Ecuația normalei la graficul funcției $$f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{20}{x}$$, în punctul de abscisă $$x_0=2$$, este:

$$y=\dfrac{x}{5}+\dfrac{48}{5}$$

$$y=\dfrac{x}{5}+\dfrac{52}{5}$$

Cum scriu ecuația normalei la grafic?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XI-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Normala la grafic

Normala în punctul de abscisă $x_{0}$ trece prin $(x_{0}, f (x_{0}))$ și este perpendiculară pe tangentă, deci are panta $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ , când $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ . Ecuația este $y - f (x_{0}) = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (x - x_{0})$ . Pentru $f (x) = x^{2} + 1$ în $x_{0} = 1$ : $f (1) = 2$ , $f^{'} (1) = 2$ , deci $y - 2 = - \frac{1}{2} (x - 1)$ , adică $y = - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$ . Produsul pantelor, $2 \cdot (- \frac{1}{2})$ , este $- 1$ . Dacă $f^{'} (x_{0}) = 0$ , normala este verticală: $x = x_{0}$ .

Normala este dreapta care trece prin punctul $(x_{0}, f (x_{0}))$ și taie sub unghi drept tangenta dusă acolo. Tangenta arată încotro merge curba; normala arată direcția perpendiculară pe ea — direcția față de care se măsoară unghiurile la reflexie, pe care se proiectează forțele în mecanică și pe care se află cea mai scurtă distanță până la curbă.

Panta ei iese din condiția ca două drepte neverticale să fie perpendiculare, $m_{1} m_{2} = - 1$ : rotind cu un unghi drept pasul $(1, m)$ obții pasul $(- m, 1)$ , a cărui pantă este $- \frac{1}{m}$ . Prin urmare $m_{n} = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ , iar ecuația este $y - f (x_{0}) = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (x - x_{0})$ . Ordinea operațiilor contează: întâi răstorni fracția, apoi îi schimbi semnul. Din $f^{'} (x_{0}) = 5$ rezultă $- \frac{1}{5}$ , nu $- 5$ — opusul inversului, nu opusul.

Când $f^{'} (x_{0}) = 0$ , tangenta este orizontală, iar formula nu se mai poate aplica. Normala există totuși și se vede cel mai ușor: perpendiculara pe o orizontală este verticala $x = x_{0}$ , o dreaptă care nu are pantă și care nu se scrie sub forma $y = m x + n$ . Răspunsul corect acolo nu este „normala nu există".

Două înmulțiri sunt de ajuns ca probă: ecuația scrisă trebuie să dea $f (x_{0})$ pentru $x = x_{0}$ , iar panta găsită înmulțită cu $f^{'} (x_{0})$ trebuie să dea $- 1$ . Tema aparține programei de științe ale naturii din 2025 și intră la proba MAT_P2 din 2030; programa de examen din 2014 conține, la capitolul despre derivate, numai tangenta la o curbă.

De reținut

panta normalei: $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ , pentru $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$
normala: $y - f (x_{0}) = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (x - x_{0})$
dacă $f^{'} (x_{0}) = 0$ , normala este dreapta verticală $x = x_{0}$

Greșeala tipică

Se ia panta normalei $\frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ sau $- f^{'} (x_{0})$ ; condiția de perpendicularitate cere produsul pantelor $- 1$ , deci panta este opusul inversului.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un punct al graficului unei funcții derivabile se știe că $f^{'} (x_{0}) = - \frac{1}{3}$ . Panta normalei la grafic în acel punct este:
- a) $\frac{1}{3}$
- b) $- 3$
- c) $3$
- d) $- \frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3$

Panta normalei este opusul inversului: $m_{n} = - \frac{1}{- \frac{1}{3}} = 3$ . Proba: $- \frac{1}{3} \cdot 3 = - 1$ , deci dreptele sunt perpendiculare. Varianta d) repetă panta tangentei, a) ia doar opusul ei, iar b) doar inversul, fără schimbarea semnului.
Ecuația normalei la graficul funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{20}{x}$ , în punctul de abscisă $x_{0} = 2$ , este:
- a) $y = \frac{x}{5} + \frac{48}{5}$
- b) $y = 5 x$
- c) $y = - 5 x + 20$
- d) $y = \frac{x}{5} + \frac{52}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = \frac{x}{5} + \frac{48}{5}$

$f (2) = 10$ și $f^{'} (x) = - \frac{20}{x ^{2}}$ , deci $f^{'} (2) = - 5$ și $m_{n} = \frac{1}{5}$ . Normala este $y - 10 = \frac{1}{5} (x - 2)$ , adică $y = \frac{x}{5} + \frac{48}{5}$ . Varianta b) ia opusul pantei în loc de opusul inversului; c) folosește panta tangentei; d) greșește semnul din paranteză.
Ecuația normalei la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 75 x$ , în punctul de abscisă $x_{0} = 5$ , este:
- a) $y = - 250$
- b) $x = 5$
- c) $y = 5$
- d) normala nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 5$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 75$ , deci $f^{'} (5) = 0$ : tangenta este orizontală, iar formula cu $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ nu se poate aplica. Perpendiculara pe o orizontală este verticala dusă prin punctul de tangență, deci normala are ecuația $x = 5$ . Varianta a) dă tangenta, $y = f (5) = - 250$ ; c) confundă abscisa cu ordonata; d) confundă lipsa pantei cu lipsa dreptei.

Întrebări conexe

Unde taie normala axa Ox?

Pui $y = 0$ în ecuația normalei. Pentru normala $y = - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$ la graficul lui $x^{2} + 1$ în $x_{0} = 1$ , se obține $x = 5$ , deci punctul $(5, 0)$ . Tangenta din același punct, $y = 2 x$ , trece prin origine, deci cele două drepte taie axa $O x$ în puncte diferite.

Cum aflu punctul în care normala este paralelă cu o dreaptă dată?

Egalezi panta normalei cu panta dreptei: $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = m$ . Pentru $f (x) = x^{2}$ și dreapta $y = - \frac{x}{4}$ : $- \frac{1}{2 x _{0}} = - \frac{1}{4}$ , deci $x_{0} = 2$ . Punctul de pe grafic este $(2, 4)$ , iar tangenta acolo are panta $4$ .

Ce rol are normala la reflexia luminii pe o suprafață curbă?

Legea reflexiei compară unghiurile razei cu normala în punctul de incidență, iar suprafața însăși nu intră în măsurătoare. Pe o oglindă curbă, normala se schimbă de la un punct la altul, de aceea razele paralele se reflectă în direcții diferite; pentru un profil $y = f (x)$ , normala se află cu $f^{'}$ .

Ce normală are un semicerc într-un punct al lui?

Normala trece prin centru. Pentru $f (x) = 25 - x^{2}$ în $x_{0} = 3$ : $f (3) = 4$ , $f^{'} (x) = - \frac{x}{25 - x ^{2}}$ , deci $f^{'} (3) = - \frac{3}{4}$ . Panta normalei este $\frac{4}{3}$ , iar ecuația $y = \frac{4}{3} x$ trece prin origine, centrul cercului. Proprietatea valorează în orice punct al cercului, cu excepția capetelor, unde tangenta e verticală.

Ce normală are graficul lui $e^{x}$ în punctul de abscisă 0?

Avem $f (0) = 1$ și $f^{'} (0) = e^{0} = 1$ , deci panta normalei este $- 1$ . Ecuația este $y - 1 = - x$ , adică $y = - x + 1$ . Tangenta din același punct este $y = x + 1$ , iar cele două drepte formează un unghi drept în $(0, 1)$ .

Oamenii mai întreabă și: ecuația normalei la grafic · cum aflu normala la graficul unei funcții · normala la grafic formula · dreapta perpendiculară pe tangentă în punct