Normala la graficul unei funcții (M2, științe ale naturii)

La ora de fizică, când o rază de lumină cade pe o oglindă, unghiul de incidență nu se măsoară față de oglindă, ci față de perpendiculara pe oglindă în punctul de cădere — dreapta pe care fizicienii o numesc de două sute de ani normală. Dacă oglinda e plană, perpendiculara aceea e ușor de trasat. Dacă suprafața e curbată, direcția ei se schimbă din punct în punct, iar ca să o afli ai nevoie de derivată. Exact această dreaptă o studiază lecția de față, la clasa a XI-a, profilul științe ale naturii (M2) — o temă care la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 nu se cere, dar care intră la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică.

Normala este o temă a traseului tău și numai a lui: programa de matematică-informatică nu o conține deloc, așa că lecția aceasta nu are o versiune pentru celălalt profil. Particularitatea ei de calendar merită înțeleasă bine, pentru că explică de ce tema apare în manual și lipsește din subiecte: programa de examen din 2014, cea după care se dau sesiunile 2027–2029, conține la capitolul de derivate numai tangenta la o curbă, în timp ce programa nouă, din 2025, cere explicit normala într-un punct la graficul unei funcții. Este, deci, o lecție pe care o înveți fie pentru că îți trebuie la fizică și la examenul din 2030, fie pentru plăcerea de a vedea cum o singură împărțire schimbă o dreaptă în perpendiculara ei.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este normala la graficul unei funcții într-un punct și prin ce se deosebește de tangentă.
• Vei ști de unde vine condiția de perpendicularitate a două pante, $m_1{m}_2=-1$, și de ce apare semnul minus în ea.
• Vei ști să scrii ecuația normalei în patru pași și să faci proba.
• Vei ști ce se întâmplă în punctele în care derivata se anulează, unde normala devine verticală.
• Vei ști să recunoști, după enunț, dacă ți se cere tangenta sau normala, și să nu inversezi pantele.
• Vei ști să folosești normala într-un context din științe, acolo unde direcția perpendiculară pe o suprafață curbată are înțeles fizic.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este normala la graficul unei funcții?

Ai deja, din lecția despre ecuația tangentei la graficul unei funcții, dreapta care urmează curba în punctul $(x_0,f(x_0))$. Normala este perechea ei: dreapta care taie curba perpendicular, în același punct.

Normala la graficul unei funcții $f$ în punctul $x_0$ este perpendiculara pe tangentă, dusă prin punctul de tangență $(x_0,f(x_0))$. Ea are sens în aceleași condiții ca tangenta: $x_0$ trebuie să fie punct interior al domeniului, iar $f$ trebuie să fie derivabilă în $x_0$.

Cele două drepte formează, în punctul acela, un unghi drept. Tangenta arată încotro merge curba; normala arată încotro apasă: direcția perpendiculară pe suprafață, cea după care se măsoară unghiurile în optică și după care se descompun forțele în mecanică. Pe desen, împreună, ele formează un fel de cruce înclinată, lipită de curbă.

2. De ce panta normalei este $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$?

Panta este, din clasa a IX-a, un raport de creșteri: pornind dintr-un punct al dreptei, mergi o unitate spre dreapta și urci $m$ unități, adică faci pasul $(1,m)$. Ideea demonstrației e să rotim pasul acesta cu $90^{\circ }$ și să vedem ce pantă iese.

Rotind pasul $(1,m)$ cu un unghi drept, deplasarea pe orizontală devine $-m$, iar cea pe verticală devine $1$: din pasul $(1,m)$ se face pasul $(-m,1)$. Panta noii direcții este raportul dintre creșterea pe verticală și cea pe orizontală, adică $\frac{1}{-m}=-\frac{1}{m}$. Prin urmare, dacă două drepte neverticale sunt perpendiculare și au pantele $m_1$ și $m_2$, atunci

$$m_1{m}_2=-1.$$

Semnul minus nu e o convenție: el spune că, din două drepte perpendiculare, una urcă și cealaltă coboară — nu pot urca amândouă. Iar inversul spune că, cu cât una e mai abruptă, cu atât cealaltă e mai aproape de orizontală.

În clasa a IX-a ai decis perpendicularitatea altfel, cu produsul scalar a doi vectori: două direcții sunt perpendiculare când produsul lor scalar este nul. Este același lucru, scris în alt limbaj — pașii $(1,m_1)$ și $(1,m_2)$ au produsul scalar $1+m_1{m}_2$, iar anularea lui dă exact relația de mai sus. Reține forma cu pante, pentru că ea este cea care se folosește în analiză.

Cum panta tangentei este $f^{\prime }(x_0)$, panta normalei iese imediat:

$$m_{\text{n}}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)},f^{\prime }(x_0)\ne 0.$$

3. Cum scrii ecuația normalei în patru pași?

Lucrezi ca la tangentă, cu un pas în plus — cel în care răstorni panta și îi schimbi semnul.

1. Valoarea: calculezi $f(x_0)$.
2. Panta tangentei: calculezi funcția derivată $f^{\prime }$, cu regulile de derivare, și apoi numărul $f^{\prime }(x_0)$.
3. Panta normalei: dacă $f^{\prime }(x_0)\ne 0$, iei $m_{\text{n}}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$.
4. Ecuația: scrii $y-f(x_0)=m_{\text{n}}(x-x_0)$ și aduci totul la forma $y=mx+n$.

Prin urmare, ecuația normalei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0$ este

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0).$$

Două verificări scurte, care merită făcute de fiecare dată. Prima: înlocuiește $x$ cu $x_0$ în ecuația obținută — trebuie să iasă $f(x_0)$, pentru că normala trece prin același punct ca tangenta. A doua: înmulțește panta găsită cu $f^{\prime }(x_0)$ — trebuie să obții $-1$. Dacă îți iese altceva, ai greșit fie semnul, fie răsturnarea fracției.

4. Ce se întâmplă când derivata se anulează?

Când $f^{\prime }(x_0)=0$, tangenta este orizontală, iar formula de la pasul 3 nu se mai poate aplica: nu se împarte la zero. Asta nu înseamnă că normala nu există — dimpotrivă, ea se vede cel mai ușor dintre toate. Perpendiculara pe o dreaptă orizontală este o dreaptă verticală, iar verticala care trece prin punctul $(x_0,f(x_0))$ are ecuația

$$x=x_0.$$

Aceasta este o dreaptă care nu are pantă, pentru că panta ar însemna o împărțire la zero pe orizontală; se scrie așa cum e scrisă mai sus, nu sub forma $y=mx+n$. Situația inversă, în care tangenta ar fi verticală și normala orizontală, nu apare la profilul științe ale naturii: ea ține de punctele în care funcția nu este derivabilă, temă care rămâne la matematică-informatică.

5. Unde apare normala în științele naturii?

În trei locuri pe care le întâlnești la alte ore. În optică, legea reflexiei și legea refracției se enunță prin unghiuri măsurate față de normala la suprafață în punctul de incidență; pe o oglindă sau pe o lentilă curbată, normala se schimbă din punct în punct, iar direcția ei se calculează exact cu formula de mai sus. În mecanică, forța cu care un corp apasă pe o suprafață curbată — un jgheab, o șină, un perete de vas — are direcția normalei, în timp ce mișcarea se face pe direcția tangentei. Iar în geometria măsurătorilor, distanța de la un punct la o curbă se măsoară tot pe normală, pentru că drumul cel mai scurt până la curbă cade perpendicular pe ea.

De aici vine și un reflex util la rezolvare: dacă în enunț apare cuvântul „perpendicular", „incidență", „apasă" sau „cea mai scurtă distanță", cerința e despre normală, chiar dacă numele ei nu e rostit.

Merită observat și ce nu face normala. Ea nu aproximează curba, cum face tangenta: la orice depărtare de punct, normala se desparte de grafic, pentru că îl taie. De aceea nu are sens să spui că graficul seamănă cu normala în jurul punctului; normala este un instrument de direcție, nu de aproximare. Și încă o deosebire practică: tangenta există în orice punct în care funcția e derivabilă, inclusiv acolo unde derivata e nulă, în timp ce normala are pantă numai când derivata este diferită de zero — în rest rămâne o dreaptă verticală, scrisă sub altă formă.

6. Cum deosebești cerința cu tangenta de cea cu normala?

Cele două se rezolvă cu aceiași doi pași de început și se despart abia la al treilea, iar de acolo încolo greșelile sunt mecanice. Ține minte trei perechi de cuvinte. Dacă enunțul cere dreapta „tangentă la grafic", panta e $f^{\prime }(x_0)$; dacă cere „normala la grafic" sau „perpendiculara pe tangentă", panta e $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$. Dacă îți dă o pantă și cere punctul, la tangentă pui condiția $f^{\prime }(x_0)=m$, iar la normală pui $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}=m$. Și, dacă derivata se anulează în punct, tangenta e orizontală și se scrie $y=f(x_0)$, iar normala e verticală și se scrie $x=x_0$.

O ultimă observație de limbaj: se spune „normala la graficul funcției", nu „normala funcției". Funcția e o lege, graficul e obiectul geometric pe care se poate duce o perpendiculară.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Normala la o parabolă

Scrieți ecuația normalei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+4$, în punctul de abscisă $x_0=4$.

Rezolvare. Valoarea: $f(4)=16-24+4=-4$, deci punctul este $(4,-4)$.

Panta tangentei: $f^{\prime }(x)=2x-6$, deci $f^{\prime }(4)=2$.

Panta normalei: $m_{\text{n}}=-\frac{1}{2}$.

Ecuația: $y+4=-\frac{1}{2}(x-4)$, adică $y=-\frac{x}{2}-2$.

Proba. Pentru $x=4$ ecuația dă $y=-2-2=-4$, adică exact $f(4)$; iar produsul pantelor este $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, cum trebuie.

Exemplul 2 — Normala la o funcție cu radical

Scrieți ecuația normalei la graficul funcției $f:(-6,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+6}$, în punctul de abscisă $x_0=3$.

Rezolvare. $f(3)=\sqrt{9}=3$, deci punctul este $(3,3)$. Derivata este $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+6}}$, deci $f^{\prime }(3)=\frac{1}{6}$.

Panta normalei este $m_{\text{n}}=-\frac{1}{\frac{1}{6}}=-6$, iar ecuația ei este $y-3=-6(x-3)$, adică $y=-6x+21$.

Observă cât de mult se schimbă înclinarea: tangenta abia urcă, cu panta $\frac{1}{6}$, în timp ce normala coboară abrupt, cu panta $-6$. Așa arată inversul: o curbă aproape plată are normala aproape verticală.

Exemplul 3 — Când tangenta este orizontală

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10x+29$. Scrieți ecuațiile tangentei și normalei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0=5$.

Rezolvare. $f(5)=25-50+29=4$ și $f^{\prime }(x)=2x-10$, deci $f^{\prime }(5)=0$.

Tangenta are panta $0$, deci ecuația ei este $y=4$: o dreaptă orizontală.

Pentru normală nu mai putem folosi formula cu $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$, pentru că numitorul este nul. Normala este însă perpendiculara pe o orizontală, adică o dreaptă verticală, care trece prin punctul $(5,4)$: ecuația ei este $x=5$. Este o dreaptă fără pantă, iar scrierea $x=5$ este forma corectă și completă a răspunsului.

Exemplul 4 — Normala pe o oglindă curbată

Secțiunea unei oglinzi cilindrice are profilul dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{4}$, coordonatele fiind măsurate în centimetri. O rază de lumină cade pe oglindă în punctul de abscisă $x_0=2$. Determinați ecuația dreptei față de care se măsoară unghiul de incidență.

Rezolvare. Unghiul de incidență se măsoară față de normala la suprafață în punctul de cădere, deci trebuie scrisă ecuația normalei.

Valoarea: $f(2)=\frac{4}{4}=1$, deci raza cade în punctul $(2,1)$, adică la $2$ cm lateral și $1$ cm înălțime față de vârful oglinzii. Derivata este $f^{\prime }(x)=\frac{x}{2}$, deci $f^{\prime }(2)=1$: tangenta la profil are panta $1$, adică face $45^{\circ }$ cu orizontala.

Panta normalei este $m_{\text{n}}=-1$, iar ecuația ei este $y-1=-(x-2)$, adică $y=-x+3$.

Reține și interpretarea: normala în punctul de incidență coboară la $45^{\circ }$, iar față de această dreaptă se măsoară atât unghiul razei care vine, cât și unghiul razei reflectate. În fiecare alt punct al oglinzii normala are altă înclinare — tocmai de aceea o oglindă curbată concentrează lumina, iar una plană nu.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+x$, în punctul de abscisă $x_0=1$ avem $f(1)=3$ și $f^{\prime }(1)=5$, deci panta normalei este $-5$, iar normala are ecuația $y-3=-5(x-1)$." Găsiți greșeala și scrieți ecuația corectă.

Rezolvare. Valoarea și derivata sunt calculate corect: $f(1)=2+1=3$, iar din $f^{\prime }(x)=4x+1$ rezultă $f^{\prime }(1)=5$. Greșeala este la pasul următor: elevul a luat opusul pantei tangentei, în loc de opusul inversului ei. Panta normalei este $m_{\text{n}}=-\frac{1}{5}$, nu $-5$.

Ecuația corectă este $y-3=-\frac{1}{5}(x-1)$, adică $y=-\frac{x}{5}+\frac{16}{5}$.

Proba care prinde imediat această greșeală este produsul pantelor: cu valoarea elevului ar ieși $5\cdot (-5)=-25$, foarte departe de $-1$; cu valoarea corectă iese $5\cdot \left(-\frac{1}{5}\right)=-1$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+4$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=2x-3$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$. c) Determinați ecuația normalei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$ și punctele în care aceasta taie axele de coordonate.

Rezolvare.

a) Derivăm termen cu termen: derivata lui $x^2$ este $2x$, derivata lui $-3x$ este $-3$, iar derivata constantei $4$ este $0$. Deci $f^{\prime }(x)=2x-3$ pentru orice număr real $x$.

b) $f(2)=4-6+4=2$ și $f^{\prime }(2)=4-3=1$, deci tangenta are ecuația $y-2=1\cdot (x-2)$, adică $y=x$. Tangenta este chiar prima bisectoare.

c) Panta normalei este $-\frac{1}{1}=-1$, deci ecuația ei este $y-2=-(x-2)$, adică $y=-x+4$. Punctul ei de intersecție cu axa $Ox$ este $(4,0)$, iar cu axa $Oy$ este $(0,4)$; produsul pantelor este $1\cdot (-1)=-1$, deci perpendicularitatea se verifică.

De la examen la lecție. Cerințele sunt scrise în forma probei de matematică pentru științe ale naturii: primul subpunct cere verificarea unei formule a derivatei, iar următoarele două se sprijină pe ea. Trebuie însă spus limpede: subpunctul c) nu poate apărea la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, pentru că normala lipsește din programa de examen din 2014; el este scris în stilul probei MAT_P2 din 2030, pentru care nu există încă un model oficial publicat. Subpunctele a) și b), în schimb, sunt cerințe curente și azi.

Să exersăm

Ordinea de redactare: valoarea funcției, panta tangentei, panta normalei, ecuația — plus proba produsului $-1$.

1. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-10x$, în punctul de abscisă $x_0=3$.

2. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x$, în punctul de abscisă $x_0=1$.

3. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f:\left(-\frac{11}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{2x+11}$, în punctul de abscisă $x_0=-1$.

4. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, în punctul de abscisă $x_0=1$.

5. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$, în punctul de abscisă $x_0=0$.

6. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, în punctul de abscisă $x_0=e$.

7. Determină ecuația normalei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-14x+40$, în punctul în care tangenta la grafic este orizontală.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Panta normalei la graficul unei funcții este opusul pantei tangentei în același punct."

9. Determină ecuația normalei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x$, care este paralelă cu dreapta $d:y=\frac{x}{4}+1$.

10. (Problemă aplicată.) O bilă coboară pe un jgheab al cărui profil, în centimetri, este dat de funcția $f:[0,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{8}$. Forța cu care bila apasă pe jgheab are direcția normalei la profil. Scrie ecuația acestei normale în punctul de abscisă $x_0=4$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x^2$. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+\ln x$. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+2x$, unde $a$ este număr real. Determină $a$ pentru care normala la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $1$ are panta $-\frac{1}{6}$.

14. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{2}$, în punctul de abscisă $x_0=2$, apoi determină punctele în care aceasta taie axele de coordonate.

15. Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x-4$, scrie ecuațiile tangentei și normalei la grafic în punctul de abscisă $x_0=2$ și verifică perpendicularitatea lor.

16. Un elev spune că graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+12x+41$, nu are normală în punctul de abscisă $-6$, „pentru că panta tangentei este $0$, iar la zero nu se poate împărți". Ce este corect și ce este greșit în raționamentul lui?

17. Determină punctul de pe graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, în care normala are panta $\frac{1}{4}$, și scrie ecuația acelei normale.

18. (Provocare.) Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Arată că normala la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0$ are panta $-2\sqrt{x_0}$, apoi determină $x_0$ pentru care această normală este paralelă cu dreapta $d:y=-4x+1$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(3)=27-30=-3$; $f^{\prime }(x)=6x-10$, deci $f^{\prime }(3)=8$ și $m_{\text{n}}=-\frac{1}{8}$. Normala: $y+3=-\frac{1}{8}(x-3)$, adică $y=-\frac{x}{8}-\frac{21}{8}$. Proba: $8\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)=-1$.

2. $f(1)=2$; $f^{\prime }(x)=3x^2+1$, deci $f^{\prime }(1)=4$ și $m_{\text{n}}=-\frac{1}{4}$. Normala: $y-2=-\frac{1}{4}(x-1)$, adică $y=-\frac{x}{4}+\frac{9}{4}$.

3. $f(-1)=\sqrt{9}=3$; $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+11}}$, deci $f^{\prime }(-1)=\frac{1}{3}$ și $m_{\text{n}}=-3$. Normala: $y-3=-3(x+1)$, adică $y=-3x$; abscisa fiind negativă, în paranteză rămâne un plus.

4. $f(1)=1$; $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, deci $f^{\prime }(1)=-1$ și $m_{\text{n}}=1$. Normala: $y-1=x-1$, adică $y=x$. Aici normala este chiar prima bisectoare, iar tangenta îi este perpendiculară.

5. $f(0)=1$; $f^{\prime }(x)=e^x$, deci $f^{\prime }(0)=1$ și $m_{\text{n}}=-1$. Normala: $y-1=-(x-0)$, adică $y=-x+1$.

6. $f(e)=1$; $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(e)=\frac{1}{e}$ și $m_{\text{n}}=-e$. Normala: $y-1=-e(x-e)$, adică $y=-ex+e^2+1$.

7. Tangenta este orizontală acolo unde $f^{\prime }(x)=2x-14=0$, deci în $x=7$, unde $f(7)=49-98+40=-9$. În acel punct normala este verticală, de ecuație $x=7$.

8. Fals. Panta normalei este opusul inversului: $m_{\text{n}}=-\frac{1}{m_{\text{t}}}$, nu $-m_{\text{t}}$. Cele două coincid doar când $m_{\text{t}}\in \{1,-1\}$. Contraexemplu: dacă $m_{\text{t}}=4$, atunci $m_{\text{n}}=-\frac{1}{4}$, iar opusul ar fi $-4$; produsul $4\cdot (-4)=-16$ arată că a doua variantă nu dă perpendicularitate.

9. Panta cerută este $\frac{1}{4}$, deci $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}=\frac{1}{4}$, adică $f^{\prime }(x_0)=-4$. Cum $f^{\prime }(x)=2x-4$, obținem $2x_0-4=-4$, deci $x_0=0$ și $f(0)=0$. Normala: $y-0=\frac{1}{4}(x-0)$, adică $y=\frac{x}{4}$.

10. $f(4)=\frac{16}{8}=2$; $f^{\prime }(x)=\frac{x}{4}$, deci $f^{\prime }(4)=1$ și $m_{\text{n}}=-1$. Normala: $y-2=-(x-4)$, adică $y=-x+6$. Direcția ei, coborând la $45^{\circ }$, este direcția în care bila apasă pe jgheab în acel punct.

11. $f(1)=1-4=-3$; $f^{\prime }(x)=3x^2-8x$, deci $f^{\prime }(1)=-5$ și $m_{\text{n}}=\frac{1}{5}$. Normala: $y+3=\frac{1}{5}(x-1)$, adică $y=\frac{x}{5}-\frac{16}{5}$. Atenție la semne: panta tangentei fiind negativă, panta normalei iese pozitivă.

12. $f(1)=2+\ln 1=2$; $f^{\prime }(x)=2+\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(1)=3$ și $m_{\text{n}}=-\frac{1}{3}$. Normala: $y-2=-\frac{1}{3}(x-1)$, adică $y=-\frac{x}{3}+\frac{7}{3}$.

13. $f^{\prime }(x)=2ax+2$, deci panta tangentei în punctul de abscisă $1$ este $2a+2$. Condiția este $-\frac{1}{2a+2}=-\frac{1}{6}$, deci $2a+2=6$ și $a=2$. Verificare: pentru $a=2$ avem $f^{\prime }(1)=6$, iar panta normalei este într-adevăr $-\frac{1}{6}$.

14. $f(2)=2$; $f^{\prime }(x)=x$, deci $f^{\prime }(2)=2$ și $m_{\text{n}}=-\frac{1}{2}$. Normala: $y-2=-\frac{1}{2}(x-2)$, adică $y=-\frac{x}{2}+3$. Ea taie axa $Ox$ în punctul $(6,0)$ și axa $Oy$ în punctul $(0,3)$.

15. $f(2)=4-2-4=-2$; $f^{\prime }(x)=2x-1$, deci $f^{\prime }(2)=3$. Tangenta: $y+2=3(x-2)$, adică $y=3x-8$. Normala: panta este $-\frac{1}{3}$, deci $y+2=-\frac{1}{3}(x-2)$, adică $y=-\frac{x}{3}-\frac{4}{3}$. Perpendicularitatea: $3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-1$.

16. Are dreptate doar la jumătate. Este adevărat că formula $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ nu se poate aplica, pentru că $f^{\prime }(x)=2x+12$ dă $f^{\prime }(-6)=0$. Este însă fals că normala nu există: perpendiculara pe o dreaptă orizontală este o dreaptă verticală, iar cum $f(-6)=36-72+41=5$, normala trece prin punctul $(-6,5)$ și are ecuația $x=-6$. Concluzia corectă nu este „nu există", ci „nu are pantă".

17. Condiția este $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}=\frac{1}{4}$, adică $f^{\prime }(x_0)=-4$. Cum $f^{\prime }(x)=2x$, obținem $x_0=-2$, iar $f(-2)=4$, deci punctul este $(-2,4)$. Normala: $y-4=\frac{1}{4}(x+2)$, adică $y=\frac{x}{4}+\frac{9}{2}$.

18. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, deci panta normalei este $-\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x_0}}}=-2\sqrt{x_0}$, pentru orice $x_0>0$. Paralelismul cu dreapta $d$ cere $-2\sqrt{x_0}=-4$, deci $\sqrt{x_0}=2$ și $x_0=4$. În acel punct $f(4)=2$, iar normala are ecuația $y-2=-4(x-4)$, adică $y=-4x+18$.

De reținut

• Normala într-un punct este perpendiculara pe tangentă dusă prin același punct al graficului, iar ecuația ei este $y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$, valabilă când $f^{\prime }(x_0)\ne 0$.
• Condiția de perpendicularitate a două drepte neverticale este $m_1{m}_2=-1$: panta normalei este opusul inversului pantei tangentei, nu doar opusul ei.
• Când $f^{\prime }(x_0)=0$, tangenta este orizontală, iar normala este dreapta verticală $x=x_0$, o dreaptă care nu are pantă.
• Proba se face din două înmulțiri: valoarea ecuației în $x_0$ trebuie să fie $f(x_0)$, iar produsul pantelor trebuie să fie $-1$.
• Normala este direcția perpendiculară pe o suprafață: după ea se măsoară unghiurile în optică, se descompun forțele în mecanică și se măsoară distanța de la un punct la o curbă.

Greșeli frecvente

• Iei opusul în loc de opusul inversului. Din $f^{\prime }(x_0)=5$ nu rezultă $m_{\text{n}}=-5$, ci $m_{\text{n}}=-\frac{1}{5}$. Proba produsului $-1$ prinde greșeala într-o secundă.
• Uiți semnul minus. Scriind $\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ obții o dreaptă care nu e perpendiculară pe tangentă; pentru $f^{\prime }(x_0)=2$, panta corectă e $-\frac{1}{2}$, iar $\frac{1}{2}$ dă o dreaptă aproape paralelă cu tangenta.
• Scrii „normala nu există" când derivata se anulează. Acolo normala este verticală, de ecuație $x=x_0$; ce nu există este panta ei, nu dreapta.
• Împarți la valoarea funcției, nu la derivată. În formulă, la numitor stă $f^{\prime }(x_0)$; $f(x_0)$ apare doar în membrul stâng, ca ordonată a punctului.
• Crezi că normala este întotdeauna verticală. Verticală este doar în punctele cu tangentă orizontală; în rest, înclinarea ei se schimbă din punct în punct, exact ca a tangentei.

Aplică acasă

1. Unghiul drept, verificat cu echerul. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $f(x)=\frac{x^2}{4}$ pentru $x\in [-4,4]$. În punctul de abscisă $2$ trasează tangenta calculată la Exemplul 4, apoi, cu echerul, ridică din același punct perpendiculara pe ea. Măsoară panta perpendicularei numărând pătrățelele și compar-o cu $-1$, valoarea obținută prin calcul.

2. Normala pe obiecte reale. Ia un bol, o cană sau o sticlă cu profil curbat și așază echerul cu o latură lipită de contur, în trei locuri diferite. Cealaltă latură arată de fiecare dată direcția normalei. Observă cum se rotește ea de-a lungul conturului și explică, în două propoziții, de ce o picătură de apă alunecă pe direcția tangentei, dar apasă pe perete pe direcția normalei.

3. Produsul care trebuie să dea $-1$. Într-o foaie de calcul, pune pe prima coloană valorile $x=0;1;2;4;5;6$, pe a doua panta tangentei la graficul funcției $f(x)=x^2-6x+4$, adică $2x-6$, pe a treia panta normalei, iar pe a patra produsul lor. Verifică dacă produsul este $-1$ peste tot, apoi adaugă rândul $x=3$ și explică de ce acolo formula nu mai funcționează.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unde programa cere explicit „normala într-un punct la graficul unei funcții". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema nu apare: programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, la capitolul despre derivate, doar „tangenta la o curbă". Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

O precizare pentru cei care compară manualele celor două profiluri: normala nu există în programa de matematică-informatică, la nicio clasă, deci lecția aceasta nu are o pereche la M1. Elevii de acolo întâlnesc condiția $m_1{m}_2=-1$ la geometria analitică, dar nu o aplică niciodată la graficul unei funcții. Pentru elevul de la științe ale naturii, în schimb, normala este puntea cea mai scurtă dintre ora de matematică și ora de fizică.

Lecția verifică patru lucruri: (1) că elevul răstoarnă fracția și schimbă semnul, în această ordine; (2) că face proba produsului $-1$; (3) că știe ce se întâmplă când derivata se anulează; (4) că recunoaște cerința despre normală și atunci când enunțul folosește cuvinte din fizică. Întrebări de control: „Care e deosebirea dintre $-m$ și $-\frac{1}{m}$?"; „Ce dreaptă este normala când tangenta e orizontală?"; „Cum verifici, fără desen, că două drepte sunt perpendiculare?"; „De ce în optică unghiurile se măsoară față de normală, nu față de suprafață?". Continuarea este lecția despre tangente și normale, ca la examen, care antrenează tiparele de subiect.

Întrebări frecvente

Ce este normala la graficul unei funcții? Este perpendiculara pe tangentă, dusă prin punctul de tangență. Dacă tangenta arată direcția în care „merge" curba în acel punct, normala arată direcția perpendiculară pe curbă. Ea există ori de câte ori există tangenta, adică în punctele în care funcția este derivabilă, iar ecuația ei se scrie cu aceleași două numere: valoarea funcției și derivata în punct.

Care este formula pantei normalei la grafic? Panta normalei este $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$, adică opusul inversului pantei tangentei, cu condiția ca $f^{\prime }(x_0)$ să fie diferit de zero. Regula vine din condiția de perpendicularitate a două drepte neverticale, $m_1{m}_2=-1$. Ordinea operațiilor contează atunci când scrii: întâi răstorni fracția, apoi îi schimbi semnul. Dacă panta tangentei este $\frac{1}{6}$, panta normalei iese $-6$, nu $-\frac{1}{6}$. Ecuația completă a normalei este $y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$.

Ce se întâmplă cu normala când tangenta este orizontală? Devine verticală. Dacă $f^{\prime }(x_0)=0$, tangenta are ecuația $y=f(x_0)$, iar perpendiculara pe ea în punctul de tangență este dreapta $x=x_0$. Aceasta nu are pantă, deci nu se poate scrie sub forma $y=mx+n$; răspunsul corect este chiar ecuația $x=x_0$, nu „normala nu există". Situația apare fix în punctele în care derivata se anulează, adică la vârful unei parabole sau pe palierul unei curbe de creștere, unde mărimea măsurată încetează o clipă să se mai schimbe.

Normala la grafic se studiază și la mate-info (M1)? Nu. Este una dintre temele care există numai în programa de științe ale naturii, deci nu are o lecție-pereche la profilul matematică-informatică. Elevii de la M1 învață condiția de perpendicularitate a dreptelor la geometria analitică, dar nu o folosesc la graficele funcțiilor; în schimb, ei studiază teme care lipsesc din programa ta, cum sunt punctele în care o funcție nu este derivabilă.

La ce subiect apare normala la bacalaureatul M2? La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 nu apare deloc: programa de examen din 2014 cere doar tangenta la o curbă. Tema intră la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică. Ecuația tangentei, în schimb, se cere și în sesiunile de până atunci, la Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică.

Cum verific rapid că am scris corect ecuația normalei? Cu două înmulțiri. Prima: înlocuiești $x$ cu $x_0$ în ecuația găsită și trebuie să obții $f(x_0)$, pentru că normala trece prin punctul de tangență. A doua: înmulțești panta normalei cu $f^{\prime }(x_0)$ și trebuie să obții $-1$. Dacă a doua probă dă alt număr, ai uitat fie inversul, fie semnul minus.

De ce apare un semn minus în panta normalei? Pentru că două drepte perpendiculare nu se pot înclina în același sens: dacă una urcă, cealaltă coboară. Rotind cu un unghi drept pasul $(1,m)$ care descrie o pantă, obții pasul $(-m,1)$, a cărui pantă este $-\frac{1}{m}$. Semnul minus este urma acestei rotații, iar inversarea fracției arată că o dreaptă abruptă are perpendiculara aproape orizontală.