Permutări: definiție și formulă (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

În laboratorul de microbiologie, bacteriile se împart în două mari grupe printr-o colorație numită după medicul danez Hans Christian Gram. Un preparat primește pe rând trei coloranți: violetul de gențiană, soluția de lugol și safranina; între ultimii doi se face și o spălare cu alcool, pe care aici o lăsăm deoparte. Ordinea nu este o formalitate: lugolul fixează violetul doar dacă vine după el, iar safranina, pusă prima, ar fi acoperită apoi de violet. Câte ordini posibile are un începător care nu știe protocolul și câte dintre ele sunt bune? Răspunsul ține de o singură noțiune, permutarea, iar lecția aceasta, de clasa a X-a, la profilul științe ale naturii (M2), o definește, îi găsește formula și îți arată cum o recunoști într-un enunț. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, la capitolul „Metode de numărare”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține permutările, definite ca numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu $n$ elemente.

În lecția anterioară ai învățat să lucrezi cu factorialul unui număr natural ca unealtă de calcul. Acum afli ce numără el. Tot ce îți trebuie în plus știi deja din regula produsului: când o alegere se face în etape, iar numărul de variante al fiecărei etape nu depinde de ce ai ales înainte, numerele de variante se înmulțesc.

Ce vei învăța

Vei ști ce este o permutare a unei mulțimi finite și de ce o mulțime cu $n$ elemente are exact $P_{n} = n!$ permutări.
Vei ști să desenezi arborele permutărilor unei mulțimi mici și să citești din el toate ordonările.
Vei ști să deosebești o permutare de o numărare cu repetare și de o alegere în care nu se folosesc toate obiectele.
Vei ști să scrii permutările în ordine lexicografică și să afli direct pe ce loc stă una dintre ele în listă.
Vei ști să calculezi suma tuturor numerelor care se obțin permutând cifrele unui număr, fără să le scrii pe toate.
Vei ști să rezolvi ecuații în care apare $P_{n}$ , cu tot cu argumentul de unicitate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o permutare?

Fie $A$ o mulțime finită cu $n$ elemente. O permutare a lui $A$ este un șir format din toate cele $n$ elemente ale lui $A$ , în care fiecare element apare exact o dată. Altfel spus, o permutare este o ordonare a mulțimii: stabilești care element vine primul, care al doilea și tot așa, până la ultimul. Câte permutări are o mulțime cu $n$ elemente arată notația $P_{n}$ .

Pentru o mulțime cu două elemente, ${x, y}$ , există două ordonări: $x y$ și $y x$ , deci $P_{2} = 2$ . Aici e o nuanță pe care programa de examen o pune în cuvinte: scrierile ${x, y}$ și ${y, x}$ desemnează aceeași mulțime, fiindcă acoladele nu rețin niciun „primul” și niciun „al doilea”. Șirurile $x y$ și $y x$ , în schimb, sunt diferite. Permutarea transformă mulțimea într-un șir, iar $P_{n}$ spune în câte feluri se poate face transformarea; de aici denumirea de „mulțimi ordonate” din programă.

Numărul $P_{n}$ nu depinde de natura elementelor, ci doar de câte sunt: trei coloranți, trei cifre sau trei eprubete au la fel de multe ordonări. Aceeași numărătoare poate fi citită și ca număr de funcții bijective de la mulțimea locurilor ${1, 2, \dots, n}$ la mulțimea obiectelor; această lectură este dezvoltată în lecția de supliment despre numărarea prin funcții.

2. Cum arată arborele permutărilor?

Revenim la colorația Gram și notăm coloranții cu $V$ (violet de gențiană), $L$ (lugol) și $S$ (safranină). Construim ordinile ca pe un arbore, după metoda din lecția despre diagramele arborescente: din rădăcină pleacă trei ramuri, una pentru fiecare colorant pus primul; din fiecare nod de pe primul nivel pleacă două ramuri, pentru coloranții rămași; pe ultimul nivel rămâne o singură ramură.

Arborele celor trei coloranți: 3 ramuri, apoi 2, apoi 1, deci 3 · 2 · 1 = 6 frunze; doar VLS respectă protocolul.

Frunzele arborelui sunt cele șase ordini: $V L S$ , $V S L$ , $L V S$ , $L S V$ , $S V L$ , $S L V$ . Doar prima respectă protocolul, deci un începător care alege la întâmplare are o singură șansă din șase. Structura arborelui spune mai mult decât lista: fiecare nivel are cu o ramură mai puțin decât cel de deasupra, pentru că un colorant folosit nu mai poate reveni.

3. De ce este $P_{n} = n!$ ?

Construiești o permutare completând, pe rând, cele $n$ locuri ale șirului. Pentru primul loc poți alege oricare dintre cele $n$ elemente. Pentru al doilea rămân $n - 1$ elemente, oricare ar fi fost primul. Pentru al treilea rămân $n - 2$ , iar pentru ultimul loc rămâne un singur element. Numărul de variante al fiecărei etape nu depinde de alegerile concrete făcute înainte, ci doar de câte locuri au fost ocupate, deci se aplică regula produsului:

$P_{n} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 = n! .$

Pentru $n = 3$ regăsești cele șase frunze ale arborelui, $P_{3} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ . Formula este valabilă pentru orice număr natural nenul $n$ , iar cu convenția $0! = 1$ din lecția anterioară se scrie uneori și pentru mulțimea vidă, care are o singură ordonare, cea goală.

4. Cum recunoști o problemă de permutări?

Formula e scurtă; partea grea este să știi când se aplică. Pune-ți trei întrebări, în ordinea aceasta:

Sunt tot atâtea locuri câte obiecte? Permutarea așază toate obiectele și umple toate locurile.
Fiecare obiect se folosește o singură dată? Un obiect așezat nu mai poate apărea a doua oară.
Schimbul a două obiecte între ele dă o situație nouă? Dacă da, ordinea contează.

Compară două situații care seamănă. Un semnalizator de laborator are trei lămpi colorate, roșie, galbenă și verde, care se aprind pe rând, fiecare o singură dată: secvențele posibile sunt permutările celor trei culori, adică $P_{3} = 6$ . Dacă însă semnalizatorul face trei aprinderi, iar la fiecare poate folosi orice lampă, chiar pe aceeași de mai multe ori, un obiect se poate repeta, iar numărătoarea se face direct cu regula produsului: $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ de secvențe.

Când obiectele sunt mai puține decât locurile sau când se aleg doar câteva dintre obiecte, iar ordinea contează, numărătoarea se face cu aranjamente, tema lecțiilor care urmează. Când ordinea nu contează deloc, ca la alegerea unei echipe, se folosesc combinările. Permutarea este cazul-limită în care se folosesc toate obiectele, iar ordinea contează.

5. Cum listezi permutările în ordine și cum afli locul uneia?

Cea mai sigură listă este cea în ordine lexicografică, ca într-un dicționar: le grupezi după primul element, în interiorul fiecărei grupe după al doilea și așa mai departe. Pentru cifre, ordinea lexicografică este chiar ordinea crescătoare a numerelor formate.

Observația care scurtează totul: permutările care încep cu un anumit element sunt $(n - 1)!$ , pentru că după fixarea primului loc restul elementelor se permută liber. Vrei să afli pe ce loc se află numărul $3142$ în lista crescătoare a numerelor formate cu cifrele $1$ , $2$ , $3$ și $4$ , fiecare folosită o dată? Numerele care încep cu $1$ sau cu $2$ sunt $2 \cdot 3! = 12$ și stau toate înaintea lui. Urmează grupa care începe cu $3$ ; în ea, cele care încep cu $31$ sunt $3124$ și $3142$ . Numărul căutat este al doilea din această subgrupă, deci ocupă locul $12 + 2 = 14$ .

Metoda funcționează în ambele sensuri: poți afla și ce număr stă pe un loc dat, scăzând pe rând mărimile grupelor pe care le sari.

6. Ce sumă dau toate numerele obținute prin permutarea cifrelor?

Ia cifrele $1$ , $3$ și $5$ și formează toate numerele de trei cifre în care fiecare cifră apare o dată. Sunt $P_{3} = 6$ numere, iar suma lor se poate afla fără să le scrii. Pe poziția unităților, fiecare cifră apare de $2! = 2$ ori, pentru că după fixarea ei celelalte două se permută în două feluri. La fel pe poziția zecilor și pe cea a sutelor. Așadar fiecare poziție contribuie cu $2 \cdot (1 + 3 + 5) = 18$ unități din ordinul ei, iar suma totală este

$18 \cdot 100 + 18 \cdot 10 + 18 \cdot 1 = 18 \cdot 111 = 1998.$

Proba prin scriere: $135 + 153 + 315 + 351 + 513 + 531 = 1998$ . Regula generală pentru $n$ cifre distincte nenule: suma este $(n - 1)! \cdot (suma cifrelor) \cdot 11 \dots 1$ , unde ultimul factor are $n$ cifre de $1$ .

7. Cum rezolvi o ecuație cu $P_{n}$ ?

Înlocuiești fiecare $P_{k}$ cu $k!$ și aplici metoda din lecția despre factorial: condițiile, desfacerea factorialului mare până la cel mic, simplificarea, apoi căutarea unui produs de numere consecutive. De exemplu, pentru $\frac{P _{n + 3}}{P _{n + 1}} = 600$ , cu $n \in N$ , raportul devine $(n + 2) (n + 3)$ . Numerele consecutive cu produsul $600$ sunt $24$ și $25$ , deci $n + 2 = 24$ , adică $n = 22$ . Produsul $(n + 2) (n + 3)$ crește strict, deci soluția este unică. Cel mai des greșit pas este chiar primul: $P_{n + 3}$ înseamnă $(n + 3)!$ , nu $n + 3$ și nici $3 \cdot P_{n}$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Lista în ordine alfabetică

O coloană de cromatografie se umple cu trei straturi diferite, așezate unul peste altul: alumină ( $A$ ), cărbune activ ( $C$ ) și silicagel ( $S$ ). Scrieți în ordine alfabetică toate ordinile posibile ale straturilor și precizați care ordine ocupă locul al patrulea în listă.

Rezolvare. Grupăm după primul strat, în ordinea $A$ , $C$ , $S$ , iar în fiecare grupă după al doilea:

$A C S, A S C, C A S, C S A, S A C, S C A .$

Sunt $6$ ordini, cât dă formula $P_{3} = 3! = 6$ . Fiecare literă stă pe primul loc în exact $2! = 2$ ordini, deci primele două locuri sunt ale grupei $A$ , următoarele două ale grupei $C$ . Locul al patrulea este al doilea din grupa $C$ , adică $C S A$ .

Exemplul 2 — Este sau nu permutare?

a) Într-un laborator sunt șapte balanțe analitice numerotate, iar șapte elevi trebuie să lucreze simultan, fiecare la câte o balanță. În câte moduri se poate face repartizarea? b) Mai este o problemă de permutări dacă sunt nouă balanțe și tot șapte elevi?

Rezolvare. a) Sunt tot atâtea locuri câte persoane, fiecare elev ocupă o singură balanță, iar schimbul a doi elevi între ei dă altă repartizare, pentru că balanțele sunt numerotate. Este o permutare a celor șapte elevi:

$P_{7} = 7! = 5040 de repartiz \overset{a}{˘} ri .$

b) Nu. Cu nouă balanțe, două rămân libere, iar pe lângă ordinea elevilor trebuie ales și care balanțe se folosesc. Prima întrebare din subsecțiunea a patra primește răspunsul „nu”: locurile sunt mai multe decât obiectele. Numărătoarea aceasta se face cu aranjamente și o vei întâlni în lecția dedicată lor.

Exemplul 3 — Locul unui număr și numărul de pe un loc

Se scriu în ordine crescătoare toate numerele de patru cifre în care fiecare dintre cifrele $2$ , $5$ , $7$ și $8$ apare exact o dată. a) Pe ce loc se află numărul $7258$ ? b) Care este al zecelea număr din listă?

Rezolvare. Fiecare grupă după prima cifră are $3! = 6$ numere.

a) Înaintea lui $7258$ stau toate numerele care încep cu $2$ sau cu $5$ , adică $2 \cdot 6 = 12$ numere. În grupa care începe cu $7$ , cele mai mici numere încep cu $72$ , iar dintre ele cel mai mic este $7258$ . Numărul ocupă locul $12 + 1 = 13$ .

b) Primele $6$ numere încep cu $2$ . Locul al zecelea este al patrulea din grupa care începe cu $5$ . În această grupă, subgrupele după a doua cifră au câte $2! = 2$ numere: $5278$ și $5287$ , apoi $5728$ și $5782$ . Al patrulea este $5782$ .

Exemplul 4 — Suma tuturor numerelor

Calculați suma tuturor numerelor de patru cifre în care fiecare dintre cifrele $2$ , $4$ , $6$ și $8$ apare exact o dată.

Rezolvare. Sunt $P_{4} = 24$ de numere. Pe fiecare poziție, fiecare cifră apare de $3! = 6$ ori, deci pe fiecare poziție suma cifrelor este $6 \cdot (2 + 4 + 6 + 8) = 120$ . Atunci suma cerută este

$120 \cdot 1111 = 133 320.$

Control de plauzibilitate: media celor $24$ de numere trebuie să fie $133320 : 24 = 5555$ , adică numărul din mijlocul listei, cu fiecare cifră egală cu media cifrelor, $5$ .

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev are șase ghivece cu plante diferite și vrea să afle în câte ordini le poate așeza pe pervaz. El scrie: „primul loc are $6$ variante, al doilea $5$ , și tot așa, deci $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$ de ordini”. Unde greșește?

Rezolvare. Raționamentul pe etape este corect, dar operația este greșită. Etapele se succed, iar fiecare variantă a primei etape se combină cu fiecare variantă a celei de-a doua, deci numerele se înmulțesc, după regula produsului; adunarea ar fi potrivită numai dacă ar fi vorba de cazuri care se exclud unul pe altul. Rezultatul corect este

$P_{6} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 de ordini .$

Un control rapid arată că $21$ nu poate fi adevărat: numai cu primele două ghivece fixate pe primele locuri, restul de patru se pot așeza deja în $4! = 24$ de feluri, mai multe decât $21$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $P_{2} \cdot P_{3} = 12$ . b) Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 1$ , pentru care $\frac{P _{n + 1} \cdot P _{n - 1}}{P _{n} \cdot P _{n}} = \frac{9}{8}$ . c) Arătați că $\frac{P _{6}}{P _{3}} = 120$ .

Rezolvare. a) $P_{2} = 2! = 2$ și $P_{3} = 3! = 6$ , deci $P_{2} \cdot P_{3} = 2 \cdot 6 = 12$ . Produsul acesta numără, de fapt, ordonările a două grupuri așezate separat: două obiecte pe primele două locuri și trei pe ultimele trei.

b) Împerechem factorialele vecine: $\frac{P _{n + 1}}{P _{n}} = n + 1$ și $\frac{P _{n - 1}}{P _{n}} = \frac{1}{n}$ , deci membrul stâng este $\frac{n + 1}{n}$ . Din $\frac{n + 1}{n} = \frac{9}{8}$ rezultă $8 (n + 1) = 9 n$ , adică o ecuație de gradul întâi, cu soluția unică $n = 8$ . Verificarea, cu $P_{k} = k!$ : $\frac{9 ! \cdot 7 !}{8 ! \cdot 8 !} = \frac{9 \cdot 8 ! \cdot 7 !}{8 ! \cdot 8 \cdot 7 !} = \frac{9}{8}$ .

c) $\frac{P _{6}}{P _{3}} = \frac{6 !}{3 !} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ : rămân trei factori, pentru că indicii diferă cu $3$ .

Exemplul urmează forma cerințelor scurte de la Subiectul I al probei M_șt-nat. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință de numărare formulată ca probabilitate, nu un calcul cu permutări, deci exemplul antrenează tema din programă, fără să prezică subiectul; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Înainte de a scrie $n!$ , răspunde la cele trei întrebări din subsecțiunea a patra. La problemele cu numere, scrie mai întâi câte numere are fiecare grupă după prima cifră.

1. Scrie toate permutările mulțimii ${x, y}$ și toate permutările mulțimii ${1, 5, 9}$ .

2. Calculează $P_{2} + P_{5}$ și $P_{4} - P_{3}$ .

3. În câte ordini pot fi puse zece probe diferite în cele zece locașuri numerotate ale rotorului unei centrifuge?

4. (Problemă aplicată.) Un biolog măsoară în fiecare zi înălțimea a cinci puieți de pe un transect, dar vrea să îi parcurgă de fiecare dată în altă ordine, ca oboseala de la sfârșitul turei să nu afecteze mereu aceiași puieți. Câte zile poate lucra fără să repete o ordine? Dar dacă face câte două ture pe zi, fiecare în altă ordine?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $n \geq 2$ , o mulțime cu $n$ elemente are un număr par de permutări.”

6. Câte numere de patru cifre se pot forma folosind fiecare dintre cifrele $2$ , $3$ , $7$ și $9$ exact o dată?

7. Scrie, în ordine crescătoare, primele cinci numere de patru cifre în care fiecare dintre cifrele $1$ , $4$ , $6$ și $9$ apare exact o dată.

8. Se scriu în ordine crescătoare toate numerele de patru cifre în care fiecare dintre cifrele $1$ , $3$ , $6$ și $7$ apare exact o dată. Pe ce loc se află numărul $6713$ ?

9. Calculează suma tuturor numerelor de trei cifre în care fiecare dintre cifrele $1$ , $2$ și $4$ apare exact o dată.

10. În lista lexicografică a permutărilor mulțimii ${1, 2, \dots, n}$ , permutările care încep cu $1$ sunt $362880$ . a) Află $n$ . b) Câte permutări din listă încep cu $1$ și au pe $2$ pe locul al doilea?

11. Calculează $P_{5} - 5 \cdot P_{3}$ .

12. Arată, fără să calculezi $P_{12}$ , că numărul permutărilor unei mulțimi cu $12$ elemente se divide cu $2^{10}$ .

13. Codul de acces al dulapului cu reactivi toxici este un șir format din cifrele $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ și $5$ , fiecare folosită o dată; codul poate începe și cu $0$ . Câte coduri de acest fel există?

14. Arată că $\frac{P _{n}}{P _{n - 1}} = n$ , pentru orice număr natural $n \geq 1$ , și explică rezultatul prin numărarea permutărilor după ultimul element.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $P_{1} + P_{2} + P_{3} = 9$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $P_{4} + P_{5} = 6 \cdot P_{4}$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O mulțime are $20922789888000$ de permutări. Determinați numărul elementelor ei.

18. (Provocare.) Se scriu în ordine crescătoare toate numerele de cinci cifre în care fiecare dintre cifrele $1$ , $2$ , $3$ , $4$ și $5$ apare exact o dată. Care este al o sutălea număr din listă?

Răspunsuri și explicații

1. ${x, y}$ are permutările $x y$ și $y x$ . ${1, 5, 9}$ are șase permutări, scrise în ordine crescătoare: $159$ , $195$ , $519$ , $591$ , $915$ , $951$ , adică $P_{3} = 6$ .

2. $P_{2} + P_{5} = 2 + 120 = 122$ și $P_{4} - P_{3} = 24 - 6 = 18$ .

3. Sunt tot atâtea locașuri câte probe, fiecare probă ocupă un singur locaș, iar locașurile sunt numerotate, deci ordinile sunt permutările celor zece probe: $P_{10} = 10! = 3628800$ de ordini.

4. Ordinile sunt permutările celor cinci puieți: $P_{5} = 120$ , deci $120$ de zile. Cu două ture pe zi se consumă două ordini zilnic, deci ajung $120 : 2 = 60$ de zile.

5. Adevărat. Pentru $n \geq 2$ , produsul $P_{n} = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ conține factorul $2$ , deci este par. Se vede și fără calcul: permutările se grupează în perechi, schimbând între ele primele două elemente, iar fiecare permutare are exact o pereche, diferită de ea. Pentru $n = 1$ afirmația ar fi falsă, fiindcă $P_{1} = 1$ ; de aceea enunțul cere $n \geq 2$ .

6. Fiecare număr este o permutare a celor patru cifre, iar niciuna nu este $0$ , deci toate permutările dau numere de patru cifre: $P_{4} = 24$ .

7. Primele numere încep cu $1$ , iar în grupa lor ordinea crescătoare dă $1469$ , $1496$ , $1649$ , $1694$ , $1946$ .

8. Grupele după prima cifră au câte $3! = 6$ numere. Cele care încep cu $1$ și cu $3$ sunt $12$ . În grupa lui $6$ , subgrupele $61$ și $63$ au câte $2$ numere, deci încă $4$ . Urmează $6713$ , cel mai mic număr care începe cu $67$ , pe locul $12 + 4 + 1 = 17$ .

9. Pe fiecare poziție fiecare cifră apare de $2! = 2$ ori, deci suma pe poziție este $2 \cdot (1 + 2 + 4) = 14$ , iar suma totală este $14 \cdot 111 = 1554$ . Proba: $124 + 142 + 214 + 241 + 412 + 421 = 1554$ .

10. a) După fixarea primului element, celelalte $n - 1$ se permută liber, deci grupa are $(n - 1)!$ permutări. Din $(n - 1)! = 362880 = 9!$ rezultă $n - 1 = 9$ , adică $n = 10$ . b) Cu primele două locuri fixate rămân opt elemente de permutat, deci $8! = 40320$ de permutări.

11. $P_{5} = 120$ și $5 \cdot P_{3} = 5 \cdot 6 = 30$ , deci $P_{5} - 5 \cdot P_{3} = 120 - 30 = 90$ . Atenție: $5 \cdot P_{3}$ nu este $P_{15}$ și nici $P_{8}$ ; înmulțirea se face după calculul lui $P_{3}$ .

12. $P_{12} = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 12$ . Factorii pari sunt $2$ , $4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , $10 = 2 \cdot 5$ și $12 = 2^{2} \cdot 3$ , deci produsul conține factorul $2$ de $1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 = 10$ ori. Așadar $P_{12}$ se divide cu $2^{10}$ .

13. Codul folosește toate cele șase cifre, fiecare o dată, iar ordinea contează; spre deosebire de un număr, un cod poate începe cu $0$ , deci nu se elimină nimic: $P_{6} = 720$ de coduri.

14. $\frac{P _{n}}{P _{n - 1}} = \frac{n !}{( n - 1 )!} = n$ . Numărând după ultimul element: fiecare dintre cele $n$ elemente poate sta pe ultimul loc, iar în fața lui celelalte $n - 1$ se permută în $P_{n - 1}$ feluri, deci $P_{n} = n \cdot P_{n - 1}$ .

15. $P_{1} + P_{2} + P_{3} = 1 + 2 + 6 = 9$ .

16. $P_{4} + P_{5} = 24 + 120 = 144$ , iar $6 \cdot P_{4} = 6 \cdot 24 = 144$ . Fără calcul: $P_{5} = 5 \cdot P_{4}$ , deci $P_{4} + P_{5} = P_{4} \cdot (1 + 5) = 6 \cdot P_{4}$ .

17. Căutăm $n$ cu $n! = 20922789888000$ . Pornim de la $14! = 87178291200$ , calculat în lecția despre factorial, și urcăm: $15! = 15 \cdot 87178291200 = 1307674368000$ , apoi $16! = 16 \cdot 1307674368000 = 20922789888000$ . Factorialul crește strict, deci mulțimea are $16$ elemente.

18. Grupele după prima cifră au câte $4! = 24$ de numere, deci numerele care încep cu $1$ , $2$ , $3$ și $4$ ocupă primele $96$ de locuri. Rămân de numărat patru locuri în grupa lui $5$ , în care subgrupa $51$ vine prima: $51234$ , $51243$ , $51324$ , $51342$ . Al o sutălea număr este $51342$ .

De reținut

Ordonarea tuturor elementelor unei mulțimi cu $n$ elemente, fiecare folosit o dată, se numește permutare; numărul lor este $P_{n} = n!$ .
Formula vine din regula produsului: $n$ variante pentru primul loc, $n - 1$ pentru al doilea, …, una pentru ultimul; arborele permutărilor are pe fiecare nivel cu o ramură mai puțin.
Înainte de formulă întreabă-te: tot atâtea locuri câte obiecte? fiecare obiect o dată? schimbul a două obiecte contează? Dacă obiectele se pot repeta, numeri cu regula produsului; dacă sunt mai multe locuri, cu aranjamente.
În lista lexicografică, permutările care încep cu același element formează grupe de câte $(n - 1)!$ ; așa afli locul unei permutări sau permutarea de pe un loc dat.
Suma tuturor numerelor formate prin permutarea a $n$ cifre distincte nenule este $(n - 1)!$ ori suma cifrelor ori numărul format din $n$ cifre de $1$ .

Greșeli frecvente

Adunarea etapelor în loc de înmulțire. „ $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ ” amestecă regula sumei cu regula produsului. Etapele succesive se înmulțesc; se adună doar cazurile care se exclud.
Permutare folosită când obiectele se pot repeta. Trei aprinderi alese din trei lămpi, cu voie de repetare, nu sunt $3! = 6$ secvențe, ci $3^{3} = 27$ . Verifică întâi dacă un obiect poate apărea de două ori.
Grupele din lista ordonată numărate greșit. Grupa numerelor care încep cu o cifră dată are $(n - 1)!$ elemente, nu $n - 1$ . La patru cifre, o grupă are $6$ numere, nu $3$ .
Suma numerelor calculată ca suma cifrelor înmulțită cu $P_{n}$ . La cifrele $1$ , $3$ , $5$ , produsul $9 \cdot 6 = 54$ nu ține seama de poziții. Fiecare poziție își are ordinul ei, de aceea apare factorul $111$ .
$P_{n + 1}$ citit ca $P_{n} + 1$ . Indicele intră sub semnul factorialului: $P_{n + 1} = (n + 1)!$ . Pentru $n = 3$ asta înseamnă $P_{4} = 24$ , nu $P_{3} + 1 = 7$ ; scrie întâi factorialul și abia apoi calculează.

Aplică acasă

Colorația din bucătărie. Pregătește trei pahare cu apă și trei ingrediente care se amestecă vizibil: sare, zahăr și câteva picături de colorant alimentar. Scrie cele șase ordini în care le poți adăuga într-un pahar, folosind un arbore, și notează dacă rezultatul final depinde de ordine. Discută de ce la colorația Gram ordinea contează, iar aici probabil nu.
Lista din dicționar. Alege un cuvânt de patru litere distincte, de exemplu numele unei plante, și scrie toate cele $24$ de ordonări ale literelor în ordine alfabetică. Înainte de a scrie lista, calculează pe ce loc va ieși chiar cuvântul ales, apoi verifică.
Ordinea de udare. Dacă ai patru plante, udă-le zilnic într-o ordine nouă și notează ordinile într-un tabel. Calculează după câte zile se vor termina toate ordinile, apoi estimează cât ar dura cu șase plante.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la factorial ca număr la factorial ca răspuns al unei întrebări de numărare. Accentul cade pe recunoaștere: elevul care rezolvă corect o problemă de permutări a răspuns, mai întâi, la trei întrebări despre enunț, iar greșelile tipice apar exact acolo, nu la calculul lui $n!$ . De aceea lecția pune alături două situații aproape identice, una cu repetare și una fără, și trimite explicit la aranjamente pentru cazul în care locurile sunt mai multe decât obiectele. Contextul de deschidere, colorația Gram, este unul real din microbiologie, potrivit notei programei de științe despre contextele practice.

De urmărit: dacă elevul justifică formula prin etape, nu doar o recită; dacă, la listarea ordonată, lucrează pe grupe de câte $(n - 1)!$ ; dacă la suma numerelor ține seama de poziții. Întrebări bune de control: „De ce al doilea loc are $n - 1$ variante, oricare ar fi primul?”; „Ce se schimbă dacă un obiect poate apărea de două ori?”; „Câte numere are grupa care începe cu $4$ , dacă se permută cinci cifre?”. Semn bun: citind un enunț necunoscut, elevul numește tipul de numărare înainte să scrie vreun calcul. Pasul următor din traseu sunt problemele de permutări cu restricții, în care unele obiecte au locuri impuse sau interzise. Operațiile cu mulțimi pe care se sprijină limbajul lecției sunt cele din clasa a IX-a, de la mulțimi și intervale. Unitatea are un test de metode de numărare. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: permutări, definiție și formulă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”: programa clasei a X-a scrie „Permutări, aranjamente, combinări” la capitolul „Metode de numărare” și cere construirea diagramelor arborescente pentru permutări. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde permutările ca „numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu $n$ elemente” și ca număr al funcțiilor bijective între două mulțimi finite. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de numărare de la Subiectul I este o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor; exercițiile marcate aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Prin ce se deosebește lecția despre permutări de la M2 de cea de la mate-info (M1)? Definiția și formula sunt aceleași. Lecția de științe ale naturii pornește de la un protocol de laborator, construiește arborele permutărilor, cerut explicit de programa ei, și adaugă două tipuri de probleme: locul unei permutări în lista ordonată și suma numerelor obținute prin permutarea cifrelor. Varianta M1 insistă mai mult pe anagrame și pe ecuații.

La ce subiect apar permutările la bacalaureatul M2? Programa de examen din 2014 le cuprinde la capitolul „Metode de numărare”. În modelul publicat pentru 2026, cerința de numărare se află la Subiectul I și este o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor, nu un calcul direct cu permutări. La proba MAT_P2 din 2030 tema intră în domeniul „Algebră”, dar un model de subiect pentru această probă nu a fost încă publicat.

Ce diferență este între o permutare și o numărare cu repetare? La o permutare fiecare obiect se folosește exact o dată, deci numărul variantelor scade de la o etapă la alta: $n$ , apoi $n - 1$ și tot așa. La o numărare cu repetare, fiecare etapă are din nou toate variantele, iar rezultatul este o putere, de pildă $3^{3} = 27$ pentru trei aprinderi din trei lămpi. Întrebarea decisivă: poate apărea un obiect de două ori?

Cum aflu pe ce loc este un număr în lista crescătoare a permutărilor cifrelor? Grupezi numerele după prima cifră: fiecare grupă are $(n - 1)!$ numere. Aduni mărimile grupelor care încep cu o cifră mai mică decât prima cifră a numărului tău, apoi repeți pe a doua cifră, cu grupe de $(n - 2)!$ , și tot așa. La final adaugi $1$ pentru numărul însuși.

Permutarea este același lucru cu o mulțime? Nu. O mulțime spune doar ce elemente conține, fără să le așeze într-un șir, așa că ${a, b, c}$ și ${c, b, a}$ sunt una și aceeași mulțime. O permutare a ei este un șir anume, în care se știe cine e primul, cine al doilea și cine ultimul. O mulțime cu trei elemente are, așadar, șase permutări, dar rămâne o singură mulțime.

De ce la colorația Gram contează ordinea coloranților? Pentru că fiecare colorant acționează asupra a ceea ce a lăsat cel dinainte. Lugolul fixează violetul de gențiană doar dacă vine după el, iar safranina colorează în roșu bacteriile care au pierdut violetul la spălare. Din cele șase ordini posibile ale celor trei coloranți, una singură dă rezultatul corect, iar aici se vede de ce o permutare nu este același lucru cu o mulțime.