cazuri, ci verificarea unui mecanism general. Le vei studia după metoda reducerii la absurd. Până atunci, întreabă mereu dacă justificarea acoperă exact domeniul cerut.

7. Cum reparăm o rezolvare fără să schimbăm cerința?

Identifică primul pas pentru care nu poți oferi o justificare. Dacă un calcul anterior este deja greșit, pașii următori pot fi corecți pentru o expresie care nu mai aparține problemei. Corectura începe la prima abatere, apoi continuă cu tot ce depinde de ea.

Uneori ajunge să adaugi o condiție care era dată, dar nefolosită. Alteori condiția necesară nu există în enunț și trebuie să discuți separat cazurile. Nu ai voie să presupui, de exemplu, $x \neq = 0$ numai pentru că vrei să împarți la $x$ ; trebuie să verifici și cazul $x = 0$ dacă domeniul îl permite.

În argumentele verbale, repararea poate cere o concluzie mai modestă. Dacă informațiile nu determină dacă o fișă a fost verificată, răspunsul corect este „nu rezultă din date”. Acesta nu înseamnă „fișa nu a fost verificată”. Ai descris limita deducției, nu o stare nouă a obiectului.

La final, recitește cerința. Dacă se cer toate soluțiile, o singură valoare verificată nu ajunge. Dacă se cere un contraexemplu, o valoare care confirmă regula nu răspunde. Dacă se cere validarea unui raționament, spune care trecere este permisă sau nepermisă și oferă motivul, chiar când rezultatul numeric pare evident.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Două reguli într-un registru

Într-o activitate imaginară, orice probă măsurată este codificată, iar orice probă codificată este arhivată. Proba R a fost măsurată. Ce putem afirma despre arhivare?

Notăm prin $p$ măsurarea, prin $q$ codificarea și prin $r$ arhivarea probei R. Datele sunt $p$ , $p \Rightarrow q$ și $q \Rightarrow r$ . Prima regulă și adevărul lui $p$ dau $q$ . A doua regulă, acum aplicabilă, dă $r$ . R este arhivată, dacă regulile și informația inițială sunt respectate.

Nu am dedus că toate probele arhivate au fost măsurate. Un asemenea enunț ar inversa traseul fără o regulă suplimentară. Exemplul verifică o succesiune administrativă definită de problemă; nu afirmă că simpla efectuare a unei măsurări produce de la sine arhivarea.

Exemplul 2. Alegerea rândului care infirmă argumentul

Un elev propune argumentul „ $p \lor q$ este adevărată; $p$ este adevărată; deci $q$ este falsă”. Verifică-l folosind o atribuire potrivită.

Alegem $v (p) = v (q) = 1$ . Disjuncția este adevărată, deci prima premisă este îndeplinită. Și a doua premisă este adevărată. Concluzia „ $q$ este falsă” nu este însă îndeplinită. Avem un contraexemplu, deci argumentul este nevalid.

Greșeala constă în citirea disjuncției inclusive ca și cum ar exclude simultaneitatea. Dacă problema ar fi precizat „exact una dintre propoziții este adevărată”, ar fi fost o altă premisă și un alt argument. Nu adăugăm această precizare după ce vedem că argumentul inițial nu funcționează.

Exemplul 3. Ce putem spune despre o fișă incompletă?

Regula unei activități imaginare spune că orice fișă aprobată conține toate cele trei rubrici completate. Fișa S are numai două rubrici completate. Este justificată concluzia că nu este aprobată?

Da. A avea numai două rubrici completate face falsă condiția „toate cele trei sunt completate”. Dacă S ar fi aprobată, regula ar impune completarea tuturor celor trei, ceea ce contrazice datele. S nu este aprobată, presupunând respectarea regulii.

Aceasta este folosirea validă a unei implicații împreună cu falsitatea urmării. Nu deducem că orice fișă cu trei rubrici completate este aprobată. Completarea este necesară în regula dată, dar nu este declarată suficientă; diferența trebuie păstrată în răspuns.

Exemplul 4. Un semn greșit la împărțire

Un elev scrie $- 3 t \leq 9 \Rightarrow t \leq - 3$ . Identifică pasul greșit și rezolvă corect inegalitatea.

Împărțim ambii membri la $- 3$ , un număr negativ. Sensul trebuie inversat, deci $t \geq - 3$ . Putem verifica greșeala prin $t = 0$ : inegalitatea inițială este $0 \leq 9$ , adevărată, dar rezultatul elevului ar cere $0 \leq - 3$ , fals.

Corectura nu constă doar în alegerea unei valori care merge, ci în aplicarea regulii generale de împărțire a inegalității. Toate numerele cel puțin egale cu $- 3$ satisfac enunțul inițial. De exemplu, capătul $- 3$ dă egalitate, iar includerea lui corespunde semnului nestrict.

Exemplul 5. O verificare completă numai pe domeniul dat

O fișă conține exact valorile $4$ , $7$ , $11$ , $16$ . Un elev verifică toate valorile și afirmă: „Orice număr de pe fișă este pozitiv; prin urmare, orice număr întreg este pozitiv”. Unde se întrerupe justificarea?

Prima afirmație este corectă: toate cele patru valori ale listei sunt pozitive. Trecerea la toate numerele întregi nu este justificată. Numărul $- 1$ este întreg și nu este pozitiv, deci oferă un contraexemplu la a doua afirmație.

Răspunsul reparat păstrează domeniul verificat: toate numerele de pe fișa dată sunt pozitive. Lista completă permite o concluzie despre elementele sale, nu despre o mulțime mai mare. Acest control este util și la citirea unor date experimentale, unde observațiile prezentate nu trebuie confundate cu toate situațiile posibile.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Rezolvă în numere reale ecuația $\frac{x ^{2} - 36}{x - 6} = 12$ , justificând domeniul și simplificarea.

Expresia este definită numai pentru $x \neq = 6$ . Pe acest domeniu, folosim $x^{2} - 36 = (x - 6) (x + 6)$ și simplificăm factorul nenul $x - 6$ . Ecuația devine $x + 6 = 12$ , deci singurul candidat este $x = 6$ .

Candidatul este exclus din domeniul inițial. Prin urmare, ecuația nu are soluții reale. Simplificarea a fost corectă pe domeniul declarat; eroarea ar fi să uităm domeniul după simplificare și să acceptăm șase. O formulă simplificată nu redeschide o valoare unde expresia inițială nu era definită.

Exemplul este un antrenament propriu pentru Bacalaureatul M2. El urmărește justificarea transformărilor și a concluziei, cu atenție la valorile pentru care expresia inițială este definită și la verificarea candidatului obținut.

Să exersăm

1. În argumentul „Proba Q trebuie refăcută, fiindcă nu are sigiliu verde”, identifică premisa scrisă și concluzia. Ce premisă lipsește pentru ca argumentul să fie valid?

2. Premisele $p \Rightarrow q$ , $p \Rightarrow r$ și $p$ sunt adevărate. Justifică propoziția $q \land r$ .

3. Premisele $p \Rightarrow q$ , $q \Rightarrow r$ și $\neg r$ sunt adevărate. Ce poți deduce despre $q$ și despre $p$ ? În ce ordine faci deducțiile?

4. Respinge prin valori de adevăr argumentul „ $p \Rightarrow (q \lor r)$ ; $p$ ; deci $q$ ”.

5. Adevărat sau fals? „Dacă adăugăm o premisă nouă la un argument valid, argumentul obținut rămâne valid.” Motivează.

6. Verifică argumentul: „ $p \lor q$ ; $p$ este falsă; deci $q$ este adevărată”.

7. Analizează argumentul: „Orice pește respiră prin plămâni. Crapul este pește. Deci crapul respiră prin plămâni.” Este forma validă? Este concluzia adevărată? Ce trebuie reparat?

8. Din $p \Rightarrow q$ , $r \Rightarrow s$ și $p$ , toate adevărate, poți deduce $s$ ? Dacă nu, dă o atribuire care arată acest lucru și precizează ce premisă ar lipsi.

9. Un elev afirmă că din $u < v$ rezultă întotdeauna $u^{2} < v^{2}$ , pentru numere reale. Verifică afirmația la $u = - 5$ , $v = - 2$ și explică de ce ridicarea la pătrat cere atenție la semne.

10. Din $a > 5$ și $b > 2$ , un elev deduce $a - b > 3$ . Dă un contraexemplu și precizează ce operație cu cele două inegalități este permisă.

11. Din $x = 2$ și $y = 3$ rezultă $x y = 6$ . Este adevărată și trecerea inversă, de la $x y = 6$ la „ $x = 2$ și $y = 3$ ”? Justifică.

12. Un elev verifică egalitatea $2^{a + b} = 2^{a} + 2^{b}$ pentru $a = b = 1$ și o declară adevărată pentru orice numere naturale $a$ , $b$ . Găsește o pereche care o infirmă și explică de ce verificarea nu ajungea.

13. Arătați că $\frac{x + 1}{x} < 2$ pentru orice număr real $x > 1$ , precizând de ce înmulțirea cu $x$ păstrează sensul inegalității. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

14. Arătați că, dacă $x \geq 3$ , atunci $x^{2} - 2 x \geq 3$ . Precizați ce condiție permite înmulțirea inegalităților folosite. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

15. Arătați că $x^{2} - 8 x + 19 \geq 3$ pentru orice număr real $x$ , printr-un argument care nu depinde de valori alese. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

16. Orarul unui laborator spune: dacă experimentul are loc luni, se folosește microscopul M; dacă are loc joi, se folosește tot microscopul M. Se știe că experimentul are loc luni sau joi. Ce concluzie este garantată? Poți deduce ziua experimentului? (Problemă aplicată.)

17. Într-o regulă, concluzia este „ $x \geq 0$ ”. Ce informație o neagă exact: $x < 0$ sau $x \leq 0$ ? Explică rolul lui zero.

18. Premisele sunt $p \Rightarrow q$ și $\neg p$ , ambele adevărate. Construiește două atribuiri compatibile, una cu $q$ adevărată și una cu $q$ falsă. Ce arată ele despre concluzia $\neg q$ ? (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. Premisa scrisă este „Q nu are sigiliu verde”, iar concluzia, anunțată înaintea cuvântului „fiindcă”, este „Q trebuie refăcută”. Lipsește o regulă care să lege cele două, de exemplu „orice probă fără sigiliu verde trebuie refăcută”. Fără ea concluzia nu rezultă; cu ea, argumentul devine aplicarea directă a unei reguli. Premisa lipsă se preia din regulamentul real, nu se inventează ca să salveze argumentul.

2. Prima regulă, aplicată cu $p$ adevărată, dă $q$ ; a doua, aplicată cu aceeași informație, dă $r$ . Conjuncția a două propoziții adevărate este adevărată, deci $q \land r$ este justificată. Informația $p$ a fost folosită de două ori, câte o dată pentru fiecare regulă.

3. Întâi folosești $q \Rightarrow r$ împreună cu $r$ falsă: rezultă $q$ falsă. Apoi, cu $p \Rightarrow q$ și $q$ falsă, rezultă $p$ falsă. Ordinea este inversă față de lanțul direct: pornești de la ultima urmare și urci spre prima condiție.

4. Alegem $v (p) = 1$ , $v (q) = 0$ , $v (r) = 1$ . Disjuncția $q \lor r$ este adevărată, deci implicația este adevărată, iar $p$ este și ea adevărată. Concluzia $q$ este însă falsă. Premisele garantează numai că una dintre $q$ și $r$ este adevărată, nu care dintre ele.

5. Adevărat. În orice situație în care toate premisele noului argument sunt adevărate, sunt adevărate și premisele vechi, iar validitatea vechiului argument impune concluzia. O premisă în plus poate lungi argumentul fără folos, dar nu îi poate strica validitatea.

6. Este valid. Disjuncția adevărată cere măcar o componentă adevărată. Cum $p$ este falsă, numai $q$ poate asigura acest adevăr; deci $q$ este adevărată.

7. Forma este validă: o regulă generală este aplicată unui obiect care îi îndeplinește condiția. Concluzia este totuși falsă, deoarece crapul respiră prin branhii. Defectul este prima premisă, care nu este adevărată. Validitatea garantează concluzia numai când premisele sunt adevărate; aici trebuie reparată informația, nu schema.

8. Nu. Atribuirea $v (p) = v (q) = 1$ , $v (r) = v (s) = 0$ face adevărate toate cele trei premise, dar $s$ este falsă. Din $p$ obținem $q$ , însă nicio regulă nu leagă $q$ de $r$ . Ar fi nevoie de premisa $q \Rightarrow r$ pentru a continua lanțul.

9. Avem $- 5 < - 2$ , dar $25 > 4$ . Cazul păstrează ipoteza și infirmă concluzia, deci afirmația generală este falsă. Pentru numere nenegative, ridicarea la pătrat păstrează ordinea; pentru două numere negative distincte, ordinea pătratelor este inversată.

10. Pentru $a = 6$ și $b = 10$ premisele sunt adevărate, dar $a - b = - 4$ , care nu este mai mare decât trei. Inegalitățile de același sens se pot aduna membru cu membru: din ele rezultă $a + b > 7$ . Scăderea lor membru cu membru nu este o operație permisă.

11. Nu. Perechea $x = 1$ , $y = 6$ are produsul șase, dar nu verifică $x = 2$ . Trecerea de la valori la produs este o implicație corectă, însă nu o echivalență; întoarcerea ei ar cere informații suplimentare despre $x$ și $y$ .

12. La $a = b = 1$ ambii membri sunt egali cu patru, deci verificarea este corectă. Pentru $a = b = 2$ însă, membrul stâng este $2^{4} = 16$ , iar cel drept este $2^{2} + 2^{2} = 8$ . O verificare reușită descrie un singur caz; afirmația generală cere un argument pentru toate perechile, iar aici este chiar falsă. Regula corectă este $2^{a + b} = 2^{a} \cdot 2^{b}$ .

13. Din $x > 1$ rezultă $x > 0$ , deci înmulțirea cu $x$ păstrează sensul: inegalitatea cerută este echivalentă cu $x + 1 < 2 x$ , adică cu $1 < x$ , chiar ipoteza. Trecerile sunt echivalențe pe domeniul $x > 1$ , deci inegalitatea este demonstrată. Fără informația despre semnul lui $x$ , înmulțirea nu ar fi fost permisă fără o discuție pe cazuri.

14. Scriem $x^{2} - 2 x = x (x - 2)$ . Din $x \geq 3$ rezultă $x - 2 \geq 1$ . Inegalitățile $x \geq 3$ și $x - 2 \geq 1$ au toți membrii nenegativi, deci se pot înmulți membru cu membru: $x (x - 2) \geq 3 \cdot 1 = 3$ . Fără nenegativitatea membrilor, înmulțirea a două inegalități nu ar fi justificată.

15. Avem $x^{2} - 8 x + 19 = (x - 4)^{2} + 3$ . Pătratul unui număr real este nenegativ, deci expresia este cel puțin trei pentru fiecare $x$ ; egalitatea se atinge la $x = 4$ . Argumentul acoperă tot domeniul, spre deosebire de o listă de verificări numerice.

16. Este garantat că se folosește microscopul M: în fiecare dintre cele două cazuri posibile, una dintre reguli îl impune. Ziua nu rezultă din date, fiindcă ambele variante sunt compatibile cu informațiile. Concluzia validă acoperă toate cazurile, fără să aleagă unul dintre ele.

17. Negația este $x < 0$ . Numărul zero verifică $x \geq 0$ , deci nu trebuie inclus și în negația acelei afirmații. Expresia $x \leq 0$ ar include greșit acest caz.

18. Perechile $(v (p), v (q)) = (0, 1)$ și $(0, 0)$ verifică ambele premise. În prima, $\neg q$ este falsă; în a doua este adevărată. Așadar, concluzia $\neg q$ nu este determinată de date.

De reținut

Validitatea garantează concluzia în toate situațiile în care premisele sunt adevărate.
O regulă se aplică împreună cu informația care îi îndeplinește ipoteza; o succesiune de reguli cere acest control la fiecare pas.
Un contraexemplu la un argument păstrează toate premisele adevărate și face concluzia falsă.
Domeniul și condițiile operațiilor trebuie păstrate până la formularea răspunsului final.
O concluzie adevărată într-un caz nu justifică singură raționamentul folosit și nici extinderea la un domeniu mai mare.

Greșeli frecvente

Numirea regulii în locul verificării ei. Formula „rezultă din regulă” nu ajunge: arată că obiectul îndeplinește chiar condiția pe care regula o cere.
Contraexemplu cu o premisă falsă. Controlează toate premisele, nu numai valoarea concluziei din cazul ales.
Uitarea unei valori excluse din domeniu. Simplificarea expresiei nu repară un numitor inițial egal cu zero.
Confundarea necunoașterii cu negația. „Nu rezultă că fișa este aprobată” nu înseamnă „rezultă că fișa nu este aprobată”.
Premisă tacită adăugată pe parcurs. Cuvinte precum „exact”, „numai” sau „toate” schimbă argumentul; folosește-le doar dacă apar în enunț.

Aplică acasă

Inventează două reguli succesive pentru ordonarea unor fișe. Scrie o informație inițială care permite aplicarea ambelor reguli și explică fiecare concluzie. Apoi încearcă să mergi în sens invers și arată ce regulă ar lipsi.
Alege o inegalitate rezolvată recent și notează semnul fiecărui număr cu care ai înmulțit sau împărțit. Verifică un număr din soluție și unul din afara ei în expresia inițială.
Construiește un argument nevalid cu o concluzie adevărată pentru un anumit număr. Caută apoi un alt număr care păstrează premisele și infirmă concluzia. Explică de ce primul succes nu era o demonstrație.

Pentru părinți și profesori

Cereți elevului să numească informația care autorizează fiecare pas. La un răspuns greșit, este mai utilă identificarea primei treceri nejustificate decât simpla etichetă „raționament greșit”. Alternați exemple cu concluzie falsă și argumente nevalide care, într-un caz particular, ajung întâmplător la un rezultat adevărat. Astfel se separă validitatea de simpla verificare numerică.

Programa și examenul. Verificarea raționamentelor face parte din competențele unității de logică din Anexa 28 la OMEC nr. 6930/2025, aplicată progresiv din 2026–2027 la clasa a IX-a, iar tema intră în domeniul Algebră al programei MAT_P2 pentru 2030. Operațiile logice se regăsesc și în programa de Bacalaureat M2 pentru 2027–2029, stabilită prin OMEN nr. 4430/2014. Modelul oficial pentru 2026 nu rezervă o cerință distinctă validării formale a unui argument; deprinderea susține justificările din rezolvări.

Continuați cu reducerea la absurd pentru M2 și cu inducția matematică pentru M2. Pentru recapitulare există testul de logică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: validarea logică a unui raționament permite comparația între trasee; explicațiile necesare lecției de față sunt incluse aici.

Întrebări frecvente

Cum pot verifica repede dacă un argument este nevalid?

Caută un caz în care fiecare premisă este adevărată, dar concluzia este falsă. Verifică separat aceste cerințe înainte să numești cazul contraexemplu. Dacă una dintre premise eșuează, cazul nu respinge argumentul. Faptul că nu găsești imediat un contraexemplu nu este, singur, o demonstrație de validitate; trebuie să justifici deducția pentru toate situațiile admise.

Cum aleg valorile pentru un contraexemplu numeric?

Pornește de la premise: valorile alese trebuie să le verifice pe toate. Apoi caută cazurile care pot strica concluzia: numere negative, zero, valori egale sau capetele unui interval. Un contraexemplu se verifică integral, prin calcul scris, nu doar prin estimare. Dacă nu găsești unul după câteva încercări, nu ai dovedit validitatea; ai doar un motiv în plus să cauți o demonstrație generală.

Ce diferență este între „nu rezultă” și „rezultă că nu”?

Prima formulare spune că datele nu garantează afirmația. A doua susține negația ei și are nevoie de o demonstrație proprie. De exemplu, o probă înregistrată poate fi etichetată sau neetichetată dacă știm numai că toate probele etichetate sunt înregistrate. Lipsa unei deducții în sens invers nu ne spune automat că eticheta lipsește.

Este suficient să verific soluțiile obținute prin calcul?

Verificarea arată dacă valorile găsite satisfac problema inițială, dar nu recuperează soluțiile pe care le-ai pierdut printr-o operație nepermisă. Trebuie să controlezi și împărțitorii, domeniul și sensul transformărilor. O rezolvare completă justifică atât corectitudinea valorilor păstrate, cât și faptul că nicio altă soluție admisă nu a fost omisă pe parcurs.

Cum este adaptată această lecție pentru M2 față de M1?

Regulile logice rămân aceleași, însă aici lucrăm cu argumente scurte, situații definite explicit și transformări elementare. Accentul cade pe folosirea premiselor, domenii și concluzii precise. Nu este necesară memorarea denumirilor latine ale regulilor sau parcurgerea unor paradoxuri algebrice elaborate. Exemplele sunt proprii și pot fi urmărite cu noțiunile explicate în traseul M2.

Există un subiect fix de Bacalaureat M2 despre validarea raționamentelor?

Modelul oficial pentru 2026 nu include separat o asemenea cerință. Programa cuprinde noțiunile logice, iar justificarea pașilor este utilă în multe rezolvări, dar aceasta nu fixează o poziție obligatorie în examen. Exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii pentru redactare corectă; nu reprezintă promisiuni despre frecvența unei teme sau despre punctajul unui anumit pas.